Quelques éléments de statistiques

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1 Quelques élémets de statstques

2 Avat-propos Ces quelques élémets coceret essetellemet les statstques au programme das l esegemet secodare. Ils preet appu sur les documets utlsés par M. ARTIGUES, IA-IPR de Mathématques, lors d u stage septembre 00 à Bueos-Ares à destato des professeurs de mathématques des établssemets fraças d Amérque du Sud. Deux objectfs essetels présdaet à ce stage : fare appréheder la démarche propre aux statstques à travers leur esegemet das le secodare, egager ue réflexo sur la pratque actuelle (ou l absece de pratque ) das cet esegemet. La plupart des documets qu suvet sot extrats ou largemet sprés des ouvrages ctés das la bblographe qu est lo d être exhaustve sur le sujet. Les lecteurs sot vtés à les cosulter sas modérato af de compléter le pot de vue très parcellare développé das ces quelques pages. S quelques exemples de smulato avaet été doés au cours du stage, ls ot pas été reprs c. Les travaux de ombreux collègues ou des IREM ot abodammet almeté dfférets stes e la matère. /47

3 Sommare AVANT-PROPOS SOMMAIRE 3 PRÉAMBULE 4. Qu est-ce que la statstque? 4. Statstque et probabltés 5 3. La démarche statstque 5 CHAPITRE LA STATISTIQUE DANS L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 7. Le schéma gééral. Les programmes 7 7 CHAPITRE LES GRAPHIQUES 8. Gééraltés 8. Cas d u caractère qualtatf 9 3. Cas d u caractère quattatf dscret 0 4. Cas d u caractère quattatf cotu 0 5. Graphques e tges et feulles (stem ad leaf) 4 CHAPITRE 3 LES INDICATEURS 7. Les caractérstques de posto ou de tedace cetrale. Les caractérstques de dsperso 7 CHAPITRE 4 LOIS DISCRÈTES 7. Lo de Beroull. Lo bomale B( ; p) Lo Hypergéométrque H(N ; ; p) 8 4. Lo de Posso 9 CHAPITRE 5 LOIS CONTINUES 34. Rappel 34. Lo uforme Lo ormale ou lo de Laplace-Gauss 35 CHAPITRE 6 THÉORÈMES DE CONVERGENCE 40. La covergece e lo. La covergece e probablté ANNEXE : SOURCES ET BIBLIOGRAPHIE 47 3/47

4 Préambule. Qu est-ce que la statstque? Quelques ctatos amusates glaées c et là : Edmod et Jules de GONCOURT : Alphose ALLAIS : Mark TWAIN : «La statstque est la premère des sceces exactes.» «La statstque a démotré que la mortalté das l armée augmete sesblemet e temps de guerre.» «Il exste tros sortes de mesoges : les mesoges, les sacrés mesoges et les statstques» Adolphe THIERS : «L art de précser les choses que l o gore» LAVELEYE : «L art de metr mathématquemet» MACAULEY : Lous ARMAND : «Les chffres dset toujours ce que souhate l homme hable qu sat e jouer» «Les statstques, c est comme le bk, ça motre tout, mas ça cache l essetel» Plus séreusemet : ENCYCLOPEDIA UNIVERSALIS : «Le mot statstque désge à la fos u esemble de doées d observatos et l actvté qu cosste das leur recuel, leur tratemet et leur terprétato» PETIT LAROUSSE : (du lat status, état) «Esemble de méthodes mathématques qu, à partr du recuel et de l aalyse de doées réelles, permettet l élaborato de modèles probablstes autorsat les prévsos» Dael SCHWARTZ : «La statstque est u mode de pesée permettat de recuellr, de trater et d terpréter les doées qu o recotre das dvers domaes, et tout partculèremet das les sceces de la ve, du fat que ces doées présetet ue caractérstque essetelle : la varablté.» La varablté est u cocept fodametal e statstque : des dvdus apparemmet semblables peuvet predre des valeurs dfféretes. Quelques exemples : Le ombre de quarters das le frut du coquelcot : le plus souvet égal à 3, l peut varer de 6 à 0! Le temps de latece d ue malade vrale du tabac (mosaïque) : l vare de 3 à 34 jours. E cours de fabrcato, la logueur d u proflé alumum est jamas parfatemet costate. Pour l essetel, l aalyse statstque est ue étude de la varablté. 4/47

5 . Statstque et probabltés La théore des probabltés modélse des phéomèes où le «hasard» tervet. Comme toute théore mathématque, elle est basée sur ue axomatque et se développe de faço autoome par rapport à la réalté physque. La statstque repose, elle, sur l observato de phéomèes. Quels les etre la statstque et les probabltés? G. Saporta e vot schématquemet tros. Les doées observées sot souvet mprécses ou etachées d'erreur. La théore des probabltés permet de représeter les dévatos etre vraes valeurs et valeurs observées comme des varables aléatores. O costate souvet que la répartto statstque d'ue varable au se d'ue populato est vose de modèles mathématques proposés par la théore des probabltés (los de probablté). Les échatllos d'dvdus observés sot la plupart du temps trés au hasard das la populato, cec pour assurer mathématquemet leur représetatvté : s le trage est fat de maère équprobable chaque dvdu de la populato a ue probablté costate et be défe d'apparter à l'échatllo. Les caractérstques observées sur l'échatllo deveet, grâce à ce trage au sort, des varables aléatores et le calcul des probabltés permet d'étuder leurs réparttos. Das les deux premers cas, la théore des probabltés propose des modèles (smplfcateurs mas peut-être cotestables), du comportemet d'u phéomèe (par exemple la durée de ve X d'u composat électroque sut ue lo expoetelle, c est à dre P (X > x) = exp ( λx)). Das le derer cas, la théore des probabltés fourt des théorèmes s le processus d'échatlloage est respecté : as le théorème cetral lmte permet d'établr que la moyee X d'ue varable umérque mesurée sur dvdus s'écarte de la moyee m de la populato etère selo ue lo approxmatvemet gaussee. Le calcul des probabltés est doc u des outls essetels de la statstque pour pouvor extrapoler à la populato les résultats costatés sur l'échatllo. 3. La démarche statstque O dstgue deux grads aspects : L aspect exploratore : statstque descrptve La statstque descrptve a pour objectf de sythétser, résumer, structurer l formato coteue das les doées cocerat u phéomèe étudé. O utlse des représetatos graphques ou des tableaux et o calcule quelques dcateurs. Le rôle des modèles probablstes est quasmet exstat. L aspect décsoel : statstque féretelle Das so documet, La statstque au collège, Y. Olver décrt la statstque féretelle de la faço suvate : E gééral, les esembles d observato correspodet à des échatllos lés au hasard (o dt auss présetat u caractère aléatore) et l o essae de modélser le phéomèe à l ade de modèles probablstes (o s appue sur certaes los de probabltés classques). Cela permettra so des prévsos tout du mos des présomptos qu sot préceuses das l étude de certas fats (socaux, écoomques ou dustrels). L férece cosste doc à étuder les proprétés d u échatllo représetatf d u esemble plus vaste et à gééralser ces proprétés e se soucat des questos suvates : les fats étudés sot-ls 5/47

6 sgfcatfs et sot-ls caractérstques de proprétés plus géérales? Elles permettet de predre de «boes» décsos malgré la présece d certtudes comme das la recherche de qualté de produt fabrqué ou comme das les aalyses e laboratores pharmaceutques par exemple. La démarche du statstce peut être llustrée par le schéma suvat extrat de la brochure Iter-IREM «Laso Collège-Secode». Schéma llustrat la démarche propre à la statstque descrptve Collecte des résultats : () Dépoullemet, crtque des résultats () Présetato des doées (3) Aalyse des résultats : (4) Mse e ordre logque (5) Réducto des doées (6) Formulato d hypothèses (8) Iducto Déducto à partr des doées Comparaso à des résultats théorques établs à l ade du calcul des probabltés. (7) Vérfcato Iterprétato (9) Explcato des résultats Cocluso Acto 6/47

7 Chaptre La statstque das l esegemet secodare. Le schéma gééral Statstque descrptve élémetare (f, x, σ) Observatos de stuatos aléatores Stablsato des fréqueces Géométre Itroducto au modèle probablste Séres statstques à ue ou deux varables. Ajustemet Aalyse combatore Calcul des probabltés Statstques multdmesoelles (Aalyse des doées) Statstque féretelle. Les programmes Il serat trop log c de rappeler le coteu des programmes de statstques de la sxème à la termale. C-dessous u certa ombre de les vers le ste maths du rectorat de l académe de Bordeaux. Les statstques au collège (PDF, 63 Ko) Les statstques au lycée Secode (PDF, 7 Ko) Premère L (PDF, 4 Ko) Premère ES (PDF, 80 Ko) Termale ES (PDF, 434 Ko) Termale S (PDF, 39 Ko) Termale STI (PDF, 43 Ko) Premère S (PDF, 00 Ko) Premère STI (PDF, 44 Ko) 7/47

8 Chaptre Les graphques. Gééraltés C est la parte des statstques la mos souvet oublée das l esegemet secodare car elle moblse la oto de proportoalté sous ses dfféretes formes. Les graphques sot de atures très dverses : u tableur comme Excel offre de multples possbltés. Ils poset cepedat de ombreuses terrogatos qu ot été formulées par J.C. Grard das la revue Repères 3 (avrl 996) : Sur le ses des graphques Quel est l'avatage d'u graphque sur u tableau de valeurs? Le graphque sert-l d llustrato ou permet-l de découvrr ue structure des doées que le tableau e mettat pas e évdece? Peut-o repasser du graphque au tableau? Quelle percepto de la réalté a-t-o e regardat u graphque? Pourquo tel graphque plutôt que tel autre? Das quels cas, chacu est-l pertet? Sur des otos qu revoet à dfférets domaes mathématques Les camemberts utlset la oto d'agle et de mesure d'agle qu e sot pas toujours acquses. Commet peut-o predre e compte cet état de fat? Que représete le dsque complet? Autremet dt, quel est l'esemble sur lequel o calcule les pourcetages? Les hstogrammes et les graphques e barres ou e bâtos utlset ue échelle vertcale sur laquelle o porte des effectfs ou des fréqueces. Sur quel esemble de référece ces fréqueces ot-elles été calculées? Lorsqu o représete des varatos, sot-elles calculées de faço absolue ou relatvemet à ue valeur de référece? Exemple Le lvre pose les questos suvates : ) Observe ce graphque. ) Essae de le lre. 3) Quels resegemets doe-t-l? 4) Essae de tradure ce graphque par u tableau de ombres. O pourrat auss demader (e CM, e 6 e ou plus tard!) : Sur quo sot calculés les pourcetages? Est-ce 0% des fraças qu partet e vacaces (extrat d'u lvre de CM :Objectf Calcul -Édtos Hater) Bretage et Normade 3% Dvers % Cetre et Sud-Ouest 5% Pays étragers 0% à l'étrager ou 0% de ceux qu partet e vacaces qu vot à l'étrager? Alpes et Md % Peut-o calculer combe de fraças partet à l'étrager? combe partet e vacaces? etc. 8/47

9 Exemple (extrat du même lvre) Que représete la logueur de chaque barre? Sur quo ot été calculés les pourcetages? Peut-o comparer ces dfférets pourcetages? Quelle dée veut doer ce graphque? Superfce 6% Océae Amérque 3% Afrque 3% 7% Europe Populato Océae Amérque 7% 9% Afrque Europe 8% Ase 55% 33% Ase Superfce et populato des cotets L'objectf essetel des graphques est de représeter la sére statstque. Comme toute représetato, ces graphques dovet être : lsbles (les doées représetées dovet pouvor être lues), fdèles (la réalté des doées e dovet pas être déformées par la réalsato du graphque), autosuffsats (tous les resegemets dovet être ms das la légede y comprs l'esemble de référece). O l'a comprs chaque graphque dot être pertet par rapport aux doées et à l objectf poursuv.. Cas d u caractère qualtatf % 6% Jeues (-0 as) Adultes Persoes âgées (+65 as) Dagramme e barres 59% Jeues (-0 as) Adultes Persoes âgées (+65 as) Dagramme crculare Le dagramme e barres permet de comparer les partes etre elles. Lorsque les modaltés sot ordoées par effectfs décrossats, o obtet u dagramme dt de Pareto. La logueur de la barre est proportoelle aux effectfs ou à la fréquece. 9/47

10 Le dagramme à secteurs (crculare ou sem-crculare) : l permet de comparer la parte au tout. L'are du secteur est proportoelle à l'effectf ou à la fréquece. S l'o veut comparer pluseurs dagrammes à secteurs etre eux (sur pluseurs aées par exemple), les rayos dovet être proportoels à la race carrée de l'effectf total. Ces deux types de représetato écesstet d avor ue boe percepto metale d u pourcetage sot das le domae des logueurs sot das celu des ares. 3. Cas d u caractère quattatf dscret O utlsera : Le dagramme e bâtos (ou à bades) : l permet de faclemet comparer les effectfs ou les fréqueces etre eux. Reler les sommets etre eux pour costtuer ce qu est ommé parfos le polygoe des effectfs a pas de ses : e effet les pots des segmets autres que les extrémtés 'ot aucue sgfcato! O peut égalemet utlser u dagramme à secteurs s o souhate comparer la parte au tout. Toutefos le dagramme sem-crculare dot être prvlégé pour respecter ue structure d ordre à mettre e évdece das les modaltés. Exemple : Sére de 00 lacers d u dé équlbré Fréquece e % 3% 6% 5 0 4% 5 0 6% % 8% Cas d u caractère quattatf cotu 4.. O utlse u hstogramme Il est costtué par des rectagles cotgus ayat pour base chacue des classes et ue are proportoelle à l'effectf ou à la fréquece de la classe correspodate. S les ampltudes sot toutes égales, la hauteur du rectagle est proportoelle à l'effectf (ou à la fréquece). S les ampltudes sot égales, la hauteur est proportoelle à la desté de la classe. E théore, l'hstogramme est la représetato graphque de la desté e tat que focto des dfférets tervalles de la partto de l'esemble des modaltés. E pratque, o dque ue uté d'are correspodate à u certa effectf (ou à ue certae fréquece ). 0/47

11 Effectf : Durée e s Durée des commucatos à u stadard téléphoque 0 clets Prx e euros Prx des repas servs das u restaurat 4.. Sur la oto d hstogramme O a trop tedace à cosdérer l hstogramme comme ue juxtaposto de rectagles dot l térêt se lmte : à l obteto d u dess, à satsfare u tem du programme. Preos l exemple de la modélsato du cotrôle du réglage d ue mache fabrquat des proflés alumum. Il paraît pertet de chosr ue varable quattatve cotue comme la logueur X e cm des proflés. Il est o mos pertet de chosr cette varable X absolumet cotue. RAPPEL Ue varable X est absolumet cotue s l exste ue focto f défe sur telle que : f est postve sur, f est cotue sur sauf peut-être e u ombre f de pots où elle admet ue lmte à drote et ue lmte à gauche, + f ()d t t =, x La focto de répartto F de X est lée à f par : F( x) = f( t)dt. O dt que f est ue desté de X. Abusvemet, f est appelée lo de X. /47

12 Les doées peuvet être placées das des tervalles dot l ampltude correspod à la précso de la mache (le mm par exemple). O chost u ombre f d tervalles otés [ a ; a + [ pour k. A pror, tous les ombres réels apparteat à u tel tervalle ot la même chace d être le résultat d ue mesure. d = f (x) a a + Cela se tradut pour le modèle adopté par ue desté (de fréquece) costate sur chaque tervalle. Pour estmer les valeurs d, o procède alors à u sodage e mesurat le plus grad ombre possble de proflés das des codtos admses detques. O obtet la sére statstque des mesures qu sot répartes etre les dfférets tervalles : Itervalles ] ; a [ [a ; a [ [a ; a + [ [a k ; a k+ [ [a k+ ; + [ Effectfs 0 k 0 Fréqueces 0 f f f k 0 O a alors : d = a + f. a REMARQUE L uté sur l axe des ordoées est alors : % /cm. Il est doc erroé d terpréter l axe des ordoées comme axe des effectfs ou des fréqueces, ce qu se fat malheureusemet souvet. La focto desté, obteue par observato statstque et représetée par l hstogramme, est ue focto costate par tervalles : d 3 d d a a λ a 3 µ a 4 La fréquece possble des proflés dot la logueur est comprse etre λ et µ est estmée par l are du domae rosé. O pourrat auss estmer la fréquece possble F (x) des proflés dot la logueur est féreure ou égale à x. Cette focto F est la focto cumulatve crossate ou focto de répartto de X. C est ue prmtve de la desté f. La courbe obteue est ue focto cotue et affe par tervalle. /47

13 F (x) f + f f a a a 3 x a 4 Das de ombreux ouvrages sur la statstque, o trouve la oto de polygoe des effectfs ou des fréqueces. Das le cas où les classes ot même ampltude, o suggère de tracer sur l hstogramme ue lge brsée relat les mleux des côtés supéreurs des rectagles de chaque classe. Lorsque les classes ot pas la même ampltude, o se ramèe au cas précédet par u découpage ad-hoc des classes. d 3 d d a a 3 a 4 Il s agt de remplacer l hstogramme précédet par u autre hstogramme représeté par ue courbe lmtat u domae d are égale à (ou à l effectf total) et cotue. L dée géérale est de lsser la courbe de desté pour la comparer à celle de varables coues servat de modèles et le procédé suggéré précédemmet fourt ue soluto à ce problème. Pour coclure, o peut reter cette défto proposée par J.C. Réger : Sot X ue varable statstque (resp. aléatore) absolumet cotue de desté f. L hstogramme est la surface lmtée par la représetato graphque de f et l axe des abscsses. 3/47

14 5. Graphques e tges et feulles (stem ad leaf) La réalsato d u hstogramme est pas exempte de dffcultés pour les élèves : oto d tervalle sem-ouvert, utlsato d ue échelle, proportoalté, cocept de desté Le graphque tges-feulles (Joh W. Tukey) est assez proche de l hstogramme sas avor les obstacles précédemmet ctés. Preos l exemple cté par J.C. Grard : les doées suvates représetet la dureté, e dce Rockwell, de 60 pèces mécaques après trempage. Das u premer temps les valeurs sot arrodes à l uté pour pouvor travaller sur des eters. Effectf O travalle mateat sur les valeurs au dxème : o obtet 44 valeurs dfféretes. U schéma aalogue au précédet e présete guère d térêt. Le graphque «Stem ad leaf» costtue u préalable téressat avat d aborder la oto d hstogramme ,9 54,0 55,0 55,6 56,6 57, ,4 54, 55, 55,6 56,7 58, ,9 54,4 55, 56,0 56,7 58, ,5 54,6 55, 56,0 56,9 58, ,9 54,6 55, 56, 57,0 58, (3) 53,0 54,6 55, 56, 57, 59, ,5 54,7 55, 56, 57, 59, ,6 54,7 55,4 56,3 57, 60, ,8 54,9 55,5 56,4 57,4 60, ,0 55,0 55,5 56,5 57,6 60, Tge 5, feulles 5 et 9 La smplcté de ce graphque est évdete, l revet à regrouper les valeurs das des tervalles d ampltude ( [ 50 ; 5 [, [ 5 ; 5 [, ). Par rapport à u hstogramme, l a l avatage de e perdre aucue formato sur les doées de départ. O est cepedat pas lo de l hstogramme : 4/47

15 Effectf par uté de la varable A partr des doées précédetes, o peut auss costrure deux tges par uté : (4) La premère tge correspod à l tervalle [ 50,5 ; 5 [, la secode à l tervalle [ 5 ; 5,5 [. L esemble de ces deux tges représetet les valeurs de l tervalle [ 50,5 ; 5,5 [, sot les valeurs qu ot été arrodes à 5. 50,5 5,5 54,5 56,5 58,5 60,5 5,5 53,5 55,5 57,5 59,5 6,5 Effectf par uté de la varable O peut alors élaborer u hstogramme dot les classes ot ue ampltude d ue uté. 5/47

16 Effectf par uté de la varable ,5 5,5 5,5 53,5 54,5 55,5 56,5 57,5 58,5 59,5 60,5 6,5 6/47

17 Chaptre 3 Les dcateurs O se place uquemet das le cas d ue varable quattatve. L objectf est de résumer l esemble des observatos par des dcateurs. Il est toujours suffsat de résumer ue sére par u seul dcateur. D'après Guy Brousseau, u modèle dot : représeter correctemet les observatos (pertece), être u résumé plus smple que les observatos (commucablté), permettre de recosttuer au meux l'esemble des observatos (fdélté), permettre de compredre les doées, c'est-à-dre de les placer par rapport à des modèles famlers, uversels et doc de permettre la comparaso avec d'autres modèles (tellgblté), être accessble au cotrôle mathématque (cosstace).. Les caractérstques de posto ou de tedace cetrale.. Le mode Pour ue varable statstque dscrète, le mode est la valeur la plus fréquete. Lorsque la varable est cotue, o parle de classe modale : c est la classe correspodat «au pc» de l hstogramme (G. Saporta), autremet dt c est la classe pour laquelle d est maxmale. Plus gééralemet, s X est ue varable statstque (resp. aléatore) absolumet cotue de desté f, o appelle mode toute valeur de la varable pour laquelle f est maxmum. Be etedu, l peut y avor pluseurs valeurs (resp. classes) modales. Exercce Le but de cet exercce est de motrer que la classe modale 'est pas écessaremet celle dot l'effectf est le plus grad. La répartto des salares auels, exprmés e mllers d euros (k ) de 90 employés d'ue etreprse est doée das le tableau suvat : Salares e k [3 ; 5[ [5 ;6[ [6 ;7[ [7 ;8[ [8 ;0[ [0 ;[ [ ;4[ Effectfs ( ) Tracer l hstogramme et détermer la classe modale. d après Itérares e Statstques et Probabltés (Ellpses) 7/47

18 .. Dstaces usuelles das. Pour les autres dcateurs de tedace cetrale, l s agt de résumer l esemble des observatos par ue valeur umérque relatvemet proche. La «proxmté» se mesurat à l ade de dstaces, l est utle de rappeler les dstaces usuelles das. Sot X = ( x, x,..., x ) R. Les dstaces assocées sot : O déft tros ormes usuelles : Pour tout ( XY, ) R R : X = x d ( X, Y) = X Y = = = = X x d ( X, Y) X Y (dstace eucldee) X = Max x d ( X, Y) = X Y Pour chacue de ces dstaces, la boule uté das le pla est doée c-après : Dstace d Dstace d Dstace d.3. La moyee.3.. Cas d ue varable dscrète La moyee x d'ue sére statstque est la somme de ses élémets x + x x dvsée par leur ombre : x =. S c, c,..., c sot les valeurs dstctes prses par les x et s désge l'effectf de la valeur c, o a : k c k = x = ou ecore x = fc avec f = = La moyee mmse la dstace d. Cela sgfe que, parm les vecteurs "costats" ( aa,,..., a), le vecteur X= ( x, x,..., x) est le plus proche du vecteur X = ( x, x,..., x ) au ses de d. Preuve : Sot A= ( a, a,..., a) = d ( X, A) = ( x a) = f( a) La focto f est du secod degré. 8/47

19 = = f( a) = a a x + x f sera mmale pour A= x = x = = Alors f ( x) = d ( X, X) = ( x x) = V( X) Le calcul de f( x) doe alors : = = V ( X) = ( x x) = x ( x) Iterprétato géométrque = d ( X, A) X A sera mmum lorsque A est la projecto orthogoale de X sur la drote vectorelle egedrée par (,,...,) X X = V( X) = s où s est l'écrt-type. Proprété : Léarté de la moyee Sot deux séres statstques ( x, x,..., x ) et ( y, y,..., y ) telles que, pour tout de [ ; ], o at y = ax + b. Alors y = ax + b. E partculer, pour a= et b= x, o a y = 0. La ouvelle sére a ue moyee ulle. O dt qu'o a cetré les doées x. Proprété : Regroupemet ou partto Sot deux séres statstques ( x, x,..., x ) et ( y, y,..., y ) de moyees respectves x et y. Sot ( z, z,..., z ) la sére obteue par regroupemet des deux + m séres précédetes et z sa moyee. x + my Alors z =. + m La preuve est mmédate. m Moyee élaguée La moyee est sesble aux valeurs extrêmes. Pour paller cet covéet, o peut décder de e pas ter compte des valeurs extrêmes das le calcul de la moyee. Sot (x, x,, x ) ue sére statstque et α u réel de [0 ; ]. La moyee élaguée de veau α est la moyee de la sére prvée d u ombre de valeurs extrêmes égal à E(α), sot à gauche, sot à drote, sot blatéralemet. E prcpe α = 0,05 ou α =0,0. 9/47

20 .3.. Cas d ue varable cotue Le regroupemet des valeurs e classes etraîe ue perte d formato. Das ce cas o e peut calculer qu ue valeur approchée de la moyee. Pour trouver ue telle valeur approchée, o cosdère que toutes les valeurs d ue classe sot rapportées au cetre de cette classe. O remplace doc la sére tale par ue sére dscrète. Be etedu, cette valeur approchée déped de la ature du regroupemet e classes effectué. O pourrat predre l approxmato de la dstrbuto uforme à l téreur d ue même classe : ce modèle codut à la même valeur approchée que précédemmet Comparaso des moyees das le cas d ue répartto uforme Les p valeurs x, x,..., x p sot uformémet répartes sur l tervalle [ a, a + [ sgfe : a x x x p a + ( a+ a) k [ ; p], xk= a+ k p + Notos x la moyee de ( x, x,..., x ). k= p p ( a+ a) px = xk= pa + k. k= p + k= p pp ( + ) ( a+ a) Or k =. Doc px = pa+ p k= a + a+ sot x =. x est doc le mleu du segmet [ a ; a + [ p As, quel que sot le modèle d approxmato chos (regroupemet au cetre de classe ou répartto uforme à l téreur de l tervalle), la moyee obteue est la même. Exercce Lors du regroupemet e classes de doées abodates, l y a évdemmet perte d formato. Certes o peut espérer que les erreurs trodutes par la cocetrato des doées au cetre de chaque classe se eutralset das le calcul de la moyee, mas l e est pas toujours as, comme le motre l exemple suvat :. Das ue classe, la lste des otes obteues à u devor de mathématques par les élèves classés par ordre alphabétque est la suvate : Détermer ue valeur approchée de la moyee x de cette sére statstque.. Le professeur décde de classer ses élèves e cq groupes : [ 0 ; 4 [ [ 4 ; 8 [ [ 8 ; [ [ ; 6 [ [ 6 ; 0 [ fable médocre moye satsfasat très bo Détermer les effectfs de chaque classe. 0/47

21 E utlsat le cetre des classes, calculer la moyee y de cette sére statstque. 3. Le professeur evsage ue autre répartto et refat ses calculs avec le regroupemet suvat : [ 5 ; 0 [ [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 0 [ [ 0 ; 5 [ très satsfasat coveable suffsat très fable Quelle est la moyee z de cette derère sére statstque? Réposes : : 0, ; : 0,8 ; 3 : 0,5. d après Itérares e Statstques et Probabltés (Ellpses).4. La moyee des valeurs extrêmes La moyee des valeurs extrêmes d'ue sére ( x, x,..., x ) est m( x) + max( x) doée par r =. Peu usté car très sesble aux valeurs extrêmes, elle mmse. Cela sgfe que, parm les vecteurs "costats" ( aa,,..., a), le vecteur (,,..., ) est le plus proche du vecteur (,,..., ) au ses de. rr r x x x d d r mmse la focto f défe par x f () t = Max t x r x.5. La médae La médae d'ue sére statstque ordoée ( x, x,..., x ) est xp + xp xp s = p+ et + s = p. Das le cas d ue varable cotue, la pratque habtuelle cosste à tracer la focto de répartto e fasat l hypothèse d ue répartto uforme das chaque tervalle pus d exploter cette représetato graphque pour détermer l atécédet de 0,5. D après le documet du GEPS sur les quatles, cette pratque est pas ustée chez les statstces. Le GEPS précose de parler de classe médae. «La procédure qu cosste à tracer ue courbe dte de fréqueces cumulées crossate, cotue, obteue par terpolato léare à partr des valeurs F(a ) défes c-dessus et à défr la médae comme l tersecto de cette courbe avec la drote d équato y=0,5, où avec ue courbe aalogue dte des fréqueces cumulées décrossates est pas ue pratque usuelle e statstque et e sera pas proposée au lycée. S des doées sot regroupées e classe, o parle de classe médae.» La médae m e mmse la dstace d. Cela sgfe que, parm les vecteurs «costats» (a, a,, a), le vecteur M e = (m e, m e,, m e ) est le plus proche du vecteur X = (x, x,, x ) au ses de d. /47

22 Preuve : d ( X, A) = a x = f( a) = La focto f est cotue, dérvable sur chaque tervalle e coteat pas x. Pour tout t x, f (t) sera égatf s l y a plus de valeur x supéreures à t que de valeurs x féreures et f (t) sera ul s l y a autat de valeurs x supéreures à t que de valeurs x féreures. D où le mmum est attet pour a = m e. Le programme de ère S prévot la oto de quartle. Le GEPS propose la défto suvate pour ue oto plus géérale de quatle : E statstque, pour toute sére umérque de doées à valeurs das u tervalle I, o déft la focto quatle Q, de [0,] das I, par : Q(u) = f{x, F(x) u}, où F(x) désge la fréquece des élémets de la sére féreurs ou égaux à x. Sot la talle de la sére ; s o ordoe la sére par ordre crossat, Q(u) est la valeur du terme de cette sére dot l dce est le plus pett eter supéreur ou égal à u. Das le cadre de cette défto, les tros quartles sot Q = Q(0,5), Q = Q(0,50) et Q 3 = Q(0,75). Les 9 décles sot les valeurs de Q(/0), = 9, les 99 cetles sot les valeurs de Q(/00), = 99. O déft assez souvet la médae m e par m e = Q(0,5) : la médae est alors le secod quartle, le cquème décle, le cquatème cetle, etc. Vor le documet du GEPS (PDF, 58 Ko). Les caractérstques de dsperso.. L étedue L étedue de la sére (x, x,, x ) est égale à : max(x ) m(x ). Comme la moyee des valeurs extrêmes, elle est très sesble à ces valeurs extrêmes... L écart terquartle L écart terquartle est la quatté Q 3 Q..3. Ue autre représetato : «la boîte à moustaches». Elle est due à JW. Tukey et est appelée «box plot» e aglas. Le dess sufft à l explcato : M er cetle 99 e cetle Médae Q Q 3 Max Pour comparer des populatos qu ot pas le même effectf, o trace la largeur du rectagle proportoelle à la race carrée de la populato. /47

23 Exercce Comparer les salares das les tros etreprses suvates d u même secteur dustrel. Etreprse Talle m Q Me Q3 max A B C À partr des doées, o obtet la représetato suvate : Etreprse A m Q Me Q3 max Etreprse B Etreprse C d après Itérares e Statstques et Probabltés (Ellpses) Das les premers dagrammes de Tukey, la logueur des «moustaches» est,5 fos l écart terquartle. Les dagrammes de Tukey étaet utlsés das des secteurs où les doées peuvet le plus souvet être modélsées e utlsat ue lo de Gauss ; das ce cas, au veau théorque, les extrémtés des «moustaches» sot voses du premer et 99 e cetle : ces dagrammes étaet surtout utlsés pour détecter la présece de doées exceptoelles. O utlse aujourd hu les dagrammes e botes pour représeter des dstrbutos emprques de doées quelcoques, o écessaremet symétrques autour de la moyee, et le chox de moustaches de logueurs,5 fos l écart terquartle e se justfe plus. (Documet d accompagemet des programmes de re S).4. Varace et écart type O a déjà recotré la varace das l terprétato géométrque de la moyee. Pour ue sére ( x, x,..., x ) de moyee m, o déft la varace V( X) et l'écart-type s par : V( X) = ( x m) et s= V( X) = Proprétés V( X) = ( x ) m = Pour tous a et b réels : V( ax + b) = a V( X) sax ( + b) = asx ( ) 3/47

24 Exercce O cosdère deux séres statstques portat sur le même caractère : ( x, ),...,( x, ), effectf total, moyee x, écart-type σ ; ( y, m ),...,( y, m ), effectf total m, moyee y, écart-type σ. p p x q q y O ote ( z, r ) la sére statstque obteue e regroupat les deux k k séres, z sa moyee et σ so écart-type. x + my. Motrer que z =. + m z ( x ) ( y ) z. Démotrer que : ( m+ ) σ = σ + ( x z) + m σ + ( y z) σ x + mσy m z = + x y E dédure : σ + m ( ) ( + m) 3. U professeur a corrgé copes d'exame. La moyee des otes est x et l'écart-type de la sére de otes est σ. Ue cope supplémetare (à corrger) lu est attrbuée. O désge par y la ote obteue pour cette cope. Exprmer e focto des doées la moyee et l'écart-type de la sére de ( + ) otes as obteue. Exste-t-l ue valeur de y qu e modfe pas la moyee? l'écart-type? les deux? Das le cas d ue varable cotue et d u regroupemet par classes, o obtet ue valeur approchée de la varace à l ade de la modélsato utlsée pour obter ue valeur approchée de la moyee, c est à dre e rameat toutes les valeurs d ue classe au cetre de cette classe. Rappelos que pour avor ue valeur approchée de la médae, o avat utlsé la modélsato de la répartto uforme par classe..5. À propos du regroupemet e classes.5.. Comparaso des varaces Sot ( x, x,..., x ) ue sére réparte e m classes [ a ; a [ ;[ a ; a [...[ a ; a [ 3 m m+ d'effectfs respectfs pour m (et = ). O ote x la moyee obteue par l'u ou l'autre des modèles choss. O ote σ l'écart-type réel de la sére, σ l'écart-type obteu e rameat les valeurs au cetre de chaque classe, et σ m = ue répartto uforme à l'téreur de chaque classe. l'écart-type obteu e supposat σ La varace σ est systématquemet sous estmée par, car o églge la varato à l'téreur de chaque classe ( σ <σ). σ E revache, σ est e gééral assez proche de. Comparos σ et σ : ( k ) k= m a + a+ ( ) où = σ = x x σ = c x c = 4/47

25 m σ = ( ) xk x e regroupat les valeurs par classe. = k= D'après ce qu précède, pour la ème classe, o a : kd x a où d a a. k = + = + + = + = ( xk x) ( xk c c x) k= k= = + Or ( c x) ( xk c ) + c x ( xk c) c = x k k= k= ( xk c) d k= k= ( ). k= doc le derer terme est ul. k = + = k + d k ( ) d d + k= 4 + k= d ( + )( + ) d ( + ) = + d ( + ) d ( + ) = d 6( + ) 4 d = + m m d Falemet, σ = ( c x) + = = + m d Sot : σ =σ + = + D'après ce qu précède, pour la ème classe, o a : kd x a où d a a. k = + = + + = + = ( xk x) ( xk c c x) k= k= = ( c x) + x c + ( c x) x c. k k k= k= ( ) ( ).5.. Regroupemet e classe et précso demadée das les exercces doés Lorsque l'o propose, e temps lmté, u exercce de statstque, o est codut à lmter le ombre de doées à trater (pour dmuer les problèmes de sase et de calcul). Pour cela o regroupe fréquemmet les doées e u pett ombre de classes. Il est mportat de veller à ce que ce regroupemet (qu costtue toujours ue perte d'formato) sot be compatble avec la précso demadée par la sute et que les réposes aux questos posées pusset être trouvées sas ambguïté. Documet de J.P. POUGET IA-IPR, académe de Crétel (PDF, 98 Ko) 5/47

26 .6. Iégalté de Beaymé-Tchebychev Sot ue sére statstque de moyee m et d écart type s. Pour tout α réel strctemet postf, o ote f α la fréquece des valeurs comprses etre m α s et m + α s (c est-à-dre X m α s). Alors f α > α Cette égalté, be que médocre, est valable quelle que sot la sére statstque. As plus de 75 % des valeurs sot das [ m s ; m + s ], plus de 88 % des valeurs sot das [ m 3 s ; m + 3 s ], plus de 93,75 % des valeurs sot das [ m 4 s ; m + 4 s ], 6/47

27 Chaptre 4 Los dscrètes. Lo de Beroull Ue varable aléatore X est ue varable de Beroull s elle e pred que les valeurs 0 et avec des probabltés o ulles. P(X = ) = p, P(X = 0) = p = q, avec p ] 0 ; [. Ue varable aléatore de Beroull llustre toute expérece aléatore ayat que deux ssues possbles et effectuée ue seule fos. Tradtoellemet le «succès» correspod à la valeur et l «échec» à la valeur 0. E(X) =.p + 0.( p) = p V(X) = (0 p) ( p) + ( p) p = p ( p) E résumé E(X) = p et V(X) = pq.. Lo bomale B( ; p).. L expérece de référece stadard.. Les résultats de base Ue ure cotet deux catégores de boules : des blaches e proporto p et des ores e proporto p. O effectue trages successfs d ue boule avec remse. O appelle X le ombre de boules blaches obteues au cours de cette expérece. k k k Lo de X : P(X = k) = C p ( p), k= 0;;... ;. Espérace, écart-type. X peut être cosdérée comme la somme de varables de Beroull X où X = s la boule trée au -ème trage est blache et X = 0 so. O a, pour tout { ; ; ; }, P(X = ) = p et P(X = 0) = p = q. E(X) = E X = E(X ) = p = = Les varables aléatores X peuvet être cosdérées comme dépedates. Doc : V(X) = V X = ( V(X ) ) = pq. = = 7/47

28 .3. Fréquece bomale X sut la lo B( ; p). X pq La fréquece est la varable F = d'où E(F) = E(X) = p et V(F) = V(X) =. E résumé : X sut la lo ( ; p). B k k k P(X = k) = C p ( p), k= 0;;... ; E(X) = p V(X) = pq σ (X) = pq X pq pq F = E(F) = p V(F) = σ (F) = 3. Lo Hypergéométrque H(N ; ; p) 3..Le modèle Ue ure cotet deux catégores de boules : des blaches e proporto p et des ores e proporto q = p. S N est le ombre de boules das l ure, l y a N p boules blaches et N( p) boules ores. O effectue trages successfs d ue boule sas remse. O appelle X le ombre de boules blaches obteues au cours de cette expérece. O sat que ce type de trage est équvalet à u trage exhaustf de boules. Cec est à rapprocher du prélèvemet d u échatllo de boules das l ure. 3.. La lo k k Np CN ( p) k C N C N k [0 ; ], P(X = k) = ; E( X) = p ; V( X) = pq N O peut remarquer que H(N ; ; p) et B( ; p) ot même espérace N mathématque. La varace e dffère que du coeffcet d exhaustvté N Covergece e lo O motre que, pour et p fxés et pour X N suvat H(N ; ; p), X N coverge e lo vers ue varable X qu sut B( ; p). C est-à-dre lm P(X = k) = P(X = k) N + L térêt est éorme : s N est grad et pett par rapport à N, o peut remplacer la lo hypergéométrque (qu déped de tros paramètres) par la lo bomale qu e déped que de deux paramètres et pour laquelle l exste des tables. E pratque, s < 0, N, o cosdère qu u trage exhaustf (trage u à u sas remse) est équvalet à u trage o exhaustf (trage u à u avec remse). N 8/47

29 4. Lo de Posso 4..Le cadre d terveto C est ue «lo lmte». O verra que, sous certaes codtos, ue lo de Posso est lmte d ue lo bomale. Das la pratque ue telle lo est utlsée pour approcher et décrre des phéomèes où les codtos d applcato de la lo bomale sot réues (répéttos dépedates d ue même épreuve dchotomque), où la probablté du cas favorable est fable et où le ombre d épreuves est grad. 4.. La lo La varable aléatore X sut la lo de Posso de paramètre λ ( λ>0) lorsque : X a pour esemble de valeurs k λ λ P(X = k) = e ( k= 0 ; ;... ; ;...) k! + + Alors : E(X) = kp( X = k) =λ V(X) = ( k λ ) P(X = k) =λ k= 0 k= 0 9/47

30 4.3. Extrats des tables de la lo de Posso fours lors les épreuves de BTS k -l l P( X = k) = e. ; E( X) = V( X) =l k! k\λ 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 0,887 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,637 0, 0,68 0,3033 0,393 0,3476 0,3595 0,3659 0,064 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,7 0,438 0, ,00 0,0033 0,007 0,06 0,098 0,084 0,0383 0, ,000 0,0003 0,0007 0,006 0,0030 0,0050 0,0077 0,0 5 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0004 0,0007 0,00 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0, ,0000 0,0000 0, k\λ, ,368 0,3 0,35 0,050 0,08 0,007 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,368 0,335 0,7 0,49 0,073 0,034 0,05 0,006 0,003 0,00 0,000 0,84 0,5 0,7 0,4 0,47 0,084 0,045 0,0 0,0 0,005 0,00 3 0,06 0,6 0,80 0,4 0,95 0,40 0,089 0,05 0,09 0,05 0, ,05 0,047 0,090 0,68 0,95 0,75 0,34 0,09 0,057 0,034 0,09 5 0,003 0,04 0,036 0,0 0,56 0,75 0,6 0,8 0,09 0,06 0, ,00 0,004 0,0 0,050 0,04 0,46 0,6 0,49 0, 0,09 0, ,000 0,00 0,003 0,0 0,060 0,04 0,38 0,49 0,40 0,7 0, ,000 0,000 0,00 0,008 0,030 0,065 0,03 0,30 0,40 0,3 0,3 9 0,000 0,000 0,003 0,03 0,036 0,069 0,0 0,4 0,3 0,5 0 0,000 0,00 0,005 0,08 0,04 0,07 0,099 0,9 0,5 0,000 0,00 0,008 0,03 0,045 0,07 0,097 0,4 0,000 0,00 0,003 0,0 0,06 0,048 0,073 0, ,000 0,00 0,005 0,04 0,030 0,050 0, ,000 0,000 0,00 0,007 0,07 0,03 0,05 5 0,000 0,00 0,003 0,009 0,09 0, ,000 0,00 0,005 0,0 0,0 7 0,00 0,00 0,006 0,03 8 0,000 0,00 0,003 0, ,000 0,00 0, ,00 0,00 0,000 0,00 0,000 30/47

31 4.4. Quelques exemples Exercce Das ue certae use l se produt, e moyee, cq accdets par a. O suppose que le ombre d'accdets sut ue lo de Posso. Calculer la probablté pour qu'l e dépasse pas sept. Quelle est la probablté d'avor ue aée sas accdet? Soluto La varable aléatore X égale au ombre d'accdets sut ue lo de Posso de paramètre λ = 5. k= P( X 7) = e 0,87 k! k= P( X = 0) = e 6,7 0 k Exercce Pour ue femme ayat eu etre 50 et 5 as e l'a 000, le ombre d'efats, oté X, sut ue lo de Posso de paramètre cou λ. U échatllo de 000 de ces femmes doe 35 femmes sas efat.. Doer ue estmato de λ.. Estmer la proporto de ces femmes ayat plus de tros efats. Soluto S o admet que l'échatllo est représetatf de la populato, o a P(X = 0) = e l 0,35. Doc λ l(0,35). 3 λ P(X > 3) = P(X 3) = e λ λ +λ+ + 0,45. 6 Parm les femmes qu ot eu etre 50 et 5 as e l'a 000, l y e a doc evro 45 sur 000 qu ot plus de tros efats Lo bomale et lo de Posso Sot (X ) ue sute de varables aléatores suvat la lo B( ; p ) avec lm p + Alors (X ) coverge e lo vers ue varable de Posso P(λ). E pratque : Sot X ue varable aléatore bomale de paramètres et p. S 30, p 0, et p < 5 alors X sut approxmatvemet la lo de Posso de paramètre p. = λ. 3/47

32 Exemple Ue use fabrque des CD ROM e quatté mportate. Ue étude statstque a motré que % de ces CD étaet défectueux. Pour effectuer u cotrôle de fabrcato, o prélève au hasard 50 CD. O ote X le ombre de CD défectueux das cet échatllo.. Quelle est la lo de probablté suve par la varable aléatore X? E précser les paramètres.. Par quelle lo de probablté peut-o approcher la lo de X? Calculer P(X > 3) Soluto. Sot N est le ombre total de CD produts. L étude statstque motre que % des CD sot défectueux. O prélève u échatllo de 50 CD. Le ombre de CD défectueux das l échatllo sut doc la lo Hypergéométrque H(N ; 50 ; 0,0). Mas d ue part N est grad et d autre part o peut cosdérer que 50 est pett par rapport à N (< 0, N). Das ces codtos o peut assmler le prélèvemet des 50 CD à u prélèvemet u à u avec remse et doc cosdérer que les 50 CD sot prélevés dépedammet les u des autres. X sut doc, à peu de choses près, la lo bomale de paramètre = 50 et p = 0,0.. est grad ( 30), p est fable ( p 0,) et p = 3 est féreur à 5. O peut doc utlser la lo de Posso de paramètre 3 comme approxmato. P( X > 3) P( X = 0) P( X = ) P( X = ) P( X = 3) e ,35 6 Exemple O suppose qu ue ure cotet boule blache et 99 boules ores. O effectue trages successfs d ue boule avec remse. Détermer pour que la probablté de trer au mos ue fos la boule blache sot supéreure ou égale à 0,95. Soluto Sot X la v.a. égale au ombre de fos où o tre la boule blache au cours de trages. X sut B( ; 0,0). P( X ) = P( X = 0) = 0,99 S o veut que P(X ) 0,95, l faut (0,99) 0,05, sot.e. 98, et doc 99. l(0,05) l(0,99) Il faut doc effectuer 99 trages au mos pour être sûr, à 95 %, d avor au mos ue boule blache. Calcul approché est grad, p est fable. O essaye d approcher X par ue varable de Posso de paramètre. P( X ) = P( X = 0) = e Doc, pour avor P(X ) 0,95, l faut e 00 0,05, sot 00.l(0,05) Doc 99,6 et par sute 300 3/47

33 4.6. Processus de Posso Sot T ue pérode de temps que l'o subdvse e tervalles d'égale ampltude t. O a doc T = t. S, à l'téreur de chacu de ces tervalles, la probablté qu'u évéemet A se produse est costate et égale à p, S, de plus, o admet que l'évéemet A e peut se produre qu'au plus ue fos à l'téreur de chaque tervalle, o dt alors que la réalsato de l'évéemet A est u processus de Posso. Exercce U stadard téléphoque reçot, e moyee, appels par mute. Les appels sot réparts au hasard das le temps.. Explquer pourquo le fat de recevor u appel téléphoque peut être cosdéré comme u processus de Posso. Précser le paramètre de cette lo.. Quelle est la lo de probablté régssat le ombre d'appels reçus e 4 mutes? Calculer la probablté pour que ce ombre d'appel dépasse 0. Soluto. O peut fractoer la mute T e tervalles d ue secode t. Alors = 60 et t =. O admet alors que, chaque secode, la probablté de recevor u appel est costate : p = = O admet auss que, chaque secode, l e peut se produre au plus qu u appel et que, d ue secode sur l autre, les appels sot dépedats. Le fat de recevor u appel est alors u processus de Posso. S X désge le ombre d appels reçus e ue mute, o peut cosdérer qu à chaque secode : le stadard reçot u appel avec la probablté avec la probablté 9 q = 30 p = et qu l e reçot pas 30 X sut la lo bomale B 60 ; d espérace mathématque. Cette lo 30 peut être approchée par ue lo de Posso de paramètre.. Sur ue pérode de quatre mutes, le partage e 40 secodes codut à la lo bomale B 40 ; d espérace mathématque 8, ce qu permet ecore 30 ue approxmato par la lo de Posso de paramètre 8. S Y est la varable aléatore qu sut la lo de Posso de paramètre 8, o lt das la table que : P(Y 0) = P(Y 9 0,83 38 NB : S o utlse drectemet la lo bomale B 40 ;, o obtet 0, /47

34 Chaptre 5 Los cotues. Rappel Vor page pour les rappels sur les varables à desté. RAPPEL Ue varable X est absolumet cotue s l exste ue focto f défe sur telle que : f est postve sur, f est cotue sur sauf peut-être e u ombre f de pots où elle admet ue lmte à drote et ue lmte à gauche, + f()d t t =, x La focto de répartto F de X est lée à f par : F( x) = f( t)dt. O dt que f est ue desté de X. Abusvemet, f est appelée lo de X. b + P([ a; b] = f ( t)d t E( X) =µ= t f ( t)d t V( X) = ( t µ ) f ( t)dt a +. Lo uforme Ue v. a. X sut la lo cotue uforme sur [ a ; b ] (a b) s, et seulemet s, X a x [ a; b], f( x) = pour desté de probablté la focto f défe par b a. x [ a; b], f( x) = 0 Cette lo est otée U([ a ; b ]. y y b a x a O b x a O b x Desté de probablté Focto de répartto ( ) E(X) a + b V(X) b = = a Sot X et Y deux v.a. telles que Y = (b a) X + a X sut la lo uforme sur [ 0 ; ] s et seulemet s Y sut la lo uforme sur [ a ; b ]. 34/47

35 3. Lo ormale ou lo de Laplace-Gauss 3.. Défto et premères proprétés Sot deux réels m et σ avec σ > 0. Ue varable aléatore X sut ue lo ormale de paramètres m et σ otée N(m ; σ ) s et seulemet s X a pour desté la focto f défe par : x m σ f( x) = e. O a alors E(X) = m et V(X) = σ. σ π La courbe représetatve de f est appelée «courbe e cloche». La fgure suvate représete f et sa focto de répartto F. La logueur du segmet [AB] est égale à l are du domae grsé. F (x) 0,5 B O A f (x) O m x 3.. Lo ormale cetrée rédute Ue varable aléatore T sut la lo ormale cetrée rédute s elle sut la lo ormale N(0 ; ). Sa focto desté de probablté, f, est alors défe par : f() t = e π t. So espérace mathématque est E(T) = 0 et sa varace V(T) =. S o ote Π sa focto de répartto, o a : x Π () t = P( T < t) = e dx π t Ue varable aléatore X sut la lo ormale N(m ; σ ) s et seulemet s sut la lo ormale N(0 ; ). X m T = σ 35/47

36 3.3. Les tables de la lo ormale cetrée rédute Extrats de la table de la focto tégrale de la lo ormale cetrée rédute N (0, ). P () t = P( X t) = Û Ù f(x) dx t ı - t t Table pour les grades valeurs de t : t Π(t) /47

37 Ces tables sot costrutes uquemet pour t postf, mas les deux proprétés graphques suvates : la courbe est symétrque par rapport à l axe des ordoées l are de la surface comprse etre la courbe et l axe des abscsses est égale à permettet d effectuer les calculs das tous les cas. t t () t P( X t) f( x) dx Π = = + f( x). dx = t Π ( t) = P( X > t) = Π ( t) t Quelques résultats mportats : t, t, avec t < t, P( t T t ) =Π( t ) Π( t t, P(T > t) = Π( t) t [0; + [ P( T t) = Π( t) t [0; + ] P( t T t) = Π( t) Cette derère relato est souvet utlsée. Il covet de reter deux valeurs mportates : P(,96 T,96) = 0,95 P(,58 T,58) = 0,99 ) Plus gééralemet o a : m 3σ m σ m σ m+σ 0,68 0,95 m+σ m+3σ 0,997 37/47

38 3.4. Quelques exercces d applcato Exercce Ue use fabrque e grade sére u certa type de pèces cyldrques. O appelle X la v.a. qu, à chaque pèce trée au hasard, assoce sa logueur et Y la v.a. qu assoce so damètre. O suppose que X et Y sot dépedates et suvet des los ormales de moyees respectves x = 8,55 cm et y = 5,0 cm et d écarts types respectfs σ x = 0,05 cm et σ y = 0,05 cm.. Détermer, à 0 3 près les probabltés P(8,45 < X < 8,70) et P(5,07 < Y < 5,33.. Ue pèce est coforme s : 8,45 < X < 8,70 et 5,07 < Y < 5,33. a. Calculer le pourcetage de pèces o coformes à la sorte de la chaîe. b. Les maches écesstet-elles u réglage, sachat que le pourcetage de pèces o coformes e peut dépasser %? Soluto X 8,55 X sut la lo ormale N(8,55 ; 0,05). Doc la v.a. T, défe par T =, 0,05 sut la lo ormale cetrée rédute. 8,45 8,55 8,70 8,55 8,45 X 8,70 équvaut à T, doc à T 3. 0,05 0,05 La probablté cherchée est doc Π(3) Π( ). Or Π( ) = Π(). Doc : P(8,45 X 8,70) = Π() + Π(3) = 0,976 De même, pour calculer P(5,07 Y 5,33), o utlse la varable ormale cetrée Y 5,0 rédute T' =. 0,05 5,07 5,0 5,33 5,0 5,07 Y 5,33 équvaut à T', doc à,6 T,6. 0,05 0,05 P(5,07 Y 5,33) = Π(,6) = 0,99. a. Sot D l évéemet «la pèce est pas coforme». D = (8,45 X 8,70) et (5,07 Y 5,33) Or les v.a. X et Y sot dépedates. Doc P(D) = P(8,45 X 8,70) P(5,07 Y 5,33) = 0,967 Par sute la probablté qu ue pèce e sot pas coforme est 0,967 = 0,033 Cette probablté est supéreure à %. Il faut régler les maches 38/47

39 Exercce Ue etreprse spécalsée das la producto de matérel optque fabrque des letlles e grade sére. O a mesuré la vergece x, exprmée e doptres, de 000 letlles du même type et o a obteu la sére statstque des mesures x suvates avec les effectfs correspodats. x,975,980,985,990,995, x,005,00,05,00, Doer la moyee x as que l écart type σ de cette sére. Représeter cette sére à l ade d u dagramme e bâtos.. À chaque letlle de la producto, o assoce sa vergece x, exprmée e doptres. O déft as ue v.a. X. L allure du dagramme précédet amèe à cosdérer que X sut la lo ormale N( ; 0,0). Ue letlle est déclarée acceptable lorsque,98 < x <,0. Elle est déclarée défectueuse das le cas cotrare. Calculer la probablté pour qu ue letlle de la producto sot défectueuse. 3. U réglage de mache permet de modfer l écart type sas chager la moyee. Das cette questo X sut doc ue lo ormale N( ; σ ) Détermer σ pour que la probablté d obter d obter ue letlle défectueuse sot féreure ou égale à 0,0. Soluto. Les résultats arrods au cetème sot x =,00 et σ = 0,0. O admet que X sut la lo ormale N( ; 0,0). Ue letlle est déclarée acceptable s l évéemet,98 X,0 est réalsé. X La v.a. T défe par T = sut la lo ormale cetrée rédute. 0,0,98 X,0 équvaut à T. O sat que P( T ) = Π(). La table doe Π() = 0,977. Doc P(,98 X,0) = 0,954 4 La probablté pour qu ue letlle sot défectueuse est 0,954 4 sot, au cetème le plus proche, 0, S X sut la lo ormale N( ; σ ) alors la varable T défe par la lo ormale cetrée rédute. X T = sut σ ' O veut que la probablté d obter ue letlle défectueuse sot féreure ou égale à 0,0, doc que la probablté d obter ue letlle acceptable sot strctemet supéreure à 0,99 : P(,98 X,0) > 0,99. Cette égalté s écrt : 0,0 P( X 0,0) > 0,99, sot P T 0,99 ' > σ 0,0 0,0 O e dédut que Π 0,99 sot 0,995. ' > Π ' > σ σ La table de la lo ormale cetrée rédute doe Π (,575) = 0,995. 0,0 Alors =,575, sot σ= ' 0, Au mllème le plus proche, σ= ' 0,008. σ' d après BTS Gée Optque 39/47

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