Chapitre 9. Transferts thermiques

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1 Chapite 9 Tansfets themiques Intoduction Jusqu'à pésent, nous n'avons considéé un flux de chaleu qu'au taves des effets qu'il pouvait avoi su l'énegie intene, l'enthalpie ou l entopie d'un système themodynamique. Indépendamment de cet aspect qui est elatif aux bilans et aux pincipes de la Themodynamique, on peut étudie la façon dont s'établit un flux de chaleu et en déduie une expession de ce denie. C'est l'objectif de ce chapite intoductif aux Tansfets themiques. On distingue classiquement tois modes de tanspot de l'énegie themique : la conduction ; la convection ; le ayonnement. Nous n'étudions ici que les deux pemies modes de tansfet.. La conduction La conduction est un mode de tanspot qui se poduit au sein de la matièe immobile au niveau macoscopique. Il s'agit d'un phénomène de popagation analogue à la conduction de l'électicité. Il est donc plus facile d'envisage le phénomène de conduction dans le cas des solides, cependant celle-ci se poduit aussi dans les gaz et les liquides. Pou ces phases fluides, la conduction est en généal accompagnée de mouvements intenes, appelés convectifs, qui endent l'étude du phénomène conductif plus difficile expéimentalement. Ces mouvements sont dus aux difféences de masse volumique engendées pa les difféences de tempéatues : les potions de fluide chaud ont alos tendance à s'éleve comme le fait une Montgolfièe, sous l'effet des foces d'achimède... Mise en contact de deux cops à tempéatues difféentes Nous avons déjà considéé cette situation plusieus fois. Losqu'on met en contact deux cops isolés solides à tempéatues difféentes, on constate que ces denièes tendent à deveni égales : c'est l'équilibe themique. U, T U 2, T 2 Figue 9. : Mise en contact de deux solides en déséquilibe themique.

2 63 Le système étant globalement isolé, son énegie intene totale U + U 2 este constante au cous du pocessus. Il y a simplement tansfet d'énegie d'un cops ves l'aute, ce tansfet cessant losque l'équilibe est atteint. Si maintenant on souhaite alle plus loin dans la desciption et calcule pa exemple l'évolution tempoelle des tempéatues T et T 2, la simple écitue du bilan d'énegie U + U 2 = cte ne suffit pas si on ne se donne pas une epésentation indépendante du flux de chaleu qui tansite ente les deux cops..2. Popagation de la chaleu dans une bae métallique Si on met au contact d'une flamme à tempéatue élevée l'extémité d'une bae métallique (cf. figue 9.2), on constate que la tempéatue de l'aute extémité s'élève aussi. T x t Figue 9.2 : Popagation de chaleu dans une bae métallique. On peut en déduie que l'énegie themique founie pa la flamme se popage le long de la bae. On conçoit aussi, comme dans l'exemple pécédent, que c'est pace que la tempéatue de la flamme est plus élevée que celle de la bae que l'énegie themique se popage ainsi..3. La tempéatue : foce motice du tansfet de chaleu C'est bien pace que la tempéatue des milieux mis en contact sont difféentes que naît un flux de chaleu dont la tendance est de amene les cops à l'équilibe themique. On dit que la tempéatue est la foce motice du tansfet de chaleu. Invesement, tout tansfet cesse si la tempéatue dans un système est unifome. L'idée vient alos de considée que le flux de chaleu est une fonction de la vaiation spatiale de la tempéatue : losque cette vaiation spatiale est nulle, le flux est nul. La notion mathématique qui pemet de ende compte de cette notion de vaiation spatiale est la notion de gadient. Nous allons intoduie pogessivement cette notion dans le cas paticulie du gadient de tempéatue..4. Analyse de la situation dans le cas d'une seule dimension.4.. Mise en évidence de la notion de gadient Considéons un cops solide de fome allongée tel que la bae métallique epésentée figue 9.2. On peut en pemièe appoximation faie l'hypothèse que la tempéatue ne dépend que de la vaiable d'espace x et le cas échéant du temps t. ( ) et considéons la Plaçons nous en un point donné x de la bae où la tempéatue est T x,t tempéatue d'un point tès poche de x où la tempéatue est T( x + e,t) (cf. figue 9.3). Ayant admis que la tempéatue est la foce motice du tansfet de chaleu, on conçoit que le flux de chaleu qui existea au point x sea d'autant plus gand que la difféence T( x + e,t) - T( x,t) appotée à la distance e sea gande.

3 64 A x Figue 9.3 : Notion de gadient dans le cas monodimensionnel. On est ainsi conduit à pose que, le flux de chaleu dans la diection x, est popotionnel à T( x + e,t) - T( x,t) la quantité et que cette quantité sea d'autant plus epésentative du flux e au point x que e est petit. On aive alos natuellement à considée que le flux de chaleu est T x + e,t popotionnel à lim ( ) - T( x,t) = T e x ( x, t) qui n'est aute que la déivée de T pa e Æ 0 appot à la vaiable d'espace x à un instant donné t : c'est pa définition la déivée patielle de T pa appot à x. Pa ailleus, la chaleu se popageant dans le sens des tempéatues décoissantes, si T( x + e,t) > T( x, t), le flux de chaleu sea diigé dans la diection des x décoissants et invesement si T( x + e,t) < T( x, t). La diection du flux est donc opposée au signe de la quantité T T. Si > 0, la tempéatue a tendance à augmente avec x et le flux x x est diigé dans le sens des x décoissants et invesement si T x < Expession du flux dans le cas monodimensionnel : elation de Fouie x+e Fouie a posé que le flux de chaleu dans la diection x est popotionnel à T x selon la elation : = -la T x ( W ) (9.) où A est la section tansvesale de l objet considéé (cf. figue 9.3). Le signe - pemet de teni compte du fait que la chaleu se popage dans le sens des tempéatues décoissantes alos qu'on peut monte que le vecteu gadient est oienté dans le sens opposé. Le coefficient de popotionnalité l s'appelle la conductivité themique du milieu considéé. C'est a pioi une quantité susceptible de vaie avec la tempéatue, la pession, la composition et qui pend des valeus assez difféentes dans les gaz, les liquides et les solides. Son unité dans le système intenational est le W.m -.K -. A pati de la elation (9.), on peut défini le flux de chaleu pa unité de suface ou densité de flux J x dans la diection x : J x = -l T x ( ) W.m-2 (9.2) A tite indicatif, on donne quelques valeus de l dans le tableau 9. ci-dessous. Il y a gossièement un facteu 0 ente la conductivité themique des gaz et des liquides et un facteu 00 ente celle des liquides et celle des solides. On obseve cependant de gandes vaiations de cette popiété en fonction de la natue du cops.

4 65 Composé Tempéatue ( C) Conductivité themique l (W.m -.K - ) Cuive (solide) 0 386,2 Cuive (solide) ,4 Fe (solide) 20 73,27 Eau liquide (ba) 20 0,598 Eau liquide ( ba) 00 0,682 Vapeu d'eau ( ba) 00 0,0245 Vapeu d'eau ( ba) 500 0,0673 Ai 20 0,0252 Ai 00 0,0307 Tableau 9. : Quelques valeus de conductivités themiques (Aide mémoie du Themicien, Editions Euopéennes Themique et Industie, 982).5. Généalisation au cas à tois dimensions.5.. Expession de la densité de flux selon la elation de Fouie On a implicitement admis pécédemment que le flux est une vaiable caactéisée pa une valeu et une diection. C'est donc un vecteu. Pa ailleus, il appaaît assez natuel de amene ce flux à l'unité de suface dans la mesue où, toutes choses égales pa ailleus, il sea d'autant plus élevé que la suface concenée est élevée : le vecteu flux pa unité de suface, qui sea noté J ici, est la densité de flux en W.m -2 dans le système intenational. Fouie a posé que cette densité de flux est colinéaie à un vecteu qui généalise à l'espace à tois dimensions la notion de vaiation spatiale de la tempéatue telle que nous l'avons intoduite dans le paagaphe pécédent : ce vecteu est le gadient de tempéatue noté ga d( T) dont les coodonnées sont dans un système de coodonnées catésiennes : ( ) = g a d T Ê Tˆ Á Á x T Á Á y T Á Ë z La elation de Fouie est alos : ( K.m - ) (9.3) J = -lg a d T ( ) (W.m -2 ) (9.4).5.2. Expession du flux tavesant une suface da Considéons un élément de suface da en un point quelconque d'un système. Si le vecteu densité de flux est J en ce point, on conçoit aisément que suivant l'oientation de la suface da, epésentée pa un vecteu unité n nomal à cette suface, le flux qui la tavese

5 66 est plus ou moins élevé. Ainsi, si la densité de flux est tangente à la suface da, c'est à die pependiculaie à n, le flux est nul. J n da Figue 9.4 : Flux tavesant une suface da caactéisée pa sa nomale. Le flux de chaleu df n qui tavese la suface da est simplement donné pa le poduit scalaie : df n = J n da (W) (9.5) qui est bien nul si J est pependiculaie à n c'est à die tangent à da. Pa ailleus, le signe de df n indique la diection du flux. Si df n > 0, le flux est oienté suivant n et invesement si df n < Méthode généale d'établissement des équations pemettant la ésolution d'un poblème de tansfet de chaleu pa conduction Il s agit de echeche l'évolution tempoelle et spatiale de la tempéatue dans un système immobile siège d'un tansfet de chaleu. Nous avons jusqu'à pésent mis en évidence deux notions tès impotantes : la notion généale de bilan d'énegie ; dans le cas de la conduction, l'expession du flux de chaleu selon la elation de Fouie. En combinant ces deux outils, on peut taite ce type de poblème en établissant une équation dont la tempéatue echechée est solution. Dans le cade de ce cous intoductif, il n'est question que de taite des cas assez simples : en paticulie, nous nous esteindons à l'analyse de systèmes en égime pemanent et mono dimensionnels, c est à die à une seule vaiable d espace..7. Exemples d'application de la méthode.7.. Tansfet de chaleu pa conduction dans une plaque plane de gande dimension On considèe une plaque plane telle que epésentée figue 9.5. Cette plaque peut pa exemple epésente le mu d'une maison. Elle a une épaisseu e et une suface latéale A. Compte tenu de sa fome, on peut suppose, comme dans le cas d'une bae allongée, que la tempéatue ne vaie qu'avec x. On se place pa ailleus en égime pemanent donc on ne considèe pas l'évolution tempoelle de la tempéatue. L'objectif est de connaîte l'évolution de la tempéatue dans la plaque avec x ou pofil de tempéatue T( x) et de connaîte le flux de chaleu qui tavese la plaque selon la diection x.

6 67 dx A T pi T pe 0 e x J x (x) J x (x+dx) dx Figue 9.5 : Le poblème de la conduction en égime pemanent dans une plaque plane. Le ésultat qu'on va obteni est effectivement utilisé pa les ingénieus chagés de pévoi les besoins en chauffage des bâtiments pa exemple. L'équation dont T( x) est solution ésulte du bilan d'énegie associé à la elation de Fouie. Sépaons bien ces deux temps de l'établissement de l'équation Bilan d'énegie On considèe une tanche de solide d'épaisseu dx telle que epésentée figue 9.5. C'est note système selon la teminologie de la themodynamique. Pou qu'il s'agisse d'un système themodynamique, appelons qu'il doit malgé tout ête suffisamment épais pou conteni un nombe de paticules élémentaies tel que les notions macoscopiques utilisées ont un sens. La seule énegie échangée pa ce système est l'énegie themique selon le pocessus de la conduction. Le bilan s'écit alos : J x ( x)a = J x ( x + dx)a (9.6) où J x est la densité de flux suivant l axe x. En utilisant le développement de Taylo à l'ode de J x +dx, on a : J x ( x + dx) ª J x ( x) + dj x dx (9.7) dx En epotant (9.7) dans (9.6), on touve finalement que : dj x dx = 0 (9.8) Pise en compte de la elation de Fouie En epotant dans le bilan (9.8) l expession du flux (cf. elation (9.2)) donnée pa Fouie, on touve la elation echechée : Ê d -l dt ˆ Ë dx dx = 0 (9.9)

7 Cas paticulie où l = cte : pofil de tempéatue et expession du flux L'équation (9.9) devient : d 2 T dx 2 = 0 (9.0) dont la solution est simplement : T( x) = ax + b. Les constantes a et b sont calculées en fixant ce qu'on appelle des conditions aux limites. Pa exemple, si on suppose que les tempéatues de la plaque sont fixées en x=0 et x=e, espectivement T pi et T pe (cf. figue 9.5), on touve facilement les expessions de a et b et le pofil de tempéatue est : ( ) = Á T pe - T pi T x Ê Á Ë e ˆ x + T (9.) pi Finalement, on calcule le flux selon la elation de Fouie : Ê ˆ = -la dt dx = -la Ê T pe - T pi ˆ Á Á = T pi - T pe Á Ë e e (W) (9.2) Á Ë la La quantité = e la (K.W - ) s'appelle la ésistance themique de la plaque pa analogie avec la ésistance électique d'un conducteu. Le flux de chaleu est alos analogue à l intensité du couant et la tempéatue à la tension électique Tansfet de chaleu pa conduction dans un tube de gande longueu On considèe un cylinde ceux de longueu L, de ayon intéieu R i et de ayon extéieu R e (figue 9.6). J () J (+d) d R i R e Figue 9.6 : Le poblème de la conduction en égime pemanent dans un cylinde.

8 69 Ce cylinde peut epésente une canalisation de tanspot d eau de chauffage cental pa exemple. La longueu L est supposée tès supéieue aux ayons R i et R e. De ce fait, la tempéatue ne dépend que de la position adiale. L'objectif est de connaîte l'évolution de la tempéatue dans le tube avec (ou pofil de tempéatue T( )) et de connaîte le flux de chaleu F qui tavese le tube. Le ésultat qu'on va obteni est effectivement utilisé pa les ingénieus chagés de pévoi les petes de chaleu dans des canalisations pa exemple. L'équation dont T( ) est solution ésulte toujous du bilan d'énegie associé à la elation de Fouie Bilan d'énegie On considèe une tanche de solide de fome cylindique et d'épaisseu d telle que epésentée figue 9.6. La seule énegie échangée pa ce système est l'énegie themique selon le pocessus de la conduction. Le bilan s'écit alos : J ( )2PL = J ( + d)2p( + d)l (9.3) où J est la pojection du vecteu densité de flux suivant le seul axe petinent,. En utilisant le développement de Taylo à l'ode de J + d ( ), on a : J ( + d) ª J ( ) + dj d (9.4) d En epotant (9.4) dans (9.3), les temes en d 2 finalement que : étant toujous négligés, on touve dj d + J = 0 Le bilan se met aussi sous la fome : d( J ) = 0 d (9.5) Pise en compte de la elation de Fouie Cette elation devient le long de l'axe : J = -l dt d (W.m-2 ) (9.6) soit en epotant dans le bilan (9.5) la elation echechée : Ê d -l dt ˆ Ë d d = 0 (9.7)

9 Cas paticulie où l = cte : pofil de tempéatue et expession du flux F L'équation (9.7) devient : Ê d dt ˆ Ë d d = 0 (9.8) dont la solution est obtenue en intégant deux fois l équation (9.8) : Ï dt dt = a soit d d = a Ì Ó T( ) = aln + b (9.9) Les constantes a et b sont calculées en fixant les conditions aux limites. On suppose que les tempéatues du tube sont fixées en =R i et =R e, espectivement à T pi et T pe (cf. figue 9.6). On touve alos les expessions de a et b et le pofil de tempéatue est : ( ) = T pi - T pe T Ê Ê Ln R LnÁ ˆ + Tpi (9.20) Á i ˆ Ë R i Ë R e Finalement, on calcule le flux selon la elation de Fouie F = -l2p L dt d soit : F = T pi - T pe 2PlL Ln Ê R ˆ e Á Ë R i (W) (9.2) On touve bien que le flux F est constant du fait de l'hypothèse initiale de égime stationnaie. Il n'en est pas de même de la densité de flux J qui diminue losque augmente du fait de la coissance de la suface offete au flux de chaleu avec. La quantité = 2PlL Ln Ê R ˆ e Á (K.W - ) est la ésistance themique de conduction du tube. Ë R i 2. Le tansfet de chaleu pa convection : notion de coefficient de tansfet de chaleu ente un fluide et une paoi 2.. Position du poblème Il existe de nombeuses situations patiques où un solide est au contact d'un fluide à une tempéatue difféente. Pa exemple, considéons le mu d'une maison au taves duquel on souhaite évalue le flux de chaleu (c'est un calcul nécessaie pou estime les besoins de chauffage). On se donne la tempéatue intéieue de la maison T i et la tempéatue extéieue T e, c'est à die les tempéatues de l'ai loin de la paoi et non pas les tempéatues de suface de la paoi T pi et T pe. Si on veut calcule le flux, il est nécessaie de epésente l'étape de

10 7 tansfet de chaleu ente l'ai et la suface du mu : la notion de coefficient de tansfet de chaleu a pou but une telle epésentation Mécanismes de tansfet de chaleu pa convection ente un fluide et une paoi La difficulté vient du fait qu'un fluide siège de tansfets de chaleu est aement immobile. On peut le mette en mouvement pa un moyen mécanique extéieu : pa exemple, on fait cicule l'eau dans les adiateus de chauffage des bâtiments à l'aide de pompes (figue 9.7). On pale dans ce cas de convection focée ente le fluide en mouvement et la paoi considéée. De tels mouvements naissent aussi natuellement du fait des foces d'achimède. Ainsi, losqu'on egade l'hoizon dans un déset, les images du lointain sont floues et appaaissent en mouvement : c'est l'ai qui, au contact du sable chaud, s'élève du fait que sa densité diminue avec la tempéatue. Ecoulement dans une canalisation : convection focée Figue 9.7 : Mécanismes de la convection themique. Si on veut décie de façon détaillé ces mécanismes, il faut ésoude un gand nombe d'équations d'une gande complexité. Une appoche plus globale et à caactèe empiique consiste à défini un coefficient qui globalise l'ensemble des phénomènes : ce denie est mesué Définition du coefficient d'échange de chaleu a Considéons une paoi de fome quelconque, plaçons nous en un point de cette paoi où la tempéatue est T p et considéons le fluide situé à ce niveau de la paoi mais loin de celleci : sa tempéatue est notée T (figue 9.8). Fluide Ai au contact d'une plaque chaude : convection natuelle T T p n Solide Figue 9.8 : Notion de coefficient de tansfet de chaleu pa convection. L'idée est que, quelle que soit la complexité du mécanisme de tansfet ente le fluide et la paoi, le flux de chaleu ente ces deux zones este popotionnel à l'écat de tempéatue. Le coefficient de tansfet de chaleu a est alos défini comme suit :

11 72 ( ( ) = T - T p ) J n = a T p - T a (W.m -2 ) (9.22) a peut ête vu comme une conductance themique pa unité de suface et son invese comme une ésistance themique pa unité de suface. La densité de flux J n est pependiculaie à la paoi solide, c'est à die colinéaie au vecteu nomal à la suface. Si T p > T, la densité de flux est oientée depuis le solide ves le fluide et si T p < T, la densité de flux est oienté depuis le fluide ves la paoi. Compte tenu de l'unité de J n (W.m -2 ), le coefficient a s'expime en (W.m -2.K - ) dans le système intenational. Nous donnons dans le tableau 9.2 quelques odes de gandeus de a. Situation a (W.m -2.K - ) Convection natuelle Dans les gaz 3 à 20 Dans les liquides 00 à 600 Convection focée Dans les gaz 0 à 00 Dans les liquides visqueux 50 à 500 Dans l eau 500 à 0000 Tableau 9.2 : Ode de gandeu du coefficient de tansfet de chaleu pa convection a (Bid, Stewat, Lightfoot, Tanspot phenomena, Wiley and Sons, 960) Il n est pas dans l objectif de ce cous d alle plus loin dans l étude du phénomène de convection. Il existe dans les ouvages spécialisés en Tansfet Themique des elations pemettant de calcule a dans diveses situations. Il suffit pou l instant d avoi compis sa définition et les phénomènes qu il epésente. 3. Calcul des flux de chaleu dans des plaques ou paois composites : exploitation de l'analogie électique Ces calculs constituent des exemples des elations étudiées pécédemment et s appliquent à des situations patiques comme : le calcul des besoins en chauffage d un bâtiment ; le calcul des petes de chaleu d une canalisation ; etc. Les elations qui vont ête mises en évidence sont basées su l analogie ente la ésistance électique de cicuits de type séie ou paallèle et la ésistance themique d un objet. 3.. Plaques planes 3... Plaque multicouche de type séie Le cas typique de cette situation est le mu d un bâtiment composé d une couche de bique, d une couche de plâte et le cas échéant d une couche d isolant themique. Ce mu de

12 73 suface A est au contact d un fluide su ses faces intéieue et extéieue. La situation généale est epésentée figue 9.9. Le flux de chaleu doit tavese plusieus ésistances themiques en séie : i la ésistance themique de convection côté intéieu : = a i A ; la ésistance themique de conduction de chaque couche solide numéotée k k : = e k l k A où e k est l épaisseu de la couche k et l k sa conductivité themique ; e la ésistance themique de convection côté extéieu T i 2. = a e A. T pi T pe x T e Figue 9.9 : Plaque multicouche de type séie. Expimons la difféence des tempéatues intéieue T i et extéieue T e vis à vis des tempéatues intemédiaies : T pi et T pe : les tempéatues des paois intéieue et extéieue ; T pk : les tempéatues de contact ente la couche k- et la couche k. T i - T e = ( T i - T pi ) + ( T pi - T p ) + ( T p - T p2 ) ( T pe - T e ) Compte tenu des elations (9.2) et (9.22), on peut emplace toutes les difféences de tempéatue pa leu elation en fonction du flux qui est commun à toutes les ésistances : R Tot e 2 i Th = Tot et ainsi défini une ésistance themique totale dans tout montage en séie : comme la somme des ésistances comme ( ) Ï = T - T i e Ô R Ì Th Ô Tot e = + Ó Ô Tot (W) 2 + i = a e A + e l A + e 2 l 2 A a i A (K.W - ) (9.23)

13 Plaque multicouche de type paallèle La situation typique est celle d un mu compotant une fenête (cf. figue 9.0). Le flux de chaleu total se patage ente le flux tavesant la fenête et le flux tavesant le mu luimême. Les tempéatues extéieue et intéieue étant de plus communes aux deux paties de la paoi, on se touve dans la situation de ésistances en paallèle. Dans le cas de deux couches et 2 telles que epésentées figue 9.0 ci-dessous pa exemple, on calcule d abod la ésistance de chaque couche, espectivement et R 2 Th. T i T pi T pe T e 2 x Figue 9.0 : Plaque multicouche de type paallèle Chacune de ces ésistances est constituée pa une association en séie convection intéieue conduction - convection extéieue selon la elation (9.22) : Ï Ô Ì Ô Ó Ô 2 = a e A + e l A + a i A (K.W - ) = a e A 2 + e 2 l 2 A 2 + a i A 2 (K.W - ) (9.24) où A et A 2 sont les sufaces des paois et 2, e, e 2 leus épaisseus et l, l 2 leus conductivités themiques. La ésistance totale est ensuite obtenue en expimant que le flux se patage ente les deux banches : = T - T i e + T - T i e (W) 2 soit la elation classique d addition des inveses des ésistances dans un montage en paallèle :

14 75 Ï = T - T i e (W) Tot Ô Ì Ô = + (K.W - ) Tot 2 Ó Ô (9.25) Généalisation Pou une paoi plus complexe constituée de plusieus plaques en paallèles elle-mêmes constituées de plusieus couches, il n y a aucune difficulté à généalise la démache en constuisant le schéma électique équivalent et en calculant la ésistance totale pa application des fomules de combinaison des ésistances des cicuits séie ou paallèle Paoi cylindique multicouche de type séie La démache est igoueusement la même que pécédemment : le seul cas intéessant à taite est celui d'un tube fait de N couches concentiques de matéiaux difféents (typiquement un métal et un isolant themique). Chaque couche oppose sa ésistance themique de conduction à la popagation de la chaleu et on inclut les ésistances themiques associées à la convection intene et extene (cf. figue 9.). Figue 9. : Paoi cylindique multicouche de type séie La tempéatue du fluide situé à l'intéieu du tube est T i et celle à l'extéieu du tube T e. Le ayon intéieu est R i et le ayon extéieu est R e. Les ésistances themiques associées à la i e convection intene et extene sont espectivement = et R 2PR i La Th =. i 2PR e La e Une couche solide numéotée k compise ente les ayons R k- et R k et de conductivité k themique l k pésente une ésistance themique de conduction = 2Pl k L Ln Ê Á R k ˆ (cf. Ë R k - elation (9.2)). Ces ésistances sont associées en séie et le flux F est donné pa la elation suivante : F (W) T i - T e + 2PR i La i 2Pl L Ln Ê R ˆ Á + Ë 2Pl 2 L Ln Ê R ˆ 2 Á Ë 2Pl N L Ln Ê R e Á Ë R i = R R N- ˆ + 2PR e La e (9.26)

15 76 Conclusion Ce chapite n'est qu'une intoduction aux Tansfets Themiques. Les situations étudiées sont cependant tès epésentatives des applications dans le domaine industiel. Ce qu'il faut sutout eteni est la démache d'établissement des équations basée su l'écitue d'un bilan associée à la elation de Fouie. Si cette démache est bien compise, on peut abode d'autes situations plus complexes, en paticulie l étude des égimes tansitoies non taitée ici.