Résolution analytique d équations hyperboliques non linéaires en 1D

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1 Calcl Scienifiqe Résolion analyiqe d éqaions hyperboliqes non linéaires en D Corrigé de la séance 4 Février 006 Eercice. Solion classiqe La condiion iniiale 0 () = es croissane e C sr R. La méhode des caracérisiqes perme de consrire ne solion classiqe d problème de Cachy por o > Por Bürgers a() =. Les droies caracérisiqes son d éqaions ξ () = a( 0 (ξ)) + ξ = ξ + ξ. La solion es consane le long des caracérisiqes, ( ξ (), ) = 0 (ξ) = ξ. Soi (, ) R R +. Il eise ne niqe caracérisiqe passan par (, ). Le pied de cee caracérisiqe es ξ =. Finalemen (cf. figre ), + (, ) = +. Eercice. Consrcion de l onde de déene La condiion iniiale : 0 si 0 0 () = / si 0 si es C par morcea e conine. La méhode des caracérisiqes perme de consrire ne foncion conine e C par morcea vérifian l éqaion de Bürgers poin par poin dans o over où elle es C. C es ne solion faible d problème.

2 Calcl Scienifiqe = 0 /ξ ξ Fig. Droies caracérisiqes (à gache) e allre de la solion por différens emps (à droie).. - La droie caracérisiqe isse de ξ a por éqaion (cf. figre à gache) = ξ si ξ 0 soi 0 = ξ + ξ si 0 ξ soi 0 + = ξ + si ξ soi + La solion es consane le long des caracérisiqes ( ξ, ) = 0 (ξ), soi (cf. figre à droie) (, ) = 0 si ξ 0 si si + = 0 Fig. Droies caracérisiqes (à gache) e allre de la solion por différens emps (à droie).

3 Calcl Scienifiqe. - La solion n es pas ne solion classiqe pisq elle n es pas C..3 - Lorsqe 0, la condiion iniiale end vers n échelon (foncion disconine). Por résodre le problème il fa rajoer des caracérisiqes virelles d éqaion. La solion obene es conine por > 0 (cf. Problème de Riemann à éas). Eercice 3. Problème de Riemann à e 3 éas 3. - Problème de Riemann à éas. g < d. La condiion iniiale es croissane mais n es pas conine. La première solion qi vien à l espri es la solion enropiqe (déene). Les droies caracérisiqes on por éqaion = g + ξ si ξ < 0 soi g zone = d + ξ si ξ > 0 soi > d zone On inrodi des caracérisiqes por combler l espace enre les zones e. Ces caracérisiqes virelles on por éqaion = c por g c d (cf. figre 3 à gache). La solion es donnée par (cf. figre 3 à droie) g si g (, ) = si g < d si > d d = g = d d g g d Fig. 3 Droies caracérisiqes (à gache) e allre de la solion por > 0 (à droie). 3

4 Calcl Scienifiqe Une are solion es d inrodire n choc dans la zone où il n y a pas de caracérisiqes narelles. La ligne de choc vérifie Rankine-Hgonio (RH), soi dans nore cas σ () = ( g + d ). On obien, en inégran, σ() = ( g + d ) pisqe la ligne de choc passe par le poin (0, 0) (cf. figre 4 à gache). La solion obene va alors (cf. figre 4 à droie) { g si < (, ) = ( g + d ) d si > ( g + d ). = g+ d d g g+ d Fig. 4 Droies caracérisiqes (à gache) e allre de la solion po n emps > 0 (à droie). Remarqons qe la solion n es pas enropiqe pisqe = g < d = +. On porrai inrodire plsiers lignes de choc.... g = d. La solion classiqe es (, ) = d = g. On pe consrire d ares solions en inrodisan des chocs. Par conre por povoir appliqer RH, il fa rajoer n nombre impaire 3 de lignes de choc. En effe, si l on me ne ligne de choc, ça n a pas d inérê pisqe la solion va g = d de par e d are d choc! Si l on considère lignes de choc, la solion va g à gache, enre les de zones e g à droie. Les éqaions des de lignes de choc son oes les σ() = ( g + ); par conséqence la zone enre les de chocs n eise pas. La solion es (, ) = g. Considérons donc 3 lignes de chocs l, l, l 3. La solion va g à gache, enre l e l, enre l e l 3 e g à droie. RH nos impose qe l es d éqaion σ() = ( g + ), l es d éqaion σ() = ( + ) e l 3 es d éqaion σ() = ( g + ) (cf. figre 5 à gache). L ordre des zones impose g < e < g. Il sffi alors de choisir e véfian les de condiions (cf. figre 5 à droie)! 3. g > d. Les droies caracérisiqes se copen por > = 0. On inrodi ne ligne de choc vérifian RH d éqaion σ() = ( g + d ) (cf. figre 6 à gache). A gache 4

5 Calcl Scienifiqe = l = g = l 3 l g = g g+ + + g Fig. 5 Droies caracérisiqes (à gache) e allre de la solion por n emps > 0 (à droie). de la ligne de choc la solion va g e à droie elle va d (cf. figre 6 à droie). g d g+ d Fig. 6 Droies caracérisiqes (à gache) e allre de la solion por n emps > 0 (à droie). On pe rajoer d ares lignes de choc Problème de Riemann à 3 éas 3.-(a) Por ne condiion iniiale croissane, ie 3 on pe appliqer la méhode des caracérisiqes e il eise ne niqe solion C (b) La condiion iniiale vérifie = 0, = e 3 = 0, elle n es pas croissane. Il y a rois zones à disinger por les caracérisiqes sivan la valer de ξ : zone por 5

6 Calcl Scienifiqe ξ 0, zone por 0 < ξ e zone 3 por ξ >, = ξ si ξ < 0 soi 0 zone = ξ + si 0 < ξ < soi < + zone = ξ si ξ > soi > zone3 Les caracérisiqes des zones e 3 se croisen por > = 0, il y a naissance d n choc. L éqaion de la ligne de choc es σ() = +. Il eise ne zone, noée -, enre les zones e e qi n es pas covere par les caracérisiqes. On inrodi donc les caracérisiqes d éqaion = c por 0 < c por la zone -. La droie de disconinié d éqaion σ() = + inercepe la zone - por, où es donné par + = ie =. La ligne de choc enre les zones - e 3 démarran a poin ( =, = ) es consrie par RH σ ()[] = [f()] ( σ () 0 σ() ) = ) (0 σ() σ () = σ() σ() =. Por >, il y a rois zones :,- e 3; la zone a dispar. Les caracérisiqes son données figre 7. La solion es (cf. figre 8) : por < =, 0 si 0 si 0 < < (, ) = si < + 0 si > + Il y a ne ligne de choc enre les zones e 3. L amplide d choc va = e le choc se déplace à la viesse. por > = 0 si 0 (, ) = si 0 < < 0 si > Il y a ne ligne de choc enre les zones - e 3. L amplide d choc va = e le choc se déplace à la viesse. 6

7 Calcl Scienifiqe Zone Zone - (, ) Zone Zone 3 Fig. 7 Droies caracérisiqes e lignes de choc Par conséqen, por endan vers l infini, l amplide e la viesse d choc enden vers (c) La condiion iniiale vérifie =, =, 3 = 0, elle es décroissane. Il y a rois zones à disinger por les caracérisiqes sivan la valer de ξ : zone por ξ 0, zone por 0 < ξ e zone 3 por ξ >, = ξ + si ξ 0soi zone = ξ + si 0 < ξ soi < + zone. = ξ si ξ > soi > zone3 Les caracérisiqes des zones e se croisen por > = 0, il y a naissance d n choc. L éqaion de la ligne de choc enre les zones e es σ() = 3. Les caracérisiqes des zones e 3 se croisen por > = 0, il y a naissance d n choc. L éqaion de la ligne de choc es σ() = +. Comme le choc enre les zones e 3 se déplace pls vie qe celi enre les zones e, les de lignes de choc von se croiser por = avec 3 = +, soi = e = 3/. Por >, il n y a pls qe zones : zone e zone 3. La ligne de choc séparan les zones e 3 commence a poin ( = 3/, = ) e a por éqaion σ() = +. Les caracérisiqes son données figre 9. La solion es (cf. figre 0) : por < =, (, ) = si < 3 3 si < < + 0 si > + 7

8 Calcl Scienifiqe = 0 = = = 3 Fig. 8 Solion por différens emps Zone Zone Zone 3 Fig. 9 Droies caracérisiqes e lignes de choc 8

9 Calcl Scienifiqe por > = (, ) = { si < + / 0 si > + / = 0 = / = Fig. 0 Solion por différens emps Eercice 4. Eqaion de Bürgers avec erme d ordre 0 { dξ 4. - On considère les corbes caracérisiqes d éqaion d ξ (0) = ξ Le long de ces corbes, décroi de manière eponenielle. En effe, = ( ξ (), ). d d ( ξ(), ) = ( ξ(), ) + ( ξ(), ) d ξ d () = ( ξ(), ). Par conséqen ( ξ (), ) = ( ξ (0), 0) ep( ) = 0 (ξ) ep( ). En ilisan l epression de, on pe déerminer les caracérisiqes d ξ d = ( ξ(), ) = 0 (ξ) ep( ), avec ξ (0) = ξ. En inégran par rappor a emps, on obien ξ () = 0 (ξ) ep( ) + ξ. 9

10 Calcl Scienifiqe Les caracérisiqes son des corbes eponenielles. Qand end vers 0 on rerove les droies caracérisiqes de Bürgers d éqaion ξ () = 0 (ξ) + ξ. Soi (, ) n poin d plan. Por 0 conine e croissane, il eise ne e ne sele caracérisiqe passan par (, ). En effe, considérons la foncion g définie par g : R R ξ 0 (ξ) ep( ) + ξ. g es ne foncion sricemen croissane e lim g(ξ) = e lim g(ξ) = +. Par ξ ξ + conséqen g es ne bijecion de R dans R. Por ce cople (, ), il eise donc n niqe ξ = g (0) e (, ) = 0 (ξ) ep( ). g si La condiion iniiale 0 () = g + d g si 0 <, es conine e croissane. On pe appliqer direcemen les réslas éablis à la qesion précédene. La d si > corbe caracérisiqe isse de ξ a por éqaion (cf. figre en ha) ep( ) ep( ) = g + ξ si ξ 0 soi g = ( g + d g ξ ) ep( ) + ξ si 0 < ξ soi g ep( ) ep( ) ep( ) = d + ξ si ξ soi > d ep( ) < d + +. La solion (, ) va alors (cf. figre en bas) g ep( ) (, ) = d ep( ) si g ep( ) ep( ) ep( ) si g ep( ) si > d ep( ) < d ep( ) + +. { g si La condiion iniiale 0 () = d si > 0, (avec d g ), es croissane mais n es pls conine. Les caracérisiqes consries à la qesion son { = ep( ) ep( ) g + ξ si ξ 0 soi g = d ep( ) + ξ si ξ > soi < d ep( ) Il y a ne zone d plan qi n es pas balayée par des caracérisiqes. Por pallier à ce problème, on rajoe des caracérisiqes virelles d éqaions ep( ) = cse, 0

11 Calcl Scienifiqe = 0 > 0 g ep( ) + d ep( ) Fig. Corbes caracérisiqes (en ha) e allre de la solion por = 0 e > 0 (en bas)

12 Calcl Scienifiqe por cse comprise enre g e d (cf. figre en ha). Le long de ces corbes, décroi eponeniellemen, ie ep( ) es solion. Finalemen, la solion (, ) ep( ) es donnée par (cf. figre en bas) (, ) = g ep( ) ep( ) si ep( ) g ep( ) d ep( ) si < g ep( ) si d ep( ) < d ep( ) ce qi correspond à la limie qand end vers 0 de la solion de la qesion précédene. d = 0 g ep( ) g g ep( ) d ep( ) > 0 d ep( ) Fig. Corbes caracérisiqes (en ha) e allre de la solion por = 0 e > 0 (en bas)

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