MP 2016/2017 Sciences Physiques 1

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1 MP 016/017 Sciences Physiques 1 DM n 1 : patie I obligatoie pou tout le monde, patie II obligatoie pou les 5/, patie III facultative (les 3/ peuvent bien évidemment faie les deu denièes paties) Pou maque le millénaie, une nouvelle passeelle a été constuite au dessus de la Tamise à Londes pou un coût total de plus de 0 millions de Lives Steling. Quand elle fut ouvete au piétons on emaqua tès vite qu elle se balançait latéalement et veticalement en cas de fote affluence. Avec un gand nombe de piétons, son mouvement oblique était tel que la plupat d ente eu s aêtaient et s accochaient au ampes. Des images et des vidéos ont monté que ces mouvements latéau pouvaient avoi une amplitude moyenne de 75 mm et qu ils se poduisaient avec des féquences de I ode du Hetz. Le pont fut donc femé deu jous apès son ouvetue au public. Di-huit mois de echeches fuent nécessaies pou ésoude le poblème et faie les modifications péconisées pa les ingénieus qui fuent donc finalement consultés. L objectif de ce poblème est la modélisation de plus en plus fine d une passeelle piétonne et la compéhension de cetains poblèmes posés pa le Millennium Bidge de Londes. Le Millenium Bidge Les vecteus sont sumontés d un chapeau s ils sont unitaies û ou d une flèche dans le cas généal v. A l eception de i tel que i = -1, les gandeus complees sont soulignées : z. Un point su une d gandeu indique la déivée pa appot au temps de cette gandeu : & =. dt I. Oscillateu simple Un oscillateu est constitué d une masse m, dont le cente d inetie G est epéé pa Ia position dans le éféentiel galiléen (O, û ) - voi figue 1. L oigine O se situe au niveau du sol. L oscillateu est elié à un suppot fie pa I intemédiaie d un essot linéaie de aideu k et de longueu à vide l 0 ainsi que d un amotisseu linéaie de viscosité α, eeçant su m une foce de fottement F = α& û. À tout instant t, on assimile la f distance OG à la longueu l(t) du essot. L ensemble est soumis à l accéléation de la pesanteu avec g = gû avec g = 9,81 m.s -.. FIGURE 1 Oscillateu

2 MP 016/017 Sciences Physiques 1 En appliquant la elation fondamentale de la dynamique établi l équation difféentielle X & + ξω X & + ω X 0 dans laquelle on a intoduit la fonction X ( t) = ( t) ~ où ~ est une constante 0 0 = que l on déteminea en fonction de g, ω 0 et l 0. On pécisea les epessions et significations de ω 0 et ξ. Dans le égime libe, le système est mis en vibation uniquement pa des conditions initiales non nulles X(0) = X 0 0 et X& = V 0 0. Détemine les solutions du égime libe (en fonction de ω 0, ξ, X 0, V 0 et t) pou les cas ξ = 0 et 0 < ξ < 1 et pécise leu compotement. Dans cetains cas, le vent peut induie su le système une foce popotionnelle au vecteu vitesse que l on écit F v = β& û, avec β > 0. Quelle peut-ête la conséquence de ce phénomène? Difféents cas peuvent ête eaminés pou l ecitation (ou foçage) F(t ) de I oscillateu étudié los des deu pemièes questions. Nous nous placeons dans l optique d une passeelle piétonne. L action de la mache d un piéton est caactéisée pa un contact continu su la suface du sol puisque le second pied touche le sol avant que le pemie ne le quitte. La foce engendée compend une composante veticale et une composante hoizontale non pise en compte dans cette patie. FIGURE Foçage d une passeelle pa la mache d un piéton Dans Ie cade d un modèle simplifié, nous epésenteons cette foce, appelée chage, pa un vecteu F t = F + F cos πft. péiodique ( ) ( ) 0 1 Le vecteu F 0 coespond à la foce statique, c est-à-die au poids du piéton, la féquence f coespond à celle d une mache nomale. Nous considéeons que F1 = 0, 4F0.Ces deu vecteus seont supposés constants et oientés comme û. On note F 0 = F0 le module de la foce statique, Y = X + F 0 /mω 0 la éponse en déplacement de l oscillateu et Y =Y m e iωt sa epésentation complee. 3 Que devient l équation de l oscillateu en Y sous le foçage piéton? Détemine la fonction de tansfet H(ω), appot de la epésentation complee de la éponse en déplacement Y su la epésentation complee de l ecitation E = F 1 /m. On epimea H =Y E en fonction de ξ, ω 0 et Ω = ω/ω 0. 4 Sous quelle condition potant su ξ un phénomène de ésonance peut-il se poduie? Pou quelle H ω dans pulsation ω, obtient-on alos ce phénomène? Epime le gain en amplitude à la ésonance ( ) la limite ξ <<1. 5 En se plaçant dans l hypothèse ξ <<1 et à pati d une analyse de la coube 1 de la figue 3, détemine un ode de gandeu de ξ ainsi que la valeu de la pulsation pope ω 0 de I oscillateu modélisant le Millennium Bidge avant la mise en place des amotisseus hamoniques.

3 MP 016/017 Sciences Physiques 3 FIGURE 3 Schéma et éponse d un amotisseu hamonique appliqué au modèle du Millennium Bidge 6 Pouquoi est-il impotant de détemine les féquences de ésonance d une stuctue soumise à une action péiodique? Afin d étudie pécisément les popiétés du foçage que constitue la mache d un piéton, on éalise l acquisition en laboatoie du signal coespondant à cette sollicitation. 7 Quel(s) type(s) de capteu(s) est-il envisageable d utilise pou obteni un signal électique issu de la mache d un piéton? L acquisition est effectuée su des duées allant de quelques secondes à quelques minutes. Les signau ainsi obtenus sont similaies mais pas pafaitement identiques. Chacun de ces signau pésente les caactéistiques essentielles du signal de la chage combinée epésentée su la figue. On calcule alos le specte de ces signau en les échantillonnant en N = 300 points équidistants su un intevalle [t min, t ma ]. Les difféents spectes obtenus sont assemblés su la figue 4. FIGURE 4 Spectes des signau coespondants à la mache d un piéton 8 Analyse et intepéte aussi pécisément que possible ces difféents spectes. Sont-ils tous eploitables? Lequel vous paaît le plus petinent? En déduie la (ou les) féquence(s) caactéistique(s) de la mache étudiée. Était-ce qualitativement pévisible? 9 À pati d une eploitation des données founies dans le sujet, eplique I oigine du poblème concenant le Millennium Bidge et justifie que I installation d amotisseus hamoniques ait pu le ésoude. Fin de la patie I

4 MP 016/017 Sciences Physiques 4 II. Système élastique continu Les systèmes éels sont aement discets. Ainsi la poute de stuctue d une passeelle est défomable en tout point. Nous sommes donc en pésence d un poblème de dynamique des milieu continus mais d un point de vue patique l étude des systèmes continus se amène finalement à celle liée au systèmes discets : c est la discétisation des systèmes continus. On négligea dans la suite du poblème l action de la pesanteu. On considèe un solide homogène, de masse volumique F constante, qui a la fome d un cylinde de section S et d ae (O, û ) hoizontal, le long duquel on étudie les petits mouvements de défomation. Dans le domaine d élasticité du matéiau, la nome F de Ia foce de taction pemettant à un solide de longueu L de s allonge de ΔL est donnée pa la loi de Hooke : F =ESΔL/L où E est une constante appelée module d Young du matéiau. 10 Quelle est l unité d un module d Young? On motivea sa éponse pou laquelle on utilisea une seule unité du système intenational. 11 On note X(,t) le déplacement pa appot à la position de epos d une section plane d abscisse. Calcule la vaiation elative de longueu d une tanche élémentaie du cylinde de longueu au epos d F,t = F,t û, eecée pa la patie «doite» (du côté des et en déduie la foce de taction ( ) ( ) X coissants) su la patie «gauche» (du côté des décoissants) en fonction de E, S et. Écie l équation du mouvement de la tanche de longueu d et en déduie l équation au déivées patielles véifiée pa X(,t). Afin de pende en compte le mouvement tansvese de la passeelle on intoduit un ae vetical diigé selon le vecteu unitaie û, et on adopte le modèle de la code. Dans ce modèle bidimensionnel, la y passeelle est epésentée à I instant t pa une ligne d équation y(,t) de masse linéique µ unifome. En un point M(,y) de la passeelle, on définit le vecteu unitaie tangent û τ à la passeelle tel que û = cos α,t û sin α,t û. [ ( )] [ ( )] y τ + Les déplacements sont contenus dans un plan vetical et sont de faible amplitude. On suppose y donc qu à chaque instant ( ) (,t) α,t = <<1. Sous ces hypothèses, la longueu de la code ne vaie pas et chaque tonçon infinitésimal de la passeelle n est déplacé que selon la veticale. En chaque point M(,y) de la passeelle ègne à chaque instant t une tension T (,t) potée pa û τ. Un tonçon de code est epésenté su la figue 5. FIGURE 5 Tonçon de code élastique dl = 1 En appliquant un théoème de mécanique à un tonçon de code infinitésimal de longueu d + dy, monte que, sous les hypothèses effectuées, le module de la tension de la code est indépendant de. On le notea T Monte alos que l on peut écie = c l où I on epimea c l en fonction de T 0 et µ. Fin de la patie II

5 MP 016/017 Sciences Physiques 5 III. Modèle de la poute élancée Dans un modèle couamment utilisé, on peut assimile une passeelle à une poute homogène de section ectangulaie de lageu b selon (O, û z ) et de hauteu h selon (O, û y ). Pou des containtes modéées, induisant un déplacement vetical petit devant les dimensions tansvesales de la poute, c est-à-die y() tès petit devant h ou b, on peut alos se place dans une etension du modèle de la code. On considèe une passeelle de section S, de masse volumique ρ de module d Young E et dont le moment quadatique de la section doite pa appot à l ae (O, û z ) est I =bh 3 /1. L écitue des containtes conduit alos à une équation au déivées patielles de la fome ρ S 4 + IE 4 14 On cheche des solutions sous la fome y(,t) = f() g(t). De quel type d onde s agit-il? Sous quelles hypothèses de telles ondes appaaissent-elles dans ce gene de stuctue? 15 Détemine les équations difféentielles véifiées pa f() et g (t). En déduie que g (t) est une fonction péiodique de pulsation ω constante. Combien de constantes d intégations sont nécessaies à la détemination complète de la solution y(,t) coespondant à la situation étudiée? 16 Justifie pécisément que l on puisse écie = 0 f() = A cos(β) + B sin(β) + C ch(β) + D sh(β) où A, B, C et D sont des constantes d intégation, on pécisea l epession de β en fonction des données du poblème. On se place dans l hypothèse d une passeelle de longueu L en appui simple à ses etémités, les conditions au limites s écivent y( = 0,t) = y( = L,t) = 0 et ( = 0,t) = ( = L,t) = Détemine les pulsations popes ω n de vibation tansvesale d une poute en appui simple en fonction de L, E, I, ρ, S et d un entie n caactéisant le mode. 18 Difféents modes de vibations d une passeelle ont été epésentés su la figue 6, quels sont ceu coespondants à l étude poposée dans cette section? Identifie de façon agumentée pou chacun de ces modes, l entie n le caactéisant. La passeelle du Millennium Bidge est globalement une poute en aluminium de 3 m de longueu, d épaisseu h = 1,07 m (4 pouces) et de lageu b = 4 m (158 pouces). Elle epose su 4 appuis en céant 3 tavées solidaies de L1 = 70m, L = 144m et L3 = 108m. On donne la masse volumique de l aluminium ρ = 700kg/m 3 et son module d Young E = SI. 19 Dans le cade du modèle de la poute su appui simple, eiste-t-il des modes de vibation tansvesale du Millennium Bidge susceptibles d ente en ésonance avec un foçage pa des piétons? Discute également de la possibilité d une ecitation ésonante de cetains modes de vibation latéale, c est-à-die dans le sens de la lageu b. On motivea ses éponses pa une agumentation pécise.

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