Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

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1 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; ] b. On ppelle représenttion grphique de l fonction f, l'ensemble C des points M( ; y ) du pln tels que y = f ( ) où [ ; b] L reltion y f ( ) rpport u repère O ;! i ;! j. = est ppelée éqution de l courbe C pr ( ) du pln. Soit f une fonction définie sur un intervlle I centré en 0. On dit que f est pire si, pour tout réel de I, f ( ) = f ( ). On dit que f est impire si, pour tout réel I f = f. de, ( ) ( ) Remrque : " I centré en 0 " signifie que pour tout I, on I Interpréttion grphique : L courbe représenttive d'une fonction pire dmet l'e des ordonnées pour e de symétrie. L courbe représenttive d'une fonction impire dmet le point O pour centre de symétrie. Eemple f :! est pire ; g :! 3 3 est impire. ( ) = ( ) = = ( ) et g( ) = 3( ) 3 = 3 3 = g( ) f f

2 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Une fonction f définie sur un prtie intervlle I, est : croissnte sur I, si et seulement si pour tous nombres réels et de I, on : ( ) ( ) f f décroissnte sur I, si et seulement si pour tous nombres réels et de I, on : ( ) ( ) f f constnte sur I, si et seulement si pour tous nombres réels I ou encore s'il eiste un réel k tel que pour tout réel, f ( ) = k et de, on : f ( ) = f ( ) monotone sur I, si et seulement si f est soit croissnte sur I, soit décroissnte sur I. Étudier le sens de vrition d'une fonction f sur un intervlle I, c'est déterminer si cette fonction est croissnte, décroissnte ou constnte sur I. On réunit les informtions concernnt les vritions d'une fonction en dressnt un tbleu ppelé tbleu de vritions. II. Les fonctions de référence / Les fonctions ffines Les fonctions ffines sont les fonctions de l forme : f :! + b vec! et b!. si 0 et b 0 lors f est une fonction ffine. si 0 et b = 0 lors f est une fonction linéire. si = 0 et b 0 lors f est une fonction constnte. Eemples l fonction f :! est une fonction (ffine) linéire. l fonction g :! 3 5 est une fonction ffine. l fonction h :! est une fonction (ffine) constnte. Dns les prgrphes qui suivent, on note : f :! + b vec! et b!.. / ensemble de f eiste pour toutes les vleurs réelles donc Df =!. ( ) Toutes les fonctions ffines sont définies sur!.. / signes si 0 f est du signe de b. =, ( ) f + b b f + b b f + b b b f + b b b si > 0 : étude du signe de f ( ) : ( ) 0 0 ( ) 0 0 si < 0 : étude du signe de f ( ) : ( ) 0 0 ( ) 0 0

3 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 3 conclusion : tbleu de signes si = 0 si 0 + f ( ) Signe de b b + f ( ) Signe de 0 signe de.3 / vritions On note et deu nombres réels tels que f f = + b + b = + b b= <. Comprons f ( ) et f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - <0 donc f ( )- f ( ) <0 cd f ( ) < f ( ) si > 0 : comme < lors Dns ce cs, l fonction f conserve l'ordre : elle est strictement croissnte sur. si < 0 : comme < lors f f Dns ce cs, l fonction f renverse l'ordre : elle est strictement décroissnte sur. conclusion : tbleu de vritions si > 0 si < 0 - <0 donc ( - ) >0 cd ( )- ( ) >0 soit f ( ) > f ( ) + + f ( ) f ( ).4 / courbe représenttive L courbe représenttive Cf d'une fonction ffine est une droite pssnt pr le point ( 0;b ) et de coefficient directeur (ou pente). / L fonction crré L fonction crré est : f :! L'étude de cette fonction ynt été étudiée en Seconde, nous llons juste rppeler les résults sns les redémontrer. ensemble de Df =! tbleu de signes 0 + f ( ) tbleu de vritions f 0 + ( ) 0 courbe représenttive Cf est une prbole dont les brnches sont tournées vers le hut, de sommet S ( 0;0) d'éqution = 0 (L fonction crré est pire)., d'e de symétrie l droite

4 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 4 Appliction Ê Sns effectuer de clculs et sns utiliser l clcultrice, comprer les nombres : ( ) et ( 3) Solution < 3 >- 3 >- 3 or! et 3! On sit que sur!, l fonction crré est décroissnte donc elle renverse l'ordre. ( ) <- ( 3) Appliction Ê désigne un réel. Dns chque cs, dire si l'impliction est vrie ou fusse. Epliquer pourquoi; / si 5 lors 0 30 b / si lors 4 Solution / VRAI : en effet 5 ( ) ( 5) cr sur!, l fonction crré est décroissnte donc elle d'où b / FAUX : en effet 0 ou 0 renverse l'ordre On en déduit que l'ffirmtion 0 0 ( l fonction crré renverse l'ordre sur! ) ( l fonction crré conserve l'ordre sur! + ) On en déduit que est vrie. 3 / L fonction inverse L fonction inverse est : f :! Cette fonction ynt églement été étudiée en Seconde, voici l'essentiel à retenir. ensemble de Df =! \ { 0} tbleu de signes 0 + f ( ) + tbleu de vritions f 0 + ( )

5 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 5 courbe représenttive L courbe représenttive Cf de l fonction inverse est une hyperbole de centre de symétrie ( 0;0) inverse est impire). O (L fonction Appliction 3 Ê Démontrer que sur ] ;0[ Solution Soient et b deu réels tels que : b 0 on sit que < 0 et b < 0 donc b > 0 on sit que < b donc b > 0 b On en déduit que f ( ) f ( b) 0 b, l fonction inverse est décroissnte. < <. Comprons f ( ) et ( ) f b : b f ( ) f ( b) = = b b = >. Ainsi l fonction inverse renverse l'ordre sur ] ;0[ Appliction 4 Ê Dire pour chque ffirmtion, si elle est vrie ou fusse. 5 / 9 est l'ntécédent de 4 + pr l fonction inverse. 5 b / On sit que et que l fonction inverse est décroissnte sur ] 0;+ [, donc Solution, elle est décroissnte / f 9 = 5 = 5 = = +. L'ffirmtion est VRAIE. 5 9 b / FAUX! Obligtion de préciser le signe de. En effet prenons =, on effectivement. Or dns ce cs, 3 3 = ce qui contredit. En revnche su l'on précise 0<, lors l'ffirmtion est vrie. 4 / L fonction rcine crrée L fonction rcine crrée est : f :! où est l'unique réel positif vérifint ( ) = ensemble de f ( ) eiste 0 donc Df = [ 0; + [ étude du signe f ( ) est toujours positif pour tout [ 0; + [ 0 + f ( ) +

6 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 6 tbleu de vritions 0 + f ( ) Appliction 5 Démontrer que l fonction rcine crrée est croissnte sur [ 0;+ [ : Solution Soit et b deu réels tels que 0 < b. Comprons f ( ) et f ( b ) : ( )( ) b + b b f ( ) f ( b) = b = = + b + b on sit que < b donc b< 0 on sit que 0 et b > 0 donc + b> 0 b Il en résulte que + b est le quotient de deu nombres de signes contrires et f ( ) f ( b) < 0 0;+. conclusion : l fonction rcine crrée conserve l'ordre, elle est croissnte sur [ [ courbe représenttive Appliction 6 trvil en utonomie : étude de l fonction cube Objectifs : donner l ensemble de ; déterminer le signe de l fonction cube ; déterminer son tbleu de vritions ; prouver que l fonction cube est impire ; conséquence sur l représenttion grphique de cette fonction? trcer s représenttion grphique dns un repère orthonormé 3 / L fonction vleur bsolue L vleur bsolue d'un nombre réel est s distnce à 0 donc : si 0 = si 0 Eemples 4,5 = 4,5 4,5 = 4,5 3 = ( 3 ) = 3 Appliction 7 / Clculer A= pour = 5 puis pour = 7. / Résoudre + 3 = 5 puis Méthode on peut retenir : pour résoudre X,! er cs : < 0 : l'éqution n' ucune solution. nd cs : = 0 : l'éqution dmet une unique solution : X = 0 3ème cs : > 0 lors : X X

7 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 7 pour résoudre X,! er cs : 0 : l'éqution est toujours vérifiée. L'ensemble des solutions est!. nd cs : > 0 lors : X X ou X propriétés pour tout réel, = = 0 = 0 = 0 L fonction vleur bsolue est : f :! ensemble de Df =! étude du signe d'près, pour tout réel, f ( ) 0 + f ( ) + vritions si 0 f ( ) = si 0 0;+, f est une fonction linéire de coefficient directeur positif donc f est croissnte sur cet intervlle ; sur [ [ sur ] ;0], f est une fonction linéire de coefficient directeur négtif donc f est décroissnte sur cet intervlle. 0 + f ( ) 0 courbe représenttive L courbe représenttive est formée de deu demi-droites : l'une d'éqution y =, l'utre d'éqution y =. Et comme il est évident que f ( ) = f ( ) (d'près ) l fonction vleur bsolue est pire et dmet l'e ( Oy ) pour e de symétrie. Appliction 8 Écrire sns le symbole "vleur bsolue" l fonction f définie sur pr : f ( ) = puis le représenter dns un repère orthonormé. III. Position reltive entre les courbes usuelles f g et h définies sur [ [ = g( ) = h( ) = On considère les courbes représenttives des fonctions ; f ( ) et on s'intéresse à l position reltive des courbes Cf, Cg et Ch. On commencer pr étblir une conjecture à l'ide de l clcultrice. 0;+ pr :

8 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 8 / Position reltive de Cf et Cg Pour tout 0, g( ) f ( ) ( ) = = : polynôme de degré qui dmet deu rcines = 0 et =, 0 + f ( ) ( ) g Position reltive Cg en-dessous de Cf Cg u-dessus de Cf qui le signe de, donc positif, suf entre les rcines. / Position reltive de Cf et Ch Pour tout 0, f ( ) h( ) = = ( ) pour tout 0, 0 pour tout 0, 0 0;+, donc or l fonction crré est strictement croissnte sur [ [ On en déduit que : ( ) h( ) f Position reltive Cf en-dessous de Ch ( ) cd on ussi cr l fonction rcine crrée est strictement 0;+ Cf u-dessus de Ch croissnte sur [ [ propriétés Cf, Cg et Ch ont deu points communs de coordonnées ( 0;0 ) et ( ; ) Pour tout [ 0;], Pour tout ] ; + [, Appliction 9 Sns clcultrice, ordonner les nombres π ; π ;6 π ; π ;4π et π 3 9 8

9 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 9 IV. Eploittion des fonctions de référence / Fonctions f et f + k Soit f une fonction définie sur un intervlle I et k un nombre réel. ( ) + k. Y -t-il un lien entre les vritions de f et celles de f k On note f + k :! f +? supposons f croissnte sur I : pour tous réels et b de I tels que < b, on f ( ) f ( b) donc l fonction f + k est ussi croissnte sur I. on lors ussi f ( ) + k f ( b) + k risonnement nlogue si on suppose f décroissnte sur I. propriété k étnt un réel, f une fonction définie et monotone sur un intervlle I, lors les fonctions f et f vritions sur I. + k ont les mêmes Eemple : déterminons les vritions de l fonction g : 7. L fonction g est du type + k. Elle donc les mêmes vritions que l fonction crré. Il en résulte que : g est décroissnte sur ; 0 et croissnte sur 0 ; +. / Fonctions f et λ f Soit f une fonction définie sur un intervlle I et λ un nombre réel non nul. ( ). Y -t-il un lien entre les vritions de f et celles de f On note λ f :! λ f λ? supposons f croissnte sur I : pour tous réels et b de I tels que < b, on f ( ) f ( b) λ > lors λf ( ) λf ( b) λ < lors λf ( ) λf ( b) / si 0 / si 0 donc λ f est croissnte sur I donc λ f est décroissnte sur I supposons f décroissnte sur I : pour tous réels et b de I tels que < b, on f ( ) f ( b) λ > lors λf ( ) λf ( b) λ < lors λf ( ) λf ( b) / si 0 / si 0 donc λ f est décroissnte sur I donc λ f est décroissnte sur I propriété f une fonction définie et monotone sur un intervlle I / si λ > 0 lors les fonctions f et λ f ont les mêmes vritions sur I. / si λ < 0 lors les fonctions f et λ f ont des vritions contrires sur I. Eemple : déterminons les vritions de l fonction f : 3. L fonction f est du type λ vec λ < 0. Il en résulte que l fonction f et l fonction rcine crrée ont des vritions contrires. L fonction f est donc strictement décroissnte sur 0 ; +. Appliction 0 ( ). / Déterminer les vritions de l fonction f :! 3 + / Déterminer les vritions de l fonction g :! 5+ 3 / Déterminer les vritions de l fonction h :! 3 4

10 LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY 0 3 / Fonctions f et f trvil en utonomie : on pourr démontrer le résultt suivnt propriété Si f une fonction définie, positive et monotone sur un intervlle I, lors les fonctions f et vritions sur I. f ont les mêmes Eemple : déterminons l ensemble de et les vritions de l fonction g : ( ) est clculble ssi g D où Dg = ; Soit f : f est une fonction ffine de coefficient directeur négtif donc décroissnte sur!. L fonction g est du type f, donc g et f ont les mêmes vritions sur Dg Il en résulte que g est décroissnte sur Dg. Appliction / Déterminer l'ensemble de et le sens de vritions de f :! 8 / Déterminer l'ensemble de et le sens de vritions de g :! 3 4 / Fonctions f et f Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Si pour tout de I, f ( ) 0 lors Y -t-il un lien entre les vritions de f et celles de f? f ( ) un sens. supposons f croissnte sur I : pour tous réels et b de I tels que < b, on f ( ) f ( b) Or l fonction inverse est décroissnte sur ] 0;+ [ et sur ] ;0[ donc si f ( ) et f ( b ) sont strictement positifs (ou strictement négtifs) lors donc f est décroissnte sur I. f ( ) f ( b) supposons f décroissnte sur I : on démontre de fçon nlogue que f est croissnte sur I. propriété Si f une fonction définie, strictement positive ( ou strictement négtive ) et monotone sur un intervlle I, lors les fonctions f et f ont des vritions contrires sur I. Appliction / Déterminer l'ensemble de et le sens de vritions de f :! + 3 / Déterminer l'ensemble de et le sens de vritions de f :! 3 3 / On ppelle l fonction définie sur! \ { ; } pr f ( ) = 4. ) Montrer que f est pire. b) Étudier le signe de 0;+. 4 sur [ [ c) Dresser le tbleu de vrition de f sur [ 0; [ et sur ] [ { }. { } pr g( ) = f ( ) ;+, puis sur! \ ; En déduire le tbleu de vrition de l fonction g définie sur! \ ;