Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre.

Transcription

1 Dans un manège tel que celui monté su la figue, quelle est la péiode de otation maximale que doit aoi le manège pou que les pesonnes ne glissent pas es le bas de la paoi si le coefficient de fiction ente le mu et les pesonnes est de 0,7 et que le ayon du manège est de,5 m? Voyez la éponse à cette question dans ce chapite.

2 Application de la loi de Newton au mouement ciculaie Comme on l a ue pécédemment, il y a une accéléation es le cente dans un mouement ciculaie. On peut se conaince un peu plus de cela si on considèe ce poblème aec les lois de Newton. S il n y a pas de foce, l objet continue en ligne doite (figue de gauche). Si la tajectoie a changé, c est qu une foce a fait déie l objet. Dans la figue du cente, une foce a agi pendant un bef instant es la doite pou déie l objet es la doite. Dans le mouement ciculaie (à doite), il faut continuellement déie l objet. Cela donne une foce toujous diigée es le cente du cente, ce qui confime qu il y a une accéléation es le cente, comme on l a ue au chapite. En combinant la deuxième loi de Newton F ma aec le fait que l accéléation doit ête de ²/ es le cente, on aie à la conclusion suiante. Le mouement ciculaie F m es le cente du cecle Ainsi, si un objet au bout d une code est en otation, on doit aoi une foce es le cente du cecle. Cette foce sea faite pa la tension de la code su la piee. Vesion Le mouement ciculaie

3 astonomy.nmsu.edu/thaiso/ast105/ast105week04.html La foce centipète Quand une foce pemet ainsi de faie le mouement ciculaie, on la qualifie de foce centipète. Ce n est pas un noueau type de foce, c est simplement un qualificatif qu on donne aux foces qu on connait déjà, comme la gaitation, la nomale, la tension ou la fiction, quand elles pemettent de faie un mouement ciculaie. Dans l exemple pésenté pécédemment, c est la tension qui est la foce centipète. Voitue su une bosse Supposons maintenant qu une oitue passe su une bosse. Les foces su la oitue sont montées su cette figue. f.depositphotos.com/577683/stock-illustation-ca.html Puisque l auto fait un mouement ciculaie, il doit y aoi une foce es le cente du cecle, donc es le bas dans la situation montée su la figue. Cela signifie que le poids doit ête plus gand que la nomale pou qu il y ait une foce ésultante es le bas. P F N Vesion Le mouement ciculaie 3

4 Dans ce cas, la nomale annule une patie du poids et il este une patie du poids pou faie la foce es le bas. Ici, la foce centipète est faite pa une patie de la foce gaitationnelle. Voitue dans un ceux Supposons maintenant qu une oitue passe dans un ceux. Les foces su la oitue sont montées su cette figue. f.depositphotos.com/577683/stock-illustation-ca.html Puisque l auto fait un mouement ciculaie, il doit y aoi une foce es le cente du cecle, donc es le haut dans la situation montée su la figue. Cela signifie que la nomale doit ête plus gande que le poids pou qu il y ait une foce ésultante es le bas. P F N Dans ce cas, la nomale annule le poids et il este une patie de la nomale pou faie la foce es le haut. Ici, la foce centipète est faite pa une patie de la foce nomale. Objet su une plaque tounante Imaginons maintenant un objet déposé su une plaque tounante. de.physicslab.og/document.aspx?doctype=5&filename=compilations_cpwokbook_centipetalfoce.xml&asid=5679&siteid=%7 B9CF166F-C64-436A-B5DE-DF386F0FF11%7D Vesion Le mouement ciculaie 4

5 Dans ce cas, la nomale et le poids ne peuent pas ête de foce centipète puisqu elles ne sont pas diigées es le cente du mouement ciculaie. La seule foce pouant ête diigée es le cente du cecle est la foce de fiction. C est donc la totalité de la foce de fiction qui est la foce centipète ici. Que se passe-t-il si la foce centipète dispaait? Si la foce centipète dispaait soudainement, alos le mouement ciculaie cesse et l objet aua une tajectoie en ligne doite puisqu il n y a plus de foce. Dans le cas illusté su la figue, la foce faite pa la code dispaait quand la code casse. Il ne peut donc plus y aoi de mouement ciculaie puisqu il n y a plus de foce es le cente. L objet continue alos en ligne doite dans la diection de la itesse que l objet aait quand la code a cassé. Comme la itesse est tangente au cecle duant le mouement ciculaie, cela eut die que le mouement en ligne doite obtenu quand la code casse est tangent au cecle tel qu illusté su la figue. astonomy.nmsu.edu/thaiso/ast105/ast105week04.html C est ce qui se passe dans ce idéo. La pesonne dans le manège peut faie un mouement ciculaie pace que la nomale execée pa la tige de métal qui set de dossie est es le cente. Quand la pesonne ped contact aec ce tuyau de métal, la foce dispaait et la pesonne ne peut plus faie le mouement ciculaie. La pesonne a alos continué en ligne doite et fut pojetée au sol. Une foce es le cente top gande ou top petite Top de foce es le cente Si la somme des foces es le cente du cecle est plus gande que ²/, cette foce sea plus gande que la foce nécessaie pou aoi un mouement ciculaie aec un ayon constant. Cet excès de foce donne une accéléation es le cente du cecle top gande et l objet s appochea alos du cente du cecle. Vesion Le mouement ciculaie 5

6 dawsketch.about.com/od/doodles/ss/geometic-spials-to-daw-and-doodle_3.htm Pas assez de foce es le cente Si la somme des foces es le cente du cecle est plus petite que ²/, cette foce sea plus petite que la foce nécessaie pou aoi un mouement ciculaie aec un ayon constant. Ce manque de foce donne une accéléation es le cente du cecle top petite et l objet s éloigne alos du cente du cecle. dawsketch.about.com/od/doodles/ss/geometic-spials-to-daw-and-doodle_3.htm Vesion Le mouement ciculaie 6

7 Eeu dans un film La tajectoie coube des balles de fusil dans le film wanted, ecéée ici est donc impossible. Même si on fait toune le fusil, il n y aua plus de foce centipète su la balle quand elle a quitte le fusil et elle a alle en ligne doite (en tombant aussi es le sol à cause de la gaitation). Il est donc impossible que la tajectoie soit coubée comme on peut le oi dans le clip. Cetains imaginent qu il existe une cetaine conseation du mouement de otation, mais ce n est pas le cas. Dans le mouement unifome, la gandeu de la itesse de l objet qui fait le mouement ciculaie est constante. Pou ésoude les poblèmes de mouement ciculaie unifome, on doit encoe choisi un axe dans une diection paallèle à l accéléation. Comme l accéléation est es le cente du cecle, on doit donc mette un axe dans la diection adiale, ce qui signifie qu il doit ête es le cente du mouement ciculaie ou dans la diection opposée au cente du cecle. À pati de là, on applique les lois de Newton aec une accéléation de ²/ es le cente. On aua alos Le mouement ciculaie unifome Diection adiale F m si l axe est es le cente F m si l axe est dans la diection opposée au cente Pou tous les autes axes, on doit aoi F 0 Vesion Le mouement ciculaie 7

8 Dans le mouement ciculaie unifome, on pouait aussi calcule l accéléation centipète aec la fomule a 4 où T est la péiode, c est-à-die le temps que pend l objet pou faie un tou. On peut donc aussi ésoude des poblèmes de mouement ciculaie unifome en patant des équations suiantes Le mouement ciculaie unifome Diection adiale T 4 F m si l axe est es le cente T 4 F m si l axe est dans la diection opposée au cente T Pou tous les autes axes, on doit aoi F 0 On utilisea cette fome si on nous donne la péiode de otation plutôt que la itesse où si on nous demande de toue la péiode plutôt que la itesse. Exemple 6..1 Un objet de m = 500 g attaché au bout d une code de L = m toune dans un plan etical aec une itesse constante de 10 m/s. a) Quelle est la tension de la code quand l objet est au point le plus bas de la tajectoie? Vesion Le mouement ciculaie 8

9 Les foces su la piee sont la gaitation et la tension. Selon la position les oientations des foces sont illustées su la figue. Au point le plus bas, en penant un axe pointant es le haut, on a F m mg T m Cette équation nous indique que la somme des foces n est pas nulle, mais doit donne la foce centipète. Ici, seule la tension est dans la bonne diection pou faie la foce centipète. La tension dea donc annule la foce de gaitation en plus de faie la foce centipète. La tension est donc T m mg m 10 0, 5kg s 0, 5kg 9,8 m 5N 4,9N 9,9N Il y a donc 4,9 N de tension pou élimine la foce de gaitation et 5 N pou faie la foce centipète, pou une tension totale de 9,9 N b) Quelle est la tension de la code quand l objet est au point le plus haut de la tajectoie? Au point le plus haut, en penant un axe pointant es le haut, on a N kg Fy m mg T1 m On a un signe négatif deant m²/, ca la foce centipète est es le cente du cecle, qui est es le bas quand l objet est au point le plus haut alos que note axe est es le haut. Vesion Le mouement ciculaie 9

10 Dans ce cas, la tension et la gaitation sont dans le bon sens pou faie la foce centipète. La tension dea donc simplement ajoute ce qui manque à la gaitation pou faie la foce centipète. La tension est donc T1 m mg m 10 s 0,5kg 0,5kg 9,8 m 5N 4,9N 0,1N Il y a déjà 4,9 N de gaitation dans la bonne diection. La tension fait donc ce qui manque (0,1 N) pou aie à la foce centipète nécessaie pou ce mouement qui est de 5 N. Deux emaques su l exemple pécédent 1) Si la code deait casse dans un tel mouement, elle casseait au point le plus bas, ca à ce point elle doit compense pou la foce de gaité et faie la foce centipète et c est donc à cet endoit que la tension est la plus gande. ) Si l objet allait moins ite, pa exemple m/s, alos il y auait un poblème au point le plus haut puisque le calcul pécédent nous donneait une tension de -3,9 N. La tension ne pouant ête négatie (cela oudait die que la code pousse), cela signifie que cette situation est impossible. La foce de gaité est de 4,9 N et il ne faudait que 1 N de foce centipète. Comme il n y a ien pou annule le suplus de foce, il y aua un suplus de foce centipète et la masse a se appoche de l axe de otation et la code ne sea plus tendue. N kg Vesion Le mouement ciculaie 10

11 Exemple 6.. À quelle itesse maximale une oitue de 1000 kg peut-elle pende un iage ayant un ayon de coubue de 10 m si le coefficient de fiction statique ente les pneus et la oute est de 0,8? Il y a 3 foces su la oitue : le poids (es le bas), la nomale (es le haut) et la fiction statique (c est statique, ca les pneus ne glissent pas su l asphalte). Il n y a que la fiction qui est dans la bonne diection pou joue le ôle de foce centipète. La foce centipète est donc faite ici pa la foce de fiction statique. Les équations sont donc Fx Ff m F mgf 0 y N Comme il y a un maximum à la foce de fiction statique, on a f.depositphotos.com/577683/stock-illustation-ca.html ² m F µ F m µ sfn f s N En utilisant la aleu de la nomale (somme des foces en y), on a max max m µ sfn m µ s mg µ g 0,8 10m9,8 m 8,854 31,9 s s N kg km h On oit que cette itesse ne dépend pas de la masse de la oitue. Vesion Le mouement ciculaie 11

12 On a oi qu on peut augmente cette itesse en inclinant la oute, tel qu illusté su la figue. On obtient alos la situation suiante. et libay.thinkquest.og/5844/cicula_motion/banked.htm Exemple 6..3 À quelle itesse maximale une oitue de 1000 kg peut-elle pende un iage ayant un ayon de coubue de 10 m si le coefficient de fiction statique ente les pneus et la oute est de 0,8 et que la oute est inclinée de 30? f.depositphotos.com/577683/stock-illustation-ca.html Il y a encoe 3 foces su la oitue. On gade l axe des x hoizontal pace qu on se simplifie la ie en plaçant un axe dans la diection de l accéléation. Comme l accéléation est es le cente du cecle et qu elle est dans la diection indiquée, on gade l axe de x hoizontal. Le poids n est toujous pas dans la bonne diection pou faie la foce centipète, mais la nomale a maintenant une composante hoizontale qui poua contibue à la foce centipète. Pa conte, la foce de fiction n est plus uniquement dans la diection hoizontale. Il n y a plus que la composante hoizontale de la fiction qui peut faie la foce centipète. Comme les angles ente l axe des x et la nomale et la foce de fiction sont indiqués su la figue, le tableau des foces est donc Vesion Le mouement ciculaie 1

13 Foces x y Poids 0 -mg Nomale N cos 60 N sin 60 Fiction f cos -30 f sin -30 Les équations sont donc Fx FN cos 60Ff cos30m F mgf sin 60 F sin 30 0 y N f Comme on eut la itesse maximale, on a mette le maximum de foce es le cente, c est-à-die quand la fiction sea à son maximum F fmax = µ s F N. On a alos max Fx F N cos 60µ sfn cos30m F mgf sin 60 µ F sin 30 0 y N s N On peut toue la nomale aec la deuxième équation mg F N sin 60 µ ssin 30 0 mg FN sin 60µ s sin 30 FN,1458mg F 108N En emplaçant dans l équation de la somme des foces en x, on obtient max max max N,1458mg cos60µ s,1458mg cos30 m,1458g cos60µ cos 30 N, m9,8 kg cos600,8cos 30 m km 15,84 57 On oit que la masse de l auto n a aucune impotante puisqu elle n appaait plus dans l équation de la itesse maximale. On emaque également que la itesse maximale a augmenté. Une patie de la nomale agissant maintenant comme foce centipète su la oute inclinée nous pemet donc d alle plus ite dans le iage sans glisse. s s h max Vesion Le mouement ciculaie 13

14 Il est même possible de pende un iage incliné de la sote sans qu il soit nécessaie qu il y ait de la fiction. Dans ce cas, seule la composante hoizontale de la nomale fait la foce centipète. Toutefois, comme la composante de la nomale a une aleu tès pécise, il faut que la oitue ait exactement la bonne itesse pou pende un tel iage sans que la foce de fiction n ente en jeu. On peut incline daantage la oute, ce qui pemetta de pende des iages tès seés. En poussant un peu loin, on obtient la situation montée dans ce idéo Comme la paoi est maintenant patiquement eticale, c est pesque exclusiement la nomale qui fait la foce centipète. Quant à la fiction, c est elle qui empêche l auto de glisse es le bas de la paoi. Remaquez qu il sea possible de éussi cet exploit sans aucune fiction. Pou y aie, il faudait que la paoi ne soit pas exactement eticale de sote que la composante eticale de la nomale annule la foce de gaitation. Ainsi, l auto ne glisseait pas es le bas de la paoi. Mais alos, la composante hoizontale de la nomale auait une aleu tès pécise et il faudait alle à une cetaine itesse tès exactement pou que cette nomale soit exactement égale à la foce centipète. Incline la oute n est pas la seule option pou augmente la itesse maximale d une oitue dans un iage. Les fomules 1 peuent pende des iages non inclinés à des itesses bien supéieues à celle qu on a touée à l exemple 6.. ( max µ s g). Pou y aie, on augmente la nomale ente la oitue et le sol en utilisant des aileons. Quand l ai fappe su les aileons, elle exece une foce qui a une composante es le bas assez impotante. On a alos Fy FN PFaileons 0 F PF N aileons On oit donc que la nomale est plus gande aec les aileons. En fait, à de gandes itesses, la foce faite pa les aileons est beaucoup plus gande que le poids et la nomale est gandement augmentée. Cette augmentation de la nomale fait donc augmente beaucoup la foce de fiction statique maximale (µ s F N ), ce qui pemet de pende des iages à des itesses beaucoup plus gandes, ca on peut aoi beaucoup plus de foce centipète (puisque dans un iage non incliné, c est la fiction statique qui fait la foce centipète). S il y a un bis d aileons, on ped cette augmentation de la nomale et on ne peut plus pende les iages aussi apidement. Quand l aileon aièe se bise, la nomale su les oues aièe diminue soudainement, ce qui entaine une diminution soudaine de la foce de fiction et donc de la foce centipète. Il y a alos un manque de foce centipète su les oues aièe qui ne peuent Vesion Le mouement ciculaie 14

15 plus pende ce iage aussi apidement. L aièe de la oitue dépote donc es l extéieu du iage, entainant l accident. Les aileons font également une foce qui s oppose au mouement de la fomule 1, une foce causée pa la fiction de l ai. Le coefficient de tainée des fomules 1 est tès gand pincipalement à cause des aileons. Cette foce de tainée est éidemment nuisible à une oitue de couse, mais en fin de compte, il y a plus d aantages à aoi des aileons. On a un peu moins ite dans les lignes doites, mais on peut alle tellement plus ite dans les iages qu on peut faie le tou de la piste plus beaucoup plus apidement aec des aileons. Les foces execées pa les aileons sont tellement gandes à hautes itesses qu une fomule 1 pouait oule au plafond sans tombe puisque la foce des aileons poussant le éhicule es le plafond seait plus gande que le poids. Exemple 6..4 Dans un manège tel que celui-ci (ous eez à 1 h 10 qu on baisse le planche et que les gens estent collés au mu), quelle est la péiode de otation maximale que doit aoi le manège pou que les pesonnes ne glissent pas es le bas de la paoi si le coefficient de fiction ente le mu et les pesonnes est de 0,7 et que le ayon du manège est de,5 m? Il y a 3 foces su la pesonne en otation : la nomale, la fiction et le poids. Aec un axe des x pointant es le cente du mouement ciculaie et un axe des y es le haut, on a 4 Fx FN m T F mgf 0 y f Vesion Le mouement ciculaie 15

16 Comme on ne cheche pas la itesse, mais la péiode de otation, on utilise la fomule de la foce centipète aec la péiode de otation. On doit donc aoi, selon la somme des foces en y, mg F F f f max On a donc mg µ F 4 mg µ s m T s N T 4 µ g s La péiode de otation maximale est donc T T max max 4,5m 0,7,655s 9,8 N kg On peut également détemine si un objet ped contact aec un aute pendant un mouement ciculaie. Pou y aie, il faut détemine la nomale ente les deux objets en contact en supposant qu ils sont en contact. Si on obtient une aleu négatie de la nomale, cela signifie que cette situation est impossible et que les objets ne sont donc pas en contact. Exemple 6..5 Une oitue allant à 1 m/s passe su une bosse ayant un ayon de 5 m tel qu illusté su la figue. Vesion Le mouement ciculaie 16

17 a) La oitue est-elle en contact aec la oute au sommet de la bosse? Supposons que la oitue est en contact aec la oute au sommet de la bosse. Les foces su la oitue sont alos le poids es le bas et la nomale es le haut. La somme des foces eticales est donc f.depositphotos.com/577683/stock-illustation-ca.html Fy mgfn m m²/ est négatif, ca la diection de la foce centipète est es le bas puisque le cente du cecle est es le bas. On a donc FN mg m mg m 9,8 m 19 N kg N kg Ainsi, peu impote la aleu de la masse, la nomale est négatie, ce qui est impossible. La oitue n est donc pas en contact aec la oute. En fait ici, seule la foce de gaitation était dans la bonne diection pou faie la foce centipète. O, cette foce de gaitation n est pas suffisante pou faie la foce centipète et il y a donc un manque de foce centipète et la oitue s éloigne du cente du cecle, ce qui lui fait quitte la oute. b) Quelle est la itesse maximale que peut aoi la oitue en passant su cette bosse pou ne pas quitte la oute? Si la nomale est positie, cela signifie que 1 m s 5m F N mg 0 g g Vesion Le mouement ciculaie 17

18 5m9,8 7 m/ s N kg Eeu féquente : En mouement ciculaie, il y a une foce centifuge es l extéieu On entend souent pale de foce centifuge dans le mouement ciculaie. Si une pesonne su un manège qui toune apidement ne se tient plus, elle est éjectée du manège et elle dia bien souent que c est la foce centifuge qui l a éjectée. C est faux. C est en fait le manque de foce centipète qui pooque l éjection. Penons la situation illustée dans cette petite animation pou illuste cela. Il y a un objet su un chaiot et il n y a pas de fiction ente l objet et le chaiot. Quand le chaiot se met à toune, le petit objet ne peut pas suie cette otation puisqu aucune foce ne peut faie de foce centipète. Il n y a que le poids et la nomale qui agissent su le petit objet, et aucune n est dans la bonne diection pou déie la tajectoie pou pemette à l objet de toune et de suie le chaiot. Sans foce, le petit objet continue en ligne doite pendant que le chaiot toune. Résultat : le petit objet tombe en bas du chaiot. Ce n est pas la foce centifuge qui a poussé l objet es l extéieu du chaiot, c est l absence de foce centipète qui a fait que l objet n a pas pu suie le mouement de otation de chaiot, amenant ainsi l objet à tombe. C est ce qui aie si ous êtes dans une oitue qui toune. On a l impession qu il y a une foce qui nous pousse es l extéieu du iage, mais ce n est pas le cas. Supposons que ous êtes su le siège du passage, que ous n êtes pas attaché et que le siège est tès glissant. Si la oitue toune es la gauche, ous allez glisse es l extéieu du iage jusqu à ce que ous soyez accoté su la pote. Il en est ainsi pace qu il n y a pas de foce centipète su ous et ous continuez en ligne doite alos que la oitue toune. Si ous continuez en ligne doite et que la oitue toune, ous allez ente en contact aec la pote. Aec ce contact, il a maintenant y aoi une nomale qui poua sei de foce centipète et ous pemette de toune aec la oitue. La foce de contact étant toujous une foce de épulsion, la foce que la pote fait su ous est bel et bien es l intéieu du iage et ous pemet de toune aec la oitue. Si la pote pousse su ous es l intéieu, alos, pa la toisième loi de Newton, ous faites une foce es l extéieu du iage su la pote. Est-ce que cela signifie que la foce su la oitue est es l extéieu et qu il s agit donc d une foce centifuge? En fait, Vesion Le mouement ciculaie 18

19 la foce nette su l auto est es l intéieu du cecle et est faite pa la fiction ente la oute et les pneus de la oitue. Quand ous faites une foce es l extéieu su l auto pa ote contact su la pote, la fiction es l intéieu a augmente en peu pou compense cette foce es l extéieu. Si ous tentez de pende un iage aec top de itesse, il se peut que ous quittiez la oute en tombant dans le ain à l extéieu du iage. Ce n est pas la foce centipète qui ous a poussé dans le ain, c est le manque de foce centipète. Dans un iage, la oitue déie à cause de la foce de fiction ente les pneus et la oute qui joue le ôle de foce centipète. Comme il y a un maximum à cette foce de fiction, il y a un maximum à la foce centipète. Si la oitue a top ite dans ce iage, il peut donc aie que la foce de fiction soit plus petite que la foce centipète nécessaie pou suie la oute. La fiction fea déie la tajectoie de l automobile, mais pas assez pou suie la coubue de la oute. La oitue a donc faie un mouement de otation, mais aec un ayon de coubue qui augmente continuellement, ce qui amène la oitue à tombe dans le ain du côté extéieu de la oute. Ce n est pas la foce centifuge qui l a poussée là, elle s est amassée là pace qu il manquait de foce centipète. C est ce qui est aié à ces oitues. stockcascience.com/sciencetopics/scsracing_centifugalfoce.php Dans cette aute situation, le mouement ciculaie deient si apide que la pesonne n aie plus à teni son tose doit. Ce n est pas la foce centifuge qui pousse son cops es l extéieu, c est le manque de foce centipète. Ce sont les muscles de la pesonne qui font la foce es le cente, ce qui lui pemet de faie le mouement ciculaie. Quand la itesse de otation deient top gande, les muscles ne suffisent plus et il y a alos un manque de foce centipète. La pesonne ne peut plus suie le mouement ciculaie et s éloigne alos de l axe de otation. Une fois que son tose est hoizontal, c est la ésistance de son cops qui fait la foce centipète. Heueusement, il n a pas pedu contact aec la plaque tounante, ca alos la foce centipète auait complètement dispau et il seait pati en ligne doite comme dans ce cas. Vesion Le mouement ciculaie 19

20 Quand une piee toune au bout d une code et qu on tient la code, on pouait pense qu il y a une foce centifuge, ca on sent que la code tie su note main es l extéieu du cecle. C est bien ai, mais examinez bien les foces faites pa la code à chaque bout. Elle tie su la piee es l intéieu du cecle. C est la foce centipète nécessaie pou que la piee fasse son mouement ciculaie. La code tie aussi, aec la même foce, à l aute bout de la code. Elle tie donc su note main es l extéieu du cecle. Ce n est pas cette foce su note main qui nous intéesse dans le mouement ciculaie puisque note main ne fait pas le mouement ciculaie. Ce qui nous intéesse, c est la foce su l objet qui fait le mouement ciculaie, c est-à-die la piee, et celle-ci est bien es l intéieu du cecle. astonomy.nmsu.edu/thaiso/ast105/ast105week04.html La centifugeuse Même si la foce centifuge n existe pas, les centifugeuses existent. Toutefois, ce n est pas la foce centifuge qui explique pouquoi les substances se déposent au fond ces épouettes. Penons un modèle simple de centifugeuse pou compende le mécanisme. On fait simplement toune une épouette comme montée su la figue. f.openclassooms.com/sciences/cous/la-physique-chimie-en-seconde/a-centifugation L épouette emplie seulement d eau On a commence aec une épouette dans laquelle il y a uniquement de l eau. Comme l eau fait un mouement ciculaie, il doit y aoi une foce qui s exece su l eau. Cette Vesion Le mouement ciculaie 0

21 foce est faite pa la pession de l eau. Quand on fait toune l épouette, il appaait une aiation de pession dans l eau. La pession est la plus gande au fond de l épouette et diminue à mesue qu on s appoche de la suface du liquide. matoumatheux.ac-ennes.f/num/factions/6/epouette.htm Si on pend une tanche d eau dans l épouette, la foce de pession en dessous de la couche sea plus gande que la foce de pession au-dessus de la couche. L excès de foce de pession es le cente du cecle est la foce qui fait la foce centipète su la tanche d eau. En fait, on pouait calcule la pession en fonction de la position dans le tube en patant de l idée que l augmentation de pession aec la pofondeu doit génée exactement la foce centipète su une couche d eau. Aec des substances dans l eau Imaginons maintenant qu il y a une paticule dans l eau. La pession de l eau a alos agi su cette paticule et comme la pession est plus gande es le fond de l épouette, la foce de pession de ce côté sea plus gande. La somme de ces foces su la paticule est une foce es l axe de otation. Vesion Le mouement ciculaie 1

22 Cette foce est en fait une poussée d Achimède et cette foce a la bonne diection pou agi comme une foce centipète. On toue facilement la aleu de cette foce en utilisant la fomule de la poussée d Achimède, mais en emplaçant la aleu de l accéléation gaitationnelle pa l accéléation de l eau dans la fomule de la poussée d Achimède. On a alos F A eau Vesion Le mouement ciculaie olume Voyons ce qui aie alos en faisant l équation des foces en x su la paticule. (On utilise un axe des x positif es la gauche, donc es l axe de otation) Ce qui nous donne eau Fx olume ma eau olume ma m eau a olume eau paticulea eau a paticule On emaque alos que si la densité de la paticule est la même que celle de l eau, l accéléation de la paticule est exactement ²/. Cela eut die que la poussée d Achimède est juste de la bonne gandeu pou faie la foce centipète. La paticule fait alos son mouement ciculaie en estant toujous à la même distance de l axe de otation. La paticule estea donc à la même position dans le tube. Cela se poduit uniquement si la densité de la paticule est identique à celle de l eau. Si la paticule a une densité plus gande que celle de l eau, on emaque alos que a < ²/. La poussée d Achimède n est donc pas assez gande et il y aua un manque de

23 foce centipète. Ainsi, la paticule ne peut pas suie le mouement ciculaie aec un ayon constant. Aec un manque de foce centipète, la paticule fait un mouement ciculaie aec un ayon qui augmente sans cesse. La paticule s éloigne alos de l axe de otation jusqu à atteinde le fond du tube. Plus la densité de la paticule est gande, plus le manque de foce centipète est impotant et plus la paticule atteint le fond de l épouette apidement. Les paticules les plus denses ont donc aie au fond en pemie suii d autes paticules moins denses, puis de d autes encoe moins denses et ainsi de suite. On aua donc une sépaation des constituants en ode de densité au fond du écipient. Si la paticule a une densité plus petite que celle de l eau, on emaque alos que a > ²/. La poussée d Achimède est donc top gande et il y aua un excès de foce centipète. Dans ce cas, la paticule fait un mouement de otation aec un ayon qui diminue, ce qui amène la paticule à la suface de l eau dans le tube. On obtient finalement un tube dans lequel les paticules se sont déposées en ode de densité au fond du tube pou les paticules plus dense que l eau et dans lequel les paticules moins denses que l eau flottent à la suface du tube. Plus le tube toune apidement, plus cette sépaation se fait apidement. Et ce n est pas une foce centifuge qui est esponsable de cette sépaation. Pafois, l objet fait un mouement ciculaie, mais la itesse n est pas constante. On aua alos un mouement ciculaie non unifome. Il y aua alos une accéléation centipète et une accéléation tangentielle. On poua toue ces deux accéléations en faisant la somme des foces, mais en choisissant bien nos axes. 1) Mette l axe des x dans la diection tangentielle. ( choix) ) Mette l axe des y dans la diection adiale (es le cente du mouement ciculaie ou dans la diection opposée au cente du cecle). Vesion Le mouement ciculaie 3

24 On aua alos Le mouement ciculaie non unifome Diection adiale m Fy si l axe est es le cente m Fy si l axe est dans la diection opposée au cente Diection tangentielle F x ma T Rappelez-ous également cette eeu féquente. 4 Eeu féquente : Utilise ac pou calcule T l accéléation centipète dans un mouement ciculaie non unifome. Cette fomule a été obtenue en supposant que la gandeu de la itesse est constante. Elle n est donc pas bonne dans un mouement ciculaie non unifome. Vesion Le mouement ciculaie 4

25 Exemple Un objet glisse su une suface sphéique. Quelles sont l accéléation tangentielle et la gandeu de la nomale quand l objet est à la position indiquée su la figue? Commençons pa toue les foces s exeçant su l objet. Ces foces sont 1) Le poids ) La nomale Aec les axes montés su la figue, les équations sont Fx mgcos 50 mat Fy mgsin 50FN m R La pemièe équation nous donne et la deuxième équation nous donne a a T T gcos 50 6,99 m s² FN mgsin 50m R m 5 N 8kg 9,8 sin 50 8 s kg kg 5m 60,06N 40N 0,06N Remaquez aussi que si la itesse aait été plus gande, disons 7 m/s, on auait eu Vesion Le mouement ciculaie 5

26 FN mgsin 50m R N 8kg 9,8 sin 50 8kg kg 60,06N 78, 4N 18,34N ce qui est impossible. Cela eut die que pou aoi un tel mouement ciculaie, la nomale deait tie su le bloc, ce qu une nomale ne peut pas faie. On aua donc un manque de foce centipète, l objet ne poua pas faie un cecle aussi petit et il a quitte la suface de la sphèe. Remaquez aussi que l accéléation totale seait ici de 7 m s 5m a a a c T m 5 s 5m 8,04 m s² 6,99 m s² Vitesse et péiode su l obite ciculaie Les objets en obite ciculaie autou d une planète ou d une étoile font un mouement ciculaie et il faut donc une foce centipète. Comme il n y a que la foce de gaitation qui agit su le cops, c est cette foce qui joue le ôle de foce centipète. On a donc GM cm m La masse au cente s appelle M c, pou masse centale. On oit alos que l objet en obite doit aoi une itesse tès pécise pou ête en obite ciculaie. Si on isole, on obtient Vesion Le mouement ciculaie 6

27 La itesse d un objet en obite ciculaie GM c Le temps nécessaie pou faie le tou de l objet cental (la péiode T) est donc En simplifiant on a T distance itesse GM c La péiode d un objet en obite ciculaie T 3 GM c On appelle pafois cette fomule la toisième loi de Keple puisque ce denie découit en 1618 que T² ³ pou les planètes tounant autou du Soleil. Exemple Calcule la masse du Soleil sachant que la Tee toune autou de celui-ci aec une péiode de 365,566 jous et que le ayon de l obite teeste est de km. Aec la fomule de la péiode, on toue T 365, s M c 3 GM 1, c 30 1, , kg 11 m 11 Nm kg 3 M c C est de cette façon qu on a toué la masse de toutes les planètes du système solaie. Vesion Le mouement ciculaie 7

28 Que se passe-t-il si l objet en obite n a pas la bonne itesse? L objet doit aoi une itesse tès pécise pou que son obite soit ciculaie. Toutefois, ce n est pas une catastophe si la itesse n est pas exactement celle nécessaie pou faie une obite ciculaie. Si la itesse de l objet est top petite, on a GM cm m Ce qui signifie qu il y a un excès de foce centipète. Dans ce cas, l objet fait un mouement ciculaie, mais aec un ayon qui diminue. Il est possible que cet excès de foce amène l objet à s écase su la masse centale, mais pas nécessaiement pace que l objet a epende de la itesse en s appochant de la masse centale. Si la itesse de l objet est top gande, on a GM cm m Ce qui signifie qu il y a un manque de foce centipète. Dans ce cas, l objet fait un mouement ciculaie, mais aec un ayon qui augmente. Il est possible que cet excès de foce amène l objet à s éloigne infiniment de la masse centale, mais pas nécessaiement pace que l objet a pede de la itesse en s éloignant de la masse centale. Vesion Le mouement ciculaie 8

29 On examinea les tajectoies dans ces cas aec plus de détails au chapite 14 Les objets en obite sont en chute libe Cela n est pas éident, mais les objets en obite sont en chute libe. Pou nous en conaince, supposons que nous lancions des balles hoizontalement à pati du sommet d une tès haute falaise, mais pas à la même itesse. Il n y a pas de fiction de l ai dans ces situations. Commençons pa lance une balle pas tès apidement. On aua alos un pojectile qui tombea aec la tajectoie coubant es le sol essemblant à celle su la figue. slid.es/tofegegg/gaity-and-fluid-dynamics/fullsceen#/ De toute éidence, cette balle est en chute libe. Si on lance la balle aec une plus gande itesse maintenant, on aua toujous une balle en chute libe. La tajectoie aua l ai de celle-ci. (On a exagéé beaucoup la coubue de la Tee) slid.es/tofegegg/gaity-and-fluid-dynamics/fullsceen#/ Vesion Le mouement ciculaie 9

30 On a lancé la balle aec tellement de itesse que la coubue de la Tee commence à aoi de l impotance. On oit que la balle coube encoe es le sol et que le sol coube aussi. Dans ce cas, la balle finia quand même pa fappe le sol. Si on augmente encoe la itesse pou atteinde la itesse nécessaie pou l obite ciculaie, on aua la situation suiante. slid.es/tofegegg/gaity-and-fluid-dynamics/fullsceen#/ La tajectoie de l objet en chute libe coube toujous es le sol à cause de la foce de gaitation. Cependant, le sol coube aussi de telle sote que l objet est toujous à la même distance du sol. Ainsi, l objet, même s il est en chute libe, ne fappea jamais le sol et se déplacea continuellement su son obite ciculaie. On demande pafois pouquoi la Lune ne tombe pas su la Tee si elle est attiée pa la foce de gaitation. Tout comme la balle du denie exemple, la Lune est bel et bien en chute libe, mais elle ne fappe jamais la Tee puisque la foce de gaitation coube la tajectoie de la Lune. La itesse de la Lune est cependant suffisante pou qu elle ne s appoche pas de la Tee. Le idéo suiant (en anglais) epend cette explication. Vesion Le mouement ciculaie 30

31 Eeu féquente : En obite, il y a équilibe ente la gaitation et la foce centifuge Il aie tès souent qu on explique le mouement obital en affimant qu il y a équilibe ente foce centifuge et foce gaitationnelle su les objets en obite ciculaie. On ous monte alos une image telle que l image ci-conte. On sait que cela ne peut pas ête coect puisque la foce centifuge n existe pas. De plus, si ces deux foces s annulaient aiment, la somme des foces seait nulle et l objet auait une tajectoie en ligne doite. On ne peut aoi une tajectoie ciculaie si la somme des foces est nulle puisque cela seait en contadiction éidente aec la pemièe loi de Newton. J ai même toué cette explication dans une eue en Inde endue pou aide les futus étudiants uniesitaies à se pépae aux examens d entée à l uniesité. xp.hauduoy.fee.f/mise_en_obite.html Les satellites géostationnaies Si on place un satellite juste à la bonne distance de la Tee, sa péiode sea de 4 heues (en fait 3 h 56 min 4 s). Le satellite a donc toune autou de la Tee exactement au même ythme que la Tee toune su elle-même et il estea ainsi toujous au-dessus du même endoit su Tee. Autement dit, le satellite ea toujous le même côté de la Tee. Ces satellites sont impotants, ca on peut facilement toue leus positions pace qu ils sont toujous dans la même diection ue de la suface de la Tee. Une fois qu on a ajusté note antenne pou qu elle pointe es ce satellite, elle est toujous dans la bonne diection. Si le satellite tounait plus ou moins ite, il faudait constamment change la diection de l antenne pou eceoi le signal. Ce petit ideo ous expliquea le concept de satellite géostationnaie. Exemple 6.5. À quelle distance de la suface de la Tee doit-on place les satellites géostationnaies et quelle est leu itesse sachant que la masse de la Tee est de 5,974 x 10 4 kg? Aec la fomule de la péiode, on toue Vesion Le mouement ciculaie 31

32 s T 3 GM c 3 6, , Nm 4 kg 7 4, 4510 m445km kg Tous les satellites géostationnaies sont donc à cette distance du cente de la Tee. Comme la Tee a un ayon de 6378 km, ils sont donc à km de la suface de la Tee. La itesse du satellite est GM c 6, , m s 11 Nm² 4 kg ² 7 4, 4510 m km h kg Tous les satellites géostationnaies ont cette itesse. Il y a donc endoits tès occupés autou de la Tee pou place des satellites. On les place souent tout pès de la Tee (ce qui est moins che) ou on les place en obite géostationnaie. La figue suiante montant les satellites autou de la Tee illuste bien cela. La plupat sont tès pès ou su une obite coespondante à la distance pou que les satellites aient une péiode de 4 heues. Vesion Le mouement ciculaie 3

33 Le mouement ciculaie unifome Diection adiale F m ou 4 F m si l axe est es le cente T F m ou au cente 4 F m si l axe est dans la diection opposée T Pou tous les autes axes, on doit aoi F 0 Vesion Le mouement ciculaie 33

34 Le mouement ciculaie non unifome Diection adiale m Fy si l axe est es le cente m Fy si l axe est dans la diection opposée au cente Diection tangentielle F x ma T La itesse d un objet en obite ciculaie GM c La péiode d un objet en obite ciculaie T 3 GM c Vesion Le mouement ciculaie 34

35 6. Le mouement ciculaie unifome 1. Cette luge de 00 kg descend la piste aec une itesse constante de 34 m/s. a) Quelle est la gandeu de la foce centipète quand elle est dans le iage ayant un ayon de coubue de 33 m? b) Quelle est la gandeu de la foce centipète quand elle est dans le iage ayant un ayon de coubue de 4 m? whs.wsd.wednet.edu/faculty/busse/mathhomepage/busseclasses/apphysics/studyguides/chapte5/apphysicsch5_006.php. Une oitue allant à une itesse constante de 10 km/h pend un iage ayant un ayon de coubue de 100 m. La oute n est pas inclinée. Quelle est la aleu minimale que le coefficient de fiction statique ente les pneus et la oute doit aoi pou que la oitue ne glisse pas en penant ce iage? Vesion Le mouement ciculaie 35

36 3. Un petit bloc de 00 g est posé su une table tounante, à 10 cm de l axe de otation. de.physicslab.og/document.aspx?doctype=5&filename=compilations_cpwokbook_centipetalfoce.xml&asid=5679& siteid=%7b9cf166f-c64-436a-b5de-df386f0ff11%7d Quelle est la péiode de otation minimale que peut aoi ce système sans que le bloc ne glisse su la suface de la table si le coefficient de fiction statique ente le bloc et la table est de 00,6? 4. Dans la situation montée su la figue, quelles sont les nomales s exeçant su la oitue de 1000 kg aux points A et B? 5. À quelle itesse doit alle cette oitue pou este en contact aec la piste au sommet de sa tajectoie (point B)? Vesion Le mouement ciculaie 36

37 6. Une oitue passe su une oute inclinée de = 0 et ayant un ayon de coubue de = 80 m. La oute est tellement glacée qu il n y a plus de fiction ente la oute et les pneus. À quelle itesse la oitue doit-elle alle pou pende ce iage? 7. Une oitue de 100 kg passe su une oute inclinée de = 30 et ayant un ayon de coubue de = 80 m. a) Quelle est la foce de fiction su la oitue si la itesse de la oitue est de 100 m/s? b) Quelle est la foce de fiction su la oitue si la itesse de la oitue est de 10 m/s? 8. Voici une oitue oulant su un mu etical. conques-the-wall-of-death Le coefficient de fiction statique ente les pneus et le mu est de 0,8, le ayon de la piste est de 5 m et la masse de la oitue est de 100 kg. a) Quelle est la itesse minimale que la oitue doit aoi pou ne pas glisse? b) Quelle est la gandeu de la nomale s exeçant su la oitue si la itesse de la oitue est égale à la itesse minimale? 9. La pesonne dans ce manège a une masse de 60 kg. mail.dcd.ab.ca/~smolesky/physics35/1) KinCic/Day1.html a) Quelle est la tension de la code? b) Combien de temps faut-il pou que cette pesonne fasse un tou? Vesion Le mouement ciculaie 37

38 10. Quelles sont les tensions des codes dans le système suiant? 6.4 Le mouement ciculaie non unifome 11. Un petit tube amène de l ai compimé à un bloc de 3 kg pou que l ai compimé populse le bloc et lui donne une accéléation tangentielle. Le bloc est posé su une table et il n y a pas de fiction ente le bloc et la table. Voici cette situation, ue de haut. Initialement, le bloc est au epos et le jet d ai fait une foce de 1,5 N. On néglige la masse du tube. a) Quelle est l accéléation du bloc secondes apès son dépat? b) Quelle est la tension dans le tube secondes apès le dépat? Vesion Le mouement ciculaie 38

39 1. Voici Gontan, d une masse de 65 kg, qui se pend pou Tazan. a) Quelle est la gandeu de l accéléation centipète de Gontan? b) Quelle est la gandeu de l accéléation tangentielle de Gontan? c) Quelle est l accéléation de Gontan? d) Quelle est la tension de la liane? 6.5 Les objets su obite ciculaie 13. Quelle est la masse de la Tee si la Lune toune autou de celle-ci aec une péiode de 7,3 jous su une obite dont le ayon est de km? 14. Io toune autou de Jupite aec une péiode de 1,796 jou, su une obite dont le ayon est de km. Ganymède toune aussi autou de Jupite, mais su une obite dont le ayon est de km. a) Combien faut-il de temps pou que Ganymède fasse le tou de Jupite? b) Quelle est la itesse de Ganymède su son obite? 15. La capsule Apollo faisait le tou de la Lune à une altitude de 100 km au-dessus de la suface de la Lune. Sachant que la Lune a une masse de 7,35 x 10 kg et un ayon de 1737 km, combien de temps fallait-il pou que la capsule Apollo fasse le tou de la Lune? Vesion Le mouement ciculaie 39

40 16. À quelle distance de la suface de la Tee doit-on place un satellite pou qu il fasse le tou de la Tee en jous? (Masse de la Tee = 5,97 x 10 4 kg, ayon de la Tee = 6378 km) 6. Le mouement ciculaie unifome 1. a) 7006 N b) 9633 N. 1, ,8194 s 4. Point le plus bas : N point le plus haut : N 5. 7 m/s 6. 16,89 m/s 7. a) N es le bas de la pente b) 4581 N es le haut de la pente 8. a) 7,86 m/s b) N 9. a) 1391 N b) 4,5 s ,51 N (code du bas) et 86,71 N (code du haut) 6.4 Le mouement ciculaie non unifome 11. a) 0,9718 m/s² b),5 N 1. a) 0 m/s² b) 6,99 m/s² c) 0,969 m/s² d) 1788 N 6.5 Les objets su obite ciculaie 13. 6,03 x 10 4 kg 14. a) 7,63 j b) 10,7 km/s 15. 1,96 h km Vesion Le mouement ciculaie 40