Exercices : étude de fonctions

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1 Eercice 39 page 55 : Eercices : étude de fonctions a) fau, la fonction n est pas continue en 1. b) fau, f(1) = 1. c) vrai d) vrai, la courbe coupe trois fois la droite d équation y = 4. Eercice 42 page 55 : a) Oui la fonction représentée est bien continue sur [0; 7]. b) Non la fonction représentée n est pas continue sur [0; 7]. Cette fonction est continue sur [0;3] et sur ]3;7]. Eercice 44 page 55 : a) C(10) = 4 10 = 40. Le coût total de fabrication de composant est de 4000 euros. C(40) = 4 40 = 160. Le coût total de fabrication de composant est de euros. C(50) = = 400. Le coût total de fabrication de composant est de euros. b) La fonction C est affine sur [10;40] donc elle est continue sur [10;40] et la fonction C est un polynôme sur ]40;50] donc elle est continue sur ]40;50]. Vérifions que les deu morceau se recollent en 40. On a C(40) = 160 et = 250. Donc la fonction C n est pas continue en 40. c) Sur [10;40] la fonction C est affiine avec pour coefficient directeur 4 > 0 donc C est croissante sur [10;40]. Sur ]40;50], la fonction C est une fonction polynôme de degré 2. Le sommet de la parabole a pour abscisse β = b 2a = 75 = 37,5. Donc sur ]40;50] la fonction C est croissante. 2 De plus C(40) Donc C est croissante sur [10;50]. Eercice 48 page 56 : a) Les fonctions f 1, f 3 et f 4 sont continue sur [0;5]. b) Pour tout k [0;4] l équation f 1 () = k admet une unique solution. Si k [0;1], l équation f 2 () = k admet une unique solution. Si k ]1;2,5], l équation f 2 () = k n admet pas de solution. Si k ]2,5;4], l équation f 2 () = k admet une unique solution. Pour tout k [0;4] l équation f 3 () = k admet une unique solution. L équation f 4 () = 0 admet une unique solution. Si k ]0;2], l équation f 4 () = k admet deu solutions. Si k ]2;4], l équation f 4 () = k admet une unique solution. Eercice 40 page 55 : a) fau, si f n est pas continue... b) vrai c) vrai TES-TL Page 1 Eercices : étude de fonctions

2 Eercice 18 page 52 : 1. f (1) = 2 2. f ( 2) = 2 3. f est croissante sur [ 2,5;2]. Eercice 22 page 52 : 1. f( 3) = 1, f ( 3) = 2, f(0) = 0,5, f (0) = 0,75, f(3) = 1, f (3) = 1 2. { 1;2} ( 4? 4?) 3. a) Le coefficient directeur de T 1 vaut 2 donc T 1 a pour équation y = 2+b. Pour trouver b, comme on ne dispose pas de l ordonnée à l origine, on remarque que T 1 passe par le point ( 2;1) donc on a 1 = 2 ( 2)+b et donc b = 5. L équation de T 1 est bien y = b) T 2 : y = 0,75+0,5 T 3 : y = f () + 0 f() Eercice 23 page 52 : a) f () = +3 b) g () = c) h () = 0,6 2 +0, Eercice 24 page 52 : a) f () = b) g () = (6+1)(2+3)+( ) 2 = c) h () = = Eercice 25 page 52 : a) f () = 3(4+5) 4(3+1) (4+5) 2 = b) g () = 2(2+3) 2(2 +1) (2+3) 2 11 (4+5) 2 = (2+3) 2 TES-TL Page 2 Eercices : étude de fonctions

3 Eercice 27 page 53 : a) f (t) = 4(2t 3) t+ (2t 3)2 2 t b) g (q) = 0,6(2q 1) 2 +3 c) h 80 () = 3+ (4+1) 3 = 20t2 36t+9 2 t Eercice 26 page 53 : 1. On applique la formule de dérivée d un produit : f = (u u) = u u+u u = 2 u u 2. On se sert de la question précédente en écrivant f = u u 2 : f = (u u 2 ) = u u 2 +u (u 2 ) = u u 2 +u 2 u u = 3 u u 2 3. a) f () = 2 (2 3) ( 2 3) b) g () = 3 4 (4 1) 2 = 12(4 1) 2. Eercice 17 page 52 : a) vrai, f est décroissante sur [ 1; 1]. b) fau, f (1) = 0 car en 1 la fonction a un maimum. c) vrai, tableau de variation. d) vrai, f est croissante sur [ 3; 1] et f( 3) = 2. e) fau, f est croissante sur [1;4]. f) vrai, f est croissante sur [1;4] et f(1) = 1 > 0. Eercice 28 page 53 : a) f () = 8+12 f () f() b) f () = f () f() TES-TL Page 3 Eercices : étude de fonctions

4 c) f () = 0, f () f() Eercice 31 page 53 : 1. C() = f() = B() = R() C() où R() désigne la recette c est à dire R() = 950. Donc B() = a) B () = Lorsqu on résout B () = 0 on trouve deu solutions 1 = ,32 et 2 = ,67. On a donc le tableau de variations 6 6 suivant : B () 0 B() 241 B( 2 ) B( 1 ) On a B( 1 ) 20392,3 et B( 2 ) 392,3. b) Le bénéfice est donc maimale pour 1 kg de truffes soit environ 37,3 kg de truffes. Ce bénéfice vaut environ euros (B( 1 ) 20392) Eercice 55 page 57 : 1. f est dérivable sur [0;5] comme somme de fonctions dérivables. f est de la forme u+v avec u() = 2 et v() = On sait que (u+v) = u +v Pour tout [0;5], on a u () = 2. Pour calculer v, on remarque que v est de la forme k w où k = 10 et w() = +1 donc w () = 1. ( ) k De plus on sait que = k w w w. 2 On a donc, pour tout [0;5], v () = 10 (+1) 2. Ainsi, pour tout [0;5] : f () = (+1) 2 = 2(+1)2 10 (+1) 2 = 2(2 +2+1) 10 (+1) 2 = (+1) 2 TES-TL Page 4 Eercices : étude de fonctions

5 On a bien, pour tout [0;5], f () = (+1) a) g est dérivable sur [0;5] et pour tout [0;5], g () = Pour trouver le signe de g (), on commence par résoudre g () = 0. On a = = 16 > 0 donc l équation admet deu solutions 1 = = et 2 = 8 16 = Comme les deu solutions ne sont pas dans l intervalle [0;5] et que [0;5] est à l etérieur des racines, g () est du signe de 6 sur [0;5] c est à dire strictement positif. Ainsi g est strictement croissante sur [0; 5]. On a de plus g(0) = 10 et g(5) = 350. Donc g est continue et strictement croissante sur [0;5], et 0 est compris entre g(0) et g(5). D après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation g() = 0 admet un unique solution dans l intervalle [0; 5]. g s annule en ne seule valeur a sur [0;5]. b) Sur la calculatrice on voit que g(1,115) < 0 et g(1,120) > 0 donc a 1,12. c) Comme g est croissante sur [0;5] et s annule en a on peut dire que g() 0 sur [0;a] et g() 0 sur [a;5]. On a donc : g() 0 a 5 3. On a vu que f () = g() (+1) 2. Comme, pour tout [0;5], (+1)2 > 0, f () est du même signe de g(). Donc grâce à la question 2. c) on a : f () 0 a 5 f() 0 a a Eercice 35 page 54 : 1. C est dérivable sur [1;4] comme somme de fonctions dérivables. C est de la forme u v + w avec u() = 2, v() = et w() = 4. Pour tout [1;4], on a u () = 2, v () = 1 2 et w () = 0. De plus (u v +w) = u v +w. Donc, pour tout [1;4], C () = = a) Réciproquement tout les réels tels que 1 sont bien solutions. 16 [ [ 1 S = 16 ;+. TES-TL Page 5 Eercices : étude de fonctions

6 b) Sur [1;4] on a donc 4 1 > 0 et 2 > 0 donc C () > 0 et donc C est croissante sur [1;4]. Plus l entreprise fabrique de chats en porcelaine plus cela lui coute cher. Eercice 62 page 58 : a. f est croissante et f est décroissante. b. f est décroissante et f est décroissante c. f est décroissante et f est croissante. d. f est croissante et f est croissante. Eercice 58 page 58 : 1. c. 2. b. Eercice 63 page 58 : 1. Pour trouver le signe de h on peut faire le tableau de signe suivant : 20 4 (+2) 4 h() Grâce au signe de f on peut dire que f est concave sur [0;4] et convee sur [4;10]. 3. Pour = 4, on a f () = 0 et f change de signe. La courbe admet donc un point d infleion au point d abscisse 4 et comme f(4) = 10, il s agit du ( 9 point de coordonnées 4; 10 ). 9 Eercice 64 page 58 : 1. a) f est dérivable sur [ 5;3] car c est une fonction polynôme. Pour tout [ 5;3], f () = +2. f est dérivable sur [ 5;3] car c est une fonction affine. Pour tout [ 5;3], f () = 1. b) g est dérivable sur [ 5;3] car c est une fonction polynôme. Pour tout [ 5;3], g () = 1. g est dérivable sur [ 5;3] car c est une fonction affine. Pour tout [ 5;3], g () = Pour tout [ 5;3], f () > 0 et g () < 0, donc la fonction f est convee et la fonction g est concave sur [ 5; 3]. Eercice 65 page 59 : f est dérivable sur R car c est une fonction polynôme. Pour tout R, f () = 2a+b. f est dérivable sur R car c est une fonction affine. Pour tout R, f () = 2a. Donc on remarque que f () est du même signe que a. Si a > 0 la fonction f est convee sur R et si a < 0 la fonction f est concave sur R. TES-TL Page 6 Eercices : étude de fonctions

7 Eercice 61 page 58 : 1. a) On rappelle que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse 0 vaut f ( 0 ). En utilisant les tangentes tracées on a : f ( 3) = 5 f ( 1) = 0 f (1) = 3 f (3) = 0 f (5) = 3 Il semble donc bien que f soit décroissante sur [ 3;1]. b) f semble donc être concave sur [ 3;1]. On remarque bien en effet que la courbe de f est en dessous de ses tangente sur [ 3;1] avec le cas particulier en 1 où la tangente traverse la courbe. 2. Sur [1;5], de la même façon que dans la question 1. on remarque que f semble être croissante. f semble donc être convee sur [1;5]. 3. Comme on l a vu la tangente en 1 traverse la courbe de f donc le point d abscisse 1 est un point d infleion de la courbe. Eercice 70 page 59 : 1. a) Pour = 2, on a y = 29,2. En 2007 le cours estimé de l action était de 29,2e. b) f() = 0,6 3 7, ,6+10. f est dérivable sur [0;7] car c est une fonction polynôme et pour tout [0;7] on a f () = 1,8 2 14,4+21,6. Pour trouver le signe de f () on doit commencer par résoudre f () = 0. On a = 51,84 > 0. L équation admet donc deu solutions 1 = 14,4+ 51,84 = 6 et 2 = 14,4 51,84 = 2. 3,6 3,6 On a donc le tableau suivant : f () + 0 f() c) En traçant la courbe sur la calculatrice et en regardant plus loin que = 7, on trouve grâce au tableau de valeur que f(8) = 29,2 = f(2). Donc en 2013, le groupe devrait retrouver un cours équivalent à celui de début f est dérivable sur [0;7] car c est une fonction polynôme et pour tout [0;7] on a f () = 3,6 14,4. On a f () = 0 3,6 14,4 = 0 3,6 = 14,4 = 14,4 3,6 = 4. Le tableau de signe de f est le suivant : f () f s annule et change de signe pour = 4. Donc la courbe de f admet un point d infleion au point d abscisse 4. Entre 2005 et 2009 la croissante du cours de l action était ralentie et entre 2009 et 2012 elle était accélérée. TES-TL Page 7 Eercices : étude de fonctions

8 Eercice 69 page 59 : 1. D après le cours, l équation de la tangente au point d abscisse 2 vaut : y = f (2)( 2)+f(2). f est dérivable sur [1;5] car c est une fonction polynôme et pour tout [1;5] on a f () = Donc f(2) = 2 et f (2) = 1. Ainsi l équation de la tangente est : L équation réduite de la droite D est y =. y = ( 2) 2 y = 2. a) On a d une part, pour tout [1;5], f() ( ) = = D autre part pour tout réel, ( 2) 2 = ( 2) ( 2) 2 = ( 2) ( 2 4+4) = On a donc bien, pour tout [1;5], d() = f() ( ) = ( 2) 3. b) ( 2) 3 est du même signe que 2. Donc si [1;2], d() 0 et si [2;5], d() 0. c) Le signe de f() ( ) nous donne la position de C par rapport à la droite D. D après la question précédente, sur [1;2] la courbe est en dessous le la tangente et sur [2;5] la courbe est au dessus de la tangente. 3. Ainsi au point d abscisse 2 la tangente traverse la courbe, ce qui signifie que le point d abscisse 2 est un point d infleion de la courbe. f est dérivable sur [1;5] car c est une fonction polynôme et pour tout [1;5] on a f () = De plus f () = = 0 6 = 12 = 12 6 = 2. Le tableau de signe de f est le suivant : f () f s annule et change de signe pour = 2. Donc on retrouve que la courbe de f admet un point d infleion au point d abscisse 2. Eercice 53 page 57 : 1. a) f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur [ 1;4] et on a, pour tout [ 1;4], f () = = 3( 2) On a donc le tableau suivant : f () + 0 f() TES-TL Page 8 Eercices : étude de fonctions

9 b) On en déduit le tableau de variations complet : 3 2 f () a f() On remarque alors que sur [ 1;2] le maimum de f est égal à 1. Donc l équation f() = 0 ne peut pas admettre de solution sur [ 1;2]. Sur [2;4], f est continue et strictement croissante et de plus 0 est compris entre f(2) = 5 et f(4) = 15. Donc, d après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f() = 0 admet une unique solution sur [2; 4]. En conclusion L équation f() = 0 admet une unique solution a sur [ 1;4]. c) Grâce au tableau de variation on a : f() 1 a 4 2. a) Graphiquement on remarque que 3 < a < 4. b) On obtient 3,103 < a < 3,104. Eercice Vrai-Fau : a) vrai, maimum en 4 qui vaut 5 b) fau, g 0 sur [4;10] c) vrai, fonction croissante d) fau, entre 5 et 2 on passe par 6 e) vrai, une entre 5 et 2 et une entre 2 et 1. f) fau, il y en a deu, une entre 5 et 2 et une entre 2 et 4 qui vaut d ailleurs 1 g) vrai, f est croissante sur [ 2;4] donc f (1) 0. h) vrai,f est décroissante sur [4;10] donc f (5) 0. TES-TL Page 9 Eercices : étude de fonctions

10 Eercice Type bac : Partie A : 1. f(0,2) 1,356, f(1) = 2, f(1,2) 1, a) f () = b) On a 4 4 = 0 4 = 4 = 1 et 2 3 = 0 2 = 3 = 3 2. On regroupe tout dans un même tableau : f () + 0 f() a) D après le tableau de variation, sur [0, 2; 1] la fonction f est continue et strictement croissante. De plus 1,9 est compris entre f(0,2) et f(1), donc d après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f() = 1,9 admet une unique solution, notée α, sur [0,2;1]. b) α 0,74. Partie B : 1. a) Grâce à la partie A, on voit que la fonction f admet un maimum pour = 1. Donc l entreprise doit placer son parc à 10km de la côte pour que le bénéfice soit maimal. b) f(1) = 2 donc le bénéfice alors réalisé est de euros par an. 2. D après la partie A, le bénéfice dépassera euros à partir de 7,4km. TES-TL Page 10 Eercices : étude de fonctions