Inégalités souvent rencontrées

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1 Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de la résolutio d u problème Nous traiteros ici des suivates : les sommes de carrés sot toujours positives ; l iégalité des moyees ; l iégalité de Cauchy-Schwartz ; 4 autres iégalités Somme de carrés et autres trucs Pour tous réels a, a,, a R, o a a + a + + a 0 Ceci sera utilisé souvet pour démotrer certaies égalités Il s agit aussi d u truc fort utile lorsque veut motrer, par exemple, que certais ombres sot uls, ou ecore égaux par paires das ce cas o pred la somme des carrés de leur différece Exemple Soit a, b, c, d R tels que Motrer que a b c d a + b + c + d ab + bc + cd + da Solutio: E rameat tout das le membre de gauche et e réarrageat les termes, o a Or ceci peut s écrire a ab + b bc + c cd + d da 0 0 a ab + b + b bc + c + c cd + d + d da + a a b + b c + c d + d a

2 Cette idée peut aussi être utilisée pour motrer qu o a toujours a + b + c + d ab + bc + cd + da Lorsqu o doit motrer ue iégalité, il peut s avérer avatageux de séparer le problème e plusieurs iégalités plus simples, qui lorsqu additioées doet l iégalité recherchée Exemple Pour tout etier positif, motrer que + < Solutio: Ici le développemet e biôme de Newto s avère très utile : + k k k + k! k k! De le même faço, o obtiet k! +! + k! k! + + k + k + + L iégalité s obtiet alors e comparat, terme à terme, les coefficiets de /k! k < + + k + k + Il arrive parfois que les coditios doées sur les variables das l éocé d u problème d iégalité permettet d obteir le résultat Exemple Si 0 x, y, z, motrer que xy + yz + zx x + y + z + xy + yz + zx Solutio: Puisque x, y, z 0, o a x y + y z + z x 0, d où l o tire x + y + z xy + yz + zx O a aussi x y z 0, d où l o tire + xy + yz + zx x + y + z + xyz x + y + z

3 Iégalités des moyees La plus coue de ces iégalités est l iégalité arithmético-géométrique IAG La forme la plus simple de cette iégalité, c est-à-dire a + b ab, a, b 0 s obtiet e utilisat la sectio précédete E effet, 0 a b a ab + b d où l o tire ab a+b Le om de cette iégalité viet du fait qu elle compare la moyee arithmétique a +a + +a avec la moyee géométrique a a a Voici quelques idées qui permettet d obteir l IAG pour 4 et Exemple 4 Motrer IAG das le cas 4 Solutio: O applique le cas à a, b puis à c, d Aisi ab a + b, cd c + d E l appliquat à ab, cd, oa ab cd ab + cd Exemple 5 Motrer IAG das le cas Solutio: a+b + c+d À l aide de l exemple précédet abc a + b + c /4 a + b + c + a+b+c 4 a + b + c + d 4 a + b + c O obtiet doc /4 a + b + c abc /4 E élevat chaque membre à la puissace 4/ >, o préserve l iégalité, ce qui doe le résultat Voici ue utilisatio facile de l IAG Exemple 6 Soiet a, b, c 0 des réels Motrer que a + bb + cc + a 8abc Solutio: O applique IAG trois fois : ab a+b, bc b+c et ca c+a Aisi a + bb + cc + a abbcca abc 8 U autre type de moyee est parfois recotré : la moyee harmoique Pour des réels x, x,, x, la moyee harmoique est doée par x + x + + x Les prochaies iégalités serot obteues à l aide d argumets faisat iterveir la covexité

4 4 Défiitio Soit f ue foctio à valeurs réelles sur u itervalle I R O dit que f est covexe si f tx + ty tfx + tfy pour tous t [0, ] et x, y I Ceci reviet à dire que sur le graphe de f, la corde joigat les poits x, fx et y, fx se trouve toujours au-dessus des poits détermiés par f O dit d autre part que f est cocave si f tx + ty tfx + tfy pour tous t [0, ] et x, y I Ceci reviet à dire que les valeurs que pred f etre x et y sot toujours au-dessus de la corde joigat les poits x, fx et y, fy Théorème Soit f ue foctio à valeurs réelles sur u itervalle I R Soiet x, x,, x I et t, t,, t [0, ] avec i t i Si f est covexe, alors Si f est cocave, alors ft x + t x + t x t fx + t fx + t fx ft x + t x + t x t fx + t fx + t fx Cet éocé s obtiet à partir d ue récurrece facile, et e observat que f est covexe si et seulemet si f est cocave Théorème Soit f ue foctio à valeurs réelles sur u itervalle I R admettat ue dérivée secode Si f x 0 pour tout x I, alors f est covexe Si f x 0 pour tout x I, alors f est cocave Démostratio: Si f x 0 pour tout x I, alors f x est croissate sur I Soiet a, b I et t [0, ] Posos c ta + tb E vertu du théorème de la valeur moyee, o peut trouver a < α < c et c < β < b tels que f fc fa α et f β c a Comme α < β, o a f ta + tb fa f α f β tb a fb fc b c E réarrageat tout ceci, o obtiet f ta + tb tfa + tfb fb f ta + tb tb a Pour l autre partie, o applique le même raisoemet à f Théorème 4 Iégalités des moyees Soiet x, x,, x 0 des réels Alors x x x x + x + + x x + x + + x De plus, l iégalité de droite deviet ue égalité si et seulemet si tous les x i sot égaux

5 Démostratio: O pred fx logx qui est ue foctio cocave sur ]0, [ O a alors x + x + x log logx + logx + + logx E preat l expoetielle qui est croissate et préserve doc l iégalité de chaque membre, o obtiet l iégalité de droite E remplaçat x i par /x i das cette derière, o obtiet l iégalité gauche Das plusieurs problèmes où l o recotre d ue part ue somme de termes divisés par et/ou d autre part u produit de termes qui est élevé à ue puissace fractioaire, l IAG peut être d u grad secours 5 Exemple 7 Putam 975 Motrer l iégalité suivate : + < < Solutio: Posos s L iégalité de gauche peut se reformuler + s > + /, ce qui ressemble vaguemet à IAG Il suffit de distribuer sur chacu des terme de s : + s L autre iégalité peut s exprimer E utilisat le même truc que ci-haut > 4 + / + / s > / s > / / Exemple 8 Soiet x 0 0, x i > 0 pour i,,, tels que i x i Motrer que x i + x0 + x + x + + x i x i + x i+ + + x i Solutio: À l aide de IAG, o trouve + x0 + x + x + + x i x i + x i+ + + x + x x

6 6 Iégalité de Cauchy-Schwartz Voici ue iégalité très célèbre Théorème 5 Iégalité de Cauchy-Schwartz Soiet a, a,, a et b, b,, b des réels Alors a + a + + a b + b + + b a b + a b + + a b, avec égalité si et seulemet si b i λa i pour i,,, Démostratio: O peut facilemet motrer que la différece etre le membre de gauche et celui de droite est a i b j a j b i 0, i<j et doc l égalité à lieu si et seulemet si a i b j a j b i pour tous i, j, c est-à-dire a i b i a j b j pour tous i, j Exemple 9 Soiet u aturel et a, a,, a des réels positifs tels que i a i Motrer que pour tous réels positifs x, x,, x dot la somme est, x i x j + a i x i, a i<j i i et détermier quad l égalité a lieu Solutio: O peut motrer que le membre de gauche est i x i, de sorte que l o peut récrire le résultat désiré comme Par Cauchy-Schwartz i i a i x i a i a i x i a i x i a i i Efi, puisque i a i, o obtiet le résultat p5o Autres iégalités Ue iégalité très coue dot ous avos pas ecore parlé est celle du triagle Théorème Soit ABC u triagle Si o ote a, b, c les logueurs respectives de AB, BC et CA, alors a + b c, b + c a et c + a b Théorème Iégalité de Tchebychef Si a a a et b b b, alors a + a + + a b + b + + b a b + a b + + a b Théorème Iégalité de Hölder-Mikowski Théorème 4 Iégalité de Beroulli Pour r > et x > ou ecore r pair et x R o a + x r + xr i

7 7 Théorème 5 Iégalité de Schur Soiet x, y, z R Alors Sommes de carrés Motrer que si x + y > 0, alors Motrer que xx yx z + yy xy z + zz xz y 0 Problèmes choisis sur les iégalités x + y x + y x + x + + x Motrer que si x y z et z > 0, alors x + z y < xz y 4 Motrer que pour tout etier positif e <! < e i i x i x j j 5 Motrer que pour tout etier positif Iégalités des moyees Pour des réels positifs a, b, c, motrer que < + / a b + b c + c a a b c Pour des réels positifs x, x,, x, motrer que x + x + + x x x x Pour des réels o-égatifs u, u,, u, motrer que u i u i i 4 Si a > 0 pour,,, sot tels que a coverge, motrer que a a a e a 5 Motrer que Iégalité Cauchy-Schwartz i > +

8 8 4 Autres iégalités 4 Soit Q u quadrilatère covexe ie les diagoales sot à l itérieur de Q Soiet P le périmètre de Q et S la somme des logueur de ses diagoales Motrer que P < S < P 5 Problèmes supplémetaires 5 Soiet a, a,, a et b, b,, b des réels o-égatifs Motrer que a a a / + a a a / a + b a + b a + b / 5 Soiet p, p,, p des poits sur la sphère {x, y, z x + y + z } Motrer que la somme des carrés des distaces etre eux est au plus 5 Soiet a, b, c > 0 Motrer que a a b b c c abc a+b+c/ 54 Putam 98, B Est-il vrai que pour des réels x, y avec y 0 et yy + x +, o a yy x? Si oui, le motrer, sio doer u cotre-exemple

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