CALCUL DES STRUCTURES AVEC PYTHAGORE

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1 CALCUL DES STRUCTURES AVEC PYTHAGORE Année scolaire Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -1-

2 Logiciel de calcul de structures Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -2-

3 Logiciel de calcul de structures Phénomène à prendre en compte quand les forces d inertie (liées à l accélération de la structure) ne sont plus négligeables. Le comportement dynamique dépend de la structure (géométrie et matériaux) et des forces extérieurs appliquées. Peut-être dimensionnant pour certaines structures et sous certains chargements. Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -3-

4 Logiciel de calcul de structures RAPPEL EN STATIQUE 1 ddl : f ext = kd Structure (n ddl) : F ext = K D => EN : MATRICE DE RAIDEUR 1 ddl : f ext (t) = kd(t) + m d(t) +c d(t) Structure (n ddl) : F ext (t) = K D(t) + M k m k D(t) fext d fext(t) d(t) c MATRICE DE MASSE SAUF QUE : D 0 F ext t = K D t + C D t + M D(t) MATRICE D AMORTISSEMENT Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -4-

5 Logiciel de calcul de structures 2 types de comportements possibles : VIBRATIONS LIBRES (chargement extérieur ne dépendant pas du temps) M D t + C D t + K D t = F ext VIBRATIONS FORCEES (chargement extérieur dépendant du temps) M D t + C D t + K D t = F ext (t) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -5-

6 Quelles F ext t? Chargement DÉTERMINISTE : chargement parfaitement défini pour toute valeur de t Périodique : harmonique ou non Impulsif Fonction quelconque Fext(t) Séisme temporel (accélérogramme), Vent temporel (vitesses) Chargement STOCHASTIQUE (ie. aléatoire) : on ne connait pas F ext t mais plutôt " F ext w " Séisme (à l aide de «spectre de réponse») Vent (à l aide de données fréquentielles) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -6-

7 Ex. DETERMINISTE : Convois ferroviaires Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -7-

8 Ex. DETERMINISTE : Piétons Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -8-

9 Ex. STOCHASTIQUE : Vent turbulent Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -9-

10 Ex. STOCHASTIQUE : Séisme Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -10-

11 Donc, on veut résoudre : M D t + C D t + K D t = F ext (t) Comment faire? => 2 SOLUTIONS A) TEMPORELLEMENT (schéma de Newmark) : Récurrence par pas de temps : D n+1 = D n + δ n D n+1 = D n + t D n + t2 4 D n + D n+1 D n+1 = D n + t 2 D n + D n+1 F dyna = K dyna δ n Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -11-

12 AVANTAGES : Matrice K quelconque : marche aussi en non linéaire (comportement élastoplastique ET/OU en grands déplacements) Prise en compte d amortisseur «ponctuel», y compris non linéaire (ie. c d α ) dans la matrice C On connaît vraiment D(t) à chaque pas de temps (ie. régime transitoire ET régime permanent) INCONVENIENTS : Long, voire TREEEEEEES long numériquement Comment calculer C? Stabilité en cas de dynamique rapide? Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -12-

13 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : On commence par s intéresser à M solutions harmoniques D t = Usin(wt + θ) D t + K D t = 0 en cherchant des Ainsi : K w 2 M U = 0 et comme on souhaite U 0 det K w 2 M = 0 On trouve donc n couples (w i, φ i ) : - w i : pulsation propre - φ i : mode propre DONNES PAR LES CONDITIONS INITIALES Et D t = n i=1 λ i φ i sin(w i t + θ i ) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -13-

14 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : Propriétés TRES intéressantes : t φ j Mφ i = t φ j Kφ i = 0 (si i j) Revenons maintenant à M D t + K D t = F ext (t) Et, supposons, plus généralement : D t = n i=1 M n i=1 t φ j M q i (t) φ i + K n i=1 n i=1 q i (t) φ i + t φ j K q i (t) φ i = F ext t n i=1 q i (t) φ i q i (t) φ i = m j q j t + k j q j t = t φ j F ext (t) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -14-

15 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : Avec : m j q j t + k j q j t = t φ j F ext t q j t + w j 2 q j t = f j t m j - m j : masse généralisée du mode j - k j : raideur généralisée du mode j - f j (t) : force généralisée du mode j - w j : pulsation propre du mode j Logiquement, si on résout l équation «libre» on retrouve nos sinus Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -15-

16 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : Sauf qu on sait qu il y a un amortissement C On va donc «bricoler» les équations modales en ajoutant un terme : ξ j = q j t + w 2 j q j t = f j t q m j t + 2ξ j w j q j t + w 2 j q j t = f j t j m j c j amortissement modal qui permet de «coller» à la réalité 2m j w j Il est donné en fonction du matériau, et imposé aux n équations modales découplées Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -16-

17 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : En commençant par résoudre cette équation seulement pour des chargements harmoniques : q j t + 2ξ j w j q j t + w 2 j q j t = f j sin wt m j On démontre : q j t = e ξ jw j t A cos w Dj t + B sin w Dj t + f j 1 k j 2 1 β 2 1 β 2 2 j sin wt 2ξ j β j cos(wt) j + 2ξ j β j w Dj = w j 1 ξ j 2 w j (pour "nos" ξ j 0.1%, 5% ) β j = w wj REGIME TRANSITOIRE REGIME PERMANENT Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -17-

18 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : En «négligeant» le régime transitoire qui s amortit «vite» : q j t f j 1 k j 2 1 β 2 1 β 2 2 j sin wt 2ξ j β j cos(wt) j + 2ξ j β j Avec : - D ξ, β = - q j t f j k j D ξ j, β j 1 1 β ξβ f j k j : réponse «quasi statique» du mode - θ ξ, β = atan 2ξβ 1 β 2 sin wt θ ξ j, β j 2 : coefficient d amplification dynamique : déphasage entre excitation et réponse Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -18-

19 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : D ξ, β : coefficient d amplification dynamique Résonant module * Ki module de la fonction de transfert pour différents amortissements Pic H =1/(2.ξ) 5 Quasi-statique fréquence réduite w/w0 xi=0.001 xi=0.005 xi=0.01 xi=0.05 xi=0.1 Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -19-

20 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : θ ξ, β : déphasage entre excitation et réponse phase de la fonction de transfert pour différents amortissements En opposition F~M.Y En quadrature F~C.Y En phase F~K.Y phase (deg.) fréquence réduite w/w0 xi=0.001 xi=0.005 xi=0.01 xi=0.05 xi=0.1 Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -20-

21 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : n Une fois tous les q j (t) connu, on revient à D t = j=1 q j (t) φ j Que faire si F ext (t) n est pas harmonique, tout en étant DETERMINISTE? Si périodique non-harmonique (créneau par ex.) => série de Fourier (et comme précédemment en sommant les différentes harmoniques) Si quelconque => transformée de Fourier, multiplication par la fonction de transfert, et transformée de Fourier inverse (MAIS quid de la stationnarité ) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -21-

22 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : Que faire si F ext (t) est ALÉATOIRE? SEISME : on fait appel aux spectres de réponses qui donnent directement soit q j,max = max q j t soit q j,max = w 2 j q j,max Puis on recombine les modes par SRSS ou CQC (cf. cours d A. Pecker) VENT TURBULENT : on fait appel aux densités spectrales de puissance des vitesses de la turbulence (je rentre pas dans les détails ) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -22-

23 B) SPECTRALEMENT (à l aide des modes propres) : AVANTAGES : TREEEEEEES rapide On évite la création de C ET on impose l amortissement modal exact On peut ne travailler que sur certains modes et éviter d être «polluer» par des fréquences non voulues INCONVENIENTS : Ne marche qu en LINEAIRE!!! Ne fournit QUE les résultats maximaux/minimaux (pas de transitoire) Ne permet pas de prendre en compte les amortisseurs ponctuels (appuis visqueux sur piles de pont par exemple) Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -23-

24 Et C TEMPORELLEMENT dans tous ça??? M D t + C D t + K D t = F ext (t) Comme on aime les modes propres on aimerait bien qu ils soient également orthogonaux à C GROSSE HYPOTHESE (due à Rayleigh) : C = αm + βk α et β se calculent en se «calant» sur deux modes α = 2ξw 1w 2 β = w 1 +w 2 2ξ w 1 +w 2 Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -24-

25 Etude dynamique sous passage de piétons MODULE CISAIL cipal.0 deg 003E E-01 3m P Y 380E E-01 Y m C G Z 1m L Mercredi 26 novembre 2014 ENPC -25-