CHAPITRE 4 Paramètres d'une série statistique

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Noëlle Monette
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1 Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques CHAPITRE 4 Paramètres d'ue série statistique A) Diverses sortes de séries statistiques 1) Défiitio Ue série statistiques est u esemble de ombres, représetat ue même quatité pour des etités différetes. Il y a plusieurs sortes de telles séries, ous allos doc les examier ue par ue. 2) Série simple Ue série simple est ue série ou chaque etité représete u seul "idividu", et ou doc chaque ombre compte autat que les autres.. La ote de chaque élève d ue classe à u certai devoir : 12, 15, 9, 2, 13, 18, 3, 7, 19, 11, 10, 8, 6, 16, 17, 8. Le salaire auel des employés d ue etreprise : , , , , , Ue série simple se représete comme ue liste de ombres. 3) Série avec effectifs Das ce cas, chaque etité représete plusieurs "idividus", que l o a regroupés parce qu ils ot tous la même valeur pour la gradeur étudiée.. Das ue école primaire, les âges des élèves, où à chaque âge o associe le ombre d élèves ayat cet âge Das u village, le ombre de rues avec zéro, u, deux, trois ou quatre feux rouges Das u hôpital, le ombre de persoes hospitalisées pedat 1, 2, jours das le mois O voit que pour représeter ue série avec effectifs, il faut u tableau à deux liges, la première représetat la valeur prise par la gradeur étudiée, la secode représetat le ombre d élémets preat cette valeur. 4) Série avec fréqueces Ceci ressemble au précédet, sauf qu au lieu de compter des effectifs, o compte la proportio Page 1/5

2 Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques d effectifs par rapport à l effectif global, c est à dire des "fréqueces".. Nombre d heures supplémetaires par semaie effectuées par les employés d ue etreprise : ,00% 22,00% 15,00% 10,00% 12,00% 3,00% Il faut ici aussi pour représeter la série u tableau à deux liges, la première doat les valeurs et la secode les proportios ou fréqueces. La somme des fréqueces doit alors être égale à 1 (100%). 5) Séries avec classes Cette fois, o regroupe les valeurs par "classes", c est à dire par itervalles où se trouvet les valeurs. Ces itervalles doivet être cosécutifs et disjoits. Das ce cas, à chaque classe correspod u effectif ou ue fréquece, o se retrouve das des cas similaires au 3) ou au 4) ci-dessus, la différece état la présece d itervalles das la première lige à la place des valeurs. Repreos le cas de l école primaire vue plus haut : 5 à 7 as 8 à 10 as 11 as et plus B) Moyee d ue série statistique 1) Défiitio (rappel) Soit ue série statistique (c est à dire u esemble de ombres) que l o appellera a 1, a 2, a 3, etc... a ce que l o résumera par la otatio (a i ), i allat de 1 à. Soit aussi ue série correspodate de coefficiets (tous à 1 das ue série simple, mais qui peuvet aussi être des effectifs ou des fréqueces) c 1, c 2, c 3, etc... que l'o résumera par ( ), i allat aussi de 1 à. La moyee a de la série (a i ) avec les coefficiets ( ) est égale à la somme des produits a i, divisée par la somme des. O écrit : a. Notes d'ue classe sur u devoir : 18, 11, 7, 12 avec les coefficiets 1, 2, 2, 1 Calculer la moyee de la classe (o doit trouver 11!). Remarque : Das ue série statistique par classe, o e peut pas calculer la moyee exacte, o est obligé de Page 2/5

3 Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques predre le milieu de chaque itervalle pour faire ue moyee approchée. 2) Liéarité de la moyee a) Soit (b i ) ue autre série de ombres : Alors, la moyee (a + b) de la série (a i + b i ) est a + b, c est à dire la somme des deux moyees. Démostratio (a + b) (a + b) a i b i +, d'où a + b Par commutativité et associativité de l additio, et par distributivité de la divisio. b) Moyee de (a i + k), i de 1 à C'est u cas particulier du a) e posat tous les b i k. O a doc (a i + k) a + k. Applicatio : Elevos 1 à chaque ote de l'exemple du 1) : o verra e refaisat les calculs que la ouvelle moyee est bie c) Moyee de (k a i ). C'est k a, car : k a k a i k k k k a. Exemple Das l'exemple du 1), si o remplace 18 par 9 ; 11 par 5,5 ; 7 par 3,5 et 12 par 6 (c'est à dire e multipliat tout par 0,5), o trouvera comme moyee la moitié de 11, soit 5,5. d) Gééralisatio Si o résume toutes ces règles e ue seule, o peut écrire, pour deux séries (a i ) et (b i ) et deux costates k et p, que : (k a + b + p) k a + b + p Page 3/5

4 Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques Ceci permet d'éviter de refaire tous les calculs lorsque l'o fait subir à tous les termes d'ue série ue même modificatio de type liéaire, par exemple ue coversio e ue autre moaie, ou e ue autre uité de mesure. 3) Calcul de moyee à partir de sous-groupes Supposos que j'arrive à la moyee 12 avec 6 otes, mais que la ote suivate soit u 5 : quelle moyee aurai-je avec ces sept otes? Répose : (12 * * 1) / (6 + 1) 11 Règle : O peut calculer la ouvelle moyee à partir de celle des sous groupes à coditio de "podérer" la moyee de chaque sous-groupe par la somme des coefficiets de ce sous-groupe. Repreos l'exemple du 1) ci-dessus, et ajoutos deux valeurs 15 et 9, coefficietées respectivemet par 1 et 2. O aura pour la ouvelle moyee m : m (11* * * 2) / ( ) 11. Si les coefficiets sot 2 et 1, o aura : m (11* * * 1) / ( ) 11,67. B) Médiae, Quartiles, Déciles 1) Défiitios a) Médiae (ou valeur médiae) O commece par trier toutes les valeurs de la série, o se situe au milieu, qui peut tomber sur ue valeur ou etre deux valeurs. S'il 'y e a qu'ue, c'est elle la médiae, sio o fait la moyee des deux. 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 8 ; 19 ; 20 Médiae 3 (Moyee 7). 12 ; 13 ; 13 ; 15 ; 20 ; 20 Médiae 14 (Moyee 15,5) b) Quartiles O fait deux groupes à partir de la série, l'u coteat les valeurs précédat la médiae, l'uatre les valeurs qui suivet la médiae. Le premier quartile Q 1 est la médiae du premier groupe, et le troisième quartile Q 3 est la médiae du secod groupe. 25% des valeurs sot doc e-dessous de Q 1, et 25% sot au-dessus de Q 3. Page 4/5

5 Cours de Mathématiques Classe de secode Statistiques O appelle écart iterquartile la différece Q 1 Q 3, et l'itervalle ]Q 1 ; Q 3 [ s'appelle l'itervalle iterquartile. c) Déciles, Cetiles etc... Ce qu'o a fait avec les quartiles peut aussi se faire e divisat o pas e quatre quarts, mais e dix dixièmes (déciles) ou e cet cetièmes (cetiles). Par exemple, le premier décile est la valeur telle que 10% des valeurs lui sot iférieures; etc... 2) Exemple, utilité La médiae déped de l'ordre, mais pas des valeurs extrêmes. C'est ue valeur telle que la moitié des effectifs ot ue valeur moidre, et l'autre moitié ue valeur plus élevée. De même, examier l'itervalle iterquartile au lieu de regarder l'esemble des valeurs permet d'éviter les 25% les plus petits et les plus grads, c'est à dire les cas extrêmes. (1, 3, 3, 4, 15, 18, 19) Moyee 9, Médiae 4 et e chage pas si o met 190 au lieu de 19. C) Mode, classe modale, Étedue 1) Mode C'est la valeur atteite le plus souvet (il peut y avoir plusieurs modes!). Exemples Trouver le ou les modes das les exemples du B1). 2) Classe modale Ce terme est utilisé quad o a fait des regroupemets par classe, c'est la classe ayat le plus gros effectif (il peut y e avoir plusieurs ici aussi!). 3) Étedue d'ue série statistique C'est tout simplemet l'écart etre la valeur maximale et la valeur miimale. Trouver les étedues des exemples du B1) Page 5/5

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