MathEnSeconde.fr. 2- Calculer (ou exprimer) les images, par la fonction G, de ces mêmes nombres. Exercice 5

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1 Les réponses des eercices sont téléchargeables sur le site Eercice MathEnSecondefr Calculer les images, par la fonction carré, des nombres a) 3 d) a b) 3 e) 3 a c) 3 f) 3 Eercice Calculer les images, par la fonction inverse, des nombres a) 0, d) t b) e) t 37 c) f) - Calculer (ou eprimer) les images, par la fonction G, de ces mêmes nombres Eercice 5 Notons F la fonction qui double un nombre (le nombre «entré»), puis prend l inverse (du résultat obtenu) Notons G la fonction qui prend l inverse d un nombre, puis double (le résultat obtenu) - Calculer les images, par la fonction F, des nombres a) b) c) - Calculer les images, par la fonction G, de ces mêmes nombres Eercice 6 Notons F la fonction qui, à tout nombre associe la somme de son double et de son carré Notons G la fonction qui, à tout nombre, associe le produit de son double et de son carré a) Eprimer l image, par F, d un nombre a b) Eprimer l image, par G, d un nombre a c) L une des deu fonctions peut être décrite par une phrase en français un peu plus simplement qu elle ne l a été dans l énoncé Quelle fonction? Quelle phrase? Eercice 3 Calculer les images, par la fonction racine, des nombres a) d) b) 3 e) c) 3 f) y Eercice 4 Notons F la fonction qui ajoute (au nombre «entré»), puis élève au carré (le résultat obtenu) Notons G la fonction qui élève au carré, puis ajoute - Calculer (ou eprimer) les images, par la fonction F, des nombres a) 0 b) c) Eercice 7 Notons F la fonction qui double un nombre, puis ajoute, puis double à nouveau a) Calculer l image, par F, de 5 b) Eprimer l image, par F, d un nombre c) Développer et réduire l epression obtenue d) En déduire une descriptions plus simple de F par une phrase en français Eercice 8 Notons F la fonction qui, à tout entier relatif, associe le successeur du produit de son prédécesseur par son successeur

2 Eprimer l image, par F d un entier n ; développer et réduire l epression obtenue et en déduire une description plus simple de F par une phrase en français d) Calculer f SU T e) Calculer f X f V WY Eercice Eercice 9!"#$#%"&' Notons F la fonction carré Soient a et b deu réels Calculer : a) F ( 3) h) F ( a * b ) b) F + 3, - i) F ( a) * F ( b ) c) F + 3-, j) F 0F 3/ d) F 33 4 F 3 k) F 0F a / e) F l) F 0F a 8 / f) F m) F 0F a / 8 g) F9 4 3: n) F 0F a / 8 On pose : IJK ; uz [ ] \ ^ («IJK» se lit : «quel que soit appartenant à K) a) Calculer u _ ` b) Calculer ua c b c) Soit aje d Calculer ufa h g d) Soit aj k l m ioj Calculer u o n p q Que peut-on dire r s de u o n p q par rapport à t u r s u? e) Soit un réel différent de v et de 0 Eprimer uxuv WY en fonction de la seule variable Simplifier l epression obtenue dans la question précédente Eercice 3 Eercice 0 Notons f la fonction qui ajoute et notons g la fonction qui double Soit un réel Calculer : a) f ( 5) g) f ; < b) g = 5> h) c) f C g A5BD i) f G g E FH d) gc f A5BD j) gg f E FH e) f 0 f 5/ k) f 0 f / f) g0 g 5/ l) gc ga BD Eercice On pose : IJK ; f L M N O a) Calculer f PR Q b) Calculer f c) Soit a un réel quelconque Calculer f Sa - T (Par «calculer», on veut dire ici eprimer en fonction de la seule variable a, puis simplifier l epression obtenue) Soit JK Traduire en utilisant la notation avec flèche à talon et simplifier l epression de l image lorsque c est possible a) Soit f la fonction qui prend la racine de la somme d un nombre (le nombre «entré») et de son carré b) Soit g la fonction qui triple le cube de la moitié d un nombre Eercice 4 Traduire en utilisant la notation avec flèche à talon et simplifier l epression de l image lorsque c est possible a) Soit f la fonction qui somme le carré et le cube d un nombre b) Soit g la fonction qui élève au cube le carré d un nombre Eercice 5 www yz{ }~ ƒzƒ ƒ z

3 f : g : Š ˆ b) Donner une epression de f c) Quels sont les antécédents de 0, par f? d) Quels sont les antécédents de 5, par f? h : Œ i : Ž Sans eplication, on donnera les domaines de définition respectifs D, D, D et D de chacune des quatre f fonctions définies ci-dessus g h i Eercice 9 3 f : a) Quels sont les antécédents de 0, par f? b) Quels sont les nombres égau à leur image, par f? Eercice 6 f : g : h : i : Œ Ž Sans eplication, on donnera les domaines de définition respectifs D, D, D et D de chacune des quatre f fonctions définies ci-dessus g h i Eercice 0 f : a) Quel est l ensemble des antécédents de, par f? b) Quel est l ensemble des antécédents de, par f? c) Quel est l ensemble des antécédents de, par f? Eercice Eercice 7 š œ œžÿš ˆ f : a) Quel est l ensemble de définition de f? b) Quels sont les antécédents de 5, par f? c) Quels sont les nombres égau à leur image, par f? Eceptionnellement, on répondra sans justifier a) Quelle est l image de 9 par la fonction carré? b) Quels sont les antécédents de 9 par la fonction carré? c) Quel est l image de 9 par la fonction carré? d) Quels sont les antécédents de 9 par la fonction carré? e) Quelle est l image de 3 par la fonction carré? f) Quels sont les antécédents de 3 par la fonction carré? g) Quelle est l image de par la fonction carré? h) Quels sont les antécédents de par la fonction carré? i) Quel nombre a un unique antécédent, par la fonction carré? Eercice 8 Eercice à commencer au brouillon Soit f la fonction qui, au carré d un nombre, soustrait son quadruple a) Vérifier que l image de 0 par f est bien 60 Eercice f : ª a) Quel est l ensemble de définition de f? b) Quel est l ensemble des antécédents de 0, par f? c) Quel est l ensemble des antécédents de, par f? Eercice 3 «On pose : f : a) Déterminer l ensemble de définition D f de la fonction f b) Calculer l image de par la fonction f (Bien entendu, on éliminera tout radical du dénominateur) c) Quel est l ensemble des antécédents de, par f?

4 Eercice 4 ± ²³ µ ³ ¹º» µ¼½ ¾» Soit f une fonction affine vérifiant : ßàá ; f Õ f ÓÔÖ â ã Déterminer les valeurs possibles de f äå Démontrer que chacune des fonctions suivantes est affine en la mettant sous la forme Á a À b puis en précisant la valeur des constantes a et b Dire si la fonction est linéaire f est la fonction qui ajoute puis divise par g est la fonction qui donne pour image 0% du nombre de départ h est la fonction qui augmente un nombre de 0% i est la fonction qui donne la moyenne d un nombre, de son double et du nombre Id est la fonction identité j est la fonction constante (tout réel a pour image ) Â k : Ã N est la fonction nulle Eercice 5 f est une fonction affine telle que Déterminer Eercice 6 f Ç0È f ÄÅ Æ et f Ä3Å Æ g est une fonction affine telle que géëê Ì 3 et 9 gí3î Ï Ð Démontrer que g est linéaire Eercice 30 æ± ²³ µ ³ ¹º» ç¹º» Etudier la parité des fonctions suivantes : a) La fonction inverse, que nous noterons i b) è f : é c) g : í ê ì ë d) h : é î e) u : ð ï 3 Eercice 3 Etudier la parité des fonctions suivantes : a) f : ñ Ó ã Ô b) c) d) g ó ò : h : õ ô ö j : ö 3 Eercice 7 g est une fonction affine telle que gñëò Ì et gñò Ì Ë Déterminer gõ g Ó0ÔÖ Eercice 8 Soit h une fonction affine vérifiant les conditions suivantes : h ÙØ Ú et hûü Ý Þ hûü Déterminer une epression de h Eercice 9 Eercice 3 Soit f la fonction définie par : ææ± øù ú¾ Quel que soit appartenant à û, f üý þ ÿ Autrement dit : f : a) Quel est le domaine de définition de f? b) Déterminer l image, par f, de 3 c) Calculer f d) Quels sont les antécédents de 0, par f?

5 e) Quel est l ensemble des antécédents de 3 par f? (hors programme) f) Quels sont les nombres égau à leur image, par f? g) Soit g la fonction définie par : g : f Déterminer une epression simple de g h) Soit h la fonction définie par : h : f f Déterminer une epression de h (sous la forme d un polynôme) Eercice 33 On pose : f : a) Donner l ensemble de définition D de la fonction f (sans justification) b) Calculer f (Mettre le résultat sous la forme a b, où a et b sont des rationnels) c) Quel est l ensemble des antécédents du nombre, par f? 5 d) Soit ; 4 Eprimer f f en fonction de la seule variable Réduire l epression obtenue e) Quel est l ensemble des antécédents du nombre 0, par f? f) Quel est l ensemble des réels dont l image par f est positive? g) Quel est l ensemble des réels égau à leur image par f? h) Démontrer que tout réel différent de admet un unique antécédent, par f d) Quels sont les antécédents 0, par F? e) Eprimer l image de l image d un nombre, par F (Il n est pas demandé de réduire l epression) Eercice 35 Soit g la fonction définie par g : t 4 t 3 3 a) Quel est le domaine de définition 5g de la fonction g? b) Déterminer l image de 5 par g c) Quels sont les antécédents de 5, par g? d) Quels sont les antécédents de 5, par g? e) Quels sont les nombres égau à leur image, par g? Eercice 36 6! 7**%898:'(($-$/( ;<=>?@ABCD DE> FGD HBCI@ABCD J Soient f et g deu fonctions La composée de f par g, notée gkf (lire «g rond f) est la fonction qu on obtient en appliquant d abord la fonction f, puis la fonction g : gkf f f() g gv f T UW Autrement dit : go f : L g f Eercice 34! "#$%&'&$( ()**+,-$/0'%$( Considérons la fonction F qui, à tout réel non nul, associe la somme de son inverse et de son opposé (on pourra 3 vérifier que l image de, par F, est ) a) Quelle est l image de par la fonction F? 5 b) Quelle est l image de par la fonction F? (On simplifiera bien entendu l écriture du résultat) c) Donner une epression de F et préciser son ensemble de définition a) Posons : f : N M et g : O Eprimer alors les fonctions fkg et gkf Peut-on dire que l opération de composition des fonctions est commutative? b) Posons : u : Q P Déterminer une fonction v telle que ukv = vku = Id identité) (où Id est la fonction c) Posons : u : S R Déterminer une fonction v telle que u = vkv d) Même question avec u : S e) Même question avec u : Q P

6 X f) Démontrer que, si f est une fonction affine, fyf l est aussi g) Une fonction Z, définie sur [, est dite involutive si et seulement si ZYZ=Id Eprimer ou décrire une fonction définie sur [, qui soit involutive, mais qui ne soit pas la fonction identité (Z est la lettre grecque phi) h) Une fonction Z définie sur [ est dite idempotente si et seulement, ZYZ=Z Eprimer ou décrire une fonction définie sur [, qui soit idempotente, mais ne soit ni une fonction constante, ni la fonction identité Eercice 37 Soient f et g deu fonctions (que nous supposerons ici définies sur [) On définit la fonction somme de ces deu fonctions comme étant la fonction qui, à tout réel associe la somme des images de par f et par g On note cette fonction somme : f+g Autrement dit : f ^ g : _ f \ ] ^ g\ ] Démontrer que toute fonction définie sur [ est la somme d une fonction paire et d une fonction impaire `abcdefgh ifgjdefggkllkh Eercice 38 Soit h une fonction telle que, mn[ ; ho q p q r Déterminer une epression de h Eercice 39 Trouver une fonction f, définie sur [, et telle que, mn[ ; f s u t v f st w