PROBABILITÉS ET STATISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

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1 PROILITÉS ET STTISTIQUE POUR L ENSEIGNEMENT SECONDIRE Ce documet a été rédgé à l occaso d u stage de formato cotue de professeurs de mathématques de trosème et secode e décembre 009 à Toulouse, sute à l troducto des probabltés e trosème. Pla de la présetato 0. Prérequs de statstque - Les etre statstque et probabltés.. Probabltés sur u esemble f. Probablté codtoelle, dépedace e probablté. Varable aléatore, dstrbuto de probablté d'ue varable aléatore ; trasport de lo 4. Modélsato et smulato 5. Varable aléatore réelle ; los dscrètes et los cotues, espérace mathématque et varace 6. Théorèmes lmtes des probabltés (lo des grads ombres et théorème lmte cetral) 7. Estmato par tervalle de coface exes. Taux de reçus au C Toulouse. Les etre fréqueces et probabltés, etre fréqueces codtoelles et probabltés codtoelles.. Dstrbutos de fréquece et dstrbutos de probablté dscrètes et cotues. rbre de probablté - costructo 4. rbre de déombremet et arbre de probablté - exemple 5. Lacer d'ue pèce de moae équlbrée 0 fos de sute 6. Los de probablté usuelles et applcatos 7. Tableau des approxmatos de los de probablté Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

2 Prérequs de statstque Les etre statstque et probabltés Proposto de avgato sur le ste pédagogque : E page d'accuel, o trouvera deux documets : - La statstque : coassace et maîtrse de l'aléatore Il s agt d ue présetato de la statstque e quatre partes : ) Statstque descrptve élémetare (ue ou deux varables) et statstque descrptve multdmesoelle ) Calcul des probabltés ) Statstque féretelle (échatlloage, estmato, tests) 4) Modélsato aléatore - Importace du mode de pesée statstque das le regard scetfque sur le mode Il s agt du premer des sx thèmes de covergece dscplare au collège. Ce documet de deux pages se terme par le problème de la varablté des mesures e physque et chme et par u le sur u documet du ste ttulé Modélsato des erreurs de mesure. Page de la Statstque Descrptve Ouvrr les documets Vocabulare pus Pourcetages pour des mses e garde préalables : des dffcultés d'appretssage de la statstque et des probabltés sot dues à des problèmes de vocabulare, e partculer sur les pourcetages. : Itroducto à la statstque Statstque Descrptve Élémetare (ue ou deux varables), cours et exercces corrgés, e lge, e lbre accès et téléchargeable. Comme o a deux types de varables, catégorelle (ou qualtatve) et réelle (ou quattatve), la statstque u et bdmesoelle est composée de cq partes : - tratemet statstque d'ue varable catégorelle - tratemet statstque d'ue varable réelle - tratemet statstque de deux varables catégorelles - tratemet statstque de deux varables réelles - tratemet statstque d'ue varable catégorelle et d'ue varable réelle Le etre fréqueces e statstque et probabltés Le tratemet statstque de deux varables catégorelles est partculèremet mportat à trodure dès le collège. Les otos de fréqueces de sous-esembles, de fréqueces codtoelles das le cas de deux varables permettet d'trodure : - la logque et les opératos "et", "ou", "o" (et le traval sur le vocabulare de la logque et le vocabulare courat) - les esembles et les opératos "tersecto", "uo", "passage au complémetare" (et l'utlsato des outls de déombremet, dagrammes, tableaux, arbres) Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

3 - les mportates dstctos à fare etre "fréquece de et ", "fréquece de par rapport à ", "fréquece de par rapport à ", pour la formato des ctoyes et pour aborder les probabltés codtoelles et la redoutable formule de ayes. U premer le etre fréqueces et probabltés, etre fréqueces codtoelles et probabltés codtoelles peut être préseté. (cf. aexe. Taux de reçus au C Toulouse). Parallèle etre varable réelle e statstque et varable aléatore réelle e probabltés L'étude des varables réelles dscrètes et cotues (dstrbutos de fréqueces et dagrammes assocés, fréqueces cumulées et focto de répartto, résumés umérques) est ue etrée prvlégée pour l'étude des varables aléatores réelles dscrètes et cotues (cf. aexe, Dstrbutos de fréquece et dstrbutos de probablté dscrètes et cotues).. Probabltés sur u esemble f.. Expérece aléatore O lace u dé cubque équlbré dot les faces sot umérotées de à 6 et o observe le uméro de la face supéreure. O e coaît pas à l'avace le résultat de cette expérece ; o sat seulemet que c'est u ombre eter comprs etre et 6. Cette expérece est appelée "expérece aléatore". Le mot "aléatore" vet du lat "alea" qu sgfe justemet "coup de dé". Le mot "hasard" vet de "az zahr", mot arabe qu sgfe "dé à jouer"! Le mot "expérece" revoe au fat qu'elle est reproductble... Vocabulare des évéemets et vocabulare des esembles L'esemble des résultats possbles d'ue expérece aléatore est appelé "uvers" et souvet oté. Ic o a : = {,,, 6}. Les "évéemets" lés à l'expérece sot detfés à des sous-esembles (ou partes) de l'uvers, par exemple "obter u ombre par" est detfé à l'esemble = {, 4, 6}. O dt que l'évéemet est réalsé s le résultat de l'expérece appartet à. Les évéemets qu 'ot qu'u seul élémet, c'est-à-dre les sgletos de, sot appelés "évéemets élémetares". Ic, o a 6 évéemets élémetares {}, {}, {}, {4}, {5}, {6}. L'évéemet est appelé "évéemet certa" ; e effet, comme c'est l'esemble des résultats possbles, o est certa qu'l sera réalsé à chaque expérece. L'esemble vde est appelé "évéemet mpossble" car o suppose qu'u (et u seul) résultat de est observé à chaque expérece. Il 'est pas possble que se réalset smultaémet les évéemets {,, } et {5, 6} car leur tersecto est vde (esembles dsjots). O dt que deux évéemets detfés à des esembles dsjots sot "compatbles". L'évéemet "cotrare" à u évéemet est so complémetare das, oté. Par exemple, l'évéemet cotrare à l'évéemet = {, 4, 6} est = {,, 5} O appelle système complet d'évéemets de ue partto de, c'est-à-dre u esemble de partes o vdes de, deux à deux dsjots et dot la réuo est. Par exemple {, } et {{}, {}, {}, {4}, {5}, {6}} sot deux systèmes complets d'évéemets de. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

4 .. Probablté d'u évéemet, dstrbuto (ou lo) de probablté sur u esemble, espace probablsé Le fat de dre que le dé est "équlbré" sgfe que l'o a autat de "chace" d'obter le que le ou que le 6. O appelle "probablté" d'u évéemet la part de "chace" de l'évéemet e décdat de doer la probablté à (00% de chace). s, o peut e dédure que l'o a "chace" sur 6 d'obter le ou le ou le 6 ce que l'o exprmera par : la "probablté" d'avor le est /6, de même pour le,, de même pour le 6. La probablté de l'évéemet = {, 4, 6} est alors /6 car cet évéemet est la réuo de évéemets élémetares de probablté /6 chacu. O peut as défr la probablté de tout évéemet (c'est-à-dre, de chacu des sousesembles de ). Il faut dstguer la probablté d'u évéemet partculer P() (réel comprs etre 0 et ) et l'applcato P défe sur l'esemble des partes de qu à u évéemet assoce sa probablté P(). Lorsque est de cardal, l'esemble des partes de est de cardal. 6 Das otre exemple, l esemble des partes de est de cardal. Cette applcato P est appelée dfféremmet probablté sur ou dstrbuto de probablté sur ou lo de probablté sur et elle est complètemet détermée par sa restrcto aux évéemets élémetares (ou sgletos) de, c'est-à-dre das otre exemple, par l'esemble :,,,,,, 4,, 5,, 6, U esemble mu d'ue probablté P sur est appelé espace probablsé. Il s'agt doc d'u esemble podéré qu peut être représeté par u dagramme e barres ou e bâtos. Commetares. La oto de probablté se costrut sur la oto ambgüe de «chace», ambgüe car ce mot est utlsé dfféremmet pour désger des probabltés (ombres comprs etre 0 et ) ou des évetualtés (qu l s agt de déombrer). L dée d attrbuer u ombre comprs etre 0 et pour «mesurer» la chace d obter telle ou telle évetualté est pas évdete et dot être précsée explctemet. Hstorquemet, la oto d espérace mathématque a émergé avat la oto de probablté..4. Dstrbuto de probablté sur u esemble f ; exemples Voc la défto adoptée au lycée. Déftos. Sot, p ; {,..., } où ; {,..., } est u esemble f de cardal et p ; {,..., } u esemble de ombres réels postfs ou uls de somme égale à. Pour tout sous-esemble de, o pose P p. ; Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 4/9

5 Ce ombre est appelé probablté de et l'applcato P as défe sur l'esemble des partes de est appelée probablté (ou dstrbuto de probablté ou lo de probablté) sur. p P mas, af d'alléger Coveto. O a e partculer : pour tout =,,, l'écrture, o pourra écrre p P. Proprétés. O vérfe asémet les proprétés suvates (vsualsato des proprétés grâce aux dagrammes de Ve) : - P, - s et sot deux évéemets compatbles P P P, (deux partes dsjotes), alors so P P P P, - P P, - P 0, - s alors P P. S {,..., r } est u système complet d'évéemets (ue partto) P P... P r de et u évéemet, alors Cas partculer : l'équprobablté 4 E Das le cas partculer où tous les p sot égaux (équprobablté), leur somme état égale à, ls sot tous égaux à / et, pour toute parte de, la probablté de est alors égale à k/ où k est le cardal de ("ombre de cas favorables" sur "ombre de cas possbles"). Cette formule est coue sous le om de formule de Laplace car Laplace est le premer à avor explctemet formulé que la probablté d'u évéemet est le "ombre de cas favorables" sur le "ombre de cas possbles" à codto que tous les cas possbles aet les mêmes chaces d'adver. O dt que la probablté P est équréparte sur ou uforme sur ou qu'l s'agt de l'équprobablté sur. Commetares. ) Das le cas de l'équprobablté, le calcul des probabltés se ramèe alors à u calcul de déombremet (qu peut vte dever complqué). Rappel : s E est u esemble f o vde de cardal et p u eter strctemet postf, p - le ombre de p-lstes (c'est-à-dre de p-uplets) d'élémets de E est - le ombre d'arragemets de p élémets de E (c'est-à-dre de p-lstes d'élémets dstcts), oté, est... p p s p, 0 so ; e utlsat la otato factorelle!... et la coveto 0! =, o a : - le ombre de permutatos de E (c'est-à-dre de -arragemets de E) est! p! p! Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 5/9

6 - le ombre de combasos ou partes ou sous-esembles de p élémets de E, oté p (ouc p ) est p p! s p, 0 so. p! p! p! La coveto permet de poser : 0 et. 0 0 ) Les échatllos aléatores smples de talle das ue populato fe de talle N sot trés avec équprobablté, o a : - N échatllos das le cas d'u trage successf avec remse, avec N das le cas d'u trage successf sas remse, - N N - avec N das le cas d'u trage smultaé. Premers exemples d'équprobablté. Lacer d'u dé équlbré Le couple (, P) avec = {,,, 6} et P équréparte sur est u espace probablsé assocé au lacer d'u dé équlbré.. Lacer d'ue pèce de moae équlbrée U espace probablsé assocé au lacer d'ue pèce de moae équlbrée est (, P) avec = {p, f} et P équréparte sur.. Trage au hasard d'ue boule das u sac (ou ue ure) U sac opaque cotet boules dscerables au toucher umérotées de à. O tre "au hasard" ue boule de l'ure et o observe le uméro marqué sur la boule. Par coveto, trer "au hasard" sgfe que l'o a autat de "chace" de trer ue boule qu'ue autre. U espace probablsé assocé à cette expérece aléatore est alors (, P) avec = {,,, } et P équréparte sur. Exemples de o équprobablté (obteue à partr d'ue équprobablté). O lace u dé équlbré dot ue face porte le chffre, deux faces portet le chffre et tros faces le chffre. U espace probablsé assocé au lacer de ce dé est ={,, } avec P({}), P({}) et P({}). La lo de probablté sur 'est plus l'équprobablté mas o a utlsé l'équprobablté sur les sortes des 6 faces de ce dé équlbré pour costrure l'espace probablsé assocé à otre expérece aléatore.. Ue ure cotet 0 boules dscerables au toucher, vertes et 7 blaches. O tre au hasard ue boule de l'ure et o observe sa couleur. U espace probablsé assocé à cette 7 expérece est ={v, b} avec P({ v}) et P({ b}). 0 0 O 'a plus équprobablté sur mas o s'est serv de l'équprobablté sur les sortes des 0 boules de l'ure pour costrure l'espace probablsé assocé à l'expérece aléatore. Exemples de o équprobablté : approche fréquetste de la probablté Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 6/9

7 . O lace u dé dot les faces sot umérotées de à 6 mas o a de séreuses rasos de peser que le dé a été ppé. E effet, lors de 00 lacers de ce dé, o a observé les fréqueces de sortes suvates : chffres fréqueces U espace probablsé assocé au lacer de ce dé ppé peut être le couple (, P) avec = {,,, 6} et e chosssat comme dstrbuto de probablté P (ou lo de probablté P) la dstrbuto des fréqueces observées, qutte à modfer ce chox s l'o réalse d'autres lacers de ce dé.. O lace ue puase qu peut retomber sot sur la tête sot sur la pote. L'esemble des résultats possbles est ={t, p} mas l 'y a aucue raso que les résultats t et p aet les mêmes chaces de sortr. Cela dépedra de la puase. Supposos qu'après 000 lacers d'ue puase, elle sot retombée 64 fos sur la tête et 66 fos sur la pote. O pourra chosr comme espace probablsé assocé au lacer de cette puase ={t, p}, avec P({ t}) 0.64 et P({ p}) 0.66, qutte à modfer ce chox s l'o réalse d'autres lacers de cette puase. Commetare Itutvemet, o estme la probablté d'u évéemet lors d'ue expérece par la fréquece d'apparto de l'évéemet sur ue logue sére d'expéreces aléatores réalsées dépedammet et das les mêmes codtos. O verra que cette approche fréquetste de la probablté repose sur u théorème de probabltés, appelé la lo des grads ombres.. Chaque mat depus cq semaes u collége relève sa durée d'attete du bus pour aller au collège. Les doées sot présetées das le tableau suvat : durée e m 0t t 4 4t 6 6t 8 8 t 0 0 t ombre d'observatos fréquece Quelle est la probablté qu'l attede dema mos de m? etre et 4 m? plus de 8 m? O peut les évaluer à.4%, 7.6%,,.%. O suppose que les 5 durées sot des observatos de varables aléatores réelles (v.a.r.) dépedates et de même dstrbuto de probablté (..d. dépedates et detquemet dstrbuées). Cette dstrbuto de probablté est alors approchée par la dstrbuto de fréquece observée. La lo des grads ombres est applquée à u système complet d'évéemets (c'est as qu'est présetée la lo "vulgarsée" des grads ombres au lycée).. Probablté codtoelle, dépedace e probablté Cette parte est au programme de termale. Elle 'est dquée c que pour dscuter de la oto d'dépedace e probablté qu est utlsée comme hypothèse de traval das les stuatos proposées dès le collège (cf. approche fréquetste de la probablté et v.a.r...d. du précédet). Lorsque l'o répète ue expérece aléatore das les mêmes codtos, o utlse le fat que les résultats de la ème expérece e dépedet pas des résultats de la ère expérece (absece de mémore). Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 7/9

8 Cette parte peut être utle pour repérer, pour l'esegemet e trosème et e secode, quelles sot les expéreces à deux épreuves qu e relèvet pas du programme... Probablté codtoelle ; défto Sot = ; {,..., } u esemble f mu d ue dstrbuto de probablté, p ; {,..., } et u sous-esemble de de probablté o ulle. L'formato apportée par la réalsato de modfe la probablté des évéemets ; o déft ue ouvelle dstrbuto de probablté sur, ulle sur le complémetare de et réparte proportoellemet aux p sur, c est-à-dre :, q ;, avec p q s, q 0 so. P Cette ouvelle dstrbuto de probablté sur est appelée probablté codtoelle à (ou probablté sachat ) et otée P. P O a alors, pour toute parte de, P. P Proprétés P P P (s est de probablté o ulle) Formule des probabltés totales : - s et sot de probabltés o ulles, P P P P P P P - s,..., r est u système complet d'évéemets de, chacu de probablté o ulle P r r P P P.. Idépedace e probablté S est de probablté o ulle, o dra que est dépedat e probablté de s la probablté sachat de est égale à la probablté de (l'formato selo laquelle est réalsé e modfe pas la probablté de ). P P P et que, s est dépedat e probablté O motre alors que l'o a de, la relato est symétrque, et sot dépedats e probablté, d'où les déftos suvates. Déftos. Deux évéemets et de sot dépedats e probablté s P P P. Deux parttos de,,..., r et,..., c tout =,, r et tout j =,, c, P j P Pj., sot dépedates e probablté s pour. Proprétés. S et sot de probabltés o ulles alors : P P P P et sot dépedats e probablté. et sot dépedats e probablté et sot dépedats e probablté et sot dépedats e probablté et sot dépedats e probablté Les parttos, et, sot alors dépedates e probablté. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 8/9

9 . S et sot de probabltés o ulles, alors : P P et sot dépedats e probablté. Cf. aexe, rbre de probablté - costructo Cf. aexe 4, rbre de déombremet - arbre de probablté - exemple. Commetare La oto d'dépedace e probablté déped de la probablté. Pour llustrer ce commetare, cosdéros l'exemple suvat. O tre successvemet et avec remse tros boules d'ue ure coteat ue proporto p (0 < p < ) de boules blaches. Sot l'évéemet «la premère boule du trage est blache» et l'évéemet «le trage compred ue et ue seule boule blache». O motre que et sot dépedats e probablté s et seulemet s p = /. O a e effet : P() = p ; P() = p ( - p) et P( ) = p ( - p). et sot dépedats e probablté s et seulemet s P( ) = P() P(), sot p ( - p) = p ( - p), sot p = /.. Varable aléatore, dstrbuto (ou lo) de probablté d'ue varable aléatore ; trasport de lo Défto Sot (, P) u espace probablsé assocé à ue expérece aléatore (o suppose c f), o appelle varable aléatore (v.a.) assocée à l'expérece toute applcato X défe sur. Sot X x,..., xr désge par l'esemble mage (f de cardal féreur ou égal à celu de ). O X x, =,, r, l'mage récproque du sgleto x par l'applcato X, c'est-à-dre, l'esemble des élémets de qu ot pour mage x. L'esemble {X x, =,, r} est la partto de egedrée par l'applcato X (c'està-dre, e utlsat le vocabulare des évéemets, le système complet d'évéemets de egedré par la varable aléatore X). Proposto et défto O pose, pour tout x de X ( ), PX ( x) P[ X x], alors P X déft ue probablté sur X ( ) appelée dstrbuto (ou lo) de probablté de X. La probablté P X est appelée probablté mage de P par X. L'applcato X ous a perms de trasporter la probablté P sur e ue probablté P X sur X ( ). Commetare Comme o e retet de la varable aléatore que sa lo de probablté, c'est-à-dre, l'esemble des valeurs qu'elle pred avec les probabltés correspodates, o trodut parfos les varables aléatores sas fare référece à l'espace probablsé de départ, comme ue smple otato. O a déjà trodut mplctemet des varables aléatores das le paragraphe précédet. Sot X la durée d'attete du bus, o suppose qu'l s'agt d'ue varable aléatore Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 9/9

10 réelle cotue dot la lo de probablté peut être approchée par la dstrbuto de fréqueces des durées observées. O retedra que les applcatos ou varables aléatores permettet de trasporter des dstrbutos de probabltés. Exemples. Ue ure cotet 0 boules dscerables au toucher, vertes et 7 blaches. O tre au hasard ue boule de l'ure et o observe sa couleur. vec des otatos évdetes, o ote ' v, v, v, b, b, b, b, b, b, b l'esemble des résultats de l'expérece aléatore et o chost comme espace probablsé assocé ( ', P') avec P' équréparte sur '. Sot X l'applcato défe sur ' qu à la sorte d'ue boule verte assoce v et à la sorte d'ue boule X ( ') v, b et : blache b. O a alors : 7 PX({ v}) P' v, v, v et PX({ b}) P' b, b, b, b4, b5, b6, b O retrouve évdemmet l'espace probablsé proposé précédemmet. Ic, la varable aléatore X est catégorelle ; o s'téressera plus partculèremet aux varables aléatores réelles, c'est-à-dre, à valeurs das R.. O lace u dé cubque équlbré dot les faces sot umérotées de à 6 et o ote X le ombre marqué par la face supéreure du dé. Das cet exemple l'uvers est égal à X ( ), la varable aléatore X est l'applcato detque et la lo de probablté P X de X est detque à la probablté P équréparte sur. Cet exemple justfe d'appeler dstrbuto (ou lo) de probablté la probablté défe sur l'uvers pour décrre ue expérece aléatore, comme cela est proposé pour l'esegemet des probabltés et des varables aléatores au lycée.. O lace u dé cubque équlbré deux fos de sute ; sot X la valeur absolue de la dfférece des pots marqués. Quelle est la dstrbuto de probablté de X? (utlsato d'u tableau de déombremet, équprobablté sur les 6 cases du tableau). 4. O lace u dé cubque équlbré tros fos de sute ; sot X la somme des pots marqués. Quelle est la dstrbuto de probablté de X? (utlsato d'u arbre de déombremet ébauché, 6 résultats équprobables) 5. O lace ue pèce de moae 0 fos de sute. O appelle demséquece ue sute terrompue de "ple" ou ue sute terrompue de "face". Sot X le ombre de "ple", sot Y le ombre d'demséqueces et Z la logueur de l'demséquece la plus logue. Pour précser les déftos, au résultat suvat du lacer de la pèce de moae 0 fos de sute P P P F F P P F P P, o assoce le ombre 7 pour la varable X, le ombre 5 pour la varable Y et le ombre pour la varable Z. Quelle est la dstrbuto de probablté de X? de Y? de Z? O peut utlser u tableur pour obter les los de probabltés exactes de ces varables aléatores. Cf. aexe 5, Lacer d'ue pèce de moae équlbrée 0 fos de sute Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 0/9

11 4. Modélsato et smulato Nous 'avos ecore parlé de modélsato, de smulato. Exemples troductfs. a) O lace ue pèce de moae équlbrée 00 fos de sute das les mêmes codtos. O obtet 5 "ple" et 48 "face". Que parer sur le procha lacer? Ple? Face? Idfféret?. b) O lace ue puase 00 fos de sute das les mêmes codtos. Elle tombe sur la pote 5 fos, elle tomme sur la tête 48 fos. Que parer sur le procha lacer? Pote? Tête? Idfféret?. a) O lace deux fos de sute ue pèce de moae, quelle est la probablté d'obter deux "ple"?. b) O lace smultaémet deux pèces de moae detques, quelle est la probablté d'obter deux "ple"?. a) O lace deux fos de sute u dé équlbré dot les faces sot umérotées de à 6 et o s'téresse à la somme des pots marqués. Quelle est la probablté d'obter le? le?. b) O lace smultaémet deux dés cubques équlbrés dscerables à l'œl ; les faces sot umérotées de à 6 et o s'téresse à la somme des pots marqués. Quelle est la probablté d'obter le? le? 4. Paradoxe du jeu de Passe-Dx À la f du XVIème sècle, le Duc de Toscae aurat posé à Gallée le problème suvat au sujet du jeu de Passe-Dx. Ce jeu cosste à lacer tros dés et à observer la somme des pots marqués. «u jeu de Passe-Dx, o a 6 maères possbles de fare le comme le. E effet : Somme = : 6,4, 6,, 5,5, 5,4, 5,, 4,4, Somme = : 6,5, 6,4, 6,, 5,5, 5,4, 4,4,4 Pourtat, lorsqu o joue u grad ombre de fos, o s aperçot que le sort plus souvet que le. Qu e pesez-vous?» Commetares succcts sur ces exemples ) Smulato versus modélsato et estmato. Das le cas du lacer d'ue "pèce équlbrée", hypothèse qu 'est pas l'objet de la dscusso c, o smule l'équprobablté sur {ple, face}. Les expéreces état fates "dépedammet das les mêmes codtos", les 00 résultats de cette sute de lacers sot les observatos de 00 v.a.r...d., chacue de même lo : l'équprobablté sur {ple, face}. Le résultat 5 "ple" et 48 "face" 'apporte aucue formato, la dfférece avec 50 "ple" et 50 "face" vet de la fluctuato de l'échatlloage. Le processus est sas mémore ; pour le procha lacer, l est dfféret de parer sur la sorte de "ple" ou sur la sorte de "face". E revache, das le cas du lacer de la puase, o modélse la stuato : sot p la probablté que la puase tombe sur la "pote", et doc p qu'elle tombe sur la "tête". Les expéreces état fates "dépedammet et das les mêmes codtos", les 00 résultats de cette sute de lacers sot les observatos de 00 v.a.r...d., chacue de même lo : p pour "pote" et p pour "tête". O peut estmer p par la fréquece observée sur ces 00 lacers 0.5. Pour le procha lacer, o a u léger avatage à parer pour "pote". Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

12 ) Qualté d'u modèle Pour le lacer d'ue pèce équlbrée deux fos de sute, l'espace probablsé assocé est sas ambguïté l'équprobablté sur l'esemble des quatre résultats {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}. E revache, pour le lacer smultaé de deux pèces équlbrées dscerables, deux dstrbutos de probablté sot e compétto sur l'esemble des tros résultats {PP, FF, PF} (où PF désge ple et face sas ordre partculer pusque les deux pèces sot lacées smultaémet et sot dscerables) : /, /, / ou /4, /4, /. Se pose le problème du chox de modèle et de la qualté d'u modèle : u grad ombre d'expéreces réelles réalsées das les mêmes codtos permettra de costater que la dstrbuto de fréquece des tros résultats est plus proche de la secode dstrbuto de probablté que de la premère. La smulato e résout pas le problème du chox de modèle car o e sat smuler que le secod modèle, o trodut écessaremet das la programmato u ordre qu 'apparaît pas das l'expérece réelle. ) Varate de l'exemple Pour le lacer d'u dé cubque équlbré deux fos de sute o a équprobablté sur les 6 résultats possbles. Pour le lacer smultaé de deux dés cubques équlbrés dscerables à l'œl, o 'a pas équprobablté sur les résultats vsbles mas ue probablté /6 pour chacu des sx "doubles" (deux chffres detques) et ue probablté /8 pour chacu des 5 "smples" (deux chffres dstcts). 4) Varate des exemples et Les résultats ameat le (ou le ) e sot pas équprobables. La probablté est de /6 pour les "trples", de /6 pour les "doubles" et de 6/6 pour les "smples, ce qu doe ue probablté de 7/6 pour ue somme égale à et 5/6 pour ue somme égale à. L'térêt de cet exemple hstorque est de vor que le paradoxe repose sur les deux approches tutves des probabltés : équprobablté pour des rasos de symétre et approche fréquetste des probabltés. Pour arrver expérmetalemet à repérer que "le sort plus souvet que le ", l a fallu jouer u très grad ombre de fos!! 5. Varable aléatore réelle ; los dscrètes et los cotues, espérace mathématque et varace Das le cas où l'applcato X est à valeurs das l'esemble des ombres réels, o parle de varable aléatore réelle (v.a.r.). O ote P sa lo de probablté sur R, c'est-à-dre l'esemble des valeurs prses par la varable aléatore et les probabltés correspodates. Focto de répartto O pose, pour tout réel x, F x P ; x. L'applcato F de R das [0 ; ] est appelée focto de répartto (f.d.r.) de X et caractérse la dstrbuto (ou lo) de probablté de X. Los de probabltés dscrètes Lorsque X x ; I avec I parte fe ou déombrable de R, la v.a.r. as que sa lo de probablté P sur R, x, p ; I, est dte dscrète. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

13 Les los de probabltés dscrètes usuelles présetées e aexe 6, fes (lo de eroull, lo bomale, lo hypergéométrque) ou déombrables (lo géométrque, lo de Posso), sot à valeurs etères postves. Los de probabltés cotues X est u tervalle (ou ue réuo d'tervalles) de R, la v.a.r. as que sa lo Lorsque de probablté P sur R est dte absolumet cotue ou à desté s'l exste ue applcato f postve et cotue (sauf évetuellemet e u ombre f de pots) d'tégrale sur R égale x à telle que l'o at, pour tout x der, F x f ( u) du. L'applcato f (qu 'est pas uque) est appelée desté de probablté de la lo de probablté P. Les los de probabltés cotues usuelles présetées e aexe 6 sot les los uformes sur des tervalles borés de R, les los ormales défes sur R et les los expoetelles défes sur R. Espérace et varace de los de probabltés sur R Cas où la lo de probablté P sur R est dscrète x, p ; Iavec I déombrable. À codto que la somme sot fe, o déft l'espérace mathématque de P ou px I d'ue varable aléatore réelle X ayat P pour lo de probablté par E P E X px À codto que la somme px I sot fe, o déft la varace de P ou d'ue varable aléatore réelle X ayat P pour lo de probablté par V P V X p x E X I I Cas où la lo de probablté P sur R est cotue de desté f. À codto que la somme x f xdx sot fe, o déft l'espérace mathématque de P ou d'ue varable aléatore réelle X ayat P pour lo de probablté par E P E X x f x dx. x f x dx À codto que la somme sot fe, o déft la varace de P ou d'ue varable aléatore réelle X ayat P pour lo de probablté par V P V X x E X f x dx Lorsque la varace exste, l'écart-type est déf comme la race carrée de la varace. Proprétés de l'espérace et de la varace S X et Y sot des varables aléatores réelles défes sur u même espace probablsé, a et b des ombres réels, o a : E ax by a E X b E Y V ax b a V X - (l'espérace est léare) et - s les varables aléatores réelles X et Y sot dépedates e probablté, o a : V X Y V X V Y Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

14 6. Théorèmes lmtes des probabltés (lo des grads ombres et théorème lmte cetral) Sot X ue varable aléatore réelle (v.a.r.) admettat ue moyee (ou espérace X N ue sute de v.a.r., dépedates et mathématque) et u écart-type. Sot * detquemet dstrbuées (..d.) comme X ("detquemet dstrbuée comme X" sgfe "de X est appelé échatllo statstque même dstrbuto (ou lo) de probablté que X") ;,..., de talle. O pose X X, cette v.a.r. est appelée moyee d'échatlloage. Les proprétés de l'espérace mathématque et de la varace permettet d'établr les égaltés suvates : E X et var X ; l'espérace de la sute X est ue sute costate égale à et la varace de la sute X coverge vers 0 lorsque ted vers l'f. Le premer théorème lmte (lo fable des grads ombres) cosste à dre que la sute de v.a.r. X coverge e probablté vers ue v.a.r. d'espérace et de varace ulle, c'est-àdre, vers la v.a.r. costate (dégéérée). (Défto : ue sute de v.a.r. Y coverge e probablté vers ue v.a.r. Y (oté Y Pr Y ) s 0, lm P Y Y 0. ) Le deuxème théorème lmte (théorème cetral lmte) permet de précser la vtesse de covergece de la sute X vers. Pour cela o déft la varable X stadardsée e posat : X * X / ; la v.a.r. * X est obteue par cetrage et réducto de la v.a.r. * * Il s'agt doc d'ue v.a.r. cetrée rédute : E X X 0 et var Le deuxème théorème lmte (théorème cetral lmte) cosste à dre que la sute X coverge e lo vers la lo ormale cetrée rédute, otée N (0,). (Défto : ue sute de v.a.r. Y coverge e lo vers ue v.a.r. Y (oté Lo Y X. * Y ) s o a, e tout pot de cotuté y de la focto de répartto F Y de Y, lm FY ( y) FY( y). ) E résumé, les deux théorèmes lmtes des probabltés sot : Lo fable des grads ombres : X Pr X Lo Théorème cetral lmte : (0,) / N Défto : L'tervalle de fluctuato de la varable aléatore réelle X au veau de probablté de 95% est (asymptotquemet) : Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 4/9

15 .96 ;.96 La preuve vet de la lecture de la table d'ue lo ormale cetrée rédute ; s U est ue v.a.r. ormale cetrée rédute la probablté qu'elle pree ses valeurs etre.96 et +.96 est Cas partculer: la fréquece d'échatlloage S X est ue v.a.r. de lo de eroull de probablté p (probablté de succès lors d'ue épreuve aléatore). O a alors p et p( p), X (ombre de succès lors de épreuves aléatores dépedates) sut ue lo bomale de paramètres et p et X (otée F ) est la fréquece de succès lors des épreuves. Les deux théorèmes lmtes deveet das ce cas partculer : Lo fable des grads ombres : F Pr p F Lo p Théorème cetral lmte : N (0,) p( p) / Défto : L'tervalle de fluctuato de la varable alétore F au veau de probablté de 95% est (asymptotquemet) :.96 p p p ; p.96 p p Cf. aexe 7, Tableau des approxmatos de los de probablté Exteso du théorème cetral lmte V X X (varace d'échatlloage). O pose :. Les proprétés sur les espéraces et varaces permettet d'établr l'égalté : o pose : S V X X, o a alors ES Pour, La formule défssat EV. V est la "formule de varace pour ue populato fe", alors que celle défssat S est la "formule de varace pour u échatllo" (appelée parfos varace corrgée) car, lorsque l'o travalle sur u échatllo, c'est pour estmer au meux les paramètres cous de la lo de probablté sous-jacete ; l'espérace de la v.a.r. S est égale à ; o dt que la v.a.r. S est u estmateur sas bas de ce qu 'est pas le cas de V. Le théorème cetral lmte peut être gééralsé au cas où l'o remplace le paramètre cou par la v.a.r. S (race carrée de S ) ou par la v.a.r. S (race carrée de V ) : X Lo F Lo p (0,) S / N et N (0,) F( F) / ' Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 5/9

16 7. Estmato par tervalle de coface La statstque féretelle a pour objectf d'obter de l'formato et de predre des décsos à partr d'u échatllo. Elle est costtuée de tros partes : échatlloage, estmato et tests. La parte échatlloage cosste à chercher les dstrbutos de probablté de varables aléatores défes sur des échatllos (moyee d'échatlloage, varace d'échatlloage, fréquece d'échatlloage). Cette parte repose sur le calcul des probabltés. Das le paragraphe précédet, ous avos obteu la lo de probablté (approchée) de la moyee d'échatlloage et de la fréquece d'échatlloage. La parte estmato cosste, à partr de l'observato d'un échatllo à férer des formatos sur la dstrbuto de probablté dot est ssue l'échatllo. O suppose que les valeurs x,..., x sot les observatos de v.a.r...d. X,..., X de lo de probablté coue mas dot o suppose l'exstece d'ue moyee et d'u écart-type. lors la moyee x et l'écart-type s sot les observatos de varables aléatores X et S qu, pour suffsammet grad (das la pratque supéreur à 0), vérfet la proprété suvate (cf. derer résultat du paragraphe précédet) : S S PX.96 X O e dédut l'estmato de la moyee par tervalle à 95% de coface : s s x.96 ; x.96 De la même maère, o obtet l'estmato de la probablté p par tervalle à 95% de coface : f f f f f.96 ; f.96 Commetares ) O parle c de "coface" car o e peut plus parler de "probablté", 'ayat qu'un échatllo, o costrut les tervalles sur des observatos de varables aléatores. ) Das le cas où l'échatlloage est réalsé das ue populato fe (approche sodage), la moyee 'est autre que la moyee arthmétque sur la populato du caractère quattatf étudé et la probablté p 'est autre que la proporto par rapport à la populato de la souspopulato d'térêt. ) L'approche sodage de la statstque féretelle est beaucoup plus cocrète que l'approche modèle. Cf., à la page "Statstque Iféretelle" du ste, les documets : De la statstque descrptve élémetare à la statstque féretelle e passat par le calcul des probabltés (7 pages) La statstque féretelle par ue approche sodage : échatlloage das ue populato fe (5 pages) Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 6/9

17 4) Pour approfodr ses coassaces e statstque féretelle cf., à la page "Statstque Iféretelle" du ste, les documets : Échatlloage, estmato et tests : fches ( pages) - l'échatlloage, l'estmato et le test d'égalté à ue valeur fxée pour ue proporto - l'échatlloage et le test d'adéquato à l'équprobablté Vers les tests du Kh ( pages) Pett cours de statstque féretelle (7 pages, prépa capes de maths). Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 7/9

18 exe Pourcetages C Toulouse Résultats au baccalauréat d'esegemet gééral das l'académe de Toulouse, sesso 000 Nombre de caddats Taux de reçus Secto Flles Garços Flles Garços Ecoom. et Socal % 76.7% Lttérare % 79.4% Scetfque % 8.% Esemble % 80.% (Source : Rectorat de l cadéme de Toulouse) Esemble des reçus selo la secto et le sexe (dstrbutos d'effectfs) : Secto Flles Garços Esemble Ecoom. et Socal Lttérare Scetfque Esemble Esemble des reçus selo la secto et le sexe (dstrbutos de fréqueces) : Secto Flles Garços Esemble Ecoom. et Socal 6% 9% 5% Lttérare 9% 4% % Scetfque 4% 9% 5% Esemble 59% 4% 00% Esemble des reçus selo le sexe (dstrbutos codtoelles à la secto) : Secto Flles Garços Esemble Ecoom. et Socal 64% 6% 00% Lttérare 8% 7% 00% Scetfque 46% 54% 00% Esemble 59% 4% 00% Esemble des reçus selo la secto (dstrbutos codtoelles au sexe) : Secto Flles Garços Esemble Ecoom. et Socal 7% % 5% Lttérare % 9% % Scetfque 4% 69% 5% Esemble 00% 00% 00% Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 8/9

19 Le etre fréquece et probablté, etre fréquece codtoelle et probablté codtoelle Résultats au baccalauréat de l'esegemet gééral selo le sexe das l'académe de Toulouse, sesso 000 Esegemet gééral Répartto Taux de reçus Flles 57.5% 84% Garços 4.5% 8% Esemble 00.0% (Source : Rectorat de l cadéme de Toulouse) O chost au hasard (c'est-à-dre avec équprobablté) ue persoe caddate au baccalauréat de l'esegemet gééral de l'académe de Toulouse e Quelle est la probablté que ce sot ue flle? - Quelle est la probablté sachat que c'est ue flle qu'elle at été reçue? - Quelle est la probablté que la persoe caddate at été reçue? - Quelle est la probablté sachat que la persoe caddate a été reçue que ce sot ue flle? L'esemble des résultats de cette expérece aléatore est l'esemble des caddats au baccalauréat de l'esegemet gééral et P est l'équprobablté. La probablté d'u évéemet est le ombre de cas favorables sur le ombre de cas possbles, c'est-à-dre, la proporto (ou fréquece) de l'esemble qu représete l'évéemet. rbre de probablté codtoelle (ou de fréquece codtoelle) : Flles Reçus Collés P(F) = PF R 0.84 PF R Esemble Secto S 0.45 Garço s Reçus Collés P(G) = 0.45 PG R 0.80 PGR P R Pr F R Pr G R P F Pr F R Pr R R O utlse les mêmes argumets et les mêmes formules (règle du produt, règle de la somme) das le cadre des fréqueces codtoelles ou das le cadre des probabltés codtoelles. O recoaît c la formule de ayes. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 9/9

20 exe Dstrbutos d'effectfs et de fréqueces et représetatos graphques assocées ("hstogrammes") C Catégores Hauteurs proportoelles aux effectfs et aux fréqueces res proportoelles aux effectfs et aux fréqueces Dstrbutos de probablté /6 4/6 0 0 eroull (0.6) / omale (4 ; 0.5) 0 Normale (0 ; ) 0 Expoetelle () Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 0/9

21 Sot exe Règles de costructo d'u arbre de probablté, P,P u espace probablsé. O ote u évéemet et l'évéemet cotrare, tous deux supposés de probablté o ulle,,..., u système complet d'évéemets tous de probablté o ulle (oté, das le cas = ). U arbre de probablté (ou arbre "podéré", les podératos état c des probabltés) est e gééral préseté de haut e bas ou de gauche à drote avec pour race. Les sommets (ou œuds) correspodet à des évéemets et les braches ssues d'u sommet, par exemple, ot pour extrémté les évéemets d'u système complet,,..., par exemple ; les braches sot podérées par les probabltés codtoelles à de ces évéemets et la somme des pods des braches ssues d'u même sommet est égale à : P. P P... O ote que la probablté codtoelle à 'est autre que P. U chem parcouru de la race jusqu'à l'extrémté des braches correspod à la cojocto (l'tersecto) des évéemets recotrés ; la probablté assocée est égale au produt des probabltés recotrées (règle du produt pour u arbre podéré) : P P P. La probablté d'u évéemet égal à la réuo d'évéemets deux à deux dsjots stués à l'extrémté de pluseurs chems est égale à la somme des probabltés de ces évéemets (règle de la somme pour u arbre podéré) : et P P P P P P P P P 4 chems Probabltés P P P P P P P P P P P P Remarque : et sot dépedats e probablté s et seulemet s P P. O a e effet : P P P P P P P P P. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

22 Formule des probabltés totales : P P P P... Évéemet. Probabltés P P P P P P P P P Somme P P P Formules de ayes : j P j P j P P j,, j. P P P S l'arbre est à tros veaux, par exemple,,, pus,, ef C, C, alors les podératos du derer veau sot les probabltés de C et C codtoellemet à respectvemet,,, (o suppose que ces quatre évéemets sot de probablté o ulles) ; o déombre alors 8 chems et o a, par exemple pour le premer chem, la proprété : P C P P P C P P P P P P P C 8 chems Probabltés C C P C P P P C C C. C C C C C C C C C C C C Cette proprété se gééralse à évéemets ( > ),,...,, qu e formet évdemmet P... 0 alors o a : pas c u système complet. S P P P P P Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

23 exe 4 rbre de déombremet et arbre de probablté - Exemple O tre "au hasard" (c'est-à-dre avec équprobablté) successvemet et avec remse (resp. sas remse) deux boules d'ue ure coteat boules umérotées de à. Pour tout de,,, o ote (resp. ) l'évéemet "obter la boule au premer trage" (resp. "obter la boule au deuxème trage"). Proposto Que le trage sot avec ou sas remse, o a, pour tout de,,, P et P. Das le cas du trage avec remse, o a, pour tout de,, et tout j de,,, P j ; les évéemets et j sot dépedats e probablté. 9 Das le cas du trage sas remse, o a pour tout de,, et tout j de,,, P j s j, 0 so ; les évéemets et j e sot pas dépedats e 6 probablté. Preuves Que ce sot pour le trage avec remse ou le trage sas remse, - o peut utlser u arbre de déombremet pour lster l'esemble des résultats possbles et utlser la proposto selo laquelle l'équprobablté à chaque trage etraîe l'équprobablté sur l'esemble des résultats des trages successfs (cette proposto est admse à tous les veaux d'esegemet secodare) - o peut utlser l'formato foure sous forme de probablté codtoelle (arbre de probablté) et e dédure la probablté des évéemets élémetares. Trage avec remse - rbre de déombremet rbre de déombremet,,,,,,,,,,,,,,,,, et P est l'équprobablté sur. O a pour tout de,, et tout j de,,,,,, j, j,, j,, j, j, j et le résultat sur l'dépedace. 9 dot o dédut : P, Pj et P j,, : Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. /9

24 rbre de probablté rbre de probablté P 9 P 9 P 9 P P P P O a par hypothèse, pour tout de,,, P ( ) et pour tout j de,, P( ). j,, O e dédut, pour tout pour tout de,, et tout j de, ( j ) j P j P P P (règle du produt pour u arbre 9 podéré). O retrouve l'équprobablté des évéemets élémetares. Ef o e dédut : pour tout j de,,, P j P( ),, j,, 9 (règle de la somme pour u arbre podéré) et le résultat sur l'dépedace. - Tableau : dstrbuto de probablté cojote et de dstrbutos margales des résultats des premer et deuxème trages trage er trage La dstrbuto cojote est égale au produt des marges : dépedace e probablté des deux trages. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 4/9

25 Trage sas remse - rbre de déombremet rbre de déombremet,,,,,,,,,,, et P est l'équprobablté sur. O a :,,,,,,,,,,,, et, pour tout de de,, :, j s j, so. j O dédut : j j,,,,,,,,,,,, P, P et P s j, 0 so. 6 - rbre de probablté rbre de probablté P 6 P 6,, et tout j P P P O a par hypothèse, pour tout de,,, P ( ) et pour tout j de,, P( ) s, 0 so. j j O e dédut, pour tout pour tout de,, et tout j de,, avec j, P, j P( j ) P P j (règle du produt pour 6 u arbre podéré). O retrouve l'équprobablté des évéemets élémetares. Ef o e dédut : pour tout j de,,, Pj P( ),, j,, \ j 6 (règle de la somme pour u arbre podéré). Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 5/9

26 - Tableau : dstrbuto de probablté cojote et de dstrbutos margales des résultats des premer et deuxème trages. trage er trage La dstrbuto cojote 'est pas égale au produt des marges, o dépedace e probablté des deux trages. Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 6/9

27 Effectfs (Nbre de séres) Effectfs (Nbre de séres) Effectfs (Nbre de séres) Varable : Nombre de Ples Valeurs (Nbre de ples) O lace ue pèce de moae équlbrée 0 fos de sute (04 séres équprobables). Dstrbuto d effectfs (et de probablté e dvsat par 04) des varables : X : ombre de ples Y : ombre d demséqueces Z : logueur de l demséquece la plus logue Valeurs Eff. X Eff. Y Eff. Z Total Varable : Logueur de l'demséquece la plus logue Varable : Nombre d'demséqueces Valeurs (Nbre d'demséqueces) Valeurs (Logueur max) Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 7/9

28 LOIS DE PROILITÉ USUELLES exe 6 Lo uforme sur {,..., } NOM NOTTION VLEURS LOI DE PROILITÉ MOYENNE VRINCE PPLICTIONS U N Lo de eroull (, p) p]0, [ Lo bomale (, p) N p]0, [ Lo hypergéométrque H (N,, p) où p=k/n avec N N K N N N, K<N Lo de Posso P () R Lo géométrque G (p) p]0, [ Lo uforme sur [a, b] U [a, b] a R b R, b a {,,, } p k {0, } p p p p 0 k {0,,,,} p O tre "au hasard" ue boule das ue ure coteat boules umérotées de à ; X : uméro de la boule trée X U a) O tre "au hasard" ue boule das ue ure dot la p p proporto de boules rouges est p ; X : ombre de boules X, p ; rouges trées b) Idcatrce du succès das ue épreuve de eroull k k k p p p a) O tre "au hasard" et avec remse boules das ue ure dot la proporto de boules rouges est p ; p p p K N K {0,,,, } k k pk N N p k k e k! N p p p k k p p N N p [a, b] f(x) = /(ba) a b b a X : ombre boules rouges trées X, p b) Nombre de succès das u schéma de eroull de talle O tre "au hasard" et sas remse (ou smultaémet) boules das ue ure coteat N boules dot K rouges ; X : ombre de boules rouges trées X H N,, p avec p = K / N Lo des évéemets rares, pour p pett, p = ) (approxmato de p / p p p Modèle de durée dscret (sas mémore) X : ombre de trages avec remse écessares pour obter la ère boule rouge das ue ure dot la proporto de boules rouges est p ; X G p /(ba) O chost "au hasard" u pot x de [a, b] X U [a, b] a b Lo ormale ou de Laplace-Gauss N (, ) R R R f x e x Cf. Théorème cetral lmte + Lo expoetelle () R R + x f x e Modèle de durée cotue (sas mémore) 0 Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 8/9

29 exe 7 pproxmatos des los de probabltés H (N,, p) N 0. 0 et p (-p) 5 p 0. (, p) 0 et p (-p) 5 N p p p N, N P (p) p 0 N (p, p(-p)) N (p, p) Formule de Strlg :! ~ e Probabltés et statstque pour l'esegemet secodare - Jeae Fe p. 9/9

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