Mathématiques. On représente souvent la correspondance entre les deux suites par un tableau. Exemple : 5 12,

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Pascal Meloche
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1 PROPORTIONNALITE I. Suite de ombres proportioelles 1. Défiitio Deu suites de ombres réels (t le même ombre de termes) sot proportioelles si o peut psser de chque terme de l première suite u terme correspodt de l deuième pr u même opérteur multiplictif. L opérteur multiplictif qui permet de psser de chque terme de l première suite à chque terme de l secode est ussi ppelé coefficiet de proportiolité. O représete souvet l correspodce etre les deu suites pr u tbleu. Eemple : , 30 4 Cs géérl : O : 1 = 1 = 3 = 3 = Le coefficiet de proportiolité etre l deuième suite et l première est l'iverse du coefficiet de proportiolité etre l première suite et l deuième. Les reltios de tpe = trduiset le fit que si deu suites de ombres sot proportioelles ( étt le coefficiet de proportiolité etre l première suite et l secode), il eiste ue foctio ppelée foctio liéire, f : R R telle que l deuième suite soit l'imge de l première pr cette foctio. Proportiolité 1 / 6

2 . Propriétés umériques des suites proportioelles Propriétés reltives à l'ordre Si deu suites proportioelles sot formées de ombres positifs, l'ordre selo lequel sot rgés les ombres de l première suite est le même que celui selo lequel sot rgés les ombres de l deuième suite. O dit que pour les ombres positifs, l proportiolité respecte l'ordre ou que, ds R+, toute foctio liéire est ue foctio croisste. Propriétés de liérité - Propriété dditive , Quels que soiet les ombres 1 et, f( 1 + ) = f( 1 ) + f( ). - Propriété multiplictive , 30 4 f(k) = k. f() k est ppelé coefficiet sclire. Proportiolité / 6

3 - Propriété des rpports égu 1 = 1 = = = (à coditio qu'ucu des ombres i e soit ul). - Propriété dite «du produit e croi» 1 A prtir de l'églité des rpports 1 fcile de déduire les églités du tpe : = = = =, il est 1 = 1 ou 1 3 = 1 3 Deu suites proportioelles vérifiet doc cette propriété dite «du produit e croi». - Propriété des écrts Pour deu suites proportioelles, à des écrts égu etre ombres de l première suite correspodet des écrts égu etre les ombres correspodts de l deuième suite , 30 4, + 1, + 1, - Propriété grphique des suites proportioelles Soit deu suites proportioelles, o cosidère les couples de ombres formés pr u ombre de l première suite et so imge ds l deuième ( 1, 1) ; (, ) ;. Soit u sstème d'es grdués régulièremet à prtir de 0 (repère du pl), les poits correspodts à ces couples sot ligés sur ue droite qui psse pr l'origie des es. Cette propriété est crctéristique des suites proportioelles et des foctios liéires. Proportiolité 3 / 6

4 II. Situtios de proportiolité 1. Vitesse Eemple Le cr ssurt l liiso de Clermot-Ferrd à Mede prcourt les 180 km e 3 heures. Pour ce qui suit, bie que cel e correspode ps à l rélité, o fer l'hpothèse qu'il roule prtout à l même vitesse. Avec cette hpothèse, o peut dire qu'e 1 heure, il fit 60 km. S vitesse est de v = 60 km/h. Si le cr roulit pedt h, il ferit 10 km. E 4 h, il ferit 40 km. Pour h ce serit fois plus soit 300 km et pour 1 h 30 mi, ce serit 90 km (60 km pour 1 h et 30 km pour l demi-heure supplémetire). Les distces prcourues sot reliées u durées pr ue foctio liéire dot le coefficiet est l vitesse. Géérlistio Si u mobile se déplce à l vitesse costte v (eprimée e km/h ou 1 km. h ), il prcourt pedt ue durée t (e heures) l distce d = v t (kilomètres). S'il prcouru l distce d, l durée du trjet été de t = v d. Si d est l distce prcourue pedt ue durée t, l vitesse moee est v = t d.. Agrdissemet, réductio Eemple O cosidère ue figure que l'o souhite grdir. Si o l veut double, toutes ses dimesios doivet être multipliées pr. Si o l veut ue fois et demie plus grde, toutes ses dimesios doivet être multipliées pr 1,... Le ombre utilisé, coefficiet multiplicteur, permet de psser des dimesios iitiles u ouvelles dimesios. Ce même coefficiet multiplicteur doit être ppliqué à toutes les dimesios. Géérlistio Supposos qu'o dispose d'ue figure dot les dimesios sot iscrites ds l première lige du tbleu suivt et qu'o veuille l trsformer (l grdir ou l réduire) ds u rpport k (k réel positif). Les dimesios de l ouvelle figure se trouvet à l secode lige du tbleu. Proportiolité 4 / 6

5 Dimesios iitiles d 1 d d 3 k Dimesios de l ouvelle figure k d 1 k d k d 3 Si k >1, il s'git d'u grdissemet ds l mesure où les dimesios de l figure ugmetet. Si 0 < k < 1 il s git d'ue réductio (les dimesios dimiuet). 3. Echelle L otio d'échelles relève elle ussi de l proportiolité. O représete ue rélité phsique (terri, voiture,...) pr u dessi ou ue mquette étblie e respectt les proportios. Il doc proportiolité etre les dimesios ds l rélité et les dimesios sur l représettio de cette rélité. Eemples : - Ds ue échelle de «cm pour m», m ds l rélité sot représetés pr cm. - Ds ue échelle de 1/ 000, 000 cm sot représetés pr 1 cm. 1/ 000 représete le coefficiet de proportiolité etre les dimesios réelles et les dimesios représetées. Ds ce cs les uités des dimesios doivet être les mêmes. Géérlistio Les échelles sot courmmet eprimées pr des rtioels de l forme 1 où est u etier turel o ul simple comme, 10, O écrit pr eemple 1/1 000 (et o lit «u vigt-ciq millième»). Le double pricipe d'utilistio des échelles est toujours le même : - pour fire ue crte ou u pl ou u dessi techique à l'échelle 1/ o pred les mesures réelles et o les divise pr ; - pour utiliser u pl à l'échelle 1/, c'est-à-dire pour coître les dimesios réelles d'u objet, o multiplie ses dimesios sur le pl pr. L'utilistio d'échelles coduit souvet à effectuer des coversios d'uités. Proportiolité / 6

6 4. Pourcetge Clcul d u pourcetge Soit A u esemble fii t élémets et B ue prtie de A comportt b élémets. Pour trouver le pourcetge que représete B de A, o commece pr chercher le tu b d'élémets de B prmi ceu de A. Le pourcetge que B représete ds A est obteu e imgit que A comporte 100 élémets et que le tu d'élémets de B prmi ceu de A reste égl à b. Le pourcetge que représete B ds A est b 100. Predre u pourcetge Soit E u esemble fii t élémets et u réel (0 1 00). Pour predre % des élémets de E, o commece pr fire comme si E vit 100 élémets. O e predrit lors. Predre % d'u ombre, c'est le multiplier pr. 100 Augmettio, dimiutio de % Augmeter de %, c'est multiplier pr Dimiuer de %, c'est multiplier pr Proportiolité 6 / 6

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