FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01 (voir réponses et correction) Remarque

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1 FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle l'image de par f. La fonction est notée f : D IR f() L'ensemble D est appelé ensemble de définition de la fonction f. n appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative de f, l'ensemble (C) des points M de coordonnées ( ; f()) avec D L'équation y = f() est appelée équation de (C). Remarque Pour D, on sait que a une image et une seule par f. La représentation graphique de f a donc un et un seul point d'abscisse. f() Si l'ensemble de définition d'une fonction n'est pas indiqué, il est convenu que cet ensemble de définition est le plus grand ensemble sur lequel f() eiste. Par eemple la fonction f définie par f() = est définie sur IR* c'est-à-dire représente une fonction ne représente pas une fonction sur ]- ; 0[ ]0 ; + [. Eercice 0 (voir réponses et correction) Parmi les courbes ci-dessous, indiquer celles qui peuvent représenter une fonction. courbe y courbe y y courbe 3 y courbe 4 Remarque Si et y sont deu réels tels que y = f(), alors y est l'image de par la fonction f. est un antécédent de y par la fonction f. Par une fonction f, un réel ne peut pas avoir plusieurs images, mais un réel y peut avoir plusieurs antécédents. ère ES - L Fonctions page / 8

2 Eercice 0 (voir réponses et correction) n considère la fonction f définie par f() = ) Justifier que f est définie sur IR. ) Donner les images par f de 3 ; 0 ; ; ) Les nombres ; 0 ; ont-ils des antécédents par f? Si oui déterminer ces antécédents. Eercice 03 (voir réponses et correction) ( voir animation ) n considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-contre ou par l'animation. Compléter le tableau de valeurs suivant : f() f() Eercice 04 (voir réponses et correction) n considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-contre ou par l'animation de l'eercice 3. ) Donner les valeurs de f(-3) ; f(0) ; f() ) Donner les antécédents par f de : 0 ; ; - 0 ; - 3 ) Résoudre les équations f() = ; f() = - 4 ) Quel est le minimum de f sur [-5 ; 6]? En quelle valeur ce minimum est-il atteint? Quel est le maimum de f sur [-5 ; 6]? En quelle valeur ce maimum est-il atteint? Eercice 05 (voir réponses et correction) n considère la fonction f dont la courbe est donnée par le graphique ci-dessus ou par l'animation de l'eercice 3. ) Compléter : f est décroissante sur f est croissante sur Dresser le tableau de variations de f. ) Donner l'ensemble des solutions de chacune des inéquations suivantes : f() 0 ; f() ³ 3 ) Compléter les propositions suivantes : Si 5 6 alors f() Si -3 3 alors f() Eercice 06 (voir réponses et correction) n considère la fonction f définie par f() = 3 - (f est une fonction homographique) + 4 ) Quel est l'ensemble de définition D de f? ) Donner les images par f de 0 ; ; ) Les nombres ; 0 ; 3 ont-ils des antécédents par f? Si oui déterminer ces antécédents. 4 ) a) Justifier que pour tout D, on a : f() = b) En déduire que pour tout > - on a f() < 3. c) Préciser la position de la courbe de f par rapport à la droite d'équation y = 3. d) Vérifier en utilisant une calculatrice ou un ordinateur ère ES - L Fonctions page / 8

3 Définition n dit qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I, si pour tout a et pour tout b de I tels que a b on a f(a) f(b) (n dira que f est strictement croissante si on a la même propriété avec des inégalités strictes) f(b) f(a) a b fonction croissante n dit qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I, si pour tout a et pour tout b de I tels que a b on a f(a) ³ f(b) (n dira que f est strictement décroissante si on a la même propriété avec des inégalités strictes) Remarque Une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre. Une fonction décroissante est une fonction qui inverse l'ordre. Si une fonction f est croissante sur un intervalle I ou décroissante sur I, on dit que f est monotone sur I. Eercice 07 (voir réponses et correction) a et b sont deu réels. ) Démontrer, en utilisant des inégalités que l'on justifiera soigneusement, que si a < b alors - 3a + 4 > - 3b + 4 Que peut-on en déduire pour la fonction f définie par f() = ? ) De la même façon justifier le sens de variation de la fonction g définie par g() = - 5. f(a) f(b) a b fonction décroissante II Fonction carré - Fonction inverse - Fonctions affines Eercice 08 (voir réponses et correction) ) Soient a et b deu réels dans [0 ; + [ tels que a < b. Factoriser a - b. Sachant que a < b que peut-on dire du signe de a - b? Sachant que a et b sont dans [0 ; + [, que peut-on dire du signe de a + b? En déduire que a - b < 0. Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction carré sur [0 ; + [. ) En raisonnant comme dans le ), déterminer le sens de variation de la fonction carré sur ]- ; 0]. 3 ) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction carré et vérifier le sens de variation trouvé. Fonction carré La fonction carré est définie par f : IR IR f() = La fonction carré est strictement décroissante sur ]- ; 0]. La fonction carré est strictement croissante sur [0 ; + [. Son tableau de variations est : f() = 0 La fonction carré est une fonction paire c'est-à-dire que pour tout réel on a : f(-) = f(). La courbe de la fonction carré, donnée ci-contre, a pour ae de symétrie l'ae des ordonnées. La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole. ère ES - L Fonctions page 3 / 8

4 Eercice 09 (voir réponses et correction) ) Soient a et b deu réels dans ]0; + [ tels que a < b. Justifier que a - b = b - a ab Sachant que a < b que peut on dire du signe de b - a? Sachant que a et b sont dans ]0; + [, que peut on dire du signe de ab? En déduire que b - a > 0. ab Donner, en le justifiant, le sens de variation de la fonction inverse sur ]0; + [. ) En raisonnant comme dans le ), déterminer le sens de variation de la fonction inverse sur ]- ; 0[. 3 ) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer la courbe de la fonction inverse et vérifier le sens de variation trouvé. Fonction inverse La fonction inverse est définie par f : IR * IR f() = La fonction inverse est strictement décroissante sur ]- ; 0[. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Son tableau de variations est : f() = La fonction inverse est une fonction impaire c'est-à-dire que pour tout réel non nul on a : f(-) = -f(). La courbe de la fonction inverse, donnée ci-contre, a pour centre de symétrie le point, origine du repère. La courbe de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. Eercice 0 (voir réponses et correction) ) n considère la fonction f définie sur IR par f() = 3-4. Soient a et b deu réels tels que a < b. Étudier le signe de f(a) - f(b) et en déduire le sens de variation de la fonction f. ) Même question avec la fonction g définie sur IR par g() = ) Avec une calculatrice ou un ordinateur, tracer les courbes représentatives des fonctions f et g et vérifier les résultats des questions précédentes. Fonctions affines - Variations ( voir animation ) n appelle fonction affine, toute fonction f définie sur IR par f() = a + b, a et b étant deu réels. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. a est appelé coefficient directeur, b est appelé ordonnée à l'origine. Si a = 0, la fonction f est une fonction constante sur IR (elle est définie par f() = b). Si a > 0, la fonction f est une fonction strictement Si a < 0, la fonction f est une fonction strictement croissante sur IR. décroissante sur IR. Son tableau de variations est : Son tableau de variations est : f() f() ère ES - L Fonctions page 4 / 8

5 Fonctions affines - Représentation graphique - Signe La représentation graphique d'une fonction affine est une droite Si a = 0, la droite est parallèle à l'ae (). Si a > 0 Représentation graphique : Si a < 0 Représentation graphique : a a a > 0 b ( voir animation ) b a < 0 - b a - b a Tableau de signes avec a > 0 Tableau de signes avec a < b a b a + signe de a + b signe de a + b Remarques Le coefficient directeur a est la valeur dont y varie lorsque varie de. Dans le cas où b = 0, la fonction f est définie sur IR par f() = a. C'est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Eercice (voir réponses et correction) Donner l'epression de la fonction affine représentée par chacune des droites ci-contre. d 5 d d d 4 Eercice (voir réponses et correction) Dans chacun des cas, tracer, dans le plan muni d'un repère orthonormal, la droite passant par le point A et ayant pour coefficient directeur a. Donner l'epression de la fonction affine représentée par la droite. ) A(- ; - 3) ; a = 3 ) A(3 ; - 5) ; a = - d 3 3 ) A( ; - ) ; a = 4 ) A(- ; 3) ; a = - 5 Eercice 3 (voir réponses et correction) Dans le plan muni d'un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques des fonctions affines suivantes : f () = 3-4 ; f () = ; f 3 () = - + ; f 4 () = 3 ; f 5 () = ère ES - L Fonctions page 5 / 8

6 III Fonction racine carrée - Fonction cube Définition Soit un nombre réel supérieur ou égal à 0. n appelle racine carrée de et on note, l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à. Eemple 4 est un nombre réel positif. Il y a deu nombres dont le carré est 4 : ce sont et -. La racine carrée de 4 est le nombre réel positif dont le carré est 4. Donc 4 =. Remarques La touche racine carrée racine carrée d'un nombre. d'une calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée ou eacte de la 9 donne 3 3 est la valeur eacte de 9 car 3 = 9 lorsqu'on fait le calcul 3-9 on obtient 0 donne n'est pas la valeur eacte de lorsqu'on fait le calcul on n'obtient pas 0 n a = ;,44 ; 3,73 ; 4 = ; 9 = 3 ; 6 = 4 ; 5 = 5 (Ces valeurs sont à connaître). Déterminer en utilisant votre calculatrice ; ; Les résultats donnés par la calculatrice sont-ils eacts? Propriétés Si a ³ 0 a = a Si a 0 a = - a Si a ³ 0 et b ³ 0 a b = a b Si a ³ 0 et b > 0 a b = a b Remarque Si a et b sont des nombres positifs a + b n'est pas égal à a + b. Par eemple + = alors que + = + =. Eercice 4 (voir réponses et correction) ) Écrire plus simplement : - 3 ; ( - 3 )( + 3 ) ; ( + 6 ). ) Soit A = - 5 et B = En calculant A et B, justifier que A = B. Peut-on en déduire que A = B? 3 ) Justifier les égalités suivantes : = ; Définition - 3 = + 3 ; = 4( 5-3 ). n appelle fonction racine carrée, la fonction qui à tout réel supérieur ou égal à 0 associe le nombre. n note : [0 ; + [ [0 ; + [ ère ES - L Fonctions page 6 / 8

7 Eercice 5 (voir réponses et correction) ) a) Justifier que est un nombre positif. b) Calculer ( )( 3-5 ). En déduire le signe de 3-5. c) En utilisant les questions précédentes, montrer que 3 < 5. ) n considère deu nombres réels positifs a et b tels que a < b. a) Justifier que a + b > 0. b) Calculer ( a + b )( a - b ). En déduire le signe de a - b. c) En utilisant les questions précédentes, montrer que a < b. 3 ) Que peut-on en déduire pour la fonction racine carrée? Propriété La fonction racine carrée est une fonction (strictement) croissante sur [0 ; + [. Son tableau de variations est : 0 + f() = 0 La représentation graphique de la fonction racine carrée est donnée ci-contre : Définition n appelle fonction cube, la fonction qui à tout réel associe le nombre réel 3. n note IR IR 3 Eercice 6 (voir réponses et correction) )n considère deu nombres réels a et b. En développant le produit (a - b)(a + ab + b ), justifier que : (a - b)(a + ab + b ) = a 3 - b 3. ) n considère deu nombres réels a et b positifs. a) Justifier que a + ab + b est positif. b) En déduire que a 3 - b 3 et a - b sont de même signe. c) En déduire le sens de variation de la fonction cube sur [0 ; + [. 3 ) n considère deu nombres réels a et b négatifs. a) Justifier que a + ab + b est positif. b) En déduire que a 3 - b 3 et a - b sont de même signe. c) En déduire le sens de variation de la fonction cube sur ]- ; 0]. Propriété La fonction cube est une fonction (strictement) croissante sur IR. Son tableau de variations est : - + f() = 3 La fonction cube est une fonction impaire c'est-à-dire que pour tout réel on a : f(-) = -f(). La courbe de la fonction cube, donnée ci-contre, a pour centre de symétrie le point, origine du repère ère ES - L Fonctions page 7 / 8

8 Eercice 7 (voir réponses et correction) En utilisant la représentation graphique de la fonction cube obtenue avec une calculatrice ou un ordinateur, résoudre les équations et inéquations suivantes : (n pensera à utiliser les fonctions de zoom pour plus de précision) a) 3 = 7 b) 3 > 7 c) = 0 d) - 3 ³ 5 e) - ( 3-3) = -4 Eercice 8 (voir réponses et correction) ) En utilisant les représentations graphiques de la fonction inverse et de la fonction cube, donner les solutions de l'équation 3 =. ) Justifier par le calcul les résultats de la question précédente. Eercice 9 (voir réponses et correction) ) a) Tracer, dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions f et g définies sur IR par f() = 3 et g() = 3 -. b) Donner graphiquement le nombre de points d'intersection de ces deu courbes et préciser leurs abscisses. c) Donner graphiquement les positions relatives des deu courbes. ) a) Développer le produit ( - ) ( + ). b) Retrouver par le calcul les résultats du )b) et du )c). Eercice 0 (voir réponses et correction) Soit l équation (E) : = - où l inconnue est un réel de l intervalle ]0; + [. ) Représenter, en utilisant une calculatrice, l'hyperbole d'équation y = et la droite d équation y = -. Au vu de ce graphique, combien l équation (E) semble-t-elle admettre de solutions sur ]0 ; + [? Pour chacune des solutions trouvées, déterminer, en utilisant la calculatrice, un encadrement d'amplitude 0 -. ) a) Justifier que, pour ]0 ; + [, l'équation (E) est équivalente à l'équation - - = 0. b) Montrer que pour tout réel on a - - = ( - ) -. c) En déduire la résolution de l'équation (E). ère ES - L Fonctions page 8 / 8

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