Effet de la variabilité des paramètres de sol sur le comportement des ouvrages de géotechnique

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1 Républque Algéree Démocratque et Populare Mstère de l Esegemet Supéreur et de la Recherche Scetfque UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI - TIZI OUZOU - Faculté du Gée de la costructo Départemet de Gée Cvl MÉMOIRE DE MAGISTER Spécalté : gée cvl Opto :structures et matérau Préseté par : Fatma ZIBANI THÈME Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Devat la commsso d eame : Mr Youcef BOUAFIA Professeur - UMMTO Présdet Mr Al BOUHERAOUA Maître de coféreces (A) - UMMTO Rapporteur Mr Al HAMZA Maître de coféreces (A) - UMMTO Eamateur Mr Hacèe AIT AIDER Maître de Coféreces (A) - UMMTO Eamateur Souteu le : 0/07/ 0

2 AVANT PROPOS Que toutes les persoes qu m ot adé à réalser ce traval de recherche trouvet c l epresso de ma grattude. Les dettes de recoassaces cotractées tout au log de la cofecto de ce traval vot d abord à Moseur BOUHERAOUA Al, qu m a proposé le thème de ce traval. Je lu sus recoassate pour so ade et so ecadremet. Je tes à remercer Moseur l UMMTO d avor accepté de présder le jury. BOUAFIA Youcef, Professeur à Mes remercemets vot auss à moseur HAMZA Al, Maître de coférece à l UMMTO, et à moseur AIT AIDER Hacèe, Maître de coférece à l UMMTO, de m avor fat l hoeur traval. d eamer ce J adresse mes chaleureu remercemets à mes parets pour leur soute tout le log de mes études, mes frères et sœurs as qu à mo mar, HANAFI, pour so ade, sa patece, ses cosels, ses ecouragemets et so soute moral surtout pedat les momets dffcles.

3 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque sommare SOMMAIRE INTRODUCTION 0 Chaptre I ELEMENTS DE STATISTIQUES ET PROBABILITES I. Gééraltés 05 I. Dstrbutos statstques et représetatos assocées 06 I.3 Fréqueces cumulées et focto de répartto I.4 Caractérstques d ue dstrbuto. Tedace cetrale et dsperso 3 I.5. Modèle théorque de dstrbuto. Varables aléatores d échatlloage 0 Chaptre II SIMULATION ET GENERATION DE VARIABLES ALEATOIRES II. Smulato 6 II. Géérato de varables et vecteurs aléatores 3 II.3 Smulato de Mote Carlo 40 Chaptre III LES TECHNIQUES DE GEOSTATIQUE III. Itroducto 44 III. Bases de la géostatstque 45 III.3 Proprétés du varogramme 47 III.4 Varato d estmato et varace de dsperso 50 III.5 Le Krgeage 5 Chaptre IV VARIABILITE SPATIALE DES PARAMETRES GEOTECHNIQUES IV. Itroducto 59 IV. sources d certtudes sur les paramètres de sol 60 IV.3 Approche probablste 64 IV.4 Modélsato stochastque de la varablté spatale 67 IV.5 Cocluso 7 Chaptre V CORRELATIONS ENTRE LES PROPRIETES DES SOLS V. Itroducto 73 V. Relatos et corrélatos das les sols : gééraltés 73 V.3 Prcpales techques d étude des corrélatos 76 V.4 Eemples de corrélatos 83 V.5 Domaes de valdté des corrélatos 88 Chaptre VI METHODE PRATIQUE DE CALCUL PROBABILISTE VI. Itroducto 9 VI. Appromato par les séres de Taylor 9 VI.3 Appromato par tégrato umérque 93 VI.4 Appromato par ue lo ormale ou log ormale (Lamb, 974) 95 VI.5 Smulato : méthode de MONTE-CARLO 96 VI.6 Estmato poctuelle : méthode de Roseblueth 00

4 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque sommare Chaptre VII ANALYSE PROBABILISTE DE QUELQUES OUVRAGES VII. Itroducto 05 VII. Coeffcet de sécurté et probablté de rupture 05 VII.3 Méthode de calcul probablste du comportemet des ouvrages 0 VII.4 Aalyse probablste de la stablté des petes VII.5 Processus de moblsato de la résstace au csallemet 4 VII.6 Prcpes géérau des méthodes d aalyse probablste de la stablté des petes 3 VII.7 perspectves 33 VII.8 Aalyse de la cosoldato bdmesoelle des sols 34 VII.9 Capacté portate 5 VII.0 Autres calculs 5 Chaptre VIII ANALYSE PROBABILISTE DE QUELQUES CAS D ETUDE VIII. Itroducto 56 VIII. Méthodologe et outls de modélsato 56 VIII.3 La cosoldato 56 VIII.4 Aalyse probablste du comportemet des murs de soutèemet 04 VIII.5 Aalyse probablste d ue semelle 7 CONCLUSION 36

5 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX LISTE DES FIGURES Fgure I. Représetatos graphques des varables omales Fgure I. Représetatos graphques des varables cotues Fgure I.4 Focto de répartto Fgure I.5 Classe médae Fgure I.6 Coeffcets d asymétre Fgure I.7 Dstrbuto t de Studet (type VII de Pearso) Fgure I.8 Eemples de dstrbuto gamma. Fgure I.9 Classfcato des dstrbutos selo la valeur de K Fgure I.0 La courbe e cloche Fgure II. Procédure de géérato de valeurs aléatores d'ue varable X dot la focto de répartto G () est coue. Fgure III. Eemple de varogramme Fgure III. Ajustemet du varogramme- Modèle théorque. Fgure III.3 Modèles de varogramme Fgure III.4 Varace d estmato (a) et varace de dsperso (b) Fgure III.4 Varace d estmato (a) et varace de dsperso (b) Fgure IV Schéma gééral de calcul par u modèle de type probablste Fgure IV Les dfféretes formes de varato des paramètres de sol e focto de la profodeur (Jaksa, 995). Fgure IV Modfcato des caractérstques d autocorrélato par séparato de la dérve (Maga, 98) Fgure V. Estmato de la valeur la plus probable de y pour ue valeur doée de, sur la base de l aalyse de régresso de X et Y Fgure V. Relatos etre la teeur e eau w et le coeffcet de compressblté C c /(+ e 0 ) pour les tourbes de Normade Fgure V.3 Relatos etre le tau de varato de la perméablté C k et l dce des vdes tal e 0 des argles du Caada Fgure V.4 Relatos etre la lmte de lqudté w L et l dce de compresso C c Fgure V.5 Relatos etre la presso lmte ette pressométrque et la résstace de côe statque q c pour les sables de Dukerque Fgure V.6 Relatos etre la presso lmte ette pressométrque p l -p 0 et la résstace de côe statque q c pour des argles de proveaces dverses

6 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX Fgure V.7 Relato etre les résstaces de côe statque q c et dyamque q d pour des sables argleu Fgure V.8 Lmtatos des corrélatos : varablté à l téreur d u ste [doées du ste epérmetal des Laboratores des Pots et Chaussées à Cubzac-les-Pots Fgure VI. Procédure de géérato de valeurs aléatores d ue varable X dot la focto de répartto G() est coue. Fgure VI. Eemple de stuato complee pour le calcul du coeffcet de sécurté Fgure VII. Dstrbuto des probabltés de C et R Fgure VII.3 Hypothèses géométrques et mécaques de l aalyse de stablté Fgure VII.4 Hypothèses géométrques Fgure VII.5 Etapes du calcul de stablté à l ade d abaques Fgure VII.6 Valeurs de la cohéso o draée mesurées das chaque couche Fgure VII.7 Hstogramme des résultats des calculs Fgure VII.8 Géométre de la surface de glssemet Fgure VII.09 Varato de la cohéso du sol Fgure VII.0 Procédure de détermato du cercle de rupture le plus défavorable Fgure VII. Géométre et paramètre du cas étudé par Aloso (976) Fgure VII. Posto des pézomètres et coclusos des mesures Fgure VII.3 Procédure de géérato de valeurs aléatores d ue varable X dot la focto de répartto G() est coue Fgure VII.4 Courbes d égale probablté de rupture et d égal coeffcet de sécurté Fgure VII.5 Cotrbutos de dfférets facteurs à la varace des momets (cercle crtque) Fgure VII.6 Ifluece de la presso tersttelle sur la probablté de rupture Fgure VII.7 Ifluece de la cohéso et du frottemet sur la probablté de rupture Fgure VII.8 Ifluece du degré d autocorrélato des proprétés du sol sur la probablté de rupture. Fgure VII.9 Relato etre te coeffcet de sécurté et la probablté de rupture. Fgure VIII.0 Comparaso dés mesures et du résultat de l aalyse probablste (Rembla B de Cubzac-les-Pots, Maga et Baghery, 98). Fgure VII. Mallages utlsés pour les calculs e élémets fs : mallage (a) pour le calcul de la varablté uquemet vertcale ; mallage (b) pour le cas de la varablté vertcale et horzotale. Fgure VII. Schéma motrat les dfféretes étapes écessares à la détermato de la soluto probablste

7 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX Fgure VII.3 Evoluto au cours du temps du tassemet de pluseurs pots du massf (a), des écarts-types (b) et des coeffcets de varato (c) (varablté udmesoelle). Fgure VII.4 Evoluto au cours du temps des surpressos tersttelles moyees e pluseurs pots du massf (a), des écarts-types (b) et des coeffcets de varato (c) (varablté udmesoelle). Fgure VII.5 Evoluto au cours du temps du tassemet de pluseurs pots du massf (a), des écarts-types (b) et des coeffcets de varato correspodats (c) (varablté bdmesoelle). Fgure VII.6 Evoluto au cours du temps des surpressos tersttelles moyees e pluseurs pots du massf (a), des écarts-types (b) et des coeffcets de varato correspodats (c) (varablté bdmesoelle). Fgure VII.7 Comparaso des calculs probablstes et détermstes : (a) Comparaso de l évoluto des tassemets de la surface du sol selo les calculs (échelle léare du temps logarthmque) ; (b) Comparaso de l évoluto des tassemets de la surface du sol selo les calculs (échelle du temps logarthmque) ; (c) Comparaso de l évoluto des écarts-types selo les calculs (valeurs à 0 m et 3m de profodeur) Fgure VII.8 Comparaso des calculs probablstes et détermstes : a) Comparaso de l évoluto des surpressos tersttelles e focto de la profodeur au temps 000 et 0000 jours ; (b) Comparaso de l évoluto des écarts types des surpressos tersttelles ; (c) et des coeffcets de varato correspodats. Fgure VII.9 Surfaces stochastques de rupture. Fgure VII.30 Coeffcets stochastques de sécurté. Fgure VIII. Mallage utlsé das l étude de la cosoldato udmesoelle das le cas de la varablté udmesoelle Fgure VIII. Dagramme de chargemet Fgure VIII.3 Evoluto, au cours du temps de la moyee du tassemet e pluseurs pots du sol Fgure VIII.4 Evoluto, au cours du temps de la moyee du tassemet e focto de la profodeur Fgure VIII.5 Evoluto, au cours du temps de la moyee des surpressos tersttelles e pluseurs pots du sol

8 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX Fgure VIII.6 Evoluto, au cours du temps, des certtudes du tassemet, e focto de la profodeur Fgure VIII.7 Evoluto des certtudes du tassemet, e focto de la profodeur, à des temps dfférets. Fgure VIII.8 Evoluto, au cours du temps, des certtudes des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.9 Mallage utlsé das l étude de la cosoldato udmesoelle das le cas de la varablté bdmesoelle Fgure VIII.0 Evoluto, au cours du temps de la moyee du tassemet e pluseurs pots du sol. Fgure VIII. Evoluto, e focto de la profodeur, de la moyee du tassemet, à dfférets temps. Fgure VIII. Evoluto, au cours du temps, de la moyee des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.3 Evoluto, au cours du temps, des certtudes des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.4 Evoluto, e focto de la profodeur, du tassemet, à des temps dfférets. Fgure VIII.5 Evoluto, au cours du temps, des certtudes des surpressos tersttelles e pluseurs pots du sol. Fgure VIII.6 Evoluto, au cours du temps, du tassemet, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.7 Evoluto, e focto de la profodeur, à des temps dfférets. Fgure VIII.8 Evoluto, au cours du temps, des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.9 Evoluto, au cours du temps, des écarts types du tassemet, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.0 Evoluto du tassemet, e focto de la profodeur, à des temps dfférets. Fgure VIII. Evoluto, au cours du temps, des certtudes des surpressos tersttelles e pluseurs pots du sol. Fgure VIII. Evoluto, au cours du temps, du tassemet, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.3 Evoluto, e focto de la profodeur, à dfférets temps. Fgure VIII.4 Evoluto, au cours du temps, des surpressos tersttelles à dfféretes profodeurs. v

9 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX Fgure VIII.5 Evoluto, au cours du temps, des écarts types du tassemet, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.6 Evoluto des écarts types du tassemet, à dfférets temps, e focto de la profodeur. Fgure VIII.7 Evoluto, au cours du temps, des écarts types des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.8 Evoluto, au cours du temps, du tassemet, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.9 Evoluto du tassemet, au cours du temps, à dfférets temps. Fgure VIII.30 Evoluto, au cours du temps, des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.3 Evoluto, au cours du temps, des écarts types du tassemet, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.3 Evoluto du tassemet, e focto de la profodeur, à dfférets temps. Fgure VIII.33 Evoluto, au cours du temps, des écarts types des surpressos tersttelles, Fgure VIII.34 Evoluto, e focto de la profodeur, du tassemet, à des temps dfférets Fgure VIII.35 Evoluto, au cours du temps, du tassemet, à dfféretes profodeurs à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.36 Evoluto, au cours du temps, des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs. Fgure VIII.37 Evoluto, au cours du temps, des écarts types du tassemet, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.38 Evoluto, e focto de la profodeur, des écarts types du tassemet, à des temps dfférets. Fgure VIII.39 Evoluto, au cours du temps, des écarts types des surpressos tersttelles, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.40 Evoluto, au cours du temps, du tassemet, à dfféretes profodeurs Fgure VIII.4 Evoluto du tassemet, au cours du temps, à des temps dfférets. Fgure VIII.4 Evoluto des surpressos tersttelles, au cours du temps, à des temps dfférets. Fgure VIII.43 Evoluto des écarts types du tassemet, au cours du temps, à des temps dfférets. Fgure VIII.44 Evoluto des écarts types du tassemet, e focto de la profodeur, à des temps dfférets. v

10 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX Fgure VIII.45 Evoluto des écarts types des surpressos tersttelles, au cours du temps, à des temps dfférets. Fgure VIII.46Comparaso des calculs probablstes u, b et trdmesoelle das le cas de la varablté udmesoelle (V) : (a) Comparaso de l évoluto des tassemets de la surface du sol e focto du temps (b) Comparaso de l évoluto des surpressos tersttelles à 3 m de profodeur Fgure VIII.47Comparaso des calculs probablstes u, b et trdmesoelle das le cas des varabltés bdmesoelle (V) et trdmesoelle (V3) : (a) Comparaso de l évoluto des tassemets de la surface du sol e focto du temps (b) Comparaso de l évoluto des surpressos tersttelles à 3 m de profodeur Fgure VIII.48 Présetato du mur de soutèemet pods étudé. Fgure VIII.49 Mallage et codtos au lmtes. Fgure VIII.50 Mallage et codtos au lmtes du cas aalysé. Fgure VIII.5 Mallage et codtos au lmtes du cas aalysé (E et varables aléatoremet d ue couche à ue autre). Fgure VIII.5 Mallage et codtos au lmtes du cas aalysé (E et varables aléatoremet d u bloc à u autre). Fgure VIII.53Cotrates horzotales moyees derrère le mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.54 Cotrates horzotales ma et m derrère le mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.55 Evoluto des écart-types des cotrates horzotales derrère le mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.56 Déplacemets horzotau moyes derrère le mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.57 Déplacemets horzotau ma et m derrère le mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.58 Evoluto des écart-types des déplacemets horzotau derrère le mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.59 Cotrates vertcales moyees à la base du mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.60 Cotrates vertcales ma et m à la base du mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.6 Evoluto des écart-types des cotrates vertcales à la base du mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.6 Déplacemets vertcau moyes à la base du mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.63 Déplacemets vertcau ma et m derrère le mur pour les dfférets calculs v

11 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX Fgure VIII.64 Evoluto des écart-types des cotrates vertcales à la base du mur pour les dfférets calculs Fgure VIII.65 Schéma motrat les dfféretes étapes écessares à la détermato de la soluto probablste Fgure VIII.66 Présetato de la fodato superfcelle étudée Fgure VIII.67 Mallage réalsé pour l étude du mur de soutèemet pods Fgure VIII.68 Mallage, codtos au lmtes et chargemet du cas étudé Fgure VIII.69 La posto de lge de coupe Fgure VIII.70 déplacemets vertcau «V» Fgure VIII.7 Cotrates de csallemet ma «σ ma» Fgure VIII.7 les Isovaleurs Fgure VIII.73 Mallage, codtos au lmtes et chargemet cas statstquemet homogèe Fgure VIII.74 Valeurs moyee mamales et mmales des déplacemets vertcau du cas statstquemet homogèe Fgure VIII.75 Valeurs moyee des Cotrates de csallemet mamales du cas statstquemet homogèe Fgure VIII.76 Mallage, codtos au lmtes et chargemet du cas Stratfé Fgure VIII.77 Valeurs moyee des déplacemets vertcau du cas statstquemet Stratfé Fgure VIII.78 Valeurs moyee des Cotrates de csallemet mamales du cas statstquemet Stratfé Fgure VIII.79 Mallage, codtos au lmtes et chargemet du cas hétérogèe Fgure VIII.80Valeurs moyee des déplacemets vertcau du cas statstquemet Stratfé Fgure VIII.8 Valeurs moyee des Cotrates de csallemet mamales du cas statstquemet Stratfé Fgure VIII.8 Valeurs moyees des déplacemets horzotau des dfférets calculs comparé au cas détermste Fgure VIII.83 Ecart type des déplacemets horzotau pour les dfférets calculs Fgure VIII.84 Valeurs moyees des cotrates de csallemet ma des dfférets calculs comparé au cas détermste Fgure VIII.85 Ecart type des cotrates de csallemet ma pour les dfférets calculs v

12 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque TABLEAUX LISTE DES TABLEAUX Tableau I. Dfférets types de varables statstques Tableau I. Présetato des varables statstques Tableau I.3 Varables cotues : ampltudes et fréqueces Tableau I.4 Dstrbutos cumulées Tableau I.5 Caractérstques d ue dstrbuto Tableau VI. Valeurs aléatores pour dstrbuto uforme R U (0,) (moyee 0,499, écart type 0,989) Tableau VI. Valeurs aléatores pour ue dstrbuto rédute uforme R U (0,) (moyee 0,403, écart type 0,9047). Tableau VII. Valeurs aléatores pour dstrbuto uforme R U (0,) (moyee 0,499, écart type 0,989) Tableau VII. Valeurs aléatores pour ue dstrbuto rédute uforme R U (0,) (moyee 0,403, écart type 0,9047). Tableau VIII. Caractérstques des matérau pour la modélsato Tableau VIII. Hypothèse de calcul Tableau VIII.3 Valeurs géérées des paramètres varables c et v

13 NOTATIONS Notatos prcpales h v K ' h ' v K 0 c c ' ' E K a K p p a p p F a F p c w W S P p P a R F r F g : Cotrate latérale totale. : Cotrate vertcale totale. : Coeffcet de la presso des terres. : Cotrate latérale totale effectve. : Cotrate vertcale totale effectve. : Coeffcet des terres au repos. : Agle de frottemet tere du sol. : Cohéso totale du sol. : Pods volumque total du sol. : Cohéso effectve du sol. : Agle de frottemet tere effectf du sol. : Module d Youg. : Coeffcet de posso. : Agle de dlatace. : Coeffcet de la presso actve. : Coeffcet de la presso passve. : Presso actve. : Presso passve. : Résultate de la presso actve par mètre léare de largeur. : Résultate de la presso passve par mètre léare de largeur. : L agle de frottemet écra-sol. : Adhérece sol-mur. : Pods du mur. : Sous-Presso. : butée des terres. : Poussée des terres. : Réacto du sol de fodato. : Coeffcet de stablté au reversemet. : Coeffcet de sécurté au glssemet. e : Ecetremet de la composate ormale de R. U U e N : Focto approchée : Focto eacte. : Foctos d terpolato odales ou foctos de forme.

14 NOTATIONS e N B D K k e {U} {F} f V (X) (X) C V (X) E (X) : Domae. : Sous domaes. : Matrces des foctos d terpolato odale. : Matrce de déformato. : Matrce qu cotet les proprétés élastques du matérau. : Matrce de rgdté globale. : Matrce de rgdté de l élémet. : Vecteur déplacemet global. : Vecteur des forces odales. : Fréquece. : Moyee arthmétque. : Varace. : Ecart-type. : Coeffcet de varato. : Espérace mathématque.

15 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque RESUME RESUME La mécaque des sols repose sur des hypothèses smplfcatrces qu goret le caractère hétérogèe des sols. Les méthodes de calcul actuellemet utlsées e géotechque (dtes méthodes détermstes) se baset sur des los de comportemet du sol ou des valeurs fes sot attrbuées au paramètres fgurat das les équatos du modèle mathématque adopté. Les varatos d u pot à u autre des proprétés physques et mécaques du sol crée pourtat des certtudes sur les valeurs représetatves des paramètres de calcul, ce qu se tradut par des certtudes sur la prévso du comportemet des ouvrages. Et malgré le développemet d outls de calculs (méthodes umérques) de plus e plus performats et ue descrpto de sol de plus e plus proche de la réalté, l este toujours u écart etre les résultats de calcul et les valeurs réelles. C est das l espor de rédure ce bas estat, ou, tout au mos de progresser das la compréheso de ces dvergeces, que les géotechces pousset leurs vestgatos das l applcato de techques dverses, dot les statstques et probabltés, avec comme objectfs de predre e compte l effet de la varablté des proprétés physques et mécaques de sol das les dvers calculs d ouvrages. E d autres termes, o dot résoudre le problème suvat : commet, à partr des résultats d essa de laboratore et stu, peut-o évaluer au meu la varablté aturelle des paramètres de sol, dot l échatlloage est souvet fragmetare et lmté, et commet predre e compte cette varablté das les calculs pour détermer la soluto d u problème de mécaque des sols? La descrpto et l'aalyse de l'certa e géotechque, avec pour champs d'applcato la sécurté des ouvrages et les rsques, sot des questos à la mode e ce début du l eme sècle. Le préset rapport, composé de sept chaptres, dresse u pett état de l art des techques d aalyse des sols hétérogèes et apporte u éclarage sur ue faço dfférete d estmer les solutos de problèmes géotechques. Le premer chaptre a trat à la descrpto de la varablté des paramètres géotechques. Il justfe l opportuté d ue approche ouvelle pour predre e charge le problème que pose l hétérogéété des sols. Les méthodes pratques de calcul probablste qu sot eposées au chaptre VI, eget la maîtrse d u certa ombre de otos telles que les statstques et probabltés (chaptre I), les techques de géostatstque (chaptre III) et les otos de smulato que ous avos teté de vulgarser au chaptre II. Pour ue melleure descrpto des proprétés des sols, l ous a semblé utle d eposer les corrélatos etre proprétés des sols (chaptre V). Le chaptre VII doe ue llustrato de quelques cas d applcato cocerat les calculs d ouvrages de géotechques, comme le problème de stablté qu représete ue des plus fréquetes applcatos de l approche probablste das le domae géotechque ou l aalyse probablste de la cosoldato. Cela met e œuvre des techques dverses pour ver à bout des dffcultés héretes à la varablté des paramètres de sols. O terme ce traval par ue quelques cas de calculs probablstes.

16 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque RESUME ABSTRACT Sol mechacs s based o smplfyg assumptos whch gore the heterogeety of sols. The calculato methods curretly used geotechcal egeerg (kow determstc methods) are based o laws of behavour from the groud or fed values are assged to parameters the equatos of the mathematcal model adopted. The varatos from oe pot to aother of the physcal ad mechacal propertes of sol, however, creates ucertaty about the values of represetatve parameters of calculato, whch traslates to ucertaty about predctg the behavour of structures. Ad despte the developmet of computatoal tools (umercal methods) more effcet ad a descrpto of sol creasgly close to realty, there s stll a gap betwee results ad the actual values. I the hope of reducg ths estg bas, or at least progress uderstadg these dffereces, that geotechcas pushg ther vestgatos the applcato of varous techques, cludg statstcs ad probablty, wth the am to take to accout the effect of varablty of physcal ad mechacal propertes of sol the varous calculatos of books. I other words, we must solve the followg problem : how, from the results of laboratory testg ad stu, ca we best assess the atural varablty of sol parameters, cludg samplg s ofte fragmetary ad lmted, ad how to take ths varablty to accout the calculatos to determe the soluto to a problem of sol mechacs? The descrpto ad aalyss of ucertaty geotechcal egeerg, wth the scopes of works ad safety hazards, are matters to be fashoable at the begg of lth cetury. Ths report, cosstg of seve chapters, provdes small state of the art techques for aalyzg heterogeeous sols ad sheds lght o a dfferet way to estmate the solutos of geotechcal problems. The frst chapter deals wth the descrpto of the varablty of geotechcal parameters. It justfes the desrablty of a ew approach to hadle the problem of the heterogeety of sols. These aalyss techques outled Chapter VI requres the mastery of a umber of cocepts such as statstcs ad probablty (Chapter II), geostatstcal techques (Chapter IV) ad the otos of smulato that we have tred to popularze the Chapter III. For a better descrpto of sol propertes, t seemed useful to epla the correlatos betwee sol propertes (Chapter V). Chapter VII s a llustrato of some cases of applcato for the calculato of geotechcal structures, such as the stablty problem whch s oe of the most commo applcatos of the probablstc approach the geotechcal aalyss or probablstc of cosoldato. It mplemets varous techques to overcome the dffcultes heret the varablty of sol parameters. We cocludes ths work by eempls

17 INTRODUCTION GENERALE

18 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque INTRODUCTION INTRODUCTION GENERALE Tradtoellemet, l'aalyse et le dmesoemet des ouvrages e géotechque sot basés sur des approches détermstes. Das ces approches, les aléas et certtudes des dfférets paramètres (caractérstques du sol, chargemet, etc ) sot prs e compte de maère smplfée sous la forme d'u facteur de sécurté global. Ce facteur est souvet appelé facteur d'gorace car l représete otre gorace des certtudes des dfférets paramètres. Pour ter compte des aléas et certtudes hérets au dfférets paramètres, la théore de la fablté est actuellemet de plus e plus utlsée e géotechque. Cec est deveu possble grâce au avacées mportates au veau de la quatfcato des certtudes des paramètres du sol. Le traval de cette thèse cocere l'utlsato des méthodes fablstes das le calcul des ouvrages géotechques. Les méthodes de calcul actuellemet utlsées e géotechque (dtes méthodes détermstes) se baset sur des los de comportemet du sol ou des valeurs fes sot attrbuées au paramètres fgurat das les équatos du modèle mathématque adopté. Les facteurs de sécurté as calculés sot comparés à des dfféretes sources d certtudes comme par eemple l échatlloage lmté, les erreurs de mesure évtables, l mperfecto des modèles mathématques et la varablté das le temps et das l espace des prcpau paramètres géotechques. Il est évdet que ces derers e peuvet jamas être évalués de maère etèremet détermste. C est pourquo les résultats fau d ue aalyse géotechque deveet à leur tour affectés par ue certae quatté d certtude. Il a semblé utle, das cette étude, de teter d éumérer l esemble des techques d aalyse des massfs de sols hétérogèes. Ces techques preet e compte le caractère hétérogèe des sols das la descrpto des proprétés physques Page

19 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque INTRODUCTION et mécaques des sols et das les calculs d ouvrages géotechques e estmat les rsques et les certtudes qu e découlet. La varablté élevée des paramètres géotechques, leur caractère évolutf das le temps et l espace et l certtude mportate qu les affectet, redet écessare leur prse e compte sous forme de champs aléatores. Ces derers sot défs comme des varables aléatores auquelles o assoce ue localsato das l espace. L approche probablste, et c est la méthode prcpale das l s agt, tet compte du caractère aléatore des varables. Elle fourt u résultat eprmé e probablté de rupture. Celle-c costtue ue mesure homogèe de la fablté qu peut e outre s tégrer das ue étude écoomque globale. Les méthodes de calcul probablste estates sot as passées e revue et ue aalyse crtque e est faîte das l optque de leur applcato au problèmes de mécaque des sols. Sur la même base de la théore de l formato, d autres méthodes sot eamées telle la méthode d estmato poctuelle de Roseblueth ou la méthode d appromato par les séres de Taylor. Auparavat, l état écessare d sster sur quelques outls élémetares mas essetels sas quo toutes ces techques auraet pas été possbles. Le chaptre I doe quelques élémets et autres otos de ce qu l est oblgatore de maîtrser s l o veut aller au bout des projets : les otos de statstques et probablstes. Celles-c sot ue faço péétrer l cou qu découle de l hétérogéété des sols e termes de l certtude qu affecte l estmato des paramètres de calculs. La techque statstque utlsée das ce type d approche et qu reste la plus populare et la plus performate est évoquée et détallée au chaptre II. Il s agt de la smulato de Mote Carlo. Par alleurs, la oto de smulato y est largemet vulgarsée. Le chaptre III se dstgue du chaptre II par so aspect orgal, que l o dot à Mathero de l Ecole des Mes et que l o peut cosdérer comme ue eteso des Page

20 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque INTRODUCTION otos développées das ce chaptre II. Ces outls, dts de géostatstque, permettet ue descrpto des varatos des varables dtes régoalsées. Le chaptre IV trate de la varablté spatale des paramètres géotechques. Das chaptre l est démotré la écessté de la prse e compte de cette varablté et de ses effets sur les solutos des problèmes de gée cvl. Pour pouvor predre e compte le caractère hétérogèe du sol au travers de ses proprétés physques et mécaques, et doc pouvor décomposer le massf e élémets plus petts avec des valeurs des paramètres de calcul, ous utlsos presque toujours la méthode des élémets fs, be souvet au travers de logcels comme le CESAR-LCPC. C est la méthode la plus utlsée tat elle est performate. Das la pratque du gée cvl et partculèremet de la mécaque des sols, les corrélatos etre paramètres sot utlsées comme moye de cotrôle des résultats des essas e place et e laboratore, et comme moye de fabrcato de valeurs complémetares de certas paramètres e focto des autres. Ces otos, très utles das la recherche de la descrpto de la varablté des sols, sot passées e revue das le chaptre V. Le chaptre VI trate d ue questo essetelle das cette étude : les méthodes pratques de calcul probablste. Dverses méthodes estet plus ou mos performates et permettet la résoluto de problèmes complees. L avat derer chaptre, sot doc le chaptre VII, quelques cas d applcato sot alors évoquées ou passées e revues de maère détallée comme l aalyse probablste de la stablté des petes, l étude stochastque de la cosoldato b et trdmesoelle et l'effet de la varablté spatale du sol sur l'aalyse et le dmesoemet d'ue fodato superfcelle flate e se basat sur des mécasmes de rue e aalyse lmte. La méthode de dscrétsato des champs utlsée das ce chaptre est basée sur le cocept du moyeage local. Das toutes les études rapportées les auteurs testet dverses méthodes pour ver à bout de la varablté des proprétés physques et mécaques des sols. Page 3

21 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque INTRODUCTION Ces eemples motret que ces techques sot applquées auss be pour la modélsato statstque des varables que pour les méthodes de calcul qu y sot esute applquées. Il faut, e outre, oter que toutes ces approches proposées e sot pas lmtées à ce domae partculer de la mécaque des sols où et elles foursset u cadre pour l aalyse des problèmes résultat de l hétérogéété des sols, mas applcables auss à pratquemet tous les domaes de l art de l géeur. Malgré le développemet d outls de calculs (méthodes umérques) de plus e plus performats et ue descrpto de sol de plus e plus proche de la réalté, l este toujours u écart etre les résultats de calcul et les valeurs des solutos réels à la fos e laboratore et stu. C est das l espor de rédure ce bas estat, ou, tout au mos de progresser das la compréheso de ces dvergeces, que les géotechces pousset leurs vestgatos das l applcato de dverses techques dot les méthodes statstques et probablstes, avec comme objectf de predre e compte l effet de la varablté des proprétés physques et mécaques de sol sur le comportemet des ouvrages de gée cvl. Ef ce traval réalsé das le cadre de la préparato d u mémore de magster se terme par ue cocluso. L accet est as ms sur l mportace de ces techques et de leur développemet évetuel. L espor est qu u jour les géeurs accorderot plus d mportace à toutes ces méthodes das leurs dverses applcatos. Page 4

22 Chaptre I ELEMENTS DE STATISTIQUES ET PROBABILITES

23 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I Chaptre I ELEMENTS DE STATISTIQUES ET PROBABILITES I. GENERALITES I.. Beso de statstques Du fat de la varablté, o est das le domae de l certa. Cette scece de l certa, c est le déf qu a relevé la statstque e s appuyat sur le cocept de probablté. Plutôt qu ue seule valeur, la prse e compte de l certa permet de détermer u tervalle à l téreur duquel o a ue certae probablté de se stuer et doc u rsque de e pas y être. Das ce chaptre ous présetos les otos essetelles de la statstque descrptve, dspesables das l aalyse de la varablté des sols et le calcul probablste des ouvrages. O appred commet décrre de faço clare et cocse l'formato apportée par des observatos ombreuses et varées sur u phéomèe doé. Il s'agt de trer ces doées, les décrre, les résumer sous forme de tableau, de graphques, et sous forme d'u pett ombre de paramètres-clés (moyee, médae par eemple). I.. Statstque descrptve et statstque féretelle De maère appromatve, l est possble de classer les méthodes statstques e deu groupes : celu des méthodes descrptves et celu des méthodes féretelles. - La statstque descrptve. O regroupe sous ce terme les méthodes dot l objectf est la descrpto des doées étudées ; cette descrpto des doées se fat à travers leur présetato (la plus sythétque possble), leur représetato graphque, et le calcul de résumés umérques. Das cette optque, l est pas fat appel à des modèles probablstes. O otera que les termes de statstque descrptve, statstque eploratore et aalyse des doées sot quasmet syoymes. - La statstque féretelle. Ce terme regroupe les méthodes dot l objectf prcpal est de précser u phéomèe sur ue populato globale, à partr de so observato sur ue parte restrete de cette populato ; d ue certae maère, l s agt doc d dure (ou Page 5

24 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I ecore d férer) du partculer au gééral. Le plus souvet, ce passage e pourra se fare que moyeat des hypothèses de type probablste. Les termes de statstque féretelle, statstque mathématque, et statstque ductve sot eu auss syoymes. D u pot de vue méthodologque, la statstque descrptve précède e gééral la statstque féretelle das ue démarche de tratemet de doées : les deu aspects se complètet be plus qu ls e s opposet. I. DISTRIBUTIONS STATISTIQUES ET REPRESENTATIONS ASSOCIEES I.. Déftos de base O appellera : Idvdu, l'uté d'observato (eemples : etreprse, chaîe de producto) ; Populato, l'esemble des dvdus cocerés par l'étude (eemples : esemble des etreprses algérees, esemble des pèces sortat de la chaîe) ; Échatllo, u sous-esemble de la populato dot les dvdus ferot l'objet de l'étude. Le cho de l'échatllo se fat e respectat certaes règles ; Varable, ou caractère statstque, l'aspect de l'uté statstque que l'o va étuder (eemples : stuato géographque de l'etreprse, damètre de la pèce). O dra que cette varable pred des valeurs (ou modaltés). I.. Types de varables statstques O peut défr quatre classes (ou types) das lesquelles se répartsset les varables statstques selo la ature de leurs valeurs. Les dfférets types de varables sot présetés das le tableau I.. Page 6

25 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I Esemble des valeurs prses par la varable Amorphe (sas structure) Ordoé Ue parte de l esemble des eters Ue parte de l esemble des réels Tableau I. Dfférets types de varables statstques Dfférets types de varables statstques Type de Eemples varable Catégorelle (ou omale) Ordale Dscrète Cotue See Natoalté Catégore socoprofessoelle Cotrôle Qualtatf d ue pèce Stuato de famlle Tout jugemet qualtatf Meto à u eame Nombre d efats Nombre de dplômes Pods Température Fréquece d u sgal Ampltude d u brut thermque Valeur boursère Gere de varable Qualtatves Quattatves I..3 Dstrbutos statstques. Effectfs, fréqueces Lorsque le recuel des doées a été effectué, o dspose, pour chacu des dvdus de l échatllo (ou de la populato), de la valeur de la varable étudée. Le premer tratemet cosste alors à relever cette valeur pour chaque dvdu et esute à compter le ombre d dvdus pour lesquels la varable pred ue valeur doée. O assoce, à chaque valeur prse par le caractère statstque étudé, so effectf. Notato : les varables serot otées par des lettres majuscules X, Y, Z ; o ote leurs modaltés (valeurs) par des lettres muscules, y j, z l et les effectfs assocés par Eemple : X = see, = fém, = mascul, = ombre de femmes, = ombre d hommes Ce tratemet est be sûr drectemet possble que pour les varables qualtatves ou dscrètes, qu ot qu u ombre lmté de valeurs possbles, dscerables etre elles. Pour les varables cotues, o commece par rager les observatos e classes, celles-c état des tervalles de la forme a, a, j, l.. Esute, pour chaque classe, o compte le ombre d dvdus dot le caractère appartet à la classe : ce ombre est l effectf de la classe. O ote k le ombre de modaltés. Défto : o appellera dstrbuto statstque des effectfs de la varable X : Page 7

26 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I L esemble des doées,,,..., k L esemble des doées a, s X est ue varable qualtatve ou dscrète,, a,,,..., k, s X est ue varable cotue. Les résultats sot gééralemet présetés das u tableau du type du tableau II.. Tableau I. Présetato des varables statstques X est catégorelle, ordale ou dscrète Présetato des varables statstques X est cotue Classes Effectfs Classes Effectfs.. k.. k a 0, a a, a.. a k, a k.. k Total () N = k Total N = k () N est l effectf total de l échatllo Remarque : das le cas des doées dvduelles (c est-à-dre lorsque l o e regroupe pas les réposes), o a :.. k. À la dstrbuto d effectfs défe c-dessus, o préfère souvet la dstrbuto de fréqueces assocée. Défto. La fréquece (ou proporto) assocée à la valeur du caractère (resp. à la classea, a ) est la valeur f défe par : f N La fréquece f représete doc la part de l échatllo pour laquelle la valeur de la varable est (ou appartet à, a ). O peut par eemple l eprmer sous forme de pourcetage a (le pourcetage sera alors00 f ). Remarque. Cette quatté est dépedate de la talle de l échatllo, ce qu permet de comparer les résultats obteus sur pluseurs échatllos. Les fréqueces vérfet les proprétés suvates : 0 f f f... f,..., k k Page 8

27 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I I..4 Représetatos graphques des dstrbutos statstques Très souvet, o préfère des représetatos graphques à des tableau. Les graphes apparasset comme plus «parlats». Ces représetatos sot adaptées au type de varable étudée : omale, ordale, dscrète ou cotue. a. Varables omales O dspose pour ces varables de dagrammes e bâtos, as que de dagrammes crculares (ou e secteurs, ou e «camembert»). Dagramme e bâtos (fgure II.a) À chaque modalté, o assoce u «bâto» de logueur f (ou, s l o veut, à l effectf ). O a doc h Cte f. h proportoelle à la fréquece Pour ue varable omale, seules les hauteurs sot sgfcatves ; l ordre et l écart des e sot pas sgfcatfs. Dagramme crculare (fgure II.b) L agle de chaque secteur E degrés, o a 360 f. est proportoel à la fréquece f. C est la représetato la plus utlsée pour les varables omales. C est la représetato la plus utlsée pour les varables omales. De surcroît, elle est plus fdèle que la précédete. Fgure I. Représetatos graphques des varables omales Page 9

28 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I b. Varables ordales et varables dscrètes Varables ordales O utlse les mêmes représetatos que pour les varables omales. Toutefos, l covet de oter que, pour le dagramme e bâtos, l ordre des modaltés à u ses cocret, car l dot correspodre à l ordre estat etre les valeurs. Varables dscrètes Pour ce type de varables, o préfère le dagramme e bâtos car, das ce cas, l ordre et l écart etre les bâtos sot sgfcatfs. c. Varables cotues : hstogramme, polygoe des fréqueces, dagramme «brache et feulle» classes O cosdère ue varable statstque cotue dot les valeurs ot été ragées e a, a. L ampltude de la classe, a a est A a a. Pour représeter graphquemet la dstrbuto statstque d ue telle varable, o a recours à u hstogramme. Le prcpe est le suvat : à chaque classe, o fat correspodre u rectagle de base l tervalle a, a (pour la classe ) et de hauteur h, de sorte que la surface du rectagle sot proportoelle à l effectf. As, o calcule la hauteur rectagle au moye de la formule suvate : h a D u pot de vue pratque, o costtuera u tableau du type du tableau II.3. a h du Tableau I.3 Varables cotues : ampltudes et fréqueces Varables cotues : ampltudes et fréqueces Classes Effectfs Fréqueces f Ampltudes A Hauteurs h. k. a a, a 0, a a k, a k. k f f. f k a a 0 a a a. k a k (a a 0 ) (a a ). k (a k a k O obtet as le graphque de la fgure II. : - e abscsse, o porte l esemble des valeurs prses par la varable, découpé e classes ; - e ordoée, o porte les hauteurs : Page 0

29 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I h a - o trace ef des rectagles. Remarque. S les ampltudes sot toutes égales, o porte les effectfs e ordoée. La costructo de l hstogramme s opère de la faço suvate : O calcule la dfférece de la dstrbuto, dfférece etre la valeur la plus élevée et la valeur la plus fable. O partage l étedue de la dstrbuto, e k classes d ampltudes égales. O compte le ombre de valeurs comprses das chacue des classes. Pus o reporte ces ombres N sur u graphque où l o porte e abscsse les valeurs du paramètre étudé et e ordoée les effectfs de chaque classe. a Fgure I. Représetatos graphques des varables cotues À partr de l hstogramme d ue varable statstque cotue, o peut tracer le polygoe des fréqueces assocé (fgure II.b) e procédat de la maère suvate : - o jot par des morceau de drotes les mleu des segmets horzotau supéreurs des rectagles de l hstogramme ; Page

30 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I - o ajoute à drote et à gauche de l hstogramme des classes fctves, toutes deu de même ampltude et d effectf ul, ce qu doe alors leu à deu ouveau segmets. Remarque. O e dot pas «lsser» la courbe. E derer leu, lorsque l o étude u échatllo de fable talle (N < 00) et que l o dspose des doées dvduelles, o peut dresser, pour la varable étudée, u dagramme dt brache et feulle (e aglas stem ad leaf), qu a l avatage de coserver l formato de la répartto à l téreur des classes. Prcpe. Das tout ombre, o peut dstguer deu partes : u chffre de «plus haut pods» (brache) et u chffre de «plus bas pods» (feulle). I.3. FREQUENCES CUMULEES ET FONCTION DE REPARTITION I.3.. Fréqueces cumulées Pour les varables qualtatves ordales et pour les varables quattatves, o peut eploter la relato d ordre estat etre les valeurs possbles de la varable. O déft as les dstrbutos cumulées (Fgure II.3 et tableau II.4). Fgure I.4 Focto de répartto Tableau I.4 Dstrbutos cumulées Valeurs Effectfs Fréqueces Effectfs cumulés Fréqueces cumulées.. k- k f f k- k- f k- k k f k f + f +f k- f +f + +f k k =N f +f + +f k = Page

31 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I I.3. Focto de répartto Cette oto e cocere que les varables quattatves. Défto. La focto de répartto du caractère X est la focto F, allat de l esemble des réels vers [0,], défe par : F () = proporto d dvdus de l échatllo dot la valeur de X est < Sot X ue varable cotue, dot les valeurs sot ragées e classes, a,..., a, a 0 k a k avec des fréqueces,..., f k f. O commece par calculer les valeurs de F au pots du découpage : F(a f (a 0 k ) ) f 0, F(a f ) f,..., F(a... f k k ) f f... f Esute, das chaque classe, a, o fat ue terpolato léare (o rele les a pots etrêmes par u segmet de drote). Pus o prologe la courbe par 0 à gauche de a 0 et par à drote de a k (fgure 3). k, I.4 CARACTERISTIQUES D UNE DISTRIBUTION. TENDANCE CENTRALE ET DISPERSION I.4. Gééraltés Jusqu à préset, ous ous sommes téressés uquemet à la représetato des doées statstques. Cepedat, s l est vra que les dvers tableau et graphes défs plus haut «résumet» la dstrbuto, ls e permettet aucue quatfcato. Le but de ce paragraphe est doc de défr, pour chaque type de dstrbuto statstque, u certa ombre de caractérstques (ou dcateurs), c est-à-dre quelques ombres permettat de résumer de maère quattatve (et o plus qualtatve) chaque dstrbuto. Be etedu, mporte quelle quatté e peut pas être u dcateur. E 950, le statstce Yule a doé u certa ombre de proprétés de «bo ses» que dovet, a pror, vérfer les dcateurs statstques. Selo lu, ceu-c dovet : - être déf de maère objectve (et doc être dépedat de l observateur) ; - utlser toutes les observatos ; - avor ue sgfcato cocrète, af d être comprs par les o-spécalstes ; - être smple à calculer ; - être peu sesbles au fluctuatos d échatlloage (oto trodute das l artcle suvat de ce traté) ; Page 3

32 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I - se prêter asémet au opératos mathématques smples. Nous ous lmteros c à types de caractérstques statstques : - celles dtes de tedace cetrale, qu doet u «ordre de gradeur» de la varable étudée e dégageat la modalté de la varable la plus représetatve ; - celles dtes de dsperso qu, elles, foursset des formatos sur la faço dot les dvdus se répartsset (se «dsperset») autour de la tedace cetrale. Le tableau II.5 doe les caractérstques étudées pour chaque type de varable. Tableau I.5 Caractérstques d ue dstrbuto CARACTERISTIQUES D UNE DISTRIBUTION Type de varable Tedace cetrale Dsperso Nomale Mode ordale Mode, médae, quatles Ecart terquartle Quattatve Mode, médae, quatles, moyee Ecart-type, écart terquartle I.4. Caractérstques de tedace cetrale a. Mode Il est déf pour tous les types de varables. O le déft comme sut. - S X est ue varable statstque omale, ordale ou dscrète, le mode de la dstrbuto assocée est la modalté de X la plus représetée, c est-à-dre celle pour laquelle l effectf est le plus grad ; - S X est ue varable cotue, le mode (ou classe modale) de la dstrbuto assocée est la classe dot la hauteur das l hstogramme est la plus élevée. b. Médae et quatles Ces dcateurs sot défs pour toutes les varables sauf les varables omales. La médae est la valeur de la varable telle que le ombre d observatos supéreures ou égales à cette valeur est égal au ombre d observatos strctemet féreures à cette valeur. O vot que, par eemple, pour les varables cotues, cela revet à chercher u tel que F() 0, 5. E règle géérale, cette valeur de este pas das le tableau de doées dot o dspose. C est pourquo o adopte la défto suvate : la médae de la dstrbuto de X est doée par : pour les varables ordales ou dscrètes : Page 4

33 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I o S la fréquece cumulée e est < 0,5 et celle e vaut, est > 0,5, alors la médae o S la fréquece cumulée e est égale à 0,5, alors la médae vaut ; Pour les varables cotues, répartes e classes, a a : o S F(a ) 0. 5 et (a ) 0. 5 a et o calcule la médae par terpolato léare sur l tervalle a, a : M F, la classe médae est, a éd a ( a a avec F focto de répartto de X (fgure II.5), o S F(a ) 0. 5, la médae vaut a. 0.5 F( a ) ) F( a ) F( a ) Remarque. La médae est peu sesble au valeurs etrêmes de la varable, doc au erreurs de mesure qu, be souvet, produset des valeurs aberrates. O dt que la médae est robuste ou résstate. Celle oto de médae peut se gééralser à celle de quatle. Sot das l tervalle 0,. S F(a ) et F(a ), o déft le ombre Q, quatle d ordre, par Q a Les cas partculers les plus ctés sot : o Les quartles o Les décles o Les cetles. (a a F(a ) ) F(a ) F(a ) Fgure I.5 Classe médae Page 5

34 Effet de la varablté des paramètres de sol sur le comportemet des ouvrages de géotechque Chaptre I c. Moyee arthmétque Elle est défe que pour les varables quattatves et, pour celles- c, c est la caractérstque de tedace cetrale la plus «aturelle» et la plus utlsée. La moyee (arthmétque) d ue varable X sera otée et O déft la moyee arthmétque de la maère suvate. N... k S X est ue varable quattatve dscrète, doée par sa dstrbuto d effectfs,,,..., k,, alors la moyee de X est doée par N... k k S X est ue varable cotue ragée e classes, a, la moyee de X est N a c c... kc k Où, pour tout,c est le cetre de la classea, a, sot c a a O dra qu ue varable est cetrée s sa moyee est ulle. Il faut oter les remarques suvates : - la moyee peut être défe à l ade des fréqueces f f... f k k : pour les varables dscrètes et f c f c... f pour les varables cotues ; kc k - l este d autres sortes de moyees (géométrque, harmoque ) dot ous e parleros pas c ; - la moyee, preat e compte toutes les valeurs observées, est très sesble au observatos aberrates ; - chaque fos que la répartto est assez symétrque (ce qu se tradut par u hstogramme proche d ue courbe «e cloche»), la moyee, la médae et le mode sot proches. La moyee est plus élevée que le mode ou la médae s la répartto est dssymétrque, avec u accet vers les valeurs élevées ; s l accet est, par cotre, sur les valeurs fables, la moyee est plus pette que le mode ou la médae. I.4.3 Caractérstques de dsperso Les caractérstques de tedace cetrale doet u ordre de gradeur du caractère statstque observé. Il est téressat d obter des formatos sur la varablté des observatos et de leur dsperso autour de la tedace cetrale. Itutvemet, ue «boe» Page 6