UV Théorie de l Information. Techniques courantes en codage de canal

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1 UV Théorie de l Information Cours n 10 : Codage de canal Techniques courantes en codage de canal Codes en blocs Codes convolutifs 1 Techniques courantes en codage de canal Classification : Codes détecteurs d erreurs permettant au destinataire seulement de ne pas tenir compte du symbole reçu 2 Remarque : Si le canal est bidirectionnel, le destinataire a la possibilité de demander la répétition du dernier symbole reçu. Codes correcteurs d erreurs permettant non seulement la détection, mais aussi la correction des erreurs Évaluation des capacités de détection et correction des codes binaires : Distance minimale de Hamming

2 Classification des codes détecteurs et correcteurs d erreurs Codes en blocs : traitements effectués par blocs de n symboles (appelés aussi mots code de longueur n) Codes groupes : mots code considérés comme des éléments dans un espace vectoriel, à savoir des vecteurs Codes cycliques : mots code considérés comme des éléments dans une algèbre, à savoir des polynômes Codes convolutifs : traitements effectués de manière continue, c est à dire un signe après un autre 3 Codes groupes Codes q aires : mots code considérés comme des éléments d un corps à q éléments Codes binaire : mots code considérés comme des éléments du corps de Galois à 2 éléments notés (0, 1). Addition modulo 2 Multiplication * Remarque : Les opérations d addition et de soustraction étant identiques dans le cas d un corps à 2 éléments, elles seront notées par le même symbole + 4

3 Codes groupes binaires Supposons un codeur de source qui émet à une cadence d émission bits s Codeur de source D S D S bits s D C bits s D S n Codeur de canal 5 Modulateur Le codeur de canal associe à chaque bloc de k bits, un nouveau bloc de n bits (n>k) contenant n k bits de redondance Le modulateur module une porteuse à partir du signal codé binaire Remarque : temps réel => transmission des n bits pendant le même intervalle de temps T (qu auparavant les k bits) k Codes groupes binaires Soit C(n,k) un code ayant une longueur de bloc n dont k bits d information : Ensemble de Mots code : constitué de blocs issus du codeur de canal 6 blocs de n bits, Rendement du codage = k/n Réalisation du codage/décodage à l aide d additions et de multiplications sur des éléments binaires (OU et ET exclusif) 2 k Exemple : 1 bit de contrôle de parité correspondant à un OU exclusif sur l ensemble des k bits

4 Codes groupes binaires Soit C(n,k) un code ayant une longueur de bloc n dont k bits d information : 7 Code linéaire : si les n k bits de contrôle sont déterminés par des sommes modulo 2 sur les k bits d information Code systématique : si les n k bits de contrôle ainsi obtenus sont rangés à la suite de k bits d information Exemple : Code de Hamming pour n=7 et k=4 Symbole Codé binaire Bits de contrôle Décimal d1 d2 d3 d4 p1 p2 p p 1 d 1 d 2 d 4 p 2 d 1 d 3 d 4 p 3 d 2 d 3 d 4 Matrice génératrice du codage Soit G ij (à k lignes et à n colonnes), la matrice génératrice d un code C(n,k) Soit un bloc de k bits d information m m 0, m 1,... m k 1 c c 0, c 1,... c n 1 le mot code associé au moyen d une relation matricielle : est obtenu c mg 8

5 Matrice génératrice du codage La matrice génératrice d un code linéaire n étant pas unique, elle peut être écrite sous la forme : G I k,p I k est la matrice identité et P une matrice de dimension k*(n k) Cette matrice génératrice G engendre des mots code de la forme : c m,mp et les n k bits de redondance étant ainsi séparés => code systématique, où ; les k bits d information 9 Matrice de contrôle de parité La matrice de contrôle de parité H d un code linéaire, satisfait la relation matricielle : GH T 0 Cette matrice (à n k lignes et à n colonnes) est donnée par : H P T, I n, où I k est la matrice k identité et P une matrice de dimension k*(n k) Tout mot code c est orthogonal aux lignes de la matrice de parité H ( ) ch T mgh T 0 H permet de détecter si un message reçu r est un mot code 10

6 11 Détection et correction des erreurs Supposons c le mot code émis et r le vecteur reçu, alors la règle de décodage doit tester : si r est un mot code et le cas échéant (r c) corriger les erreurs c r Canal e Le vecteur reçu r peut s écrire sous la forme : où une composante du mot erreur e égale à 1 indique la présence d une erreur de transmission (sur la position correspondante du mot code c). r c e Remarque : il faudrait que pour chaque mot erreur e pouvant être généré par les perturbations du canal, il y ait un seul correcteur distinct et 0 Classification des erreurs Erreurs individuelles : apparaissant indépendamment les unes des autres (sous l hypothèse que chaque signe transmis est perturbé de manière indépendante) comme suite à l action des bruits de fluctuation Paquets d erreurs : succession de signes (corrects ou erronés) dans laquelle le 1er et le dernier signes sont erronés comme suite à des perturbations (d impulsions ou des interruptions) dont la durée dépasse celle d un signe Remarque : les signes corrects successifs apparaissent en groupes plus petits qu un paramètre dépendant de la statistique du canal 12

7 Détection des erreurs Soit s le syndrome du mot code reçu r s rh T c e H T eh T Si s 0 alors r n est pas un mot code (il y a eu donc des erreurs de transmission) Remarque : Un syndrome nul ne signifie pas nécessairement une absence d erreur. Ex : transformation du mot code émis c en un autre mot code c 13 Distance de Hamming Entre 2 vecteurs binaires u et v ( u, v = nombre de bits différents) :, Où est le poids de leur vecteur somme Poids d un mot code c ( P H c = nombre de bits non nuls), d H u, v P H u v P H u v P H c P H c,vecteurnul d H c,vecteurnul C est à dire la distance de Hamming entre ce mot et le vecteur nul 14 d H

8 Distance de Hamming et correction d erreurs Règle de décodage en présence d erreurs de transmission (syndrome s non nul) : Rechercher le mot code c le plus vraisemblable au mot code reçu r : d H r,c P H r, c pour c c, pour lequel la distance de Hamming est minimale Remarque : mise en oeuvre difficile lorsque le nombre de mots code (2 k ) est important Distance de Hamming et correction d erreurs Règle de décodage en présence d erreurs de transmission (syndrome s non nul) : Plusieurs configurations du mot erreur e pouvant conduire à une même valeur du syndrome s (puisque il y a 2 n 1 configuration d erreur et seulement 2 n k configurations du syndrome) Rechercher la configuration du vecteur d erreur e de poids minimal, en terme de distance de Hamming, puis calculer c r e modulo2 Remarque : mise en oeuvre difficile lorsque le nombre de bits de redondance n k excède seulement quelques unité

9 Pouvoir de détection et de correction Distance minimale de Hamming du code d min (= la plus petite distance entre 2 mots code), c est à dire le poids minimal des mots code excluant le vecteur nul Pour détecter i erreurs pouvant intervenir dans une position quelconque du mot code => d min i 1 Pour corriger i erreurs pouvant intervenir dans une position quelconque du mot code => d min 2 i 1 Pour corriger i erreurs et détecter d erreurs => d min 2 i 1 d 17 Choix d un code binaire correcteur d erreur Code correcteur pour une erreur unique : k premières colonnes de H doivent être différentes entre elles et différentes d une colonne de la matrice unité et d une colonne ne comprenant que des zéros. n k bits de redondance peuvent être rangés selon 2 n k possibilités 2 n k n k 1 k 2 n k n 1 Code correcteur pour N c erreurs : i N c C n i 2 n k i 0 18

10 Code groupe binaire de parité 1 seul bit de redondance par mot code déterminé pour obtenir : i n 1 i 0 modulo2, où les m i désignent les n bits du mot code m i d min 2 => détection d une erreur isolée (ou un nombre impaire d erreur) par bloc ; pas de possibilité de correction G n 1 n H 1, n Règle de décodage : calcul de la somme des n bits du mot reçu ; si cette somme est paire il n y a pas d erreurs 19 Code groupe binaire à répétition 1 seul bit d information les autre étant une répétition de celui ci d min n (longueur du mot code) => détection de n 1 erreurs ; ou correction de (n 1)/2 erreurs G 1 n H n 1 n Règle de décodage : si le nombre de 1 dans le mot reçu est supérieur au nombre de 0 => le bit d information émis est 1 ; sinon le bit d information émis est 0 20

11 !! Code groupe binaire de Hamming m"$# 1a longueur n du mot code et le nombre de bits d information k sont de la forme : n 2 m 1 et k 2 m m 1 d min 3 => détection de 2 erreurs ou correction de 1 erreur Colonnes de la matrice de parité H = représentations binaires (sur n k bits) des nombres de 1 à n Règle de décodage : En présence d une erreur, le syndrome prend la valeur de la colonne de la matrice de contrôle de parité H correspondant au rang de l erreur => la position de l erreur (que l on peut ensuite corriger) 21 Code binaire cyclique BCH Généralisation du code de Hamming (t>1) pour la correction d erreurs multiples par bloc Fondé sur l algèbre des corps de Galois les paramètres n, k et d min sont de la forme : m,t"$# n 2 m 1, k 2 m m 1 et d min% 2& t' 1 Mise en oeuvre : Facile à l aide des registres de décalage et d opérations logiques combinatoires 22

12 Code q aire de Reed Solomon Adapté à la correction de salves d erreurs (erreurs groupés) Utilisé en code externe dans les codes concaténés pour corriger les paquets d erreurs en sortie du décodeur interne Les paramètres n, k et d min sont de la forme : n q 1, k n 2& t et d min 2& t' 1, où t = capacité de correction du code en nombre de signes q aires Remarque : Capacité de correction (n k)*t [bits] Ex : Un code à t=2 [signes quaternaires] peut corriger 8 bits erronés, ssi ces bits sont bien localisés sur 2 signes consécutifs, ou un paquet de 4 bits consécutifs dans un même mot code 23

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