source : géoportail.fr Carte à l échelle 1/8000 Courbes de niveau en économie

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1 Courbe de niveau Pour représenter le relief, les cartographes utilisent des plans de coupe horizontale, d altitude constante. Par projection, les courbes obtenues donnent les courbes de niveau sur la carte. source : géoportail.fr Carte à l échelle 1/8 Courbes de niveau en économie En économie, il est fréquent d étudier une grandeur liée à deux variables. Par exemple : La production d un bien suivant le travail et le capital ; Les coûts de production d un producteur pour suivant les quantités de deux des produits fabriqués ; L indice de satisfaction du consommateur pour deux produits complémentaires ou substituables Pour cela on modélise la grandeur étudiée par une fonction dépendant de deux variables et. Pour toute valeur de et toute valeur de, on obtient une valeur de la grandeur étudiée que l on représente par un point dans un repère de l espace. Pour l ensemble des valeurs de et, on obtient une surface représentant la fonction. Afin de la visualiser, on trace les sections de cette surface par des plans d équation parallèles au plan de base ( ). Ces sections sont les courbes de niveau de la fonction. Définition : Soit S une surface d équation. On appelle ligne de niveau z = k, la courbe formée par l intersection du plan d équation z = k et de la surface S. C est donc l ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système { Remarque. On définit de la même manière les lignes de niveau x = k et y = k. f

2 Entrainement à la lecture graphique Associer à chaque surface représentée à gauche, sa vue de dessus représentée à droite

3 On considère la fonction f des variables réelles x et y définie par : La surface S est la représentation graphique de la fonction f dans l espace muni d un repère (o ;,, ) 1- Répondre, par VRAI ou FAUX, aux affirmations suivantes, en justifiant votre réponse. A- La surface S contient l origine O du repère C- La surface S contient la demi-droite [Ox) B- La surface S contient le point A(, 1, 2) D- La surface S contient la demi-droite [Oy) 2- La représentation graphique de S pour x [, 3] et y [, 1] figure parmi les quatre représentations graphiques cidessous. La déterminer en justifiant votre choix. Représentation 1 Représentation 3 Représentation 2 Représentation 4

4 Exercices d application Exercice 1 Soit S la surface d équation pour et dans l intervalle [ ; 4]. 1. Que représente chacune des lignes verte, marron et orange? 2. Parmi les cinq points, lesquels ont pour coordonnées (2 ; 2 ; 2) et (3 ; 1 ; 1)? 3. Donner les coordonnées des autres points. Exercice 2 Soit S la surface définie pour et variant entre et 2 par : avec. 1) Donner les coordonnées des points A, B et C. 2) Le point M(1 ;1 ; ) appartient-il à S? 3) Soit N(1,5 ; 2 ; z) un point de S. Déterminer la valeur de z. Exercice 3 On considère la surface S ci-contre. Elle représente la fonction avec x [ ; 8] et y [ ; 1]. 1) Lire les coordonnées du point A. 2) Déterminer les coordonnées des points B et C. 3) Le point D(5 ; 1 ; 22) appartient-il à S? Exercice 4 Soit x [ 3 ; 3] et y [ 5 ; 5]. On considère la fonction qui au couple (x ; y) associe. Le plan ci-dessous est la représentation graphique de dans un repère. 1) Lire les coordonnées des points A, B, C et D. 2) Vérifier cette lecture par le calcul.

5 Etude d un profit Un producteur fabrique et vend deux produits Gloubi et Boulga en quantité et (en tonnes) avec et. Il réalise un profit dépendant de et (profit exprimé en milliers d euros). A l aide d un tableur, on a obtenu sur le graphique 1 représentant ce profit, et sur le graphique 2, les courbes de niveau d «iso profit» de ce producteur. B A Graphique 1 C Graphique 2 1. Lire les coordonnées des points A, B et C de la surface de profit 2. Repérer le point D représentant le profit réalisé pour 6 tonnes de produit Gloubi et 8 tonnes de produit Boulga. Quel le profit pour ce couple de production? 3. Tracer en rouge la courbe de niveau. 4. Lire deux couple ( ) de production donnant un profit nul. 5. D après ces graphiques quelle quantité maximale de produit Boulga peut-on produire pour que le profit soit positif ou nul? Même question pour le produit Gloubi. Pour ce couple de production, a t on un profit positif?

6 Exercice Partie A La figure ci dessous représente la surface S d équation avec [ ; 1] et [ ;1]. 1. a) Le point A(2;6;7) appartient-il à la surface S? b) Placer, sur la figure ci-dessus, le point B d abscisse 2 et d ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la cote du point B? 2. a) Soit. Exprimer alors sous 1a forme puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation. b) Sur la figure 2, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan ( ) d une courbe de niveau d ordonnée constante. Déterminer la valeur de.

7 Partie B La fabrication d un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B. On note : la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d heures ; la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d heures ; La quantité produite (en tonnes) est donnée par avec [ ; 1] et [ ;1]. Les contraintes, liées aux horaires de travail, font que la somme des durées fonctionnement des deux machines A et B est de neuf centaines d heures. 1. On cherche à maximiser la production sous cette contrainte. a) Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction définie sur l intervalle ];1] par. b) En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d obtenir une production maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes. 2. La direction de l entreprise envisage d augmenter d une centaine d heures la somme des durées de fonctionnement des deux machines. La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (xoy) d une partie de la surface S d équation. a) Représenter sur la figure 3 les contraintes et. b) Quelle sera la conclusion de la direction de l entreprise?

8 Exercice 1 : Asie juin 26 On a représenté la surface (S) d équation, avec x [; 1,5], et y [; 1,5]. Partie A Exploitation du graphique. On considère le plan (P) d équation z = 6. On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l entreprise doit produire par mois pour 1. Sur la figure, placer le point A de coordonnées (1; 1; 6). 2. Surlignez en couleur la partie visible de l intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée. Partie B Recherche d un coût minimum. minimiser ce coût. 1. La production mensuelle totale est de deux milliers de composants. On a donc x + y = 2. Exprimer C(x ; y) en fonction de la seule variable x. On note f la Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs fonction ainsi obtenue. Vérifier que. dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs. On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois. Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d euros, est donné par : C(x ; y) = 3(x² + y) 2. Montrer que sur l intervalle [; 1,5], la fonction f admet un minimum atteint pour x =,5. 3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production? Quel est ce coût? 4. Placer sur la figure le point K correspondant au coût minimum ,2,4,6,8 1 x 1,2 1, y Exercice 2 Soit f la fonction définie pour tout réel x de [ ; 1] et pour tout réel y de [ ; 12] par :. On donne la représentation de la surface dans (O;,, ). Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d une association décident de fabriquer des cartes de vœux. Pour produire une quantité z de paquets de cartes, ils utilisent x décilitres d encre A et y décilitres d encre B. On admet que x, y et z sont liés par la relation où x est un nombre entier entre et 1, et y un nombre entier entre et 12. Les quantités d encre seront exprimées en décilitres. Partie A 1. (a) Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d encre A et 8 décilitres d encre B? (b) Donner la quantité d encre A, la quantité d encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement aux points M, P et R à coordonnées entières, de la surface donnée. 2. Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d équation x = 4, parallèle au plan (O ;, )? Justifier. Partie B Le prix d un décilitre d encre A est 6 et celui d un décilitre d encre B est 2. L association décide d investir 46 dans l achat des encres. 1. Donner la relation entre les quantités x et y d encres A et B achetées pour un montant de Montrer alors que. 3. (a) Quelle quantité d encre A l association achètera-t-elle pour fabriquer le maximum de paquets de cartes? (b) Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués? (c) Quelle quantité d encre B sera alors utilisée?

9 Exercice 1 : Asie juin 26 CORRIGE On a représenté la surface (S) d équation, avec x [; 1,5], et y [; 1,5]. Partie A Exploitation du graphique. On considère le plan (P) d équation z = Sur la figure, placer le point A de coordonnées (1; 1; 6). donc A S 2. Surlignez en couleur la partie visible de l intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée. Entre la zône verte et la violette Partie B Recherche d un coût minimum. Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs. On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois. Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d euros, est donné par : C(x ; y) = 3(x² + y) On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût. 1. La production mensuelle totale est de deux milliers de composants. On a donc x + y = 2. Exprimer C(x ; y) en fonction de la seule variable x. On note f la fonction ainsi obtenue. Vérifier que. 2. Montrer que sur l intervalle [; 1,5], la fonction f admet un minimum atteint pour x =,5. On obtient le tableau de variation suivant :,5 1,5 + 5,25 Avec 3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production? Quel est ce coût? Le cout est minimum est de 5,25 pour et Soit pour 5 microprocesseurs et 15 cartes mères 4. Placer sur la figure le point K correspondant au coût minimum ,2,4,6,8 1 1,2 x 1, y Exercice 2 Soit f la fonction définie pour tout réel x de [ ; 1] et pour tout réel y de [ ; 12] par :. On donne la représentation de la surface dans (O;,, ). Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d une association décident de fabriquer des cartes de vœux. Pour produire une quantité z de paquets de cartes, ils utilisent x décilitres d encre A et y décilitres d encre B. On admet que x, y et z sont liés par la relation où x est un nombre entier entre et 1, et y un nombre entier entre et 12. Les quantités d encre seront exprimées en décilitres. Partie A 1. (a) Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d encre A et 8 décilitres d encre B? (b) Donner la quantité d encre A, la quantité d encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement aux points M, P et R à coordonnées entières, de la surface donnée. M (8 ; 9 ;16) P (5 ; 11 ;12) R (5 ; 4 ;4) 2. Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d équation x = 4, parallèle au plan (O ;, )? Justifier. donc la section est une droite. Partie B Le prix d un décilitre d encre A est 6 et celui d un décilitre d encre B est 2. L association décide d investir 46 dans l achat des encres. 1. Donner la relation entre les quantités x et y d encres A et B achetées pour un montant de 46. donc 2. Montrer alors que. 3. (a) Quelle quantité d encre A l association achètera-t-elle pour fabriquer le maximum de paquets de cartes? donc On obtient le tableau de variation suivant : Avec Le maximum de paquet est obtenu pour 4 décilitre d encre A. (b) Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués? (c) Quelle quantité d encre B sera alors utilisée? Si donc et

10 Exercice 1 : Asie juin 25 Pour fabriquer un alliage une usine utilise deux métaux A et B en quantités x et y exprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers d euros, est donné par la formule :. La première figure représente la surface d équation z =C(x ; y) pour et. La deuxième figure représente les courbes de niveau de cette surface pour z variant de 2 en Surface d'équation z=c(x; y) Courbe de niveau Partie 1 1. Lequel des points donnés ci-dessous est un point de la surface d équation? M(13; 9; 6) N(12; 4; 4) R(12; 8; 6) S(15; 4; 4) 2. La courbe de niveau est : une parabole ; une droite ; une hyperbole ou autre réponse 3. Déterminer la nature de la courbe de niveau. 4. (a) Déterminer la nature des courbes de niveau. (b) Représenter leurs projections dans le plan (yoz) pour,,,,. Exercice 2 Partie 2 Les métaux A et B sont achetés respectivement,5 et 1 millier d euros la tonne. L entreprise affecte 11milliers d euros à l achat des métaux. 1. Un exemple : Si l entreprise achète 4 tonnes de métal A, combien de tonnes de métal B achète-t-elle? 2. Cas général : Soit x la quantité de métal A et y la quantité de métal achetées. Montrer que x et y sont liés par la relation x +2y = (a) Tracer sur la figure 2 l ensemble des points dont l équation est x +2y = 22. (b) En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investissement de 11milliers d euros, et les quantités correspondantes de métaux A et B achetées. Les questions 2 et 3 sont indépendantes. Une entreprise fabrique deux produits E et F en quantités respectives x et y exprimées en tonnes, pour lesquelles le coût de production z est donné par où z est exprimé en milliers d euros avec x [; 7] et y [; 7]. 1. La surface représentant ce coût est donnée ci-contre. (a) Placer sur cette surface le point A d abscisse 4 et d ordonnée 6. (b) Donner graphiquement un encadrement d amplitude 1 de la cote du point A. (c) Vérifier par le calcul. 2. (a) Montrer que l on a. (b) En déduire la production pour laquelle ce coût est minimal. Quel est ce coût en euros? (c) Placer le point B correspondant à cette production sur la surface. 3. L entreprise doit fabriquer une quantité x du produit E et une quantité y du produit F avec la contrainte. (a) Vérifier que z peut s écrire sous la forme avec x [; 7] et. (b) Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum. Quel est alors le coût de production en euros? (c) Placer le point C correspondant à cette production sur la surface x y

11 Exercice 1 : Liban juin 25 Dans l espace muni d un repère orthonormal (O ;,, ) on désigne par S l ensemble des points M(x ; y ; z) de l espace tel que. On dit que S est la surface d équation z = 3xy. Une courbe de niveau de cote est l intersection d un plan d équation, parallèle au plan (xoy), avec la surface S. On définit de façon identique une courbe de niveau d abscisse et une courbe de niveau d ordonnée. 1. Soient les courbes de niveau d abscisse 1, d abscisse 3/2 et d abscisse 2. Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan (yoz). 2. (a) Quelle est la nature des courbes de niveau d abscisse constante? (b) Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des hyperboles. 3. Sur la figure suivante sont représentées trois courbes C 1, C 2 et C 3 représentant les projections orthogonales dans le plan (xoy) de trois courbes de niveau de cote constante k. Préciser, en le justifiant, la valeur de k associée à chaque courbe. 4. Le point A représenté sur la courbe C 2 de la figure ci-dessous est la projection orthogonale dans le plan (xoy) d un point A(x ; y ; z), de la surface S. (a) Déterminer les coordonnées du point A dans le repère (O ;,, ). (b) Préciser les coordonnées du point A, projeté orthogonal de A dans le plan (yoz), puis placer ce point A sur la figure. 5. Soit P le plan d équation. (a) Montrer que le point A appartient au plan P. (b) Montrer que le plan P contient la courbe de niveau d abscisse 2. (c) Démontrer que l intersection de la surface S et du plan P est la réunion de deux droites : la courbe de niveau d abscisse 2 et une autre droite que l on déterminera par un système d équations cartésiennes. On pourra utiliser la factorisation.