Leçon - Déplacement. Qu est-ce que le déplacement?

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1 Leçon - Déplacement L applet Déplacement montre les positions initiale et finale, le déplacement et la distance parcourue pour une balle qui est déplacée d un point à un autre. Préalables L élève devrait avoir une connaissance pratique des vecteurs, du théorème de Pythagore et des fonctions trigonométriques élémentaires applicables à un triangle rectangle. Résultats d apprentissage L élève pourra définir et calculer la distance (quantité scalaire) et le déplacement (quantité vectorielle). Il pourra aussi calculer le déplacement d après un changement de position et additionner numériquement deux déplacements dans un espace à deux dimensions. Directives L élève devrait connaître les fonctions de l applet telles que décrites dans l option Aide. Un grand nombre de directives point par point présentées dans le texte doivent être exécutées dans l applet. Contenu Qu est-ce que le déplacement? Calcul d un déplacement Distance parcourue Somme de deux déplacements Qu est-ce que le déplacement? Qualitativement, le déplacement est un changement de position. Il est facile d illustrer un changement de position au moyen de l applet. 1. Réinitialise ( ) l applet. 2. Active le quadrillage ( ). 3. Place ( ) la balle à (x,y) i = (10,0, -15,0) m. Physique 1 de 9

2 4. Fais glisser la balle le long d une trajectoire courbe jusqu à proximité de (x,y) f = (- 18,0, -8,9) m. Il pourrait être difficile de s arrêter exactement à la même position finale. Tu pourrais essayer de faire glisser la balle le long d une trajectoire courbe semblable à la trajectoire bleue représentée à la figure 1 ci-après. Si tu as déplacé la balle de (x,y) i = (10,0, -15,0) m jusqu à proximité de (x,y) f = (-18,0, -8,9) m, un vecteur de déplacement vert semblable à celui de la figure 1 s affichera dans l applet. Ce vecteur est une mesure du changement de position de la balle. Figure 1 Inscris ci-dessous le déplacement et la distance parcourue tels qu indiqués dans l applet. a) Déplacement (d, θ) = Distance parcourue (s) = Répète la procédure en cliquant sur Rcommencer ( ). Fais glisser la balle le long d une trajectoire différente jusqu aux mêmes coordonnées finales. De nouveau, inscris le déplacement et la distance parcourue ci-dessous. b) Déplacement (d, θ) = Distance (s) = Quelle valeur (distance ou déplacement) a changé significativement et laquelle est demeurée constante dans les deux cas? Explique. Quantitativement, le déplacement d un objet qui subit un mouvement est le vecteur qui pointe de la position initiale vers la position finale, quelle que soit la trajectoire suivie Physique 2 de 9

3 durant le mouvement. Le déplacement est une quantité vectorielle dont la grandeur (valeur absolue) est égale à la distance en ligne droite entre la position initiale et la position finale. La longueur de la flèche tracée à la figure 2 représente la grandeur du vecteur déplacement. La direction de ce dernier correspond à la direction allant de la position initiale à la position finale. La direction du vecteur déplacement représenté à la figure 2 est mesurée par l angle θ compris entre la flèche et l axe positif des x. Le symbole du déplacement est. Lorsqu on écrit le symbole à la main, il faut inclure la notation vectorielle (une flèche au-dessus de la lettre ). Figure 2 Calcul d un déplacement Pour calculer le déplacement, on utilise les positions initiale et finale de l objet. Exemple de problème : Un objet initialement à la position (x, y) i = (10,0, -15,0) m se déplace jusqu à la position finale (x, y) f = (-18,0, -8,9) m. Calcule le déplacement de l objet. Solution : Commence par tracer un diagramme montrant toutes les quantités pertinentes, tel qu illustré à la figure 3. Figure 3 Le vecteur déplacement possède une composante x (déplacement le long de l axe des x) égale à la variation de la position x. x = x f - x i = (-18,0) - (10,0) = -28,0 m (1) Le vecteur déplacement possède aussi une composante y (déplacement le long de l axe des y) égale à la variation de la position y. y = y f - y i = (-8,9) - (-15,0) = 6,1 m (2) Physique 3 de 9

4 Le triangle que forment ces deux composantes et le vecteur résultant est un triangle rectangle, si bien qu on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la grandeur du déplacement. (3) Pour calculer la direction du déplacement relativement à l axe positif des x, commence par calculer son complément α (voir la figure 3). (4) Enfin, au moyen de la figure 3, détermine comment calculer α. θ = 180 o - θ = ,29 = 167,7 o (5) Note : Lorsqu on calcule un déplacement, il ne suffit pas de calculer la grandeur, comme au résultat (3). Le déplacement est un vecteur et sa grandeur ne le définit pas complètement. La direction d un vecteur est tout aussi importante. Donc, seule la combinaison des résultats (3) et (5) donne une description complète du déplacement total. Calcule le déplacement (grandeur et direction) de la balle à partir des directives suivantes. 1. Réinitialise ( ) l applet et active le quadrillage ( ). 2. Place ( ) la balle à (x,y) i = (10,0, -10,0) m. 3. Fais glisser la balle le long de toute trajectoire courbe jusqu à proximité de (x,y) f = (-18,0, -10,0) m. Affiche ton travail et vérifie ta réponse avec l applet. (6) Physique 4 de 9

5 Calcule le déplacement (grandeur et direction) de la balle à partir des directives suivantes. 1. Réinitialise ( ) l applet et active le quadrillage ( ). 2. Place ( ) la balle à (x,y) i = (-10,0, +10,0) m. 3. Fais glisser la balle le long de toute trajectoire courbe jusqu à proximité de (x,y) f = (+15,0, -10,0) m. Affiche ton travail et vérifie ta réponse avec l applet. Distance parcourue La distance parcourue par la balle est définie comme étant la longueur de la trajectoire réelle parcourue par la balle. Si tu places une corde sur la trajectoire bleue de la figure 1 et que tu mesures sa longueur, tu détermineras la distance parcourue par la balle. La distance parcourue est représentée par le symbole s. Peut-il arriver que la distance parcourue soit inférieure à la grandeur du déplacement? Pour répondre à cette question, fais glisser la balle vers diverses positions dans l applet et compare la distance parcourue (s) à la grandeur du déplacement (d). Essai 1 distance (s) : m déplacement (d) : m Essai 2 distance (s) : m déplacement (d) : m Essai 3 distance (s): m déplacement (d) : m En général, la distance parcourue est la grandeur du déplacement. Les deux sont égales uniquement si la trajectoire suivie est une ligne et qu elle est parcourue suivant une seule direction (sans retour en arrière). La distance parcourue, comme la distance entre deux points, est une quantité scalaire, contrairement au déplacement, qui est une quantité vectorielle. Explique la différence entre la distance (quantité scalaire) et le déplacement (quantité vectorielle). Somme de deux déplacements Deux déplacements successifs ( 1 et 2) ou plus peuvent être additionnés pour trouver le déplacement total. Il est facile de l illustrer au moyen de l applet. 1. Dans l applet, active le quadrillage ( ). 2. Fixe la position initiale de la balle ( ) à (x,y) i = (10,0, -15,0) m ou clique sur Recommencer. Physique 5 de 9

6 3. Appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle horizontalement jusqu à (x,y) C = (-20,0, -15,0) m, ou à proximité de ce point, puis relâche le bouton de la souris. (Il peut être difficile de placer la balle exactement à ce point, mais cela n a pas d importance.) Il s agit du premier déplacement, De nouveau, appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle verticalement de (x,y) C = (-20,0, -15,0) m à (x,y) f = (-20,0, 10,0) m. Il s agit du deuxième déplacement, Utilise la commande Données ( ) pour afficher les vecteurs de position et les données supplémentaires. Assure-toi que l affichage correspond à la figure 4 ci-dessous. Figure 4 La figure 4 montre le point intermédiaire C, mais non les deux vecteurs de déplacement 1 et 2. Ceux-ci sont représentés à la figure 5 ci-après. Physique 6 de 9

7 Figure 5 Comment calcule-t-on la grandeur d du déplacement total? La grandeur (d) n est pas égale à la somme des grandeurs des déplacements individuels (d 1 + d 2 = 30,0 + 25,2 = 55,2 m). Trouve le nombre 55,2 m dans la figure 5. La somme des grandeurs est :. Comment calcule-t-on la grandeur (d) du déplacement total? Les trois déplacements ( 1, 2 et ) forment un triangle rectangle dont l hypoténuse est le résultat du déplacement. Par conséquent, on utilise le théorème de Pythagore tel qu illustré par l équation (7). (7) Ce résultat est nettement plus bas que la distance parcourue (la somme des grandeurs des déplacements individuels est égale à 55,2 m). Avons-nous calculé le déplacement total? Non! Nous devons donc calculer la direction du déplacement. On peut se servir de l angle α entre le déplacement total et l axe positif des x pour indiquer la direction. Le calcul est semblable à celui des équations (4) et (5). En utilisant la loi des tangentes (tan α = (opp./adj.)) et les valeurs pour 1 et 2, calcule la direction du déplacement total par rapport à l axe positif des x. Dans le diagramme qui suit, la direction est illustrée par l angle α. Vérifie ta réponse en utilisant les données affichées à la figure 5. Physique 7 de 9

8 et Calcule le déplacement total ( ) de deux déplacements successifs ( 1 2) à partir des directives suivantes. 1. Dans l applet, active le quadrillage ( ). 2. Fixe la position initiale de la balle ( ) à (x,y) i = (10,0, -10,0) m. 3. Appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle horizontalement jusqu à (x,y) C = (-20,0, -10,0) m, ou à proximité de ce point, puis relâche le bouton de la souris. (Il peut être difficile de placer la balle exactement à ce point, mais cela n a pas d importance.) Il s agit du premier déplacement, De nouveau, appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle verticalement de (x,y) C = (-20,0, -10,0) m à (x,y) f = (-20,0, 10,0) m. Il s agit du deuxième déplacement, 2. Utilise la commande Données ( réponse. ) pour afficher les vecteurs de position et vérifie ta et Calcule le déplacement total ( ) de deux déplacements successifs ( 1 2) à partir des directives suivantes. 1. Dans l applet, active le quadrillage ( ). 2. Fixe la position initiale de la balle ( ) à (x,y) i = (-10,0, -10,0) m. 3. Appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle horizontalement jusqu à (x,y) C = (0,0, -10,0) m, ou à proximité de ce point, puis relâche le bouton de la souris. (Il peut être difficile de placer la balle exactement à ce point, mais cela n a pas d importance.) Il s agit du premier déplacement, De nouveau, appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle verticalement de (x,y) C = (0,0, -10,0) m à (x,y) f = (0,0, +5,0) m. Il s agit du deuxième déplacement, 2. Physique 8 de 9

9 Utilise la commande Données ( réponse. ) pour afficher les vecteurs de position et vérifie ta et Calcule le déplacement total ( ) de deux déplacements successifs ( 1 2) à partir des directives suivantes. 1. Dans l applet, active le quadrillage ( ). 2. Fixe la position initiale de la balle ( ) à (x,y) i = (0,0, 0,0) m. 3. Appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle horizontalement jusqu à (x,y) C = (-15,0, 0,0) m, ou à proximité de ce point, puis relâche le bouton de la souris. (Il peut être difficile de placer la balle exactement à ce point, mais cela n a pas d importance.) Il s agit du premier déplacement, De nouveau, appuie sur la touche Majuscule et, en la maintenant enfoncée, fais glisser la balle verticalement de (x,y) C = (-15,0, 0,0) m à (x,y) f = (-15,0, 10,0) m. Il s agit du deuxième déplacement, 2. Utilise la commande Données ( réponse. ) pour afficher les vecteurs de position et vérifie ta Physique 9 de 9