Fonction logarithme népérien

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1 Fonction logarithme népérien Introduction - L'invention des logarithmes «L invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire la vie des astronomes» (Laplace). La fin du XVIe siècle est l'époque des grands voyages maritimes et de la découverte des lois régissant le mouvement des planètes (Copernic, Kepler ). Les mesures astronomiques, nécessaires pour la navigation, impliquent des calculs compliqués. Les multiplications, divisions et extractions de racines sont particulièrement longues et pénibles. Pour simplifier ces calculs, on cherche à construire des tables numériques à deux colonnes, mettant en correspondance les nombres de telle manière qu à la multiplication de deux nombres de la colonne de gauche corresponde l addition de deux nombres de la colonne de droite. La première table de ce type est publiée par l'écossais John Neper en 1614, après quarante ans de travail! En voici un extrait (ci-contre). 1) Vérifier sur quelques exemples la propriété annoncée. Quel nombre doit-on écrire en face de 1? Quel nombre doit-on écrire en face de 21? de 22? 2) Quand on divise deux nombres de la colonne de gauche, que peut-on dire de ceux de la colonne de droite? En déduire les nombres à écrire en face de 1,5 ; 0,5; 0,1. 3) Pour désigner les nombres de la colonne de droite on invente le mot «logarithme», forgé à partir des deux mots grecs logos (rapport) et arithmos (nombre entier naturel) : en effet si les nombres de gauche sont dans un rapport constant (c est à dire en progression géométrique), alors ceux de droite sont à différence constante (c est à dire en progression arithmétique). Vérifier cette propriété en considérant dans la première colonne les nombres 1,2,4,8,16. 4) Quand on élève un nombre au carré, que peut-on dire de son logarithme? En déduire le logarithme de ) Quand on prend la racine carrée d'un nombre, que peut-on dire de son logarithme? N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1 0,1 0,5 1 1,5 2 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,99573 En déduire le logarithme de 21 Ainsi, cette table ramène les multiplications à des additions, les divisions à des soustractions, 22 les extractions de racine carrée à des divisions par 2. Un disciple de Neper, Briggs, publie en 1617 une autre table ayant les mêmes propriétés, 100 mais plus commode pour les calculs : les logarithmes décimaux. Le Suisse Bürgi construit également, de façon indépendante, une table de logarithmes, qu'il publie en Cinquante ans plus tard, l'invention du calcul différentiel (dérivées et intégrales) par Newton et Leibniz permettra de découvrir que, en plus de ses propriétés pratiques, la fonction logarithme de Neper a un intérêt théorique considérable : non seulement elle a une dérivée remarquable, mais elle a un lien étroit avec la fonction exponentielle! (Sources :

2 La fonction logarithme népérien La fonction est continue et strictement croissante sur. Elle prend toute valeur strictement positive. Donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), quelque soit le réel strictement positif, l équation admet une solution unique dans. Définition On appelle logarithme népérien du réel strictement positif, l unique solution de l équation. On note cette solution. La fonction logarithme népérien est la fonction qui à tout réel strictement positif associe le réel Relation entre les fonctions exponentielle et logarithme Si est un réel strictement positif et si est un réel alors on a l équivalence suivante : et car et car Conséquence Les courbes et -représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle de base - sont symétriques par rapport à la droite d équation (première bissectrice). Ces fonctions sont réciproques l une de l autre. En effet, Représentation graphique N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Propriétés algébriques Les propriétés suivantes sont fondamentales et caractéristiques de la fonction logarithme Théorème Relation fonctionnelle Pour tous nombres réels et strictement positifs on a : La fonction logarithme transforme les produits en sommes D où Corollaire Pour tous nombres réels et strictement positifs et tout entier relatif on a : D où. D autre part Donc et 2.. D où. D autre part. Donc et 3. Montrons par récurrence pour la propriété Initialisation : Pour, on a et Hérédité : On suppose qu il existe un entier tel que la propriété soit vraie. Conclusion : Si la propriété est vraie à l ordre alors elle est vraie à l ordre. Elle est donc vraie pour tout entier naturel. Prenons maintenant entier négatif. Donc pour entier négatif, 4. et. Donc N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 s 1) Exprimer en fonction de les nombres suivants : 2) Exprimer les nombres suivants en fonction de et 3) Ecrire les nombres suivants à l aide d un seul logarithme : 4) est la fonction définie sur par. Justifier que est la fonction nulle sur. Théorème - Variations Étude de la fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien est strictement croissante de sur. Soit et deux réels strictement positifs tels que.. Ainsi et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur, Corollaire Soit et deux réels strictement positifs. En particulier, et Théorème Limites de Conséquence La droite d équation est asymptote verticale à la courbe représentative de du théorème D après la définition de la limite en égale à, pour tout réel, on doit trouver tel que si alors. Soit, alors par croissance de sur. On prend N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Quelque soit, Déterminer les limites suivantes : Propriété - Dérivabilité La fonction est dérivable sur et pour tout sa dérivée est définie par Posons On pose. On a par définition du nombre dérivé de la fonction. Ceci démontre que la fonction est dérivable pour tout réel et que Conséquence Pour tout, donc la fonction est strictement croissante sur Nouvelle définition de la fonction logarithme népérien La fonction est la fonction, définie sur, qui s annule en 1 et dont la dérivée est la fonction inverse où encore Tableau de variations 0 N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 Dériver les fonctions et Propriété La fonction est dérivable sur, donc en particulier en 1. Donc : Propriété Croissances comparées 1) On pose. Alors et 2) Déterminer les limites suivantes : On considère la fonction définie sur. 1) a) Calculer et déterminer son signe suivant les valeurs de. b) En déduire le tableau de variations de la fonction. c) En déduire l inégalité suivante : 2) a) Déduire de la question 1 que, pour tout réel N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6

7 b) En déduire la limite en de. Dérivée de Propriété Si est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors la fonction est dérivable sur et sa dérivée est égale à. On considère la fonction définie sur par. a) Justifier que est bien définie sur. b) Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition. Quelle interprétation géométrique peut-on en déduire? c) Dériver et étudier ses variations sur. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 7

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