Optimisation dans les réseaux

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1 Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE Le problème de transbordement

2 Énoncé sous contraintes Transbordement ichel Bierlaire Lagrangien Dualité Fonction duale Transbordement ichel Bierlaire 4

3 Dualité Comme L(x,p) est séparable en x, avec Transbordement ichel Bierlaire Dualité (a ij -α)x ij (a ij -α)x ij a ij -α a ij -α< b ij c ij x ij b ij c ij x ij Transbordement ichel Bierlaire 6

4 Dualité Condition des écarts complémentaires (CEC) La paire (x,p) vérifie la condition des écarts complémentaires si x vérifie les contraintes de capacité et p i -p j a ij (i,j) Atel que x ij < c ij p i -p j a ij (i,j) Atel que b ij < x ij Note p i -p j =a ij (i,j) Atel que b ij < x ij < c ij Transbordement ichel Bierlaire 7 Théorème : Dualité Un vecteur de flot admissible x* et un vecteur p* satisfont la CEC ssi x* et p* sont solutions primales et duales (resp.) et les coûts optimaux sont égaux. Transbordement ichel Bierlaire 8 4

5 Note : Dualité Si b ij = et c ij = + La CEC p i -p j a ij (i,j) Atel que x ij < c ij p i -p j a ij (i,j) Atel que b ij < x ij s écrit p i -p j a ij (i,j) A p i -p j =a ij (i,j) Atel que x ij > Transbordement ichel Bierlaire 9 Transformations ettre les capacités inférieures à b ij x ij c ij Posons z ij = x ij b ij ou x ij = z ij + b ij Fonction objectif Transbordement ichel Bierlaire

6 Transformations Contraintes d offre-demande Transbordement ichel Bierlaire Transformations Contraintes de capacité b ij x ij c ij b ij z ij +b ij c ij z ij c ij -b ij On peut donc supposer b ij = (i,j) Asans perte de généralité. Transbordement ichel Bierlaire 6

7 Transformations Supprimer les contraintes supérieures de capacité Idée : ajouter des variables d écart x ij + z ij = c ij avec z ij Fonction objectif : inchangée Contraintes de capacité : x ij c ij x ij c ij z ij x ij et z ij Transbordement ichel Bierlaire Transformations Contraintes d offre-demande Transbordement ichel Bierlaire 4 7

8 Interprétation : Transformations s i s j s i -Σ k c ik c ij s j -Σ k c jk i Flot x ij Coût a ij j i Flot z ij Coût Flot x ij Coût a ij j Capacité [,c ij ] Capacité [, [ Transbordement ichel Bierlaire Interprétation : Transformations i Flot Coût a ij j i Flot 9 Coût Flot Coût a ij j Capacité [,] Capacité [, [ Transbordement ichel Bierlaire 6 8

9 Interprétation : Transformations - - i Flot Coût a ij j i Flot Coût Flot Coût a ij j Capacité [,] Capacité [, [ Transbordement ichel Bierlaire 7 Problème transformé sous contraintes Transbordement ichel Bierlaire 8 9

10 Problème transformé Attention : En l absence de capacités supérieures, le problème peut être non borné. Cela n arrive cependant pas s il s agit d un problème transformé. Le problème est non borné ssi il possède au moins un solution admissible, et s il existe un cycle avançant de coût négatif. Transbordement ichel Bierlaire 9 éthode du simplexe Idée : exploiter explicitement la structure de réseau. Élément principal : arbre maximal Définitions : Un arbreest un graphe connexe sans cycle Un arbre maximald un graphe G est un sousgraphe qui soit un arbre et qui inclue tous les nœuds du graphe Une feuilleest un nœud de degré dans un arbre. Transbordement ichel Bierlaire

11 Graphe : éthode du simplexe 4 Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Arbre maximal : 4 i = feuilles Transbordement ichel Bierlaire

12 éthode du simplexe Arbre maximal : 4 i = feuilles Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Propriétés : Soit T le sous-graphe d un graphe à N nœuds.. Si T est sans cycle et possède au moins un arc, alors il a au moins une feuille.. T est un arbre maximal ssi T est connexe et contient N nœuds et N- arcs.. Si T est un arbre, il y a un chemin unique reliant deux nœuds i et j de cet arbre. 4. Soit e T un arc dont les extrémités sont dans T. Le graphe T {e} contient un cycle simple unique, dont e est un arc avançant.. Si T est un arbre contenant (i,j), et si (i,j) est supprimé, les arcs restant forment deux arbres disjoints, l un contenant i l autre j. Transbordement ichel Bierlaire 4

13 éthode du simplexe La base en programmation linéaire «générale» peut être représentée ici grâce aux arbres maximaux. Pour chaque arbre maximal T, il existe un vecteur de flots unique x tel que x vérifie les contraintes de conservation des flots x i = si i T Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Procédure : Soit R=T, x=, w i =s i i. Pas : choisir une feuille i de R. si (i,j) est l unique arc incident à i x ij =w i et w j =w j +w i si (j,i) est l unique arc incident à i x ij =-w i et w j =w j +w i Pas : supprimer i et son arc incident de R. Si R n a plus que nœud, STOP. Sinon retour au pas. Transbordement ichel Bierlaire 6

14 éthode du simplexe Problème : 4 - Sur chaque arc : coût Sur chaque nœud : offre 6 Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Problème : () () 4 - (-) Sur chaque arc : - Sur chaque nœud : offre (w i ) () - (-) Transbordement ichel Bierlaire 8 4

15 éthode du simplexe Problème : () () 4 - (-) Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) () - (-) Transbordement ichel Bierlaire 9 éthode du simplexe Problème : () () 4 - (-) Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) () - (-) Transbordement ichel Bierlaire

16 éthode du simplexe Problème : () () 4 - (-) Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) () - (-) Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Problème : () () 4 - (-) Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) () - () Transbordement ichel Bierlaire 6

17 éthode du simplexe Problème : () () 4 () - (-) - (-) Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Problème : () () 4 () - (-) - (-) Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) Transbordement ichel Bierlaire 4 7

18 éthode du simplexe Problème : () () 4 - () Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) - () - (-) Transbordement ichel Bierlaire éthode du simplexe Problème : () () 4 - () Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) - Transbordement ichel Bierlaire 6 - (-) - (-) 8

19 éthode du simplexe Problème : () () () Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) - Transbordement ichel Bierlaire 7 - (-) - (-) éthode du simplexe Ce vecteur de flots est appelé une solution de base Si, de plus, le vecteur de flots vérifie les contraintes de capacité x ij, il est appelé une solution de base admissible. Un arbre maximal sera dit admissiblesi le vecteur de flots correspondant est une solution de base admissible. Transbordement ichel Bierlaire 8 9

20 éthode du simplexe Aperçu de la méthode Soit un arbre maximal admissible initial. Chaque itération (pivotage) génère un autre arbre admissible dont le coût n est pas plus élevé que le précédent. Chaque itération est composée de trois opérations principales. Ajout d un arc à l arbre afin de former un cycle à coût négatif. Envoyer le plus de flot possible le long de ce cycle, sans violer les contraintes. Supprimer un arc du cycle pour obtenir à nouveau un arbre. Transbordement ichel Bierlaire 9 éthode du simplexe Arbre maximal initial : () 4 6 () () Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre - Transbordement ichel Bierlaire 4 - () () -

21 éthode du simplexe Formation d un cycle. Coût = -9 () 4 6 () () Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre - Transbordement ichel Bierlaire 4 - () () - éthode du simplexe Envoi d une unité de flot () 4 () 6 () () Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre - Transbordement ichel Bierlaire 4 - () () -

22 éthode du simplexe Suppression d un arc du cycle 4 () 6 () () Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre - Transbordement ichel Bierlaire 4 - () () - éthode du simplexe Questions : Comment choisir l arc entrant? Comment choisir l arc sortant? Comment gérer les cas de dégénérescence? Transbordement ichel Bierlaire 44

23 Choix de l arc entrant Idée: utiliser la condition des écarts complémentaires p i -p j a ij (i,j) A p i -p j =a ij (i,j) Atel que x ij > Nous allons affecter des prix p i aux nœuds tels que p i -p j =a ij (i,j) T Transbordement ichel Bierlaire 4 Choix de l arc entrant Procédure récursive : Soit un nœud r arbitraire (racine). p r est initialisé à une valeur quelconque. p i = +, i r CalculeVoisins(r) ; Transbordement ichel Bierlaire 46

24 CalculVoisins(i) Choix de l arc entrant Pour tout j adjacent à i t.q. p j = + Si (i,j) T, alors p j = p i -a ij Si (j,i) T, alors p j = p i +a ij CalculVoisins(j) Transbordement ichel Bierlaire 47 Choix de l arc entrant Arbre maximal : () 6 () 4 - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre [pi] () Transbordement ichel Bierlaire 48 - () - 4

25 Choix de l arc entrant Calcul des prix : () - 6 () racine - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix () () - Transbordement ichel Bierlaire 49 Choix de l arc entrant Arbre maximal : - () - 6 () racine - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix () () - Transbordement ichel Bierlaire

26 Choix de l arc entrant Arbre maximal : - () - 6 () racine - - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix () () - Transbordement ichel Bierlaire Choix de l arc entrant Arbre maximal : () - -7 racine 6 () - - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix () Transbordement ichel Bierlaire - () - 6

27 Choix de l arc entrant Arbre maximal : () racine 6 () - - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix () Transbordement ichel Bierlaire - () - Choix de l arc entrant Calcul des prix (autre racine) : () 6 () - () () - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix - racine Transbordement ichel Bierlaire 4 7

28 Choix de l arc entrant Calcul des prix (autre racine) : () 6 () - () () 6 - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix - racine Transbordement ichel Bierlaire Choix de l arc entrant Calcul des prix (autre racine) : () 6 () - () () 6 - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix - racine Transbordement ichel Bierlaire 6 8

29 Choix de l arc entrant Calcul des prix (autre racine) : () 6 () - 6 () () - Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix - racine Transbordement ichel Bierlaire 7 Choix de l arc entrant Calcul des prix (autre racine) : () 6 () racine Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix () Transbordement ichel Bierlaire 8 - () - 9

30 Choix de l arc entrant Notes : Les prix dépendent du choix de la racine du prix de la racine La différence de prix entre deux nœuds quelconques est indépendantes des décisions liées à la racine. Notamment, la quantité r ij = a ij + p j p i dépend uniquement de l arbre maximal T Transbordement ichel Bierlaire 9 Choix de l arc entrant Par définition des prix, r ij = a ij + p j p i = si (i,j) T Si, de plus, r ij (i,j) A, la CEC est vérifiée p i -p j a ij (i,j) A p i -p j =a ij (i,j) Atel que x ij > Dans ce cas, x est une solution optimale du primal, et p du dual. r ij est appelé le coût réduit de (i,j) Transbordement ichel Bierlaire 6

31 Choix de l arc entrant Dans le cas contraire, il existe (k,l) tel que (k,l) A, (k,l) T r kl = a kl + p l -p k < Si l on rajoute (k,l) à l arbre, on crée un cycle. Par convention, (k,l) doit être avançant dans le cycle. Transbordement ichel Bierlaire 6 Choix de l arc entrant Coût du cycle formé : Cycle à coût négatif Transbordement ichel Bierlaire 6

32 Choix de l arc entrant Solution de base admissible : () [-9] [-] racine 6 () - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () () [] - Transbordement ichel Bierlaire 6 Cycle Soit C le cycle formé par T et (k,l) Si C est vide, tous les arcs sont orientés comme (k,l) C est donc un cycle à coût négatif, le long duquel le flot peut être augmenté arbitrairement. Le problème est donc non-borné. Transbordement ichel Bierlaire 64

33 Cycle Si C n est pas vide, notons δ= min (i,j) C x ij le plus petit flot sur les arcs reculant. Il n est pas possible d envoyer plus que δ unités de flots sans violer les contraintes de non négativité. Transbordement ichel Bierlaire 6 Cycle Flot maximum le long du cycle : δ= () [-9] [-] racine 6 () - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () () [] - Transbordement ichel Bierlaire 66

34 Cycle Flot maximum le long du cycle : () [-9] [-] racine 6 () - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () δ= () [] - Transbordement ichel Bierlaire 67 Choix de l arc sortant Le nouveau vecteur de flot sera Tout arc (i,j) du cycle tel que x ij+ = est candidat pour sortir. Transbordement ichel Bierlaire 68 4

35 Choix de l arc sortant Avant d envoyer le flot : δ= () 6 () [-9] [-] racine - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () () [] - Transbordement ichel Bierlaire 69 Choix de l arc sortant Après avoir envoyé le flot : δ= () 6 () () [-9] racine - - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () - [-] () [9] [] [-] - Transbordement ichel Bierlaire 7

36 Choix de l arc sortant Nouvelle solution de base admissible : δ= () racine 6 () - - Sur chaque arc : coût (flot) - () () - Transbordement ichel Bierlaire 7 ise à jour des prix Soit (k,l) l arc entrant Soit e l arc sortant Soit T + =T+(k,l)-e l arbre correspondant à la nouvelle base. Considérons le sous-graphe T-e. Il est composé de deux arbres : T k contient le nœud k T l contient le nœud l Transbordement ichel Bierlaire 7 6

37 ise à jour des prix arc sortant T k () arc entrant (k,l) 6 () - Sur chaque arc : coût (flot) - - () T l () - Transbordement ichel Bierlaire 7 éthode p i+ = p i si i T k p i + = p i -r kl si i T l éthode K p i+ = p i + K si i T k p i + = p i -r kl + K si i T l éthode [K=r kl ] p i+ = p i +r kl si i T k p i + = p i si i T l ise à jour des prix Transbordement ichel Bierlaire 74 7

38 Dégénérescence Impossible d envoyer du flot () [-9] [-] racine 6 () - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () δ= () [] - Transbordement ichel Bierlaire 7 Dégénérescence On change de base mais la fonction objectif ne change pas. Risque que l algorithme cycle. Pour garantir l absence de cyclage, on introduit la notion de base fortement admissible. Transbordement ichel Bierlaire 76 8

39 Définition Dégénérescence Soit T un arbre admissible. Soit r la racine de l arbre. On dit que (i,j) T s écarte de la racine si le seul chemin entre r et j passe par i. Un arbre admissible T est fortement admissiblesi tous les arcs (i,j) tels que x ij = s écartent de la racine. Transbordement ichel Bierlaire 77 Dégénérescence Arbre admissible, mais pas fortement () [-9] [-] racine 6 () - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () () [] - Transbordement ichel Bierlaire 78 9

40 Dégénérescence Arbre fortement admissible () 6 () [-9] [-] - - [-] [9] - Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix () () [] - racine Transbordement ichel Bierlaire 79 Théorème Dégénérescence Si les arbres admissibles générés par la méthode du simplexe sont tous fortement admissibles, alors tous ces arbres sont distincts. Dans ce cas, l algorithme effectuera un nombre fini d itérations. Transbordement ichel Bierlaire 8 4

41 Dégénérescence Supposons que l on dispose au début d un arbre fortement admissible. Il faut s arranger pour que le nouvel arbre produit soit aussi fortement admissible. Il faut choisir l arc sortant de manière appropriée. Transbordement ichel Bierlaire 8 Dégénérescence Procédure de choix de l arc sortant Soit T un arbre fortement admissible Soit (k,l) l arc entrant Soit C le cycle formé par T et (k,l) Supposons que C est non vide. Soit δ= min (i,j) C x ij Soit C*={(i,j) C x ij = δ} l ensemble des candidats à sortir. Transbordement ichel Bierlaire 8 4

42 Dégénérescence Procédure de choix de l arc sortant (suite) Le jointde C est le premier nœud du cycle sur le chemin entre r et k. Choisir comme arc sortant le premier arc de C* rencontré lorsque l on parcourt le cycle en partant du joint. Dans ce cas, le nouvel arbre sera également fortement admissible. Transbordement ichel Bierlaire 8 Dégénérescence r Flot = joint Flot = Flot = Flot = Flot = k Flot = l arc sortant Transbordement ichel Bierlaire 84 4

43 Initialisation Comment trouver un premier arbre fortement admissible? Idée: ajouter un nœud artificiel avec s = ajouter un arc entre et chaque nœud i Arc (i,) si s i > Arc (,i) si s i coût des arcs artificiels : >, très grand Transbordement ichel Bierlaire 8 Initialisation Transbordement ichel Bierlaire 86 4

44 Initialisation Arbre initial : Uniquement les arcs artificiels. Racine : nœud Par construction, les arcs transportant un flot nul s éloignent de la racine Il s agit donc bien d un arbre fortement admissible Transbordement ichel Bierlaire 87 Initialisation 4 () 6 - () - () () - () Transbordement ichel Bierlaire 88 44

45 Calcul des prix - - () 6 - () - () () () Transbordement ichel Bierlaire 89 réduits - - [-+] () 6 δ= - () Transbordement ichel Bierlaire 9 - () () () 4

46 ise à jour des flots - - () () 6 δ= - () Transbordement ichel Bierlaire 9 - () () () ise à jour des prix r kl = - + T k - - () () 6 - () Transbordement ichel Bierlaire 9 - () () T l () 46

47 Nouvel arbre () 6 - () Transbordement ichel Bierlaire 9 - () () () réduits () 6 - () Transbordement ichel Bierlaire 94 - () [-+] () () δ= 47

48 ise à jour des flots () 6 - () Transbordement ichel Bierlaire 9 - () () () () δ= ise à jour des prix r kl = - + T k () 6 - () Transbordement ichel Bierlaire 96 - () () () () T l 48

49 Nouvel arbre () 6 () - -+ () () -+ () δ= Transbordement ichel Bierlaire 97 réduits () 6 () - [-+] -+ () () -+ () δ= Transbordement ichel Bierlaire 98 49

50 ise à jour des prix r kl = - + T k () () T l () -+4 () () -4+4 () Transbordement ichel Bierlaire 99 Nouvel arbre () 6 () - () -+4 () () -4+4 Transbordement ichel Bierlaire

51 réduits 6[-+6] () () - () -+4 () () -4+4 δ= Transbordement ichel Bierlaire ise à jour des flots () 6() () - () -+4 () () -4+4 δ= Transbordement ichel Bierlaire

52 Choix de l arc sortant () 6() () - () -+4 () () -4+4 arc sortant racine=joint Transbordement ichel Bierlaire ise à jour des prix r kl = - +6 T k T l () 6() -+4 () Transbordement ichel Bierlaire 4 - () -4+4 () racine=joint () arc sortant

53 Nouvel arbre () 6() () - () -+4 () -4+4 Transbordement ichel Bierlaire réduits () 6() -[-4] () () -+4 () -4+4 δ= Transbordement ichel Bierlaire 6

54 ise à jour des prix r kl = () 6() -() T k () T l () -+4 () -4+4 Transbordement ichel Bierlaire 7 Nouvel arbre () 6() -() () - () -4 Transbordement ichel Bierlaire 8 4

55 réduits () 6() -() [-6] () - () -4 δ= Transbordement ichel Bierlaire 9 ise à jour des flots () 6() -() () () - () -4 δ= Transbordement ichel Bierlaire

56 ise à jour des prix r kl = T l () 6() - -() () () () Transbordement ichel Bierlaire -4 T k Nouvel arbre () 6 -() () () - () -4 Transbordement ichel Bierlaire 6

57 réduits () 6 -() () () [-] - () -4 δ= Transbordement ichel Bierlaire ise à jour des flots () 6 -() () () () - () -4 δ= Transbordement ichel Bierlaire 4 7

58 ise à jour des prix r kl = T k () 6 - () -() () () () Transbordement ichel Bierlaire -4 T l Nouvel arbre () 6 -() () () -- () -4- Transbordement ichel Bierlaire 6 8

59 réduits () 6 -() () () -- () -4- [-] δ= Transbordement ichel Bierlaire 7 ise à jour des prix r kl = () 6 -() () T l () T k () δ= Transbordement ichel Bierlaire 8 9

60 Nouvel arbre () 6 -() () () () Transbordement ichel Bierlaire 9 réduits : optimum [] () 6[6] [6] -() () [] () [] [-] -- [-] [] -4- [] () Transbordement ichel Bierlaire 6

61 Propriété d intégralité Si les s i sont tous entiers, alors la solution optimale primale sera aussi entière. De plus, si le prix arbitraire initial de la racine est entier, et que tous les coefficients de coût sont entiers, alors la solution optimale duale sera aussi entière. Transbordement ichel Bierlaire 6

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