Formule du changement de variable

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1 Formule du changement de variable On pose u = f(x) dans l intégrale, et on écrit du = f 0 (x)dx. Remarque Rappelons : I Ne jamais mélanger ancienne et nouvelle variable au sein de l intégrale! I Si l ancienne variable s appelle x et la nouvelle s appelle u : I dx apparaissait au début, il doit être remplacé par une occurrence de du. I Il ne peut pas y avoir I de du au carré, I de du au dénominateur, ni I de «du ajouté à autre chose».

2 Exemple Pour calculer sin 4 x cosx dx on pose u = sinx et du = cosx dx, et on obtient sin 4 x cosx dx = u 4 du = u5 5 + C = sin5 x + C. 5

3 Exemple Primitives On considère l intégrale indéfinie suivante : u 3 p 1 + u 2 du et l on pose u = tan(t) (ce qui semble compliquer les choses plutôt que de les simplifier!) de sorte que du =(1 + tan 2 (t))dt et l intégrale devient, en utilisant l égalité 1 + tan 2 (t)= 1 cos 2 (t), sin 3 (t) cos 2 (t) dt. Plus simple? Plus complexe? Transformons sin 3 (t) en sin(t)(1 cos 2 (t))! Posons à présent v = cos(t), d où dv = alors : 1 v 2 v 4 ( dv)= 1 v 2 1 v 4 dv = 1 v + 1 sin(t)dt et l intégrale devient 3v 3 = 1 1 v 3v 2 1 = p1 + u 2 u2 2 3!

4 Exemple L exemple précédent pouvait se résoudre également comme suit : u 3 u(u 2! p du = + 1) u p p du 1 + u u u 2 p! = u p u du u 2 + 1! = 1 pz 1 p dz 2 z = 1 p z 3 z 3p = 1 p q(1 + u 3 2 ) u 2. où l on a posé z = u de sorte que dz = 2u du.

5 Remarque Il n y a pas de «bonne manière» de résoudre un calcul de primitive : l important est d obtenir une expression dont la dérivée correspond à l expresion dont on part. Exemple Par exemple, arccos(x) et arcsin(x) sont deux primitives de 1 p 1 x 2 Remarque Important : toujours vérifier son calcul en dérivant le résultat obtenu!

6 Intermède : la position à partir de la vitesse Contenu de la section Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties

7 Intermède : la position à partir de la vitesse On considère un mobile pour lequel x(0)=0 et dont la vitesse à l instant t est donnée par v(t)=sin(t)+t On sait que sa position est telle que x 0 (t)=v(t), c est-à-dire x(t)= v(t)dt = (sin(t)+t)dt = cos(t)+ t2 2 + C On sait que x(0)=0, c est-à-dire 1 + C = 0, c est-à-dire x(t)=1 cos(t)+ t2 2

8 Intégration par parties Contenu de la section Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties

9 Intégration par parties On part de la règle (f(x)g(x)) 0 = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) donc f 0 (x)g(x)=(f(x)g(x)) 0 f(x)g 0 (x) En intégrant, on trouve : Formule d intégration par parties (IPP) f 0 (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g 0 (x)dx

10 Intégration par parties Exemple Pour calculer R x cosx dx, posons g(x)=x, f 0 (x)=cosx et donc g 0 (x)=1, f(x)=sinx de sorte que le calcul devient x cosx dx =(sinx)x (sinx)1dx = x sinx ( cosx)+c = x sinx + cosx + C Remarquons qu on aurait très bien pu intégrer x et dériver cosx, au lieu de dériver x et intégrer cosx. Mais on aurait obtenu x cosx dx = x2 x 2 2 sinx cosx dx 2 ce qui est en fait plus complexe que l intégrale de départ et semble donc une voie sans issue.

11 Intégration par parties Remarque Cet exemple montre que I le choix de f 0 (x) et g(x) est crucial dans une intégration par parties, et I si un premier essai s est soldé par un échec, on a tout intérêt à faire un second essai en inversant les rôles de f 0 (x) et g(x).

12 Intégration par parties Exemple Calculer Astuce : Ce qui donne l idée de prendre g(x) = lnx, lnx dx = lnx dx 1lnx dx f 0 (x)=1 g 0 (x) = 1 x, f(x)=x Alors lnx dx = x lnx x 1 x dx = x lnx dx = x lnx x + C pour x 2 ]0,1[.

13 Contenu de la section Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties

14 Définition Une fonction rationnelle est une fonction du type P(x) Q (x) des polynômes. où P et Q sont Un résultat surprenant est que les primitives d une telle fonction, P(x) Q(x) dx sont toujours des fonctions «élémentaires» (c est-à-dire qu on peut en écrire une formule explicite). Ceci se démontre grâce à une technique appelée la décomposition en fractions simples.

15 Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties Irréductibilité Division Euclidienne Fraction simple Un exemple

16 Définition Un polynôme est dit irréductible si il est I de degré 1, ou I de degré 2 mais n a pas de racine (c est-à-dire ne s annulant pas). Exemple Les polynômes suivants sont irréductibles : X,X 1,3X + 5,X 2 + 1,X 2 + 2X + 2,... tandis que ceux-ci ne le sont pas : X 2 1,(X 2 + 1) 2,3X 4 + 2X + 1,X

17 Résultat Un polynôme non-constant qui n est pas irréductible peut toujours s écrire comme produit de polynômes irréductibles. Remarque Cette écriture est essentiellement unique. Remarque En particulier, tout polynôme de degré au moins égal à 3 est factorisable. Exemple Le polynôme X est factorisable : on peut vérifier X = X 2 p 2x + 1 X 2 + p 2x + 1.

18 Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties Irréductibilité Division Euclidienne Fraction simple Un exemple

19 Remarque La division «euclidienne» d un entier m par un entier n, 0 donne lieu à I un quotient, d I un reste r, avec 0 r < d de sorte que m = dn + r. Ces deux entiers sont uniques. Définition La division Euclidienne de deux polynômes P et Q donne deux polynômes D et R vérifiant P = DQ + R et degr < degq.

20 Exemple Par exemple la division de X 4 par X + 1 donne : X 4 = X + 1 X 4 = X + 1 X 3

21 Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties Irréductibilité Division Euclidienne Fraction simple Un exemple

22 Définition Une fraction simple est de la forme : u ux + v (x a) k ou ((x b) 2 + c 2 ) k pour certaines constantes réelles u,v,a,b, c > 0 et un entier k > 0. Résultat Toute fonction rationnelle (quotient de polynômes) est la somme 1. d un polynôme (éventuellement constant voire nul), et 2. de fractions simples dont le dénominateur divise celui de la fonction rationnelle.

23 En pratique, pour obtenir cette décomposition en fraction simple d une fonction rationelle, il faudra 1. si nécessaire, appliquer l algorithme de division Euclidienne pour obtenir la somme d un polynôme avec une nouvelle fonction rationnelle, dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur; 2. factoriser le dénominateur en ses composantes irréductibles; 3. écrire toutes les fractions simples possibles pouvant intervenir dans la décomposition, et déterminer les constantes.

24 Primitives Intermède : la position à partir de la vitesse Intégration par parties Irréductibilité Division Euclidienne Fraction simple Un exemple

25 Exemple de décomposition en fractions simples On veut calculer 1 1 x 2 dx Pour résoudre cela, nous allons décomposer en fractions simples. On sait 1 1 x 2 = 1 (1 x)(1 + x) dès lors, la décomposition doit s écrire : 1 (1 x)(1 + x) = A 1 x + B 1 + x où A et B sont des constantes à déterminer.

26 Réexprimons le membre de droite : A 1 x + B A(1 + x)+b(1 x) = 1 + x (1 x)(1 + x) cette expression doit être égale à 1 (1 x)(1 + x) pour tout x. En particulier il faut A + B +(A B)x = 1 pour tout x. On en déduit : ( A + B =1 = (A + B)+(A B)x (1 x)(1 + x) Solution : A = B = 1 2.Dès lors 1 1 x 2 dx = 1 2 A B = x dx x dx = 1 2 ln 1 x ln 1 x = ln r 1 + x 1 x + C

27 Autre méthode Remarquons que tanh 0 (x) = sh0 (x)ch(x) ch 0 (x)sh(x) ch(x) 2 dès lors et donc = ch(x)2 sh 2 (x) ch(x) 2 = 1 tanh(x) 2 arctanh 0 1 (x) = tanh 0 (arctanh(x)) 1 = 1 tanh(arctanh(x)) 2 = 1 1 x 2 r 1 + x arctanh(x)=ln 1 x + C pour un certain C. Comme tanh(0)=0, on a en fait C = 0.

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