Seconde Fiche d objectifs du module Statistiques

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1 Seconde Fiche d objectifs du module Statistiques SAVOIR SAVOIR FAIRE EULER Vocabulaire statistique Population, individu, caractère, effectif, fréquence Représenter graphiquement une série statistique Effectifs cumulés Fréquences cumulées Paramètres d une série statistique Moyenne Médiane et quartiles Etendue Ecart interquartile TICE Pour une série statistique donnée, savoir identifier : - La population étudiée. - Le caractère étudié et sa nature. - Passer des effectifs aux fréquences Pour une série statistique donnée, savoir représenter : - Un nuage de points. - Un diagramme circulaire. - Un histogramme. Savoir : - calculer des effectifs cumulés - calculer des fréquences cumulées - représenter une courbe des fréquences cumulées Pour une série statistique donnée, savoir : - Calculer la moyenne d une série statistique ( à partir des effectifs ou des fréquences ) - Calculer la médiane et les quartiles d une série statistique - Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles d une série statistique - Calculer l étendue - Calculer l écart interquartile Savoir utiliser une calculatrice graphique ou un tableur pour : - Entrer les valeurs d une série statistique - Calculer la moyenne d une série statistique - Calculer la médiane et les quartiles d une série statistique

2 Mathématiques Année nde Module n 7 : Statistiques I Rappels sur le vocabulaire statistique : Les premières études statistiques étaient démographiques : on a conservé le vocabulaire. 1) Une étude statistique commence par un recueil de données. L ensemble sur lequel porte l étude statistique s appelle la population. Un élément de cet ensemble s appelle un individu. 2) L étude statistique étudie un aspect des individus d une population appelé caractère ou variable. Le caractère étudié prend un certain nombre de valeurs, qui peuvent être numériques ou non. a) Lorsque les valeurs de ce caractère sont des nombres, on dit que ce caractère est quantitatif. Si le caractère quantitatif ne prend que quelques valeurs x i, on dit qu il est discret. Si le caractère quantitatif prend n importe quelle valeur d un intervalle, on dit qu il est continu : on regroupe alors les valeurs dans des intervalles appelés classes. On note alors x i le centre de chaque classe. On appelle amplitude d une classe ab ; la valeur b a. b) Lorsque les valeurs de ce caractère ne sont pas des nombres, on dit que ce caractère est qualitatif. 3) Le nombre d individus chez lesquels on observe la valeur x i d un caractère est l effectif de cette valeur. On note n1, n2,..., n p les effectifs respectifs des valeurs x1, x2,..., x p. Le nombre d individus de la population est appelé effectif total : il est en général noté N n n n p 4) La proportion d individus ayant une valeur du caractère est appelée fréquence. Elle est égale à : effectif de la valeur effectif total On note f1, f2,..., f p les effectifs respectifs des valeurs x1, x2,..., x p. Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. On l écrit sous forme de fraction ou de pourcentage.. 2

3 Exemple 1 : Le tableau suivant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantillon de 79 familles : Nombre d enfants Total Effectif Fréquence ( arrondie à 1 % ) 1) a) Quelle est la population étudiée? b) Quel est l effectif total? 2) a) Quel est le caractère étudié? b) Quelle est la nature de ce caractère? 3) Compléter la dernière ligne du tableau ( Justifier le 1 er calcul ) Exemple 2 : Une machine remplit automatiquement des sachets de médicaments en poudre. On a pesé un échantillon constitué de 100 sachets. Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant : Masse ( en g ) Fréquence ( en % ) ) a) Quelle est la population étudiée? b) Quel est l effectif total? 2) a) Quel est le caractère étudié? b) Quelle est la nature de ce caractère? 3

4 Exemple 3 : En 2009, d après une étude réalisée par le ministère de la Culture et de la Communication, la répartition des visiteurs dans les musées par groupes sociaux a été la suivante : Etudiants Classe populaire Classe moyenne inférieure Classe moyenne supérieure Classe supérieure 9 % 32 % 16 % 22 % 21 % 1) a) Quelle est la population étudiée? b) Quel est l effectif total? 2) a) Quel est le caractère étudié? b) Quelle est la nature de ce caractère? II Représenter graphiquement une série statistique : Remarque : Pour voir et traduire rapidement les informations d une étude statistique, on a recours à des représentations graphiques différentes selon la nature du caractère. II. 1 Nuage de points : Ce diagramme peut être utilisé dans le cas d un caractère quantitatif discret ou qualitatif. En abscisse, on met les valeurs du caractère et, en ordonnée, on met l effectif ou la fréquence. Exercice 1 : Construire le nuage de points de l exemple 1 page 3 en prenant 2 carreaux pour 1 enfant en abscisse et 2 carreaux pour un effectif de 10 en ordonnée. 4

5 II. 2 Diagrammes circulaires : Ce diagramme peut être utilisé pour tout type de caractère. L angle de chaque secteur est proportionnel à l effectif de la valeur ou à sa fréquence. Il existe également des diagrammes semi circulaires. Exercice 2 : On reprend l exemple 3. Classe sociale Etudiants Classe populaire Classe moyenne inférieure Classe moyenne supérieure Classe supérieure Total Fréquence 9 % 32 % 16 % 22 % 21 % Angle ( arrondi à 1 ) 1) Compléter le tableau ( justifier le 1 er calcul ). 2) Construire ci - dessous le diagramme circulaire correspondant. 5

6 II. 3 Histogrammes : Ce diagramme est toujours utilisé dans le cas d un caractère quantitatif continu. Lorsque les classes ont la même amplitude, on construit des rectangles ayant pour base chacune des classes et une hauteur proportionnelle à l effectif de la valeur ou à sa fréquence. Exercice 3 : Construire l histogramme de l exemple 2 en prenant 2 carreaux pour 0,5 g en abscisse et, pour chaque classe, tracer un rectangle de hauteur égale à la fréquence correspondante : II. 4. Courbes des fréquences cumulées : Calculer des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées : Définitions : 1) L effectif cumulé croissant d une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. 2) L effectif cumulé décroissant d une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont supérieures ou égales. Exercice 4 : Le tableau suivant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantillon de 79 familles : Nombre d enfants Total Effectif Effectifs cumulés décroissants Combien de familles qui ont plus de deux enfants? 6

7 Exercice 5 : N 9 page 147 du livre 1) 2) 3) 4) a) b) Définitions : 1) La fréquence cumulée croissante d une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. 2) La fréquence cumulée décroissante d une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont supérieures ou égales. Exercice 6 : N 7 page 147 du livre Une société de prêt à porter fait une étude sur le nombre de jeans achetés en 2009 par les ans : Nombre de jeans achetés Total 1) Nombre d individus Fréquences Fréquences cumulées croissantes 2) 4) 7

8 5) 6) 7) Savoir représenter une courbe des fréquences cumulées : Exercice 7 : Une machine remplit automatiquement des sachets de médicaments en poudre. On a pesé un échantillon constitué de 100 sachets. Masse ( en g ) Fréquence ( en % ) Total Fréquence cumulée croissante ( en % ) 1) Compléter le tableau. 2) On suppose que la répartition est uniforme dans chaque classe. Quels sont les points nécessaires à la construction de la courbe des fréquences cumulées croissantes? 8

9 Unités graphiques : 2 carreaux pour 0,5 g en abscisse et 2 carreaux pour 10 % en ordonnée. Exercice 8 : N 11 page 148 du livre 1) 2) 3) 4) 9

10 Exercice 9 : Le temps d attente des usagers au guichet d un bureau de poste, durant un mois, est consigné dans le tableau ci dessous : Durée ( en min ) 0;4 4;8 8;12 12;16 16;20 Total Fréquence ( en % ) Fréquence cumulée croissante ( en % ) 1) Compléter le tableau. 2) On admet que, dans chaque classe, la répartition des durées est uniforme. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes. 3) Pour assurer le bon fonctionnement du service au public, le directeur estime que 75% de la population doit avoir un temps d attente inférieur à 10 min. Au vu de la courbe, cet objectif est il atteint? 10

11 III Utilisation d une calculatrice graphique TI : III. 1. Entrer les valeurs d une série statistique : Le tableau suivant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantillon de 79 familles : Nombre d enfants Effectif ) Appuyer sur la touche «stats». L écran ci contre apparaît : 2) Sélectionner «1 :Edite». L écran ci contre apparaît : 3) Dans la colonne L1, rentrer les valeurs du caractère ( pour aller à la ligne, appuyer sur la touche «entrer» après avoir rentrer chaque valeur ). L écran ci contre apparaît : 4) Dans la colonne L2, rentrer les effectifs correspondants. Remarques : 1) Pour trier les données dans l ordre croissant, appuyer sur «stats», puis sélectionner «2 :Tricroi(» puis taper «L1» ( avec les touches «2 nde» puis «1» ). 2) Pour effacer la liste 1, placer le curseur sur L1, appuyer sur la touche «annul», puis appuyer sur la touche «entrer». 3) Si on effacer par erreur une liste, appuyer sur «stats», puis «5 :ListesDéfaut», puis «entrer». 11

12 III. 2. Calculer les paramètres d une série statistique : 1) Effacer les listes existantes. 2) Entrer les données dans deux listes ( le nombre de personnes au foyer dans L 1 et l effectif correspondant dans L 2 ). 3) Appuyer sur la touche «stats» puis sélectionner «CALC». L écran ci contre apparaît : 4) Sélectionner «Stats 1-Var». L écran ci contre apparaît : 5) Taper «L1, L2». L écran ci contre apparaît : 6) Appuyer sur la touche«entrer» pour faire apparaître la moyenne et utiliser les flèches descendantes pour faire apparaître la médiane et les quartiles. Exercice 10 : On donne le nombre de personnes par foyer dans 30 foyers d une même rue ) A l aide de la calculatrice, trier les données et compléter le tableau de distribution des fréquences ( arrondir à 0,1 % ) Nombre de personnes par foyer Fréquences ( en % ) 2) A l aide de la calculatrice, calculer la moyenne, la médiane et les quartiles de cette série statistique : 12

13 IV Paramètres d une série statistique : IV. 1 Moyenne : Propriétés : 1) On note n1, n2,..., n p les effectifs respectifs des valeurs x1, x2,..., x p prises par le caractère étudié, alors la moyenne de cette série statistique est le nombre noté n1 x1 n2 x2... np xp x. n n... n 1 2 p 2) On peut calculer la moyenne à partir de la distribution des fréquences. Si on note f1, f2,..., f p les fréquences respectives des valeurs x1, x2,..., x p prises par le caractère étudié alors la moyenne de cette série statistique est le nombre noté x f1x1 f2x2... f pxp. 3) La moyenne est fortement influencée par les valeurs extrêmes. 4) La moyenne est une mesure de position. Exercice 11 : N 23 page 149 du livre 1) Compléter le tableau suivant. Temps de transport ( en min ) Centre des classes Nombre de personnes ) Calculer. le temps de trajet moyen de cet échantillon. 3) Vérifier à l aide de la calculatrice, en suivant les indications du livre. 13

14 14

15 Exercice 12 : N 18 page 149 du livre 1) 2) Exercice 12 : Avec les données du n 23 page 149 du livre 1) Compléter le tableau suivant. Temps de transport ( en min ) Centre des classes Nombre de personnes ) Calculer. le temps de trajet moyen de cet échantillon.vérifier à l aide de la calculatrice. Exercice 13 : 1) On reprend l exemple 2. Compléter le tableau suivant. Masse ( en g ) Centre de la classe x i Fréquence ( en % ) f i ) A partir de la distribution des fréquences, calculer la masse moyenne des sachets. Vérifier à la calculatrice. 15

16 IV. 2 Médiane et quartiles : On considère une série statistique de valeurs rangées dans l ordre croissant. Définition : La médiane de cette série statistique, notée Me, partage la population en deux parties de telle sorte que : a) au moins 50 % des individus prennent une valeur inférieure ou égale à la médiane. b) au moins 50 % des individus prennent une valeur supérieure ou égale à la médiane. Remarques : 1) a) Si l effectif total est impair, la médiane est la valeur de la série de rang N 1. 2 b) Si l effectif total N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de la série de rang N N et ) La médiane n est pas sensible aux valeurs extrêmes. 3) a) Le 1 er quartile de cette série statistique, notée, est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 25 % des valeurs soit inférieures ou égales à. est la valeur de la série statistique dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à. 4) a) Le 3 ième quartile de cette série statistique, notée, est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 75 % des valeurs soit inférieures ou égales à. b) est la valeur de la série statistique dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à. Calculer la médiane et les quartiles d une série statistique : Exercice 14 : N 34 page 151 du livre 1) Recopier les données de la série 2 dans l ordre croissant : 2) a) Déterminer la médiane de cette série : 16

17 b) Interpréter ce nombre : 3) a) Déterminer le 1 er quartile de cette série : b) Interpréter ce nombre : c) Calculer le pourcentage de valeurs inférieures ou égales à Q 1 : 4) Calculer le 3 ième quartile de cette série : 5) Vérifier à l aide de la calculatrice 17

18 Exercice 15 : Calculer la médiane et les quartiles de la série 3 de l exercice 34 page 151 du livre Vérifier à l aide de la calculatrice. 18

19 Exercice 16 : 1) Compléter le tableau suivant : Valeur Total Effectif Effectif cumulé croissant 2) Déterminer la médiane et les quartiles de cette série statistique : Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles d une série statistique : Exercice 17 : N 41 page 152 du livre 1) Valeur 2;4 4;7 7;10 10;14 14;16 16;17 Total Fréquence ( en % ) 0,21 0,07 0,12 0,31 0,09 0,2 Fréquence cumulée croissante ( en % ) 2) 19

20 3) Exercice 18 : N 45 page 153 du livre Temps d attente ( en min ) 0;2 2;5 5;10 10;20 20;30 Total Effectif ) 20

21 3) 4) 5) 21

22 IV. 3 Mesures de dispersion : Définitions : 1) On appelle étendue d une série statistique la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. 2) On appelle intervalle interquartile l intervalle ; s appelle l écart interquartile. Q Q. La différenceq 3 Q Remarques : 1) L étendue est un paramètre de dispersion souvent associé à la moyenne. Elle est sensible aux valeurs extrêmes. 2) L écart interquartile est le paramètre de dispersion associé à la médiane. Il est peu sensible aux valeurs extrêmes. 3) Plus les résultats pour les paramètres de dispersion sont faibles, plus les valeurs de la série sont «regroupées». Exercice 19 : Lors de contrôles de mathématiques de 2 nde, Jean a obtenu les notes suivantes : Dans le même temps, Anne a obtenu comme notes : ) Peut on différencier ces deux élèves en utilisant la moyenne et la médiane? Justifier. 2) a) Déterminer l étendue des notes de Jean et l écart interquartile. b) Faire de même pour Anne. c) Comparer alors les résultats des deux élèves. 22

23 Exercice 20 : n 70 page 159 du livre ( sans la question 2 ) 1) Entrer les données dans la calculatrice pour compléter le tableau : min Q 1 Me Q 3 max Courchevel Pyrénées ) 4) 5) 23

24 III Utilisation d une calculatrice graphique CASIO : III. 1. Entrer les valeurs d une série statistique : Le tableau suivant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantillon de 79 familles : Nombre d enfants Effectif ) Appuyer sur la touche «MENU». L écran ci contre apparaît : 2) Sélectionner «STAT», L écran ci contre apparaît : 3) Dans la colonne L1, rentrer les valeurs du caractère ( pour aller à la ligne, appuyer sur la touche «entrer» ou «ENTER» après avoir rentrer chaque valeur ). L écran ci contre apparaît : 1) Dans la colonne L2, rentrer les effectifs correspondants. Remarques : 1) Pour trier les données dans l ordre croissant, dans le menu principal, on sélectionne la flèche ( avec la touche F6 ) pour accéder au reste du menu, puis on sélectionne «Tool» puis «srt-a». On tape le nombre de listes à trier et leur numéro. 2) Pour effacer la liste 1, placer le curseur sur L1, appuyer sur la touche «DEL A». 24

25 III. 2. Calculer les paramètres d une série statistique : 1) Appuyer sur la touche «MENU» et choisir «STAT», puis «CALC». L écran ci contre apparaît : 2) Effacer les listes existantes. Entrer les données dans deux listes ( le nombre de personnes au foyer dans L 1 et l effectif correspondant dans L 2 ). 3) Sélectionner «SET». L écran ci contre apparaît : 4) Dans «1Var XList» rentrer List1. Dans «1Var Freq» rentrer List2. L écran ci contre apparaît : 2) Appuyer sur la touche «EXIT», puis sélectionner «1VAR» pour faire apparaître la moyenne. Exercice 10 : On donne le nombre de personnes par foyer dans 30 foyers d une même rue ) A l aide de la calculatrice, trier les données et compléter le tableau de distribution des fréquences ( arrondir à 0,1 % ) Nombre de personnes par foyer Fréquences ( en % ) 2) A l aide de la calculatrice, calculer la moyenne, la médiane et les quartiles de cette série statistique : 25

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