Série de Fourier. Chapitre Série de Fourier

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1 Chapitre 3 Série de Fourier Une technique très commune en ingénierie est de réduire un problème complexe en plusieurs problèmes simples. Les problèmes simples sont alors résolus, et la solution globale est la somme des solutions simples. Ces solutions simples permettent souvent de mieux comprendre le problème complexe. Une des méthodes les plus utiles dans l analyse des signaux est la série de Fourier. La série de Fourier permet de transformer n importe quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. On peut donc prendre un signal périodique complexe et le simplifier à des sinusoïdes. Pourquoi s intéresse-t on aux signaux périodiques? Plusieurs sources électriques produisent des signaux périodiques. Les générateurs de fonction produisent des ondes triangulaires, rectangulaires et carrées. Les redresseurs, utilisés pour produire des sources DC à partir d un signal AC, produisent des sinusoïdes qui sont périodiques, mais redressés. 3. Série de Fourier Le mathématicien français Jean-Batiste Fourier découvrit qu on pouvait transformer n importe quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. Donc, pour une fonction périodique quelconque f (t), Fourier démontra qu on pouvait faire l équivalence suivante : f (t) = a v + a n cos(nω t) + b n sin(nω t) (3.) n= où a v, a n et b n sont les coefficients de Fourier, et ω est la fréquence fondamentale. Les fréquences qui sont des multiples entiers de ω (comme 2ω, 3ω, etc.) sont nommés

2 les harmoniques. Par exemple, 2ω est la deuxième harmonique, 3ω est la troisième harmonique, et ainsi de suite. Pour faire l analyse de circuits dont la source est périodique mais non sinusoïdale, il faut décomposer l entrée en une série de Fourier. Le premier coefficient obtenu, a v, est la composante DC du signal. Les autres composantes représentent différentes fréquences qui sont présentent dans notre signal d entrée. Ensuite, pour obtenir la sortie, on calcul la sortie pour chaque fréquence, puis on fait la superposition. 3.2 Coefficients de Fourier Les coefficients de Fourier sont obtenus selon les équations suivantes : a v = T a n = 2 T b n = 2 T t +T t f (t) dt (3.2) t +T t f (t)cos(nω t) dt (3.3) t +T t f (t)sin(nω t) dt (3.4) Remarquer que a v est la valeur moyenne (ou DC) du signal. Exemple Calculer la série de Fourier pour le signal périodique suivant. v(t) V m T 2T t Lorsqu on utilise les équations 3.2 à 3.4, on peut choisir la valeur de t. Le meilleur choix est de prendre t =, ce qui simplifie beaucoup les calculs. L équation de v(t) entre et T est : v(t) = V m T t Gabriel Cormier 2 GELE25

3 Donc l équation pour a v est : a v = T T V m T t dt = 2 V m L équation de a n est : L équation de b n est : a n = 2 T T = 2V m T 2 = 2V m T 2 b n = 2 T V m T t cos(nω t) dt ( n 2 ω 2 cos(nω t) + t ) T sin(nω nω t) [ ] n 2 ω 2 (cos(2πn) ) = pour tout n T = 2V m T 2 = 2V m T 2 = V m πn La série de Fourier de v(t) est : V m T t sin(nω t) dt ( n 2 ω 2 sin(nω t) + t ) cos(nω nω t) ( T ) cos(2πn) nω v(t) = V m 2 V m π n sin(nω t) On peut reconstruire le signal original à l aide de la série de Fourier pour vérifier si on peut bel et bien obtenir l original. La figure 3. montre la reconstruction en utilisant 7, 5 et 5 harmoniques. On voit bien que plus le nombre d harmoniques utilisés est élevé, plus le signal original est reconstruit fidèlement. Cependant, il y a un pic lorsque la fonction a un changement abrupte (à t = s, par exemple). Ce pic est dû à ce qu on appelle l effet Gibbs. n= T Le calcul des coefficients de Fourier est, généralement, un calcul assez long. N importe quoi qui simplifie la tâche est donc bénéfique. On verra dans la prochaine section que si le signal possède de la symétrie, on peut grandement simplifier le calcul des coefficients de Fourier. Gabriel Cormier 3 GELE25

4 Original n = n = 5 n = Figure 3. Onde en dent de scie reconstruite par série de Fourier 3.3 Symétrie et les coefficients de Fourier Le type de symétrie d un signal peut simplifier le calcul des coefficients de la série de Fourier. Voir le chapitre pour les types de symétrie. Selon le type de symétrie, certains des coefficients de la série de Fourier sont nuls. Il est important de bien identifier le type de symétrie d un signal avant de décomposer en série de Fourier. Gabriel Cormier 4 GELE25

5 Symétrie paire Pour des fonctions paires, on peut démontrer que les coefficients de Fourier sont : T /2 a v = 2 f (t) dt (3.5) T a n = 4 T /2 f (t)cos(nω T t) dt (3.6) b n = (3.7) Symétrie impaire Pour des fonctions impaires, on peut démontrer que les coefficients de Fourier sont : a v = (3.8) a n = (3.9) b n = 4 T T /2 f (t)sin(nω t) dt (3.) Symétrie demi-onde Pour des fonctions ayant de la symétrie demi-onde, on peut démontrer que les coefficients de Fourier sont : a v = (3.) a n = pour n pair (3.2) T /2 a n = 4 T f (t)cos(nω t) dt pour n impair (3.3) b n = pour n pair (3.4) b n = 4 T T /2 f (t)sin(nω t) dt pour n impair (3.5) Symétrie quart-d onde Une fonction périodique qui a la symétrie quart-d onde peut toujours être rendue soit paire ou impaire en faisant un choix approprié de t =. Pour une fonction ayant Gabriel Cormier 5 GELE25

6 la symétrie quart-d onde, si on la rend paire, alors a v = (3.6) a n = pour n pair (3.7) T /4 a n = 8 T f (t)cos(nω t) dt pour n impair (3.8) b n = (3.9) Pour une fonction ayant la symétrie quart-d onde, si on la rend impaire, alors a v = (3.2) a n = (3.2) b n = pour n pair (3.22) b n = 8 T T /4 f (t)sin(nω t) dt pour n impair (3.23) Exemple 2 Calculer les coefficients de Fourier pour la fonction de la figure suivante : i(t) I m t I m La première chose à faire est de chercher pour de la symétrie. La fonction est impaire, et de plus, possède de la symétrie demi-onde et quart-d onde. Puisque la fonction est impaire, a v =, et a n =. À cause de la symétrie demi-onde, b n = pour les valeurs paires de n. À cause de la symétrie quart-d onde, l équation de b n pour les valeurs impaires de n est : b n = 8 T T /4 i(t)sin(nω t) dt Dans l intervalle t T /4, l équation de i(t) est : i(t) = 4I m T t Gabriel Cormier 6 GELE25

7 Alors, b n = 8 T T /4 = 32I m T 2 = 8I m π 2 n 2 sin nπ 2 4I m T t sin(nω t) dt ( sin(nω t) n 2 ω 2 t cos(nω ) t) nω n est impair T /4 La représentation en série de Fourier de i(t) est : i(t) = 8I m π 2 n=,3,5... ( nπ n 2 sin 2 ) sin(nω t) La reconstruction de i(t) est montrée à la figure 3.2. Dans ce cas-ci, très peu de fréquences sont nécessaires pour reconstruire le signal original. 3.4 Formes alternatives de la série de Fourier Il y a deux autres façons d exprimer la série de Fourier : on peut utiliser une forme polaire, ou une forme exponentielle. La forme polaire est la suivante : f (t) = a v + A n cos(nω t + θ n ) (3.24) n= où A n est défini selon : A n θ n = a n jb n (3.25) La forme polaire est plus utile pour faire des graphiques. Il est plus facile de comprendre des graphes d amplitude et de phase que de regarder des sinus et cosinus pour comprendre le comportement d un signal. Cependant, lors de calculs mathématiques (dans un logiciel), il peut y avoir des erreurs si on utilise la notation polaire, à cause des approximations des radians et les fonctions trigonométriques inverses. La forme exponentielle est : f (t) = C n e jnω t n= (3.26) Gabriel Cormier 7 GELE25

8 Original.5.5 n = n = 7 n = Figure 3.2 Onde en dent de scie reconstruite par série de Fourier où C n = T t +T t f (t)e jnω t dt (3.27) La forme exponentielle est obtenue à partir de la relation d Euler. Cette représentation de la série de Fourier est souvent plus facile à utiliser lors de calculs mathématiques ou lors de la programmation. On peut résumer la conversion d une forme à une autre à l aide du tableau 3.. Gabriel Cormier 8 GELE25

9 Tableau 3. Formes de la série de Fourier Forme Exponentielle Polaire Trigonométrique Équation C n e jnω t n= C n = C n e jθ n, C n = C n C + 2 C n cos(nω t + θ n ) n= C + (A n cos(nω t) + B n sin(nω t)) n= 2C n = A n jb n, C = A 3.5 Spectre d amplitude et de phase Une fonction périodique est définie par ses coefficients de Fourier et sa période. Si on connaît a v, a n, b n et T, on peut construire f (t). Si on connaît a n et b n, on connaît aussi l amplitude A n et le déphasage θ n de chaque harmonique. On peut représenter graphiquement une fonction périodique en termes de l amplitude et de la phase de chaque terme de la série de Fourier. On appelle ceci le spectre de la fonction. Ce graphe permet de visualiser quelles fréquences ont une amplitude importante ; dans certains cas, la majorité du signal est contenu dans quelques harmoniques. On fera un exemple pour démontrer l utilisation. Exemple 3 Donner le spectre de la fonction suivante, si V m = 5V et τ = T /5. v(t) V m τ/2 τ/2 T t On utilise la forme exponentielle pour cet exemple, ce qui donnera directement l am- Gabriel Cormier 9 GELE25

10 plitude de chaque composante spectrale. C n = T = V m T τ/2 V m e jnωt dt τ/2 ( ) e jnω t τ/2 jnω τ/2 = 2V m nω T sinnω τ/2 On peut réécrire sous une forme un peu différente : qui est de la forme (sinx)/x. C n = V mτ T sinnω τ/2 nω τ/2 Avec les valeurs données dans le problème, on a C n = sinnπ/5 nπ/5 Le spectre d amplitude est montré à la figure 3.4. Remarquer que le spectre donne aux multiples de 5, ou lorsque nτ/t est un entier. Ce qui veut dire que le 5ième, ième, 5ième,... harmoniques sont nuls. L enveloppe du signal forme la fonction sinc..8 C n n Figure 3.3 Spectre d amplitude du signal de l exemple 3 Le spectre de phase est montré à la figure suivante. Puisque C n est réel dans ce cas-ci, la phase est ou 8, selon le signe de C n. Gabriel Cormier GELE25

11 8 θ n (degrés) n Figure 3.4 Spectre d amplitude du signal de l exemple Valeur RMS La valeur RMS d une fonction peut être exprimée en fonction des coefficients de la série de Fourier. Par définition, la valeur RMS d une fonction est : T f rms = f (t) T 2 dt (3.28) En remplaçant f (t) par son équivalent en série de Fourier, on obtient ( ) 2 f rms = a 2 An v + (3.29) 2 n= La valeur RMS d un signal périodique est la racine carrée de la somme des amplitudes au carré de chaque harmonique et de la composante DC du signal. Cependant, il faut typiquement une infinité de sinusoïdes pour représenter un signal, et donc il faut faire une somme infinie pour avoir la vraie valeur RMS du signal. Il est souvent plus simple de calculer la valeur RMS à partir de l équation Série de Fourier et systèmes La série de Fourier peut être utilisée pour calculer la sortie d un système, au lieu d utiliser la convolution. On peut démontrer que la sortie en régime permanent d un système Gabriel Cormier GELE25

12 h(t) soumis à une entrée x(t) est : ou, y(t) = C H() + y(t) = C n H(jnω )e jnω t n= (3.3) 2 C n H(jnω ) cos(nω t + θ n + θ h (jnω )) (3.3) n= où les coefficients sont H(jnω ) = H(jnω ) θ h. En d autres mots, le système h(t) modifie l amplitude et la phase de chaque fréquence présente dans l entrée x(t). La réponse en fréquence H(jω) est obtenue en faisant la transformée de Laplace de h(t), puis en appliquant la substitution s jω. H(jω) = H(s) (3.32) s=jω Gabriel Cormier 2 GELE25