Fonctions usuelles. 1. Compléments sur les Fonctions

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1 Pré-requis : définition du nombre dérivé d une fonction (voir 8.) savoir calculer une dérivée lien entre le signe de f () et les variations de f (voir théorème 9) savoir calculer des primitives simples (polnômes, racines, eponentielles... ) trigonométrie (voir 9) algorithme de dichotomie convergence d une suite (voir 0), Suite adjacentes Fonctions usuelles Objectifs : fonctions injectives, surjectives et bijection (à travers des eemples simples et fct circulaires, hperboliques) «maîtriser» la définition de la continuité d une fonction (à l aide de suites) connaître l idée de la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires et savoir démontrer ses corollaires savoir encadrer une fonction en utilisant sa dérivée connaître les fonctions réciproques usuelles qui serviront pour le calcul de primitives. Vous connaissez déjà des fonctions classiques : ep, ln, cos, sin, tan. Dans ce chapitre il s agit d ajouter à notre catalogue de nouvelles fonctions : ch, sh, th, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth. Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la phsique. Par eemple lorsqu un fil est suspendu entre deu poteau (ou un collier tenu entre deu mains) alors la courbe dessinée est une chaînette dont l équation fait intervenir le cosinus hperbolique et un paramètre a (qui dépend de la longueur du fil et de l écartement des poteau) : ( ) = ach a. Compléments sur les Fonctions Une fonction f : D f R, c est la donnée pour chaque élément D f d un unique élément de R noté f (). Eemple Si f est la fonction racine carrée, alors D f = R +. Si g est la fonction logarithme népérien, alors D g = R +. Si h est la fonction cosinus, alors D h = R. Sur l illustration ci-dessous, l ensemble de départ (ou source) et celui d arrivée (ou but) sont schématisés par un ovale ses éléments par des points. L association f () est représentée par une flèche. f f () D f R

2 Une autre représentation, plus communément utilisée, est celle vue au lcée. L ensemble de départ R est représenté par l ae des abscisses et celui d arrivée par l ae des ordonnées. Pour un fié, l association f () est représentée par le point (, f ()). Le processus ainsi répété pour chaque de l ensemble de définition de f construit la courbe représentative C f de f. f () Égalité. Deu fonctions f, g sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de définition E et si pour tout E, f () = g(). On note alors f = g. Le graphe de f : D f R est { (, ) } C f = f () R D f C f Soient f : E F et g : F G avec E, F,G des sous-ensemble de R, alors la composée de f par g que l on note g f : E G est la fonction définie par g f () = g ( f () ). f g E F G Enfin, rappelons un théorème donnant la dérivée d une fonction composée : Si g est une fonction dérivable sur un intervalle J et si u est une fonction dérivable sur un intervalle I tel que, pour tout de I, u() appartient à J. Alors dans ces conditions la fonction f = g u définie par f () = g[u()] est dérivable sur I et : g f f = u g u autrement dit : I, f () = u () g [u()] Eercice La fonction f définie sur R par f () = + 3 est une fonction composée de la forme g u.. Identifiez g et u.. En utilisant la formule f () = u () g [u()], calculez f. 3. En utilisant le même raisonnement que précédemment, calculez les dérivées de f () = ep( 3 + ) et de f () = cos( + )... Antécédents Dans ce qui suit, f est toujours une fonction définie sur D f à valeurs réelles. (f : D f R). Soit R. Tout élément D f tel que f () = est un antécédent de. Un réel peut ainsi avoir 0,, ou plusieurs antécédents. Cet ensemble soit vide ou contenant un ou plusieurs éléments est noté f ({}). Sur les dessins suivants, l élément admet 3 antécédents par f. Ce sont,, 3.. ou courbe représentative

3 3 f E 3 F 3 Eercice. f et g sont deu fonctions définies sur un ensemble E, rappelez la définition de f = g puis donnez la négation de f = g?. Représentez le graphe de f : N R définie par n 4 n+. 3. Soient f, g, h : R R définies par f () =, g() = +, h() = 3. (a) Calculez f g puis g f. A-t-on f g = g f? (b) Calculez f (g h) puis (f g) h. A-t-on f (g h) = (f g) h? (c) Complétez la phrase suivante : «La composition est une opération qui n est pas mais qui est.» 4. Pour la fonction f : R R définie par représentez et calculez les ensembles a suivants : f ([0,[), f (R), f (],[), f ({9}), f ({0}), f ({5}), f ({ 4}), f ([,[), f ([,]). a. L image d un ensemble A par une fonction f : R R, est l ensemble des réels qui ont au moins un antécédent par f dans A. On note f (A) cet ensemble. Et on a f (A) = { R, A, f () = }.. Injection, surjection Soit E, F deu ensembles et f : E F une fonction. Définition f est injective si pour tout, E avec f () = f ( ) alors =. Autrement dit :, E ( f () = f ( ) = = ) Définition f est surjective si pour tout F, il eiste E tel que = f (). Autrement dit : F E ( = f () ) Une autre formulation : f est surjective si et seulement si f (E) = F. Les fonctions f représentées sont injectives : f E F F ) E Les fonctions f représentées sont surjectives :

4 4 f E F F E Remarque Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Une autre façon de formuler l injectivité et la surjectivité est d utiliser les antécédents. f est injective si et seulement si tout élément de F a au plus antécédent (et éventuellement aucun). f est surjective si et seulement si tout élément de F a au moins antécédent. Ou les équations f est injective si et seulement si pour tout élément de F, l équation f () = a au plus solution (et éventuellement aucune). f est surjective si et seulement si pour tout élément de F, l équation f () = a au moins solution. Remarque Voici deu fonctions non injectives : f E F Ainsi que deu fonctions non surjectives : f F E F ) E Eemple. Soit f :] ;+ [ R + définie par f () = +. Montrons que f est injective : soit, ] ;+ [ tels que f () = f ( ). Alors + = +, donc + = + et donc =. Ainsi f est injective. Par contre f n est pas surjective. Il s agit de trouver un élément qui n a pas d antécédent par f. Ici il est facile de voir que l on a toujours f () et donc par eemple = n a pas d antécédent. Ainsi f n est pas surjective.. Soit f : R R définie par f () =. Alors f n est pas injective. En effet on peut trouver deu éléments, R différents tels que f () = f ( ). Il suffit de prendre par eemple =, =. f n est pas non plus surjective, car n a aucun antécédent. 3. Soit f 3 : R R + définie par f 3 () = est en revanche surjective mais non injective. 4. Soit f 4 : R + R + est elle surjective et injective. On dira juste après qu elle est bijective.

5 5.3. Bijection Définition 3 f est bijective si elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout F il eiste un unique E tel que = f (). Autrement dit : F! E ( = f () ) L eistence du vient de la surjectivité et l unicité de l injectivité. Autrement dit, tout élément de F a un unique antécédent par f. Remarque Ainsi pour démontrer qu une fonction est bijective, on peut démontrer que pour tout F, l équation = f () a une solution unique dans E : est donnée et est l inconnue. f E F F E Proposition Soit E, F des ensembles et f : E F une fonction.. La fonction f est bijective si et seulement si il eiste une fonction g : F E telle que pour tout F, (f g)() = et pour tout E, (g f )() =.. Si f est bijective alors la fonction g est unique et elle aussi est bijective. La fonction g s appelle la bijection réciproque de f et est notée f. De plus ( f ) = f. Remarque La fonction réciproque est celle qui donne la solution = f () à l équation = f (), où est donnée et l inconnue. Par eemple f : R + R + définie par f () = est bijective, sa bijection réciproque est g : R + R + définie par g() =. Nous avons bien 0, ( ) = et 0, =. Par eemple f : R ]0, + [ définie par f () = ep() est bijective, sa bijection réciproque est g :]0, + [ R définie par g() = ln(). Nous avons bien ep ( ln() ) =, pour tout ]0,+ [ et ln ( ep() ) =, pour tout R. On peut aussi démontrer que dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f sont smétriques par rapport à la première bissectrice (droite d équation = ). f = ep = f = ln

6 6 Démonstration. Sens. Supposons f bijective. Nous allons construire une fonction g : F E. Comme f est surjective alors pour chaque F, il eiste un E tel que = f () et on pose g() =. On a f ( g() ) = f () =, ceci pour tout F et donc f g = id F. On compose à droite avec f donc f g f = id F f. Alors pour tout E on a f ( g f () ) = f () or f est injective et donc g f () =. Ainsi g f = id E. Bilan : f g = id F et g f = id E. Sens. Supposons que g eiste et montrons que f est bijective. f est surjective : en effet soit F alors on note = g() E ; on a bien : f () = f ( g() ) = f g() = id F () =, donc f est bien surjective. f est injective : soient, E tels que f () = f ( ). On compose par g (à gauche) alors g f () = g f ( ) donc id E () = id E ( ) donc = ; f est bien injective.. Si f est bijective alors g est aussi bijective car g f = id E et f g = id F et on applique ce que l on vient de démontrer avec g à la place de f. Ainsi g = f. Si f est bijective, g est unique : en effet soit h : F E une autre application telle que h f = id E et f h = id F ; en particulier f h = id F = f g, donc pour tout F, f ( h() ) = f ( g() ) or f est injective alors h() = g(), ceci pour tout F ; d où h = g. Eercice 3. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? f : N N,. f : Z Z, 7. f 3 : R [0,+ [,.. Montrer que la fonction f 4 :],+ [ ]0,+ [ définie par f 4 () = est bijective. Calculer sa bijection réciproque.. Continuité.. Continuité en un point Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle de R. Définition 4 Soit f : I R une fonction et 0 un point de I. On dit que f est continue en 0 si pour toute suite (u n ) qui converge vers 0, la suite (f (u n )) converge vers f ( 0 ). On dit que f est continue sur l intervalle I si f est continue en tout 0 I. Voici des fonctions qui ne sont pas continues en 0 : Voici une fonction continue en 0 : f ( 0 ) 0

7 7 Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle, si on peut tracer son graphe «sans lever le craon», c est-à-dire si elle n a pas de saut. Remarque Vous verrez au second semestre (de façon rigoureuse) une définition équivalente de la continuité. Sans rentrer dans les détails, la voici : On dit que f est continue en 0 si lim 0 f () = f ( 0 ). Elle s eprime ainsi : ε > 0, δ > 0 tel que D f, ( 0 < δ f () f ( 0 ) < ε ) Eemple 3 Les fonctions suivantes sont continues : une fonction constante sur un intervalle, la fonction racine carrée sur [0,+ [, les fonctions sin et cos sur R, la fonction valeur absolue sur R, la fonction ep sur R, la fonction ln sur ]0,+ [. Par contre, la fonction partie entière a E n est pas continue au points a Z. Démontrons ce point : Soit a Z, l idée de ce qui suit est donc de trouver au moins une suite ( n ) convergent vers a Z dont les images (E( n )) ne convergent pas vers E(a) = a. Pour cela on va utiliser le fait que pour n, a a n < a. Ainsi on définit la suite ( n) n par n = a ( n. Cette suite a pour limite a mais lim E a + ) ( = E(a) = a car n, E a ) = E(a). n + n n Ainsi E( n ) n a pas pour limite E(a) = a. a. Si vous ne connaissez pas cette fonction, je vous invite à consulter Des propriétés sur les limites de suites, on déduit : Proposition Soient f, g : I R deu fonctions continues en un point 0 I. Alors λ f est continue en 0 (pour tout λ R), f + g est continue en 0, f g est continue en 0, si f ( 0 ) 0, alors f est continue en 0. Eemple 4 La proposition précédente permet de vérifier que d autres fonctions usuelles sont continues : les fonctions puissance n sur R (comme produit ), les polnômes sur R (somme et produit de fonctions puissance et de fonctions constantes), les fractions rationnelles P() Q() sur tout intervalle où le polnôme Q() ne s annule pas. La composition conserve la continuité (mais il faut faire attention en quels points les hpothèses s appliquent). Proposition 3 Soient f : I R et g : J R deu fonctions telles que f (I) J. Si f est continue en un point 0 I et si g est continue en f ( 0 ), alors g f est continue en 0.

8 8.. Continuité sur un intervalle Théorème. Théorème des valeurs intermédiaires Soit f : [a, b] R une fonction continue sur un intervalle. Pour tout réel compris entre f (a) et f (b), il eiste c [a, b] tel que f (c) =. f (b) f (b) f (a) a c c c 3 b f (a) a b Démonstration Montrons le théorème dans le cas où f (a) < f (b). On considère alors un réel tel que f (a) f (b) et on veut montrer qu il a au moins un antécédent par f. On pose alors a 0 = a, b 0 = b et m 0 = a + b. On définit ensuite par récurrence les suites (a n ), (b n ) et (m n ) de la façon suivante : si f (m n ) < alors a n+ = m n, b n+ = b n et m n+ = a n+ + b n+. si f (m n ) = alors a n+ = b n+ = m n+ = m n si f (m n ) > alors a n+ = a n, b n+ = m n et m n+ = a n+ + b n+. Illustration : Utilisez la figure ci-dessous pour comprendre la construction des suites (a n ) et (b n ). Placez les 5 premiers termes. f (b) f (a) a b On a ainsi construit deu suites (a n ) et (b n ) telles que : (a n ) est croissante et f (a n ) (b n ) est décroissante et f (b n ) 0 b n a n b a n Autrement dit, les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes. Elles sont donc convergentes. Soit c leur limite. De plus, f est continue en c I donc lim n + f (a n) = f (c) et lim n + f (b n) = f (c). Or f (a n ) f (c) et f (b n ) f (c). Conclusion : f (c) =, autrement dit, a au moins un antécédent par f.

9 9 Applications du théorème des valeurs intermédiaires Voici la version la plus utilisée du théorème des valeurs intermédiaires. Corollaire Soit f : [a, b] R une fonction continue sur un segment. Si f (a) f (b) < 0, alors il eiste c ]a, b[ tel que f (c) = 0. f (b) > 0 a c b f (a) < 0 Démonstration Il s agit d une application directe du théorème des valeurs intermédiaires avec = 0. L hpothèse f (a) f (b) < 0 signifiant que f (a) et f (b) sont de signes contraires. Eemple 5 Tout polnôme de degré impair possède au moins une racine réelle. P() En effet, un tel polnôme s écrit P() = a n n + + a + a 0 avec n un entier impair. On peut supposer que le coefficient a n est strictement positif. Alors on a lim P = et lim P = +. En particulier, il eiste deu + réels a et b tels que f (a) < 0 et f (b) > 0 et on conclut grâce au corollaire précédent.

10 0 Corollaire Soit f : I R une fonction continue sur un intervalle I. Alors f (I) est un intervalle. Attention! Il serait fau de croire que l image par une fonction f de l intervalle [a, b] soit l intervalle [f (a), f (b)]. f (b) f ([a, b]) f (a) a b Démonstration Avant de démontrer ce corollaire, rappelons qu un ensemble E est un intervalle si et seulement si a, b E, a c b c E Soient, f (I),. Montrons que si [, ], alors f (I). Par hpothèse, il eiste, I tels que = f ( ), = f ( ) et donc est compris entre f ( ) et f ( ). D après le théorème des valeurs intermédiaires, comme f est continue, il eiste donc I tel que = f (), et ainsi f (I). 3. Fonctions monotones et bijections A partir de la fonction carré, on a défini sa fonction réciproque : la fonction racine. A partir de la fonction eponentielle, on a défini sa fonction réciproque, la fonction logarithme. Voici un résultat important qui va nous permettre de définir de nouvelles fonctions réciproques. Théorème. Théorème de la bijection - admis Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I de R. Si f est continue et strictement monotone sur I, alors. f établit une bijection de l intervalle I dans l intervalle image J = f (I),. la fonction réciproque f : J I est continue et strictement monotone sur J et elle a le même sens de variation que f. Si de plus f est dérivable en I avec f () 0 alors sa fonction réciproque g est dérivable en = f () et on a : g () = f (g()) f f = J = f (I) I

11 En pratique, si on veut appliquer ce théorème à une fonction continue f : I R, on découpe l intervalle I en sous-intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone. Eemple 6 Considérons la fonction carrée définie sur R par f () =. La fonction f n est pas strictement monotone sur R, d ailleurs, on voit bien qu elle n est pas injective. Cependant, en restreignant son ensemble de définition à ],0] d une part et à [0,+ [ d autre part, on définit deu fonctions strictement monotones (les ensembles de départ sont différents) : f : { { ],0] [0,+ [ et f : [0,+ [ [0,+ [ On remarque que f (],0]) = f ([0,+ [) = [0,+ [. D après le théorème précédent, les fonctions f et f sont des bijections. Déterminons leurs fonctions réciproques f : [0,+ [ ],0] et f : [0,+ [ [0,+ [. Soient deu réels et tels que 0. Alors = f () = = ou =, c est-à-dire admet deu antécédents, l un dans [0,+ [ et l autre dans ],0]. Et donc f () = et f () =. On retrouve bien que chacune des deu fonctions f et f a le même sens de variation que sa réciproque. f f = f f On remarque que la courbe totale en pointillée (à la fois la partie bleue et la verte), qui est l image du graphe de f par la smétrie par rapport à la première bissectrice, ne peut pas être le graphe d une fonction : c est une autre manière de voir que f n est pas bijective. Généralisons l eemple précédent. Eemple 7 Soit n. Soit f : [0,+ [ [0,+ [ définie par f () = n. Alors f est continue et strictement croissante. Comme lim + f = + alors f est une bijection. Sa bijection réciproque f est notée : n (ou aussi n ) : c est la fonction racine n-ième. Elle est continue et strictement croissante. Eercice 4. Montrer que chacune des hpothèses «continue» et «strictement monotone» est nécessaire dans l énoncé du théorème.. Soit f : R R définie par f () = 3 +. Montrer que f est bijective, tracer le graphe de f et de f. 3. Soit n. Montrer que f () = n définit une bijection de l intervalle [0,] vers un intervalle à préciser.

12 4. Eiste-t-il une fonction continue : f : [0,[ ]0,[ qui soit bijective? f : [0,[ ]0,[ qui soit injective? f : [0,[ ]0,[ qui soit surjective? 4. Vers de Nouvelles Fonctions 4.. Fonctions puissance et racine Si est un nombre réel (ou complee), alors on pose déf =, et n+ déf = n pour tout N. Par eemple : 3 =. Si 0, alors on pose aussi 0 déf =, n déf = n pour tout N. Par eemple : =. Pour tout n Z strictement positif, la fonction f () = n, [0,+ [, est strictement croissante sur [0,+ [ et satisfait : f (0) = 0, lim f () = +. + Donc f [0,+ [ est une bijection croissante de [0,+ [ sur [0,+ [. Pour tout n Z strictement négatif, la fonction f () = n, R, est strictement décroissante sur ]0,+ [ et satisfait : lim f () = +, lim 0 + Donc f ]0,+ [ est une bijection décroissante de ]0,+ [ sur ]0,+ [. Dans les deu cas, nous avons comme définition Définition f () = 0. + Pour n Z, la fonction ]0,+ [ ]0,+ [ réciproque de la fonction n est notée /n. Elle s étend à [0,+ [ lorsque n > 0 en posant 0 /n = h() = = 4. k() = 0 3. g() = =.. A f () = 0. O On note souvent /n = n. On a ainsi, pour et dans ]0,+ [, /n = n =. On a

13 3 Proposition 4 Pour tout couple d entiers relatifs (p, q) avec q 0, et pour tout réel > 0 ( p ) /q = ( /q ) p. Cette fonction ne dépend que du rapport p/q et est notée p/q. Démonstration Rappelons que pour tous les nombres réels et tous les entiers relatifs p et q, on a ( p ) q = ( q ) p = pq. Considérons alors a = ( p ) /q et b = ( /q ) p. Pour démontrer que a = b, il suffit de voir que a q = b q. Mais, en utilisant la définition de la fonction réciproque, nous avons ( q ) /q = ( /q ) q =, d où tandis que a q = ( ( /q ) p) q = ( ( /q ) q ) p = p, b q = ( ( p ) /q) q = p. Maintenant, pour voir que le rapport ne dépend que de p q, il suffit de voir que, pour tout entier a, eercice que nous laissons au lecteur. ( ap ) /aq = ( p ) /q, Définition Pour tout rationnel r Q, la fonction r est définie sur ]0,+ [ comme ( p ) q, pour n importe quelle représentation r = p q du rationnel r. Elle se prolonge à [0,+ [ lorsque r > 0 en posant 0r = 0. Quelques propriétés élémentaires qui découlent de ces définitions Proposition 5. Pour tout R, et pour tout r Q, ep() r = ep(r).. Pour > 0, on a r = ep(r ln ). 3. r r = r+r. 4. ( r ) r = ( r ) r = rr. 5. Si r > 0, r. 6. si r < 0, r. 7. Si r > 0, lim + r = + et lim r = Si r < 0, lim + r = 0 et lim r = r est dérivable sur ]0,+ [ et sa dérivée est r r. Démonstration Commençons par le premier point. Nous avons déjà vu que pour tout n Z, ep() n = ep(n). Montrons par ailleurs que, pour tout p N, p > 0, ep() /p = ep( p ). Il suffit pour cela d élever les deu membres à la puissance p pour obtenir ep() = ep( p )p = ep(), d après la formule précédente. Il suffit de choisir = ep() (c est à dire = ln()) pour se ramener aussi au premier point. Les autres s ensuivent : r r = ep(r ln())ep(r ln()) = ep((r + r )ln()) = r+r. De même, ( r ) r = ep(r ln()) r = ep(r r ln()) = rr.

14 4 Aussi, si r > 0 et, r ln() 0 et ep(r ln()). De même, si r > 0 et 0 <, r ln() 0 et r = ep(r ln()). Le cas où r < 0 se traite de même. Concernant les points 7 et 8, si r > 0, r ln() tend vers + si +, et donc par composition des limites, r = ep(r ln()) tend aussi vers +. Le convergence vers 0 se traite de même, ainsi que le cas où r < 0. Enfin pour r 0, r = ep(r ln()) qui est de la forme ep(u) donc ( r ) = r ep(r ln()) = r r = r r. On remarque que si r = 0, le résultat final reste vrai. La propriété r = ep(r ln()) nous permet maintenant de définir la fonction a sur ]0,+ [ pour tout a réel. Définition Pour tout a réel, la fonction a est définie pour a > 0 par a = ep(aln()). Lorsque a 0, on peut aussi la définir en = 0 par 0 a = 0. Elle n est pas définie en = 0 pour a < 0. Toutes les propriétés énoncées dans la Proposition 5 restent vraies lorsque r et r sont deu réels quelconques. (voir la remarque suivante) Remarque La définition de a pour a réel est telle que cette définition est un prolongement par continuité. Pour fié, la fonction a a est ainsi continue. En particulier, lorsqu une suite r n de rationnels converge vers un nombre réel a, rationnel ou non, et si > 0, alors r n converge vers a. Remarque Le lecteur aura remarqué que la fonction r n est définie que pour > 0. Cependant, lorsque n est un entier positif impair, alors la fonction n est une fonction croissante qui est une bijection de R dans R, et nous pourrions ainsi définir /n, pour < 0 et n impair. Mais cette définition peut être source de confusion, en particulier par eemple si nous voulons écrire 5/3 = ( /3 ) 5 = ( 5 ) /3 = 0/6. Dans la première formule, nous utilisons des entiers impairs, et dans la seconde des entiers pairs, pour lesquels la fonction /n n est définie que pour > 0. Pour éviter les confusions, nous nous limiterons donc au puissances rationnelles de nombres positifs. 5. Fonctions circulaires inverses 5.. Arccosinus Considérons la fonction cosinus cos : R [,], cos. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction, il faut considérer la restriction de cosinus à l intervalle [0, π]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et strictement décroissante, donc la restriction cos [0,π] : [0,π] [,] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus : arccos : [,] [0,π] arccos π + π π π 0 π π cos 0

15 5 On a donc, par définition de la bijection réciproque : cos ( arccos() ) = arccos ( cos() ) = [,] [0,π] Autrement dit : Si [0,π] cos() = = arccos Terminons avec la dérivée de arccos : arccos () = ],[ Démonstration On démarre de l égalité cos(arccos ) = que l on dérive : cos(arccos ) = = arccos () sin(arccos ) = = arccos () = sin(arccos ) = arccos () = cos (arccos ) ( ) = arccos () = Le point crucial ( ) se justifie ainsi : on démarre de l égalité cos + sin =, en substituant = arccos on obtient cos (arccos ) + sin (arccos ) = donc + sin (arccos ) =. On en déduit : sin(arccos ) = + (avec le signe + car arccos [0,π]). 5.. Arcsinus La restriction sin : [ π,+ π ] [,] est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arcsinus : arcsin : [,] [ π,+ π ] π arcsin + sin 0 π π 0 π π π sin ( arcsin() ) = [,] arcsin ( sin() ) = [ π,+ π ] Si [ π,+ π ] sin() = = arcsin

16 6 arcsin () = ],[ 5.3. Arctangente La restriction tan :] π,+ π [ R est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arctangente : arctan : R ] π,+ π [ tan π π π π 3π π arctan 0 π tan ( arctan() ) = R arctan ( tan() ) = ] π,+ π [ Si ] π,+ π [ tan() = = arctan arctan () = + R Eercice 5. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0,,,. Calculer arccos ( cos 7π ) ( 3. Idem avec arcsin sin 7π 3, 3. Idem pour arctan en 0,, 3 et. 3 ) (attention au intervalles!) ) et arctan ( tan 7π 3 3. Calculer cos(arctan ), cos(arcsin ), tan(arcsin ). ( ) 4. Calculer la dérivée de f () = arctan. En déduire que f () = arcsin, pour tout ],[. 5. Montrer que arccos + arcsin = π, pour tout [,]. Eercice 6 On a représenté ci-dessous la fonction arccos(cos()).

17 7 π = arccos(cos()) π π 0 π π. Représentez la fonction cos(arccos()).. Représentez la fonction arcsin(sin()) et sin(arcsin()). 3. Représentez la fonction arctan(tan()) et tan(arctan()). 6. Fonctions hperboliques et hperboliques inverses 6.. Cosinus hperbolique et son inverse Pour R, le cosinus hperbolique est : ch = e + e La restriction ch : [0,+ [ [,+ [ est une bijection. Sa bijection réciproque est Argch : [,+ [ [0,+ [. ch sh argsh argch Sinus hperbolique et son inverse Pour R, le sinus hperbolique est : sh = e e sh : R R est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant c est donc une bijection. Sa bijection réciproque est Argsh : R R. lim sh = et lim sh = +, +

18 8 Proposition 6 ch sh =. ch = sh, sh = ch. Argsh : R R est strictement croissante et continue. Argsh est dérivable et Argsh =. + Argsh = ln ( + + ). Démonstration ch sh = [ 4 (e + e ) (e e ) ] = 4 [ (e + + e ) (e + e ) ] =. d d (ch ) = d e +e d = e e = sh. Idem pour la dérivée de sh. Car c est la réciproque de sh. Comme la fonction sh ne s annule pas sur R alors la fonction Argsh est dérivable sur R. On calcule la dérivée par dérivation de l égalité sh(argsh ) = : Argsh = Notons f () = ln ( + + ) alors ch(argsh ) = = sh (Argsh ) + f () = = = Argsh + + Comme de plus f (0) = ln() = 0 et Argsh0 = 0 (car sh0 = 0), on en déduit que pour tout R, f () = Argsh Tangente hperbolique et son inverse Par définition la tangente hperbolique est : th = sh ch La fonction th : R ],[ est une bijection, on note Argth :],[ R sa bijection réciproque. argth th 0 0

19 Trigonométrie hperbolique Propriétés algébriques ch sh = ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a) = ch a + sh a sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a sh(a) = sh a ch a th a + th b th(a + b) = + th a th b Dérivées des fonctions hperboliques ch = sh sh = ch th = th = ch Argch = Argsh = + ( > ) Argth = ( < ) Formules eplicites à partir du logarithme Argch = ln ( + ) ( ) Argsh = ln ( + + ) ( R) Argth = ln ( + ) ( < < ) Eercice 7 On appelle courbe paramétrée une application f définie sur un intervalle I de R prenant ses valeurs dans R. Géométriquement, une courbe paramétrée est donc l ensemble des points M du plan de coordonnées ((t), (t)) avec t I.. Dessinez les courbes paramétrées t (cos t,sin t) et t (ch t,sh t). a Pourquoi cos et sin s appellent des fonctions trigonométriques circulaires alors que ch et sh sont des fonctions trigonométriques hperboliques?. Prouvez par le calcul la formule ch(a + b) =... En utilisant que cos = ei +e i retrouvez la formule pour cos(a + b). 3. Résolvez l équation sh = Montrez que sh() +ch() = th. 5. Calculez les dérivées des fonctions définies par : th( + ), ln(ch ), Argch(ep ), Argth(cos ). a. Aide : Afin de comprendre ce qu il se passe, lancez Géogébra. Créez un curseur t variant entre 0 et 0 avec un incrément de 0.. Dans la barre de saisie, définissez le point M de coordonnées (cos(t), sin(t)) à l aide de la commande M = (cos(t), sin(t)). A l aide d un clic droit sur le point M, activez la trace du point M. Faîtes varier le curseur t. 7. Eercices de Snthèse Eercice 8 a) f désigne une fonction définie sur R à valeurs réelles. Si A est un sous-ensemble de R, "rappelez" ce que désigne f (A). b) g désigne la fonction carré, que vaut g([ 3;5])? que vaut g(r)? Eercice 9 On note f g la fonction résultant le l enchaînement des fonctions g puis f. Autrement dit, ( f g)() = f (g()). On appelle f g la composée de g par f. a) Si f est la fonction carré et g la fonction eponentielle, donnez l epression de f g et de g f. A-t on f g = g f? b) Si f est la fonction logarithme népérien et g la fonction cube, donnez l epression de f g et de g f. c) Dans chaque cas, identifiez les fonctions de références f et g telles que : (f g)() = + pour tout

20 0 (f g)() =, R (f g)() = e 5 8, R Eercice 0 Soient f : ( ) et g :. Ces fonctions sont-elles égales? Eercice En utilisant le théorème des gendarmes, démontrez que la fonction f () = cos admet une limite en 0. Que vaut-elle? Eercice Démontrez que tout polnôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Eercice 3 Montrez que tout polnôme de degré pair et positif sur R est somme de carrés de polnômes. (Indication : traiter d abord le cas de degré, puis raisonner par récurrence en faisant apparaître les racines complees conjuguées du polnôme). Eercice 4 Calculez les dérivées des fonctions ep(tan ( )), ln(cos ()), sin(ep(arctan()). Eercice 5. Calculez les dérivées premières et secondes de e /.. Montrez que pour tout n, la dérivée n-ième de cette fonction s écrit sous la forme H n () = P n() n e /. 3. Montrez que pour tout n, la limite lim 0,>0 H n () = Que vaut la limite lim 0,<0 H ()? Eercice 6. Montrez que pour tout ], [, ln( + ). (Indication : on traitera séparément les cas > 0 et < < 0, et on comparera les dérivées).. En déduire que e. 3. En appliquant l inégalité à / e, montrez aussi que e 4. Eercice 7 En s inspirant de la méthode de l eercice précédent, montrez que pour tout [0, [, + 3 ln( + ) 3. Eercice 8. Montrez que, pour tout R, e +.

21 . En déduire que pour, e (indication : appliquer la première inégalité en changeant de signe). 3. En déduire que pour 0, e ln( ). Eercice 9. Démontrez que pour tout 0, e + +. (Indication : on pourra utiliser le résultat de l eercice 8).. Démontrez par récurrence que, pour tout n 0 et pour tout 0, 3. On appelle u n la fonction e ( + + e n n!. n + + n! ). Démontrez par récurrence que, pour 0, ( )u n n+ (n + )!. (On pourra utiliser le résultat de la deuième question de l eercice 8.) 4. Déduisez-en la majoration, pour [0, [ e n n! + n+ ( )(n + )!. Eercice 0 On appelle P n () le polnôme + + n + + n!.. Calculez P n. Montrez que P n n a pas de racines doubles.. Démontrez que P est toujours positif. 3. Démontrez que pour tout 0, e P (). (Indication : utilisez l inégalité e P () démontrée dans l eercice 8). 4. Démontrez que pour tout 0, P 3 () e. (Indication : utilisez la question précédente) 5. Démontrez par récurrence que pour tout 0, et pour tout n, on P n () e P n (). (Indication : raisonnez par récurrence, en alternant les cas pair et impair). 6. Déduisez-en une approimation à 0 près de /e par des nombres rationnels. 7. Démontrez que pour tout n pair, P n () n a pas de racines réelles. Eercice Soit f () =. La fonction f est-elle dérivable en 0? Eercice Déterminez a, b de manière que la fonction f définie sur ]0,+ [ par { si 0 <, f () = a + b + sinon soit dérivable sur son ensemble de définition.

22 Eercice 3 Démontrez que si f est dérivable sur R et paire, alors f est impaire. Eercice 4. Démontrez que si f, g : R R sont deu fonctions telles que f = f et g = g, alors la fonction f ()g( ) est constante.. Déduisez-en que s il eiste une fonction f : R R telle que f = f et f (0) =, alors telle f est unique. Eercice 5 On considère la fonction définie par f () = e ( ).. Quel est le domaine de définition de f? La fonction f, est-elle dérivable sur son domaine de définition?. Calculez la dérivée de f et étudier ses variations. 3. Donnez un intervalle de R sur lequel la fonction est strictement décroissante. On note I cet intervalle. 4. Démontrez que f est une bijection de I sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque. 5. La fonction g est-elle monotone sur J? 6. La fonction g est-elle dérivable sur J? 7. Donnez l epression de g. 8. Représentez graphiquement ces deu fonctions. Eercice 6 Démontrez que l équation = cos admet une solution dans l intervalle [0, π/]. Est-ce que l équation sin = admet une solution dans le même intervalle? Eercice 7 Démontrez successivement (en calculant les dérivées) les inégalités suivantes pour tout 0. sin.. cos. 3. sin 3 3!. 4. cos! + 4 4!. 5. Donnez une majoration de sin avec un polnôme de degré 5 qui commence par 3 3!. 6. Donnez une minoration de cos par un polnôme de degré 6 qui commence par! + 4 4!. Eercice 8. Eprimez cos() et sin() en fonction de tan().. Un polnôme à deu variables est une epression P(X,Y ) de la forme n p=0 m q=0 a p,q X p Y q. Montrez que pour tout polnôme à deu variables, P(cos, sin ) s eprime comme une fraction rationnelle de tan(/). Eercice 9. En comparant les dérivées, démontrez que pour 0, arctan() ln( + ).. Déduisez-en une comparaison entre π et log().

23 3 3. En comparant les dérivées sur [a,], montrez aussi que pour tout a ]0,], on a π 4 arctan(a) a log( + a ). Eercice 30. En comparant les dérivées, montrez que pour tout ]0,[, on a arcsin().. Montrez de même que π arcsin(). 3. En appliquant avec = /, donnez ainsi deu minorations de π, et comparez les inégalités obtenues. 4. Même question avec = /, = 3/. Eercice 3. Calculez la dérivée n-ième de cosh.. Calculez la dérivée n-ième de sinh(). Eercice 3 En suivant la méthode de l eercice 7, donnez des minorations de sinh() et cosh() par des polnômes de degré,,3,4,5. Comparez avec les encadrements correspondants des fonctions cos et sin. Eercice 33. Montrez que cosh(n) + sinh(n) = ( cosh() + sinh() ) n.. Eprimez cosh(n) + sinh(n) comme un polnôme en cosh() et sinh. 3. En utilisant la formule pour et, montrez que cosh(n) = P n ( cosh() ), où Pn est un polnôme de degré n. 4. Comparez avec la formule qui eprime cos(n) comme un polnôme de cos. Eercice 34. Calculez arcsin 3, arccos, arctan, arcsinsin 5π 3 6, arccoscos 5π 6, sinarcsin, arcsinsin, tanarctan3, arctantan3.. Calculez arccos(sin 3π π ), arcsin(sin 7 ), arcsin(cos π 7π 7 ), et arctan(tan 5 ). Eercice 35. Démontrez que pour tout [,], arcsin + arccos = π.. Démontrez que pour tout R, arctan + arctan = sign() π. Eercice 36 Soit arctan si < 0, f () = 0 si = 0, e / si > 0. Étudiez la continuité et déterminez l ensemble des réels tel que f soit dérivable en.

24 4 Eercice 37 Calculez les dérivées des fonctions suivantes après avoir indiqué sur quels intervalles elles sont dérivables : f () = e cossin, g() = ln(ln()), h() = cosh() + sinh(). Eercice 38 On considère la fonction définie par f () = arcsin( + ).. Démontrez que f est dérivable sur R et calculer sa dérivée. (On simplifiera au maimum l epression de f.). Déduisez-en une autre epression de f par une fonction usuelle du cours. Eercice 39 On considère la fonction définie par : f () = { a + b si ], [, + + arctan si [,+ [... Trouvez les réels a et b de sorte que f soit continue et dérivable sur R.. Calculez la dérivée de f et étudier ses variations. 3. Démontrez que l équation f () = 0 a une solution unique dans R. 4. Démontrez que f est une bijection de R sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque. 5. Donnez le tableau de variation de g. 6. Calculez g ( 0 ) pour g( 0 ) =. Eercice 40 On considère la fonction définie par f () = e (cos +sin ).. Démontrez que f est définie et dérivable sur R.. Calculez la dérivée de f et étudier son signe sur l intervalle I = [0,π]. 3. Déduisez-en le tableau de variations de f sur l intervalle I. 4. Combien l équation f () = e ( ) a-t-elle de solutions dans l intervalle I? Eercice 4 On considère la fonction définie par g() = arctan.. Démontrez que g est continue sur I =]0, + [.. Calculez lim 0 + g() et démontrez qu on peut prolonger g par continuité en Démontrez que g est dérivable sur I et calculez g. 4. Démontrez que g est une bijection de ]0,+ [ sur un intervalle J à déterminer. 5. La fonction g est-elle croissante, décroissante? 6. En utilisant la relation arctan + arctan( ) = π, pour > 0, démontrez que g n est pas dérivable en 0.

25 5 8. Rappels la dérivée Motivations Nous souhaitons calculer,0 ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme,0 est proche de et que = on se doute bien que,0 sera proche de. Peut-on être plus précis? Si l on appelle f la fonction définie par f () =, alors la fonction f est une fonction continue en. La continuité nous affirme que pour suffisamment proche de, f () est proche de f (). Cela revient à dire que pour au voisinage de on approche f () par la constante f (). = ( ) + = = 0 Nous pouvons faire mieu qu approcher notre fonction par une droite horizontale! Essaons avec une droite quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe de f autour de 0? Elle doit passer par le point ( 0, f ( 0 )) et doit «coller» le plus possible au graphe : c est la tangente au graphe en 0. Une équation de la tangente est = ( 0 )f ( 0 ) + f ( 0 ) où f ( 0 ) désigne le nombre dérivé de f en 0. On sait que pour f () =, on a f () =. Une équation de la tangente en 0 = est donc = ( ) +. Et donc pour proche de on a f () ( ) +. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de,0? On pose =,0 donc f () + 0,0 ( ) = + =, 005. Et c est effectivement une très bonne de approimation de 0,0 =, En posant h = on peut reformuler notre approimation en : + h + h qui est valable pour h proche de 0. Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu est la dérivée d une fonction, et établir les formules des dérivées des fonctions usuelles. Enfin, pour connaître l erreur des approimations, il nous faudra travailler beaucoup plus afin d obtenir le théorème des accroissements finis. 8.. Dérivée Dérivée en un point Soit I un intervalle ouvert de R et f : I R une fonction. Soit 0 I. Définition 5 f est dérivable en 0 si le tau d accroissement f () f ( 0) 0 a une limite finie lorsque tend vers 0. La limite s appelle alors le nombre dérivé de f en 0 et est noté f ( 0 ). Ainsi f f () f ( 0 ) ( 0 ) = lim 0 0 De plus, si f est dérivable en tout point 0 I on dit que f est dérivable sur I et la fonction f () est la fonction dérivée de f,elle se note f ou df d. Le lien suivant est une illustration de la définition précédente. Vous observerez en particulier que les sécantes (AB) se rapprochent de la tangente à C f lorsque h tend vers 0 : show/id/9960

26 6 Eercice 4. ** En utilisant la définition précédente, aidez-vous (si besoin) de l animation précédente pour calculer le nombre dérivé de g () avec g() = 3 +. Tangente La droite qui passe par les points distincts ( 0, f ( 0 )) et (, f ()) a pour coefficient directeur f () f ( 0) 0. à la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente est f ( 0 ). Une équation de la tangente au point ( 0, f ( 0 )) est donc : = ( 0 )f ( 0 ) + f ( 0 ) M 0 M 0 Eercice 43. *. Déterminez les valeurs de f ( ), f ( ), f (0) ainsi que les valeurs de f ( ), f (0), f ().. Donnez l équation de la tangente à C f au point d abscisse 0 puis au point d abscisse. 3. Soit g la fonction définie sur R par g() = Donnez l équation de la tangente à C g au point d abscisse =. 4. Déterminez la position relative de C g et. 0 C f Autres écritures de la dérivée Voici deu autres façons de formuler la dérivabilité de f en 0. Proposition 7 f ( 0 + h) f ( 0 ) f est dérivable en 0 si et seulement si lim eiste et est finie. h 0 h f est dérivable en 0 si et seulement s il eiste l R (qui sera f ( 0 )) et une fonction ε : I R telle que ε() 0 avec 0 f () = f ( 0 ) + ( 0 )l + ( 0 )ε().

27 7 Démonstration Il s agit juste de reformuler la définition de f ( 0 ). Par eemple, après division par 0, la deuième écriture devient f () f ( 0 ) = l + ε(). 0 Eercice 44. * Afin de comprendre l intérêt de la seconde formulation, je vous laisse la réécrire en utilisant comme dans l introduction f () =, =... et h =... ainsi on obtient,0... Proposition 8. Lien entre Dérivabilité et Continuité Soit I un intervalle ouvert, 0 I et soit f : I R une fonction. Si f est dérivable en 0 alors f est continue en 0. Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I. Remarque La réciproque est fausse : par eemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n est pas dérivable en 0 : = 0 Proposition 9 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. f est croissante sur I si et seulement si f () 0. f est décroissante sur I si et seulement si f () 0. De plus, Si f () > 0 ou si f ne s annule qu en un nombre fini de valeurs alors f est strictement croissante sur I. Si f () < 0 ou si f ne s annule qu en un nombre fini de valeurs alors f est strictement décroissante sur I. Eercice 45. * Ci-dessous, une fonction f a été représentée avec ses deu premières dérivées. Identifiez C f, C f et C f.

28 8 0 C C3 C 9. Rappels sur les fonctions trigonométriques à tout nombre réel positif, on associe l unique position du point M telle que la distance parcourue par M, lorsqu il parcourt le cercle trigonométrique dans le sens direct, soit égale à. De même à tout nombre réel négatif, on associe l unique position du point M telle que la distance parcourue par M, lorsqu il parcourt le cercle trigonométrique dans le sens indirect, soit égale à. Le cosinus de est par définition l abscisse du point M. Ainsi : cos() pour tout réel. Le sinus de est par définition l ordonnée du point M. Ainsi : sin() pour tout réel. En appliquant le théorème de Pthagore, il vient immédiatement la relation : cos() + sin() =. Cercle de Raon sin() O cos() M(cos(), sin()) longueur Sens Positif Définition 6 La fonction cosinus, est la fonction définie sur R qui à tout réel, associe le nombre cos() selon le procédé défini ci-dessus. La fonction sinus, est la fonction définie sur R qui à tout réel, associe le nombre sin() selon le procédé défini ci-dessus. 9.. Dérivabilité des Fonctions Cosinus et Sinus - Conséquences Proposition 0. Admise Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R, et pour tout R on a : cos () = sin() sin () = cos() Remarque 3 Comme les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R, elles sont aussi... D après le théorème vu sur la dérivée des fonctions composées, on obtient également : (cos(u())) = (sin(u())) =

29 9 Eercice 46 Calculez les dérivées des fonctions suivantes : f () = cos(3 ( + 4) π ) f () = sin + f 3 () = sin(3 ( + + ) f 4 () = cos + 3π ) 6 Eercice 47. Dressez le tableau de variations des fonctions cosinus et sinus sur l intervalle [0; π].. Etudiez la fonction f définie sur [ 0; π ] ( ) par f () = cos 3 + π 4. Eercice 48 sin() En utilisant la définition du nombre dérivé, calculez lim. (ce résultat est à connaître!) Parité et Périodicité des Fonctions Sinus et Cosinus Définition 7 Pour tout réel, cos() = cos( ) et sin( ) = sin(). On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Pour tout réel, cos( + π) = cos() et sin( + π) = sin(). On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période π. On dit aussi qu elles sont π-périodiques. Eercice 49 On donne ci-dessous la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus sur l intervalle [0; π].. En utilisant la parité de ces fonctions, complétez la représentation ci-dessous pour la prolonger sur l intervalle [ π; π].. En utilisant la parité de ces fonctions, complétez la représentation ci-dessous pour la prolonger sur l intervalle [ π; π]. π sin() 3π π O π π π 3π π cos() 9.3. Fonction Tangente

30 30 Définition 8 Pour tout π [π], on définit la fonction tangente par tan() = sin() cos(). Eercice 50 Dressez le tableau de variations de la fonction tangente sur l intervalle bornes de l intervalle. ] π ; π [. On calculera les limites au Voici une représentation graphique de la fonction tangente sur laquelle on peut observer les asmptotes verticales d équation = π + kπ avec k un entier relatif. π tan() O 3π π π π π 3π π 9.4. Formules de Trigonométrie Proposition. Formules d Addition Pour tous a, b R on a : cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a b) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b) Eercice 5. Complétez : En utilisant les formules d additions dans le cas où a = b, on obtient les formules du duplication cos(a) = sin(a) =. En utilisant le cercle trigonométrique ou les formules d addition, complétez la figure suivante : ( cos α + π ) = ( sin α + π ) = α + π α O cos(α + π) = sin(α + π) = α + π α π ( cos α π ) = ( sin α π ) =

31 3 Eercice 5 Donnez les valeurs eactes de ( ) π cos = ( 3 ) π sin = ( 3 ) 0π cos = ( 3 sin π ) = 6 ( π ) tan = ( 4 ) 3π tan = ( 4 ) 0π cos cos = ( 4 π ) = 6 ( π ) ( ) 5 + 9π cos = donc cos = ( π ) ( ) 5 + 7π cos = donc sin = ( π ) 5 + ( π ) cos = donc sin = Eercice 53 Soit f la fonction définie sur R par f () = cos().. f est-elle paire? impaire?. Quelle est la période de f? 3. Prolongez autant que possible la représentation graphique ci-dessous : π 3π π O π π π 3π π cos() 0. Rappels sur la Convergence de suite 0.. Comportement global d une suite Définition 9 Une suite u = (u n ) n 0 est croissante si n N, u n u n+. Une suite u = (u n ) n 0 est décroissante si n N, u n u n+. Eercice 54. * Donnez une suite u croissante, une suite v décroissante et une suite w qui ne soit ni croissante, ni décroissante. u : v : w : Définition 0 Une suite u = (u n ) n 0 est majorée lorsque tous ses termes sont inférieurs à une même constante M appelée majorant. Ainsi, pour tout entier n 0, u n M. Une suite u = (u n ) n 0 est minorée lorsque tous ses termes sont supérieurs à une même constante m appelée minorant. Ainsi, pour tout entier n 0, u n m. Une suite u = (u n ) n 0 est bornée lorsque qu elle est à la fois majorée par une constante M et minorée

32 3 par une constante m. Ainsi,pour tout entier n 0, m u n M. Eercice 55. * Complétez les phrases suivantes avec les adjectifs : croissante, décroissante, minorée, majorée, bornée. La suite u définie pour tout n 0 par u n = sin(n) est... La suite v définie pour tout n 0 par v n = n est... La suite w définie pour tout n par w n = n est Limite d une Suite Dans tout ce paragraphe, (u n ) désigne une suite de nombres réels. Le cas d une limite infinie Définition On dit que la suite (u n ) tend vers + lorsque tout intervalle de la forme [A;+ [ avec A R contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang p. On note : lim n + u n = + ou u n + n + Eercice 56. **. Proposez une définition pour lim n + u n =. Représentez graphiquement une suite qui a pour limite Est-ce qu une suite non majorée tend nécessairement vers +? Vous pouvez justifier votre réponse en vous appuant sur un graphique. Le cas d une limite finie Définition On dit que la suite (u n ) admet pour limite le réel l lorsque, tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs u n à partir d un certain rang p. Dans ce cas, on dit aussi que (u n ) converge. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Je vous invite à consulter l animation http ://tube.geogebra.org/material/show/id/757 qui illustre la définition d une suite convergente. Pour comprendre cette animation, faîtes varier les deu curseurs à tour de rôle. Eercice 57. ** Dites si chaque proposition est vraie au fausse. Si l intervalle ]4,99;5,0[ contient tous les termes de (u n ) à partir du centième alors (u n ) converge vers 5. Si aucun des mille premiers termes de (u n ) n est dans l intervalle ];3[ alors (u n ) ne peut pas converger vers. Si l intervalle ]4,99;5,0[ contient tous les termes de (u n ) alors (u n ) converge vers 5. Une suite divergente n est pas bornée.

33 33 Eercice 58. * Donnez un eemple de suite divergente n aant pour limite ni +, ni. Théorème 3 Lorsqu elle eiste, la limite d une suite est unique. Une suite qui converge est bornée. Démonstration On pourra effectuer un raisonnement par l absurde. Eercice 59. ** On vient de voir que si u est convergente alors u est bornée.. Énoncez la proposition réciproque.. Est-ce cette réciproque est une proposition vraie? 3. Justifiez votre réponse Un Théorème de Convergence Monotone Théorème 4. Un Théorème de convergence monotone-admis Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors (u n ) converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors (u n ) converge. Eercice 60. * Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.. Pour démontrez qu une suite converge, il faut calculer sa limite.. Si une suite est convergente alors elle soit croissante et majorée, soit décroissante et minorée. 3. Le théorème de convergence monotone ne permet pas de calculer la limite d une suite. Eercice 6. *** Soit u la suite définie par u 0 = 6 et u n+ = u n +.. Vérifiez à l aide d un raisonnement par récurrence que (u n ) est bien définie pour n N.. Étudiez le sens de variations de la fonction + sur R Toujours à l aide d un raisonnement par récurrence, déduisez-en que (u n ) est décroissante. 4. Démontrez que la suite u est convergente.