EL - EXERCICES SUR LES FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES ET HYPERBOLIQUES

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1 EL - EXERCICES SUR LES FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES ET HYPERBOLIQUES Calculer les nombres suivants a) arcsin sin 8π ) 5 c) arcsin sin 5π ) 7 e) sin arcsin ) 3 b) arccos sin 8π ) 5 d) arcsin sin 0π ) 3 f) tan arctan π ) a) On sait que arcsinsin θ) = θ si et seulement si θ appartient à l intervalle [ π/, π/ ]. On cherche donc un angle θ dans cet intervalle, tel que sin θ = sin 8π 5. Or 8π 0π π = = 4π π Comme π/5 appartient à [ π/, π/ ], on aura donc arcsin sin 8π ) = π 5 5. b) On peut utiliser la formule arcsin + arccos = π. On a alors et d après a) arccos sin 8π ) = π 5 arcsin sin 8π ), 5 arccos sin 8π ) = π 5 π 5 On constate bien que ce résultat appartient à l intervalle [0, π ]. ) = 9π 0.

2 EL c) On procède comme dans a) donc 5π 7 = 4π + π = π + π 7 7, arcsin sin 5π ) = π 7 7. d) On procède comme dans a) 0π 6π + 4π = = π + 4π Mais 4π/3 n appartient pas à [ π/, π/ ]. On utilise alors l angle supplémentaire : sin 4π 3 = sin π 4π ) = sin π 3 3, et π/3 appartient à [ π/, π/ ], donc arcsin sin 0π ) = π 3 3. e) Le nombre /3 étant compris entre et, on a sin arcsin ) = 3 3. f) le nombre π/ étant réel, on a tan arctan π ) = π. Calculer a) cosarctan ) b) sinarctan ) c) cosarcsin ) d) sinarccos ) e) tanarcsin ) f) tanarccos ) a) On part de la relation vraie pour tout réel. tanarctan ) = On a tout d abord cos arctan ) = + tan arctan ) = +, mais arctan appartient à ] π/, π/ [, et donc cosarctan ) est positif. Alors cosarctan ) = +.

3 EL 3 b) On écrit et en utilisant a), on obtient sinarctan ) = cosarctan ))tanarctan )), sinarctan ) = +. c) On part de la relation vraie pour tout de l intervalle [, ]. sinarcsin ) = On a tout d abord cos arcsin ) = sin arcsin ) =, mais arcsin appartient à [ π/, π/ ], et donc cosarcsin ) est positif. Alors cosarcsin ) =. d) On part de la relation vraie pour tout de l intervalle [0, π ]. cosarccos ) = On a tout d abord sin arccos ) = cos arccos ) =, mais arccos appartient à [0, π ], et donc sinarccos ) est positif. Alors sinarccos ) =. e) En utilisant c) f) En utilisant d) tanarcsin ) = tanarccos ) = sinarcsin ) cosarcsin ) =. sinarccos ) cosarccos ) =. Résoudre les équations suivantes : a) arctan) + arctan = π 4 b) arcsin + arcsin 3) = π c) arcsin 5)arcsin = 4

4 EL 4 a) Remarquons tout d abord qu une solution de l équation est nécessairement positive, car arctan a le même signe que. Transformons l équation par implications successives. arctan) + arctan = π 4 En prenant la tangente des deu membres, cela implique tanarctan) + arctan ) =, d où, en utilisant la formule donnant la tangente d une somme + =. Finalement, on obtient l équation + 3 = 0, qui possède une solution unique positive 0 = On peut seulement dire que si l équation de départ possède une solution c est 0. Pour montrer que 0 est effectivement solution de cette équation, on peut étudier les variations de la fonction f définie par Sa dérivée vaut f) = arctan) + arctan π 4. f ) = Donc f est une fonction strictement croissante. On a et > 0. f0) = π 4 < 0, lim + f) = π + π π 4 = 3π 4 > 0. Le théorème des valeurs intermédiaires et la croissance stricte de f assurent alors que f s annule une fois et une seule. Donc sa racine est 0. b) Transformons l équation par implications successives. arcsin + arcsin 3) = π,. équivaut à arcsin 3) = π arcsin

5 EL 5 En prenant le sinus des deu membres, cela implique π ) 3 = sin arcsin = cosarcsin ). Alors en utilisant l eercice précédent, on trouve qui implique 3 =, 4 = 0. Cette équation possède deu solutions = / et = /. Les solutions de l équation de départ, si elles eistent, sont dans l ensemble { }. Cherchons lesquelles se ses solutions conviennent. On constate que arcsin + arcsin 3 = π 6 + π 3 = π. Donc convient. Par contre ne convient pas, car arcsin et étant de même signe le nombre / donne une valeur négative. c) L équation équivaut au système arcsin 5)arcsin = 4, { U = arcsin U 5U + 4 = 0 L équation du second degré a deu racines U = et U = 4. Mais arcsin étant compris entre π/ et π/, l équation arcsin = 4 n a pas de solution. Par contre l équation arcsin = a une solution = sin, qui est la seule solution de l équation initiale. Montrer que l on a la relation suivante, si et seulement si ab < : arctan a + arctan b = arctan a + b ab. Application : calculer S = arctan 4 + arctan 7 + arctan 3. Posons A = arctan a + arctan b et B = arctan a + b ab. On a alors, en appliquant la formule de la tangente d une somme tan A = a + b ab,

6 EL 6 mais aussi tan B = a + b ab. Les nombres A et B ont donc la même tangente. Par ailleurs B appartient à l intervalle ] π/, π/ [, et A appartient à l intervalle ] π, π [. Alors A et B seront égau si et seulement si cos A > 0. Mais, en utilisant le deuième eercice, cos A = cosarctan a)cosarctan b) sinarctan a)sinarctan b) = et cette epression est positive si et seulement si ab <. On peut appliquer en particulier la formule si a = b lorsque a <, ce qui donne arctan a = arctan a a. ab + a + b, Application : dans les calculs suivants, les nombres utilisés sont compris entre 0 et, donc la condition ab < sera vérifiée. On obtient successivement arctan 4 + arctan 3 = arctan 3 arctan 3 = arctan 3 4 arctan arctan 7 = arctan = π 4. Finalement S = π 4. Etudier et représenter graphiquement la fonction f définie par f) = arctan et eprimer f) en fonction de arctan ). ), La fonction est définie sur R \ {0,}. On a également f ) = arctan et comme la fonction arctangente est impaire, on a donc )) ) = arctan ) ), f ) = f).

7 EL 7 La courbe représentative est symétrique par rapport au point de coordonnées, 0). Calculons la dérivée. On a f ) = ) ) ) ) + ) ) ) = ) + 4 ). + La fonction f est donc négative. On forme alors le tableau de variation suivant. + y 0 π y 7 π 7 0 On remarque que f ) a pour limite quand tend vers. Cela donne pour la courbe des demitangentes à gauche et à droite du point de discontinuité. On a alors la courbe suivante. y π O π

8 EL 8 On peut simplifier la dérivée, en remarquant que donc ) + 4 ) = = + ). f ) = + = ) +. Alors, dans les trois intervalles où f est continue, elle est de la forme ou C est une constante qu il reste à déterminer. Tout d abord, sur l intervalle ] 0, [, puisque la constante est nulle et Ensuite, sur l intervalle ], + [, puisque la constante vaut π et Enfin, sur l intervalle ], 0[, puisque f) = arctan ) + C, f) = 0 = C, f) = arctan ). lim f) = 0 = π + C, + f) = π arctan ). lim f) = 0 = π + C, la constante vaut π et f) = π arctan ). Etudier et représenter graphiquement la fonction f définie par et eprimer f) en fonction de arcsin. f) = arcsin3 4 3 ), La fonction est définie pour les valeurs de telles que 3 4 3, c est-à-dire ) 0.

9 EL 9 Or ) = ) ) = )4 ). Cette epression est positive si et seulement si appartient à l intervalle [, ] qui est donc le domaine de définition de f, et la fonction est continue sur ce domaine. De plus la fonction est impaire. La fonction est dérivable si < <, donc, d après le calcul précédent, sur ], [\{±/}. On a alors f ) = ) = 3 4 = donc 3 f ) = 3 si 4 > 0 si 4 < 0 On en déduit le tableau de variation suivant. 0 y π y 0 7 π On remarquera qu en / la fonction n est pas dérivable, mais la courbe admet des demi-tangentes à gauche et à droite. On a le graphe suivant.

10 EL 0 y π O π Sur l intervalle [ /, / ], on a mais La constante est nulle et Ensuite, sur l intervalle [ /, ], mais la constante vaut π et Enfin, sur l intervalle [, / ], f) = 3arcsin + C, f0) = 0 = C. f) = 3arcsin. f) = 3arcsin + C, f) = π = 3π + C, f) = π 3arcsin. f) = 3arcsin + C, mais la constante vaut π et f ) = π = 3π + C, f) = π 3arcsin.

11 EL Etudier et représenter graphiquement les fonctions f et g définies par f) = arcsinsin ) et g) = arctantan ). La fonction f est impaire et π périodique. De plus, quel que soit réel fπ ) = f). Il suffit donc de l étudier sur [0, π/ ] et d effectuer une symétrie par rapport au point π/,0) puis une autre par rapport à l origine et de compléter par périodicité. Comme sur l intervalle [ 0, π/ ] on a f) =, on trouve donc le graphe suivant. y π O π π La fonction g est impaire, non définie au points π/ + kπ où k est entier, et π périodique. Il suffit donc de l étudier sur [ 0, π/ [ et d effectuer une symétrie par rapport à l origine et de compléter par périodicité. Comme sur l intervalle [0, π/ [ on a g) =, on obtient donc le graphe suivant. y π O π π

12 EL Soit réel. On pose t = arctan sh. Montrer que : tan t = sh, sint = th, cos t = ch. Si l on a t = arctan sh, on en déduit donc que tan t = tanarctan sh ) = sh. On sait que ch est positif. Par ailleurs t appartient à l intervalle ] π/, π/ [, donc cos t est positif. Mais cos t = + tan t = + sh = ch, on en déduit donc = ch. cos t Alors sin t = tan t cos t = sh = th. ch Montrer que si est réel, on a ch i = cos et sh i = i sin. Eprimer de même cos i et sin i, en fonction de ch et de sh, et indiquer comment l on passe des formules trigonométriques usuelles au formules de trigonométrie hyperbolique. Ecrire par eemple : ch + y), ch et sh. On a, par définition du sinus et du cosinus hyperboliques, et De même et ch i = ei + e i sh i = ei e i cos i = eii) + e ii) sin i = eii) e ii) i = cos, = isin. = ch, = i e e = ish. On passe des formules de trigonométrie usuelle à celle de trigonométrie hyperbolique, en remplaçant cos par ch et sin par ish. Donc chaque fois que l on trouve un produit de deu sinus, le signe change. Par eemple cos + y) = cos cos y sinsin y,

13 EL 3 donne De même donnent ch + y) = ch ch y + shsh y. cos = cos sin et sin = sin cos ch = ch + sh et sh = sh ch. Montrer que si, on a argch ) = ln +. Posons y =. C est un nombre supérieur à. On a alors argch y = lny + y ) = ln y y = lny y ). Mais et finalement y y = + ) = +, argch ) = ln +. Etudier et représenter graphiquement la fonction f définie par f) = + lnch ). La fonction est définie sur R tout entier. Sa dérivée vaut f ) = + sh ch = 3e e e + e = 3e e +. Elle s annule pour 0 = ln 3, et la courbe possède un minimum en ce point. Pour le calculer, on peut écrire )] + e f) = + ln [e = ln + ln + e ),

14 EL 4 et puisque e 0 = /3, on obtient On a alors le tableau de variation suivant. α = f 0 ) = ln 3 + ln 4 3 ln = ln 3 ln 3. y ln y 7 α Lorsque tend vers +, on écrit )] + e f) = + ln [e = 3 ln + ln + e ), et ln + e ) tend vers zéro. La courbe admet comme asymptote la droite d équation y = 3 ln, et elle se trouve située au dessus de cette asymptote car ln + e ) est positif. Lorsque tend vers, on écrit )] + e f) = + ln [e = ln + ln + e ), et ln + e ) tend vers zéro. La courbe admet comme asymptote la droite d équation y = ln, et elle se trouve située au dessus de cette asymptote car ln + e ) est positif. On remarque de plus que la courbe passe par l origine. On a le graphe suivant.

15 EL 5 y O Calculer les limites suivantes a) ch sh + ) b) e ch sh ) ) a) En écrivant la fonction à l aide des eponentielles, on obtient e ch + e ) sh = e e = + e, et ceci tend vers lorsque tend vers +. b) Alors e ch sh) = e +, et ceci tend vers lorsque tend vers.

16 EL 6 Etudier le domaine de définition de la fonction f définie par [ f) = argch + )], et simplifier son epression lorsqu elle a un sens. La fonction est définie si Cette inéquation s écrit + ). +, ou encore ) 0. Le domaine de définition est donc ]0, + [. En utilisant l epression de argch sous forme de logarithme, [ argch + )] = ln + ) ) = ln + ) + ) 4 [ = ln + ) + ]. Si, le nombre / est positif ainsi que ln, et [ argch + )] = ln = ln. Si 0 <, le nombre / est négatif ainsi que ln, et [ argch + )] = ln = ln = ln, donc, pour tout > 0 [ argch + )] = ln.

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