Polycopié de Logique Mathématique

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1 1. Propositions. Université de la Nouvelle Calédonie. Licences Math, PC, SPI. Semestre 2. Polycopié de Logique Mathématique Une proposition est un enoncé mathématique qui peut être soit vrai (V) soit faux (F). On ne connaît pas forcément la valeur de vérité (c est à dire si elle est V ou F) d une proposition, mais on pourrait la connaître. Par exemple, La centième décimale du nombre π est 3. est une proposition. A partir de propositions données, on peut construire une nouvelle proposition dont la valeur de vérité est déterminée par celles des propositions données par une table de vérité. Ceci grâce à un connecteur. Le connecteur P (lire non P ) transforme une proposition P en son contraire, voici sa table de vérité. P P V F F V Soient P et Q des propositions. On définit les propositions P Q, P Q, P Q et P Q : a) La proposition P Q (lire P et Q) est vraie si P et Q sont toutes deux vraies. b) La proposition P Q (lire P ou Q) est vraie si l une au moins (parmis P et Q) est vraie. c) La proposition P Q (lire P implique Q) est vraie si lorsque P est vraie alors Q l est aussi. d) La proposition P Q (lire P équivaut à Q) est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses. Ceci correspond aux tables de vérité suivantes : P Q P Q P Q P Q P Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes. Etant données P, Q et R trois propositions, le tableau suivant décrit des propriétés qu il faut connaître parfaitement. Proposition Proposition équivalente Nom de la propriété V P P vrai est neutre pour et P F P faux est neutre pour ou V P V vrai est absorbant pour ou P F F faux est absorbant pour et P Q Q P commutativité de et P Q Q P commutativité de ou P (Q R) (P Q) R associativité de et P (Q R) (P Q) R associativité de ou P (Q R) (P Q) (P R) distributivité de et par rapport à ou P (Q R) (P Q) (P R) distributivité de ou par rapport à et (P Q) P Q contraire de et (P Q) P Q contraire de ou 1

2 ( P ) P contraire du contraire P P V disjonction des cas P P F contradiction P Q P Q traduction de implique (P Q) P Q contraire de implique P Q (P Q) (Q P ) traduction de l équivalence (P Q) (P Q) ( P Q) contraire de l équivalence Exercice 1. Soient P, Q et R des propositions. Relier chaque proposition de la colonne de gauche avec une proposition équivalente de celle de droite. P (Q R) (P Q) R. P (Q R) (P Q) R. (P Q) R (P Q) (P R). P (Q R) (P Q) R. Exercice 2. Soient P, Q et R des propositions. Relier chaque proposition de la colonne de gauche avec une proposition équivalente de celle de droite. P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) R P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) R Exercice 3. Raisonnements par contraposée, par l absurde, par disjonction des cas. Soient P, Q et R trois propositions. 1) Comparer les tables de vérités de Q P et de P Q. La proposition Q P s appelle la contraposée de P Q. 2) Comparer les tables de vérités de P F et de P. La démonstration de P en passant par P F s appelle raisonnement par l absurde. 3) Supposons que P Q est V. Comparer les tables de vérités de (P R) (Q R) et de R. La démonstration de R (lorsque P Q est V ) en passant par (P R) (Q R) s appelle raisonnement par disjonction des cas. 2. Ensembles. Il faut penser à un ensemble comme au sac d un collectionneur pour qui il est équivalent qu un objet se trouve une ou plusieurs fois. On écrit a A quand a est dans A, on dit aussi que a appartient à A. Il existe un ensemble qui ne contient rien, on l appelle ensemble vide et on le note. On peut définir un ensemble en énumérant ses éléments. Soit en faisant une liste {liste des éléments}, soit en utilisant des paramètres : {description des éléments ; paramètre ensemble des paramètres}. 2

3 Exemples. a) L ensemble {a, b, c} est définit par une liste. b) L ensemble {2n ; n Z} est définit par des paramètres, c est l ensemble des entiers pairs. c) L ensemble {a 2 + b 2 ; a, b Z} est définit par des paramètres, c est l ensemble des entiers qui sont somme de deux carrés. On peut aussi définir un ensemble en décrivant une propriété caractéristique de ses éléments. On utilise pour cela la notation {éléments ensemble dans lequel on choisit propriété}. Exemples. a) L ensemble {z C z 3 = 1} est définit par propriété. b) {n Z n 2 Z} est définit par propriété. c) L ensemble {x R ; x > 1} est définit par propriété. Remarques. 1) Les lettres qui servent dans la définition des ensembles (les paramètres dans la définition par paramètres et la lettre représentant l élément de l ensemble) sont muettes (elle servent localement à la définition de l ensemble, on peut les remplacer par d autres lettres, elles n ont pas besoin d être introduites). 2) Les ensembles N et R sont souvent définis axiomatiquement. Ca veut dire qu ils sont définis à partir de leurs propriétés et pas à partir d autres ensembles. Une des propriétés qui définit l ensemble N est le raisonnement par récurrence. Soient A et B deux ensembles contenus dans un ensemble X, on dit que : a) A est inclus dans B ou que A est un sous-ensemble de B (on note A B) si ( x X) x A x B. b) A et B sont égaux (on note A = B) si A B B A. On note : A B (réunion de A et B) l ensemble {x X x A x B}, A B (intersection de A et B) l ensemble {x X x A x B}, A B (complémentaire de B dans A) l ensemble {x X x A x B}, A B (produit cartésien de A et B) l ensemble {(x, y) ; x A, y B}. Exercice 4. Signe d un polynôme du second degré. Soient a, b R tels que a < b. 1) Soit x R. Expliciter (a < x < b). 2) Expliciter R ]a, b[. 3) Soit x R. Montrer que x ]a, b[ (x a)(x b) < 0. Exercice 5. Intersection, réunion, produit. Soient A, B et C trois ensembles contenus dans un ensemble X. Montrer que : 1) a) A (B C) = (A B) (A C). b) A (B C) = (A B) (A C). 2) [A B A D et A B A D] B D. Indication : considérer x B et distinguer les cas x A ou x A. 3) a) A (B C) = (A B) (A C). b) A (B C) = (A B) (A C). 3. Prédicats. Un prédicat est une famille de propositions paramétrée par un ensemble. Soit E un ensemble et P (x) un prédicat de paramètre x E. 3

4 On définit la proposition ( x E)P (x) (il existe x dans E tel que P (x)) qui est vraie si il y a dans E au moins un élément a E tel que P (a) soit vraie. On définit ( x E)P (x) (quelque soit x dans E on a P (x)) qui est vraie si tous les éléments x de E sont tels que P (x) soit vraie. Soit E un ensemble. Soit P (x) un prédicat paramétré par x E. Le tableau suivant complète celui du paragraphe 1. Proposition Proposition équivalente Nom de la propriété (( x E) P (x)) ( x E) P (x) contraire de quelque soit (( x E) P (x)) ( x E) P (x) contraire de il existe Exercice 6. Savoir dire non. 1) Soient n Z et m Z. On dit que n divise m (ou que m est multiple de n) s il existe d Z tel que m = dn. Ecrire à quelle condition n ne divise pas m. 2) Soit n Z {0}. On dit que n est inversible s il existe m Z tel que nm = 1. a) Ecrire à quelle condition n n est pas inversible. b) Quels sont les éléments inversibles de Z? 3) Soient n Z et m Z. On dit que n et m sont premiers entre eux si pour tout d Z si d divise n et m alors d est inversible. Ecrire à quelle condition n et m ne sont pas premiers entre eux. 4) Soit p Z {0}. On dit que p est irréductible si p n est pas inversible et si pour tout a Z et b Z si p = ab alors a ou b est inversible. Ecrire à quelle condition p n est pas irréductible. 4. Applications. Une application f est la donnée de deux ensembles X (ensemble de départ) et Y (ensemble d arrivée) et pour chaque élément x X d un et un seul élément de Y noté f(x). Deux applications f et g sont égales si et seulement si elles ont les mêmes ensembles de départ X et d arrivée Y et si pour tout x X on a f(x) = g(x). Soit X un ensemble. L application Id X de X dans X définie par Id X (x) = x pour tout x X s appelle l identité de X. Soit f une application de X dans Y et g une application de Y dans Z. On définit l application composée g f de X dans Z par g f(x) = g(f(x)) pour tout x X. Soit f une application de X dans Y. Soient X 1 X et Y 1 Y des sous-ensembles. f(x 1 ) = {f(x) ; x X 1 } Y est l image de X 1 par f. f 1 (Y 1 ) = {x Y 1 f(x) Y 1 } X est l image réciproque de Y 1 par f. On dit que f est injective si ( x X)( y X)f(x) = f(y) x = y. On dit que f est surjective si f(x) = Y, autrement dit si ( y Y )( x X)f(x) = y. On dit que f est bijective si elle est injective et surjective. Exercice 7. Soit f une application de X dans Y. 1) Ecrire à quelle condition f n est pas injective. 2) Ecrire à quelle condition f n est pas surjective. 3) Ecrire à quelle condition f n est pas bijective. Exercice 8. Soit f : R R une fonction. 1) On dit que f est constante si ( c R)( x R) f(x) = c. Ecrire à quelle condition f n est pas constante. 2) On dit que f est périodique si ( t R +)( x R) f(x + t) = f(x). Ecrire à quelle condition f n est pas périodique. 4

5 3) On dit que f est affine si ( a R)( b R)( x R) f(x) = ax + b. Ecrire à quelle condition f n est pas affine. 4) Soit x R. On dit que f est continue en x si : ( ϵ R +) ( δ R +) ( y R) x y δ f(x) f(y) ϵ. Ecrire à quelle condition f n est pas continue en x. 5) On dit que f est uniformément continue sur R si : ( ϵ R +)( δ R +)( x R)( y R) x y δ f(x) f(y) ϵ. Ecrire à quelle condition f n est pas uniformément continue sur R. 5. Règles de démonstration. Règle 1. Le texte d une démonstration ne contient que des lettres mathématiques qui représentent des constantes ou qui ont été introduites par le processus de la démonstration. Règle 2. Le texte d une démonstration ne contient que des propositions qui sont introduites par le processus de la démonstration ou qui sont la conséquence de propositions précédement écrites. Règle 3. Pour démontrer une proposition d une forme donnée on respecte une présentation précise : on démontre en écrivant P Q 1) Montrons P. 2) Montrons Q. (en deux parties) P Q Supposons P. Montrons Q. P Q Supposons P. Montrons Q. Remaques : 1) Pour démontrer P Q R, il y a trois parties : 1) Montrons P. 2) Montrons Q. 3) Montrons R. 2) Du point de vue de la démonstration, et sont proches (on rajoute une hypothèse). Celà vient du fait que et sont des connecteurs faibles (leur table de vérité contient trois V pour un seul F ). d) ( x E)P (x) : Soit x E (ceci transforme la lettre x en constante). Montrons P (x). Après le Soit x E, on interprète le fait que x appartienne à E, de la façon suivante : - Si E est un ensemble défini par des paramètres. On écrit : Il existe nouvelle lettre ensemble des paramètres tel que x =description des éléments. - Si E est un ensemble défini par propriété. On écrit : On a la proriété. e) ( x E)P (x) : Posons x = E (ceci transforme la lettre x en constante). Montrons P (x). Dans, il faut écrire une constante de E, c est à dire une expression qui correspond à un élément de E dans laquelle n intervient aucune lettre qui n ait pas été introduite par un soit, un posons ou un il existe. En plus de ces cinq règles basiques, il existe des démonstations élaborées qui prennent souvent le nom de raisonnements. Il s agit des raisonnements par contraposée, par l absurde, et par disjonction des cas (voir l exercice 3). Ainsi que de raisonnement par récurrence (voir Algèbre 1). Ces démonstations élaborées doivent être introduit par une annonce qui indique que l on ne suit pas le schéma basique. on démontre en démontrant annonce P Q Q P Par contrapposée,... P P F Par l absurde,... R (sachant P Q) (P R) (Q R) Distinguons deux cas. ( n N) P (n) P (0) [( n N) P (n) P (n + 1)] Par récurrence sur n N, démontrons P (n). 5

6 Exemples de démonstrations sans quantificateur. 1) Considérons les ensembles A = {2n ; n Z} l ensemble des multiples de 2 et B = {n Z n 2 Z} l ensemble des entiers divisibles par 2. Montrons que A = B. Soit x A. Il existe m Z tel que x = 2m. On a : x 2 = m Z donc x B. D où A B. Réciproquement, soit x B. On a : x 2 Z. Donc x = 2 x 2 A car x 2 Z. D où B A. Finalement, A = B. (il y a Il exsite car A est défini par des paramètres) (il y a On a car B est défini par une propriété) 2) Soit 2Z = {2n ; n Z} l ensemble des nombres pairs. Montrons que ( x, y 2Z) x y 2Z. Soient x, y 2Z. (il y a Soient car on démontre un ) Il existe m, n Z tels que x = 2m et y = 2n. (il y a Il existe car 2Z est défini par des paramètres) On a : x y = 2m 2n = 2(m n) 2Z, car m n Z. (cette ligne constitue le cœur de la démonstration) 3) Soit n N {0} et soit C n = {z C z n = 1} l ensemble des racines n-èmes de 1. Montrons que ( x, y C n ) xy C n. Soient x, y C n. (il y a Soient car on démontre un ) On a x n = 1 et y n = 1. (il y a On a car C n est défini par une propriété) On a : (xy) n = x n y n = 1 1 = 1, donc xy C n. (cette ligne constitue le cœur de la démonstration) Exemple de démonstration avec le quantificateur. Montrons que la fonction f : R R définie par f(x) = e x pour tous x R n est pas uniformément continue. C est à dire : ( ϵ R +)( δ R +)( x R)( y R) x y δ et f(x) f(y) > ϵ. Le premier quantificateur est ( ϵ R +), il faut donc écrire Posons ϵ = avec une constante de R + que nous devons choisir. Comme on n a pas d autre idée, on essaie l élément le plus simple de R + ce qui donne : Posons ϵ = 1 R +. Le deuxième quantificateur est ( δ R +), on écrit : Soit δ R +. Le troisième quantificateur est ( x R), il faut donc écrire Posons x = avec une constante de R que nous devons choisir. Mais puisque δ a été transformé en constante par l étape précédente, on cherche une expression qui peut faire intervenir δ. On a pas trop d idée pour le moment, on complétera ultérieurement, 6

7 on écrit : Posons x = Le quatrième quantificateur est ( y R), il faut donc écrire Posons y = avec une constante de R que nous devons choisir. Mais puisque δ et x ont été transformés en constantes, on cherche une expression qui peut faire intervenir δ et/ou x. Comme précédement, on laisse en blanc, pour l instant : Posons y = Maintenant, on a une expression avec un et, ce qui veut dire que l on va faire deux étapes. La première étape consiste à montrer que x y δ. Il est facile de choisir y (en fonction de x et δ) pour que ceci soit vrai, Par exemple y = x δ. On complète ci-dessus en écrivant : Posons y = x δ R. et on écrit : 1) x y = x (x δ) = δ = δ δ. La deuxième étape consite à montrer que f(x) f(y) > ϵ, c est à dire e x e x δ > 1 ou encore e x (1 e δ ) > 1. Au moment de poser x, δ R + est une constante donc 1 e δ est une constante strictement positive. Puisque la fonction x e x tend vers + lorsque x + on devrait pouvoir trouver un x R tel que e x (1 e δ ) = 2. On résout cette équation et on trouve x = ln 2 1 e δ. On complète un peu plus haut en écrivant : Posons x = ln 2 1 e δ R. et on écrit : 2) f(x) f(y) = e x e y = e x e x δ = e x (1 e δ ) = 2 1 e δ 1 e δ = 2 > 1. Finalement, on obtient la démonstration suivante : Posons ϵ = 1 R +. Soit δ R +. Posons x = ln 2 1 e δ R. Posons y = x δ R. On a : 1) x y = x (x δ) = δ = δ δ et 2) f(x) f(y) = e x e y = e x e x δ = e x (1 e δ ) = 2 1 e δ 1 e δ = 2 > 1. Remarque : Une démonstration est plus facile à vérifier qu à élaborer. La principale subtilité des mathématiques consiste à effectuer les bons choix pour les quantificateurs. 6. Propriétés de l égalité. Le symbole mathématique = désigne l égalité de deux objets mathématiques de même nature. Il est défini par les quatre propriétés suivantes : 1) A = A (réflexivité). 2) Si A = B alors B = A (symétrie). 3) Si A = B et B = C alors A = C (transitivité). Ces trois propriétés se résument en disant que l égalité est une relation d équivalence. 4) Si A = B et que P est une proposition V alors la proposition obtenue en remplaçant A par B dans P est aussi vraie (propriété de remplacement). Remarque : Le langage mathématique est un langage contextualisé. Cela signifie qu un même symbole peut désigner des objets de natures différentes. Lorsque A = B et que la nature mathématique de A est claire alors B est automatiquement de cette même nature. Par exemple si on écrit : Soit M M 2 (C) telle que M 2 = 0. le symbole 0 désigne la matrice de format 2 2 dont chaque coefficient est égal au nombre complexe nul. 7

8 Exercice 9. Fonctions constantes, fonctions périodiques et fonctions affines. Soit f : R R une fonction. 1) Montrer que f n est pas constante si et seulement si ( y R)( z R) f(y) f(z). 2) Montrer que si f est constante alors f est périodique. 3) On suppose que f est une fonction affine. Montrer que f est périodique si et seulement si f est constante. 4) a) Montrer que f : R R définie par ( x R)f(x) = x 2 n est pas périodique et n est pas affine. b) Montrer que g : R R définie par ( x R)g(x) = 2x + 1 est affine mais n est pas périodique. c) Montrer que h : R R définie par ( x R)h(x) = sin(x) est périodique mais n est pas affine. 5) Montrer que si f est périodique alors f n est pas injective. 6) Montrer que si f est affine et non constante alors f est injective. Exercice 10. Fonctions continues, fonctions uniformément continues. Soit f : R R une fonction. 1) On considère la fonction f définie R dans R par ( x R)f(x) = x 2. a) Montrer que f est continue en 0. b) Soit x R. Montrer que f est continue en x., 2 x } et majorer x + y par 2x + x y. 2) a) Montrer que si f est uniformément continue sur R alors, pour tout x R, f est continue en x. b) Montrer que la fonction f définie R dans R par ( x R)f(x) = x 2 n est pas uniformément continue Indication : On pourra poser δ = min{ ϵ 4 x sur R. Indication : On pourra poser ϵ = 1, x = ϵ δ + δ 2 et y = x δ. Exercice 11. Injections, surjections. Pour chacune des applications suivantes f : Z N, démontrer qu elle est injective ou démontrer qu elle n est pas injective, démontrer qu elle est surjective ou démontrer qu elle n est pas surjective. 1) f : N N définie, pour tout n N, par f(n) = n ) f : R 2 R 2 définie, pour tout (x, y) R 2, par f(x, y) = (x + y, x y). 3) f : C {1} C définie, pour tout z C, par f(z) = { z+1 z 1. 2x si x 0 4) f : Z N définie, pour tout x Z, par f(x) = 1 2x si x < 0. Exercice 12. Application additive. Soit f : C C une application. On dit que f est additive si : ( x C)( y C) f(x + y) = f(x) + f(y) 1) Soit a C. On considère l application f a : C C définie par f a (z) = az pour tout z C. Montrer que f a est additive. 2) Soit g : C C. Ecrire à quelle condition g n est pas additive. 3) On considère l application g : C C définie par g(z) = z 2 pour tout z C. Montrer que g n est pas additive. 4) Soit f : C C une application additive. a) Montrer que f(0) = 0. b) Soit z C. Montrer que f( z) = f(z). c) Soit z C. Soit n N. Montrer que f(nz) = nf(z). Indication : Faire un raisonnement par récurrence. 5) Soit f : C C une application additive. On note ker(f) = {z C f(z) = 0}. Montrer que ker(f) = {0} si et seulement si f est injective. 8

9 7. Théorème de finitude. Définition. Soit n N un entier. Soit X un ensemble. On dit que X est de cardinal n, s il existe une bijection entre {k N 1 k n} et X. Lemme (un de moins). Soit n N un entier. Soit X un ensemble de cardinal n. Pour tout x E, l ensemble X {x} est de cardinal n 1. Preuve. Par hypothèse, il existe une bijection f entre {k N 1 k n} et { X. Soit x X. Notons f(k) si k < l l = f 1 (x). Considérons g : {k N 1 k n 1} X {x} définie par g(k) = f(k + 1) si k l. 1) Montrons que g est injective. Soient k 1, k 2 {k N 1 k n 1}. Supposons g(k 1 ) = g(k 2 ). Distinguons quatre cas. Cas 1. Si k 1 < l et k 2 < l alors f(k 1 ) = f(k 2 ) donc k 1 = k 2. Cas 2. Si k 1 < l et k 2 l alors f(k 1 ) = f(k 2 + 1) donc l > k 1 = k l + 1. Impossible. Cas 3. Si k 1 l et k 2 < l alors f(k 1 + 1) = f(k 2 ) donc l + 1 k = k 2 < l. Impossible. Cas 4. Si k 1 l et k 2 l alors f(k 1 + 1) = f(k 2 + 1) donc k = k donc k 1 = k 2. { f 2) Montrons que g est surjective. Soit t X {x}. Posons k = 1 (t) si f 1 (t) < l f 1 (t) 1 si f 1 (t) > l. On a f 1 (t) l = f 1 (x) car t x. Distinguons deux cas. Cas 1. Supposons f 1 (t) < l. On a g(k) = g(f 1 (t)) = f(f 1 (t)) = t. Cas 2. Supposons f 1 (t) > l. On a g(k) = g(f 1 (t) 1) = f(f 1 (t) 1 + 1) = f(f 1 (t)) = t. Finalement, g est bijective et l ensemble X {x} est de cardinal n 1. Définition. Soit E un ensemble. On dit que E est un ensemble fini s il existe n N tel que E soit de cardinal n. Théorème (de finitude). Soit n N un entier. Soient X et Y deux ensembles finis de cardinal n. Soit f est une application de X dans Y. Si f est injective alors f est surjective. Démonstration. Démontons par récurrence sur n N la propriété P (n) suivante Soient X et Y deux ensembles finis de cardinal n. Soit f est une application de X dans Y. Si f est injective alors f est surjective. Pour n = 0, on a X = Y = et il n y a rien à démontrer. Soit n N. Supposons P (n). Soient X et Y deux ensembles finis de cardinal n + 1. Soit f est une application de X dans Y. Supposons que f est injective. Montrons que f est surjective. Supposons par l absurde que f n est pas surjective. Il existe y 0 Y tel que ( x X)f(x) y 0. Puisque X, il existe x 0 X. On définit l application g : X {x 0 } Y {y 0 } par g(x) = f(x) pour tout x X {x 0 }. Soient x, y X {x 0 }. Supposons g(x) = g(y). Alors f(x) = f(y) donc x = y car f est injective. Donc g est injective. D après le lemme, les ensembles X {x 0 } et Y {y 0 } sont de cardinal n+1 1 = n. Donc d après P (n), l application g est surjective. Par définition de y 0, on a f(x 0 ) Y {y 0 }. Puisque g est surjective, il existe x 1 X {x 0 } tel que g(x 1 ) = f(x 0 ). Donc f(x 1 ) = f(x 0 ) donc x 1 = x 0 car f est injective. Donc x 0 X {x 0 }. Impossible. 9

10 Exercice 12 (corrigé). 1) Montrons que f a est additive. Soit x C. Soit y C. On a : f a (x + y) = a(x + y) = ax + ay = f a (x) + f a (y). 2) L application g n est pas additive à la condition suivante : ( x C) ( y C) g(x + y) g(x) + g(y). 3) Montrons que g n est pas additive. Posons x = 1 C. Posons y = 1 C. On a : g(x + y) = (1 + 1) 2 = 4 2 = = g(x) + g(y). 4) a) Puisque f est additive, on a : f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0). On en déduit que f(0) = 0. b) En utilisant a) puis que f est additive, on a : 0 = f(0) = f(z + ( z)) = f(z) + f( z). On en déduit que f( z) = f(z). c) Démontrons par récurrence sur n N que f(nz) = nf(z). Pour n = 0. En utilisant a), on a : f(0z) = f(0) = 0 = 0f(z). Soit n N. Supposons que f(nz) = nf(z). En utilisant que f est additive puis l H. R., on a : f((n + 1)z) = f(nz + z) = f(nz) + f(z) = nf(z) + f(z) = (n + 1)f(z). 5) Supposons que f est injective. D après 4-a), on a f(0) = 0 donc 0 ker(f) et réciproquement soit x ker(f), on a f(x) = 0 = f(0) donc x = 0 puisque f est injective. On a donc ker(f) = {0}. Réciproquement, supposons ker(f) = {0} et montrons que f est injective. Soit x C. Soit y C. Supposons f(x) = f(y). En utilisant que f est additive et 4-b), on a : f(x y) = f(x)+f( y) = f(x) f(y) = 0. Donc x y ker(f) = {0}. Puisque ker(f) = {0}, on en déduit x y = 0 donc x = y. 10

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