Étude globale des fonctions (C01) Exercices

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1 Étude globle des foctios (C) Exercices Exercice O fixe R et b R vec < b O cosidère ue foctio croisste f : [, b] R b) Motrer que pour tout etier N, l esemble D c := { x [, b] ; f(x+) f(x ) > } est fii b) E déduire que f est cotiue sur [, b] suf, peut-être, e ue ifiité déombrble de poits de [, b] Exercice Etudier sur l itervlle I = R l cotiuité et l dérivbilité des foctios suivtes : ) f : x si( x ) si x et f() = b) g : x x si( x ) si x et g() = c) h : x x si( x ) si x et h() = Ces foctios sot-elles de clsse C sur R? Exercice 3 Soit f ue foctio cotiue et dérivble sur [, + [ O suppose que f coverge vers f() lorsque x ted vers + Motrer qu il existe u élémet c ], + [ tel que f (c) = Exercice 4 Motrer que S = k= k Exercice 5 Etblir les iéglités suivtes : ) l( + x) x, x > b) e x + x, x R c) si x x, x d) x y tg x tg y x y, (x, y) [ π 4, π 4 ] ted vers l ifii qud ted vers l ifii Exercice 6 Soit f : [, b] R ue foctio cotiue, deux fois dérivble sur ], b[ et vérifit : f() = f(b) = et f (x), x ], b[ ) Motrer que f est ue foctio décroisste b) O suppose qu il existe c ], b[ tel que f(c) < Motrer qu il existe y ], c[ et z ]c, b[ tels que f (y) < et f (z) > c) E déduire que f est ue foctio positive Exercice 7 Soit f : R + R + ue foctio borée, deux fois dérivble et vérifit : α > ; α f(x) f (x), x R + ) Motrer que f est ue foctio croisste b) Motrer que f est mjorée pr c) E déduire que f ue limite l e + d) Quelle est l vleur de l? e) Motrer que f coverge vers e décroisst lorsque x ted vers + Exercice 8 O cosidère f : x x lx x : I =], + [ R ) Motrer que f est dérivble sur I Idetifier les esembles f(i) et f (I) b) Motrer que f est ue bijectio de I sur f(i) c) O ote g = f l pplictio réciproque de f Clculer g() et g () Exercice 9 Soit f : [, ] R ue foctio cotiue Pour chque N, o ote g l foctio qui à x ssocie f(x + ) f(x) ) O suppose g (x) > pour tout x [, ] Motrer que f() > f() b) O suppose désormis que f() = f() Motrer que, pour chque N, l foctio g s ule e u mois u poit de l itervlle [, ]

2 Exercice Soiet et b deux réels tels que < b et f C 3 ([, b], R) E ppliqut l formule de Tylor-Lgrge d ue prt etre les extrémités et +b et d utre prt etre les extrémités +b et b, motrer qu il existe c ], b[ tel que : f(b) = f() + (b ) f ( +b ) + 4 (b )3 f (c) Exercice Étt doée ue foctio f : I R défiie sur u itervlle I de R, o ote : N,I (f) := sup t I f(t) ) O se doe ue foctio f : [, + [ R de clsse C O fixe x R + et r > E ppliqut l formule de Tylor u couple de poits (x + r, x), motrer que si f et f sot borées sur R +, lors f est ussi borée sur R + De plus, étblir l mjortio : ( ) N,R+ (f ) r N,R + (f) + r N,R + (f ), r > ) E déduire que : N,R+ (f ) N,R+ (f) N,R+ (f ) Exercice Soit f : R R ue foctio de clsse C p vec p O suppose que f et f (p) sot borées sur R Motrer que pour tout etier k compris etre et p, l foctio f (k) est ussi borée sur R Idictio Sélectioer (p ) réels disticts otés h,, h p puis évluer pour tout x R les expressios P x (h i ) := p h k i k= k! f (k) (x) e foctio des bores de f et f (p) sur R Exercice 3 Soit f : R R ue foctio cotiue telle que : ( ) f ( ) ( ) x+y f(x) + f(y), (x, y) R ) O suppose que f est ps covexe Motrer qu il existe R et b R vec < b et : f(t + ( t) b) > t f() + ( t) f(b), t ], [ b) E risot pr l bsurde, motrer que toute foctio f cotiue vérifit ( ) est covexe Justifier le OUI ou doer u cotre- Exercice 4 Les ffirmtios suivtes sot-elles exctes? exemple ) Si f est covexe, lors l foctio x f(x) x est covexe b) Si f est covexe et g est cocve, lors f g est cocve c) Si f et g sot covexes, lors Mi (f, g) est covexe d) Si f et g sot covexes, lors Mx (f, g) est covexe e) Si f est covexe et g cocve, lors f + g est covexe f) Si f est covexe sur R, lors f e peut ps tedre vers e + g) Si f est covexe et si g est covexe croisste, lors g f est covexe Exercice 5 Soit f : [, + [ [, + [ cocve ) Motrer que l foctio x f(x)/x est décroisste sur ], + [ b) Motrer que: (x, y) (R + ), o f(x + y) f(x) + f(y) Exercice 6 Soiet N, x,, x ds ], + [ et y,, y ds ], + [ ) E utilist l cocvité de l foctio logrithme, motrer l iéglité rithmético-géométrique : (x x ) x+ +x b) E déduire que :! ( ) + c) Motrer que : ( i= x i Idictio : Appliquer l questio ) vec x i = ) + ( i= y i ) ( i= (x i + y i ) ) i i+b i puis vec x i = bi i+b i Exercice 7 Soit f : [, b] R ue foctio covexe L objectif de cet exercice est de démotrer que f est écessiremet dérivble sur ], b[ suf, peut-être, e ue ifiité déombrble de poits de ], b[ ) A l ide de l exercice, motrer que f d et f g sot des foctios cotiues suf, peut-être, e ue ifiité déombrble (otée D) de poits de ], b[ c) Motrer que f est dérivble e tout poit x ], b[\d Coclure

3 Exercice 8 Soit f : ], b[ R ue foctio covexe Soit [c, d] ], b[ Motrer que f est ue foctio Lipschitziee sur [c, d] A-t o le même résultt sur ], b[? Exercice 9 Soit f : R R ue foctio covexe Motrer que les seules situtios susceptibles de se produire sot les suivtes : - f est croisste sur R - f est décroisste sur R - il existe R tel que f est décroisste sur ], ] puis croisste sur [, + [ Exercice Motrer que l foctio x l (lx) est cocve sur l itervlle [, + [ E déduire que : l x+y lx ly, (x, y) [, + [ Exercice Motrer que l foctio f défiie sur l itervlle ], π[ e post f(x) = l ( + cos x) est cocve E déduire que : f(x) π x, x ], π[ Exercice Soiet f et g deux foctios de clsse C sur R + O pose g(x) = f( x ) et h(x) = x f(x) Motrer que g est covexe si et seulemet si h est covexe Exercice 3 Soit ( ) N ue suite de ombre réels positifs O pose u = k= k et v = O suppose que l suite (u ) N coverge Motrer que l suite (v ) N coverge ussi k= k k Exercice 4 ) Motrer que pour tout x o : x+ < l(x + ) lx < x b) E déduire que pour tout etier o : l( + ) < < + l c) Posos u = l Motrer que l suite (u ) N est décroisste et covergete Exercice 5 Ett doé y u réel positif et u etier turel pir, motrer que (x + y) = x + y si et seulemet si x = Cs etier turel impir? Exercice 6 Soit C vec > et k Z Idetifier l limite lorsque ted vers + de l suite (u ) N défiie pr u = k Exercice 7 Soit f : [, 3] R l foctio défiie pr : si t = si < t < f(t) = 3 si t = si < t 4 si < t 3 Motrer que f est étgée sur [, 3] et idetifier ue subdivisio dptée à f Exercice 8 Soit f : [, 3] R l foctio défiie u iveu de l exercice 7 ) Clculer 3 f(t) dt puis 3 f(t) dt ) Soit x [, 3] Clculer F (x) = x f(t) dt 3) Motrer que l pplictio F : [, 3] R (vec F (x) défii comme e ) est cotiue sur [, 3] L foctio F est-elle dérivble e tout poit de l itervlle [, 3]? Exercice 9 Soit f ue foctio qui est étgée sur [, ] et qui pred ses vleurs ds l itervlle [, b] où < < b O suppose de plus que f(t) dt = ) Motrer que les foctios f + := mx (f, ) et f := mi (f, ) sot ecore étgées sur [, ] ) Prouver que : f +(t) dt = f (t) dt O ote γ ce ombre 3) Prouver qu il existe θ [, ] tel que : γ mi ( θ b ; ( θ) ) 4) Etblir l iéglité : f(t) dt b f +(t) dt f (t) dt 5) Déduire de ce qui précède l mjortio : f(t) dt b 3

4 Exercice 3 Les foctios f suivtes sot-elles itégrbles u ses de Riem? ) f : [, ] R défiie pr f(t) = [t] où le symbole [t] désige l prtie etière de t { [ ) f : [, ] R défiie pr f(t) = t ] si < t, si t = { 3) f : [, ] R défiie pr f(t) = t si ( t ) si < t, si t = { si t [, ] Q, 4) f : [, ] R défiie pr f(t) = si t [, ] \ Q Exercice 3 Motrer que les foctios f, g et h défiies sur R vi f(x) = x, g(x) = x et h(x) = e x sot itégrbles sur tout itervlle [, b] vec < b E utilist comme ci-dessus des subdivisios régulières, clculer les itégrles f(t) dt, g(t) dt et x h(t) dt (vec x > ) Exercice 3 O pose : S = , N \ {} ) Doer u exemple de foctio f : [, + [ R cotiue positive et croisste telle que : S = j= f( j ) ) O se plce sur l itervlle [ j, j+ ] Etblir l ecdremet : f( j ) j+ f(t) dt j+ f( ), j {,, } j 3) E déduire que : f(t) dt S + f(t) dt 4) Prouver que S coverge lorsque ted vers l ifii vers ue limite fiie l R Clculer l Exercice 33 Clculer l itégrle de f : [, b] R obteue comme limite de sommes de Riem ds les cs suivts : ) f(x) = si x sur [, π ] ) f(x) = cos x sur [, π ] 3) f(x) = α x sur [, b] (o pred α > ) Exercice 34 Motrer que chcue des expressios mises e jeu ci-dessous peut s iterpréter comme ue somme de Riem Idetifier chque fois l foctio qui permet ue telle iterpréttio Clculer lors les limites dot il est questio ) lim k= 3) lim k= e k, ) lim k, 4) lim k k= k= + k + k, ) ( + k Exercice 35 Soit f : [, b] R ue foctio cotiue et positive O pose m := sup { f(x) ; x [, b] } Prouver que : ( b ) f(x) dx = m lim Exercice 36 Soit f : [, ] R ue pplictio strictemet croisste telle que f() = et f() = Clculer : lim f(x) dx Exercice 37 Soit f : [, ] R ue foctio cotiue telle que f(t) dt e pree qu u ombre fii de vleurs lorsque décrit N ) Motrer que f(t) dt e pred qu u ombre fii de vleurs lorsque décrit N 4

5 ) O suppose qu il existe t [, ] tel que f( t) > Trouver ue cotrdictio 3) O suppose que f : [, ] [, ] est différete de f et f E exmit l suite (u ) N obteue e post u = f(t) dt, trouver ue cotrdictio 4) Déduire de ce qui précède que f ou f ou bie f Exercice 38 Soit f : [, ] R ue foctio cotiue pr morceux Trouver ue suite (g ) N de foctios e escliers telle que : lim f(t) g (t) dt = f(+) Exercice 39 Détermier toutes les foctios cotiues f : [, b] R qui vérifiet : b f(t) dt = (b ) sup t [,b] f(t) Exercice 4 Soit f : [, b] R ue foctio itégrble sur [, b] (vec < b) ) O suppose que f est cotiue e u poit x [, b] e lequel f(x ) > Motrer qu il existe u couple de poits (ã, b) [, b] vec ã x b et b ã > justé de fço à ce que b ã f(x) dx > ) E déduire que si f est cotiue positive sur [, b] et telle que b f(x) dx = lors f est idetiquemet ulle 3) O suppose que f est cotiue sur [, b] vec b f(x) dx = Motrer qu il existe c [, b] tel que f(c) = 4) O suppose que f est cotiue sur [, ] vec f(x) dx = Motrer qu il existe d [, ] tel que f(d) = d Exercice 4 Soit f : [, π] R ue foctio cotiue telle que π f(u) cos u du = π f(u) si u du = Prouver que f s ule u mois deux fois sur l itervlle ouvert ], π[ Exercice 4 Soit f : R R ue foctio cotiue sur R et F (x) = x f(t) dt Répodre pr vri ou pr fux ux ffirmtios suivtes : ) F est cotiue sur R ) F est dérivble sur R de dérivée f 3) Si f est croisste sur R lors F est croisste sur R 4) Si f est positive sur R lors F est positive sur R 5) Si f est positive sur R lors F est croisste sur R 6) Si f est T -périodique sur R lors F est T -périodique sur R 7) Si f est pire lors F est impire Exercice 43 Idetifier toutes les primitives des foctios f sélectioées ci-dessous i) f(x) = (tg x) ; ii) f(x) = /(x lx) ; iii) f(x) = x/ x + ; iv) f(x) = /(3 + e x ) ; v) f(x) = (x )/(x + x + ) ; vi) f(x) = (x + )/(x 3 x 4) Exercice 44 Soit Φ : [, b] R ue foctio mootoe croisste Soit λ R Pour x [, b], o pose f(x) := λ + x Φ(t) dt Soiet y, y et y trois poits de [, b] ) Motrer que pour y < y < y b, o : (y y ) y y Φ(t) dt (y y ) Φ(y ) (y y) (y y) ) Motrer que pour y < y < y, o : (y y ) y y Φ(t) dt (y y ) Φ(y ) (y y ) (y y ) 3) Motrer que pour y < y < y b, o : (y y) y y Φ(t) dt (y y) Φ(y) (y y ) (y y ) 5 y y y y Φ(t) dt y y Φ(t) dt Φ(t) dt

6 4) O fixe y ], b[ Déduire de ce qui précède que l pplictio G : [, b] \ {y} R qui à x ssocie le quotiet ( f(x) f(y) ) /(x y) est croisste sur [, b] 5) Motrer que f est covexe sur [, b] 6) O fixe y ], b[ Que vut f g (y)? Et f d (y)? Exercice 45 Clculer l ire de l régio délimitée pr les courbes dot les équtios sot y = x / d ue prt et y = /( + x ) d utre prt Exercice 46 Soit f ue foctio dérivble sur [, ] vérifit les trois coditios suivtes : i) f ; ii) f est décroisste ; iii) f() = et f() = Idetifier le plus grd ombre m et le plus petit ombre M dot lieu à l ecdremet m f(t) dt M Peut-il y voir églité Exercice 47 Soit f ue foctio de clsse C sur [, b] à vleurs ds R O suppose que f() = f(b) = b ) O pose M := sup f (b ) (t) Etblir l iéglité : f(t) dt M t [,b] 4 ) Ds quels cs -t o églité? Exercice 48 Soit f : [, ] R ue foctio de clsse C telle que f (t) pour tout t [, ] Etblir l iéglité: ( f(t) 3 dt f(t) dt) Exercice 49 Clculer l dérivée de l pplictio x G(x) = x x /( + t + t 4 ) dt Exercice 5 O pose F (x) = x /l t dt x ) Quel est l esemble de défiitio de F? L foctio F est-elle cotiue? L foctio F est-elle dérivble sur so esemble de défiitio? ) Détermier lim x + F (x) e comprt l foctio F à H(x) = x Exercice 5 (Itégrles de Wllis) Pour N, o pose I := π (si t) dt ) Etblir ue reltio de récurrece etre I et I + ) E déduire I p et I p+ 3) Motrer que l suite (I ) N est décroisste et strictemet positive 4) E déduire que les suites (I ) N et (I + ) N sot équivletes 5) Clculer I I + et motrer que les suites (I ) N et ( ) π Exercice 5 Pour N, o pose I := ( t ) dt ) Etblir ue reltio de récurrece etre I et I + ) Clculer I 3) E déduire l vleur de l somme k= Exercice 53 ( ) k k+ Ck N x /(t l t) dt sot équivletes ) Motrer que l pplictio ψ : [l, l5] [, ] qui à x ssocie e x est de clsse C et qu elle dmet ue pplictio réciproque (otée ϕ) qui elle ussi est de clsse C ) A l ide du chgemet de vrible (défii pr ϕ), clculer l vleur de l itégrle I = l5 ex dx l 6

7 Exercice 54 Soit f : [, b] R ue focio strictemet croisste et de clsse C O cosidère les deux itégrles I = b f(t) dt et I = f(b) f() f (t) dt ) Rppeler pourquoi f dmet ue foctio réciproque f Quelle est l régulrité de f? ) Effectuer le chgemet de vrible t = f(u) ds l itégrles I 3) Clculer I e foctio de I 4) Fire u dessi figurt f et f puis iterpréter ce résultt géométriquemet Exercice 55 ) A l ide du chgemet de vribles θ = rcsi x R, trouver ue primitive de f : x (R x ) et e déduire l ire dúu disque de ryo R ) A l ide du chgemet de vribles t = ( + x) 6, trouver ue primitive de f : x ( + x x ) 3) A l ide du chgemet de vribles x = + th u, trouver ue primitive de f : x ( (x ) 4 ) Exercice 56 Clculer les itégrles suivtes rctg x i) dx ; ii) ( + ) + x x rctg x dx ; iv) vii) (rccos x) dx ; v) x l x dx ; viii) iii) π 3 ( + x dx ; vi) ) x + 4 x + 7 dx ; ix) x si x dx ; x 4 x dx ; 3 x + (x + ) dx Exercice 57 O désige pr E l esemble des foctios cotiues sur [, ] à vleurs ds R + Pour tout f E, o ote: ( ) ( ) I(f) := f(t) dt f(t) dt et o pose Γ = I(E) = {I(f) ; f E} R + ) Détermier m := if Γ Cette vleur iférieure est-elle tteite? Si c est oui, pour quelles foctios de E t o I(f) = m? ) Que vut le ombre sup Γ? Exercice 58 Soiet, b et r trois ombres réels vec < b et r < L itégrle covergete? Et si r? b dt dt est-elle (b t) r Exercice 59 O fixe N ) E utilist l iéglité l ( + x) x (qui est vlble pour x > ), motrer que : ) E déduire que : ( ) x ( e x + ) x, x [, ] ( ) t dt e t dt ( ) / + t dt 3) O pose I := π (cos θ) dθ O rppelle (voir l exercice 49) que l suite (I ) est équivlete à l suite ( π/ ) Motrer que l itégrle 4) Motrer que e x dx est covergete et vut π/ ( + u ) du est covergete et vut I 7

8 Exercice 6 O cosidère f : R + R ) O suppose que f est ue pplictio cotiue pr morceux possédt ue limite l e + et que l itégrle f(t) dt est covergete Motrer que l = ) O suppose que f est ue pplictio uiformémet cotiue et que l itégrle f(t) dt est covergete Motrer que f(x) ted vers lorsque x ted vers + 3) O suppose que f est ue pplictio uiformémet cotiue Motrer que e i f(t) dt est divergete Exercice 6 Soit f : R + R ue foctio positive, cotiue et telle que l itégrle f(t) dt coverge Etblir le comportemet symptotique: lim x + x x f(t) dt = Exercice 6 Soit f : R + R ue foctio de clsse C telle que les deux itégrles f(t) dt et f (t) dt coverget Motrer que f est borée sur R + Exercice 63 O pose: I x := x dx (x + ) (x + ),, x R+ {+ } ) Motrer que l itégrle géérlisée I + est covergete ) Réduire l frctio rtioelle e élémets simples et clculer I x pour x R + 3) Pourquoi t o: k= ( ) k (k )! ( k)! =? 4) Clculer I + sous l forme d ue somme fiie Exercice 64 Etude d ue foctio défiie pr ue itégrle ) Clculer l itégrle: I := ) Soit R + fixé O cosidère l itégrle: J (t) := t x + x 4 dx x Arctg ( x) + x 4 dx, t R + Motrer que: ) L foctio t J (t) est positive sur R + b) L foctio t J (t) est croisste sur R + c) L foctio t J (t) dmet ue limite fiie f() > lorsque t ted vers + 3) Motrer que, et x étt positifs, Arctg ( x) est iférieur à x E déduire u mjort pour J (t) Comprer f() à I Quelle est l limite de f() lorsque ted vers +? 4) Motrer que l itégrle géérlisée: ϕ() = est covergete, de vleur strictemet positive x ( + x 4 ) ( + x ) dx 5) Etudier suivt les vleurs de b R l ture de l itégrle géérlisée: ψ(b) = x 4 ( + x 4 ) ( + b x ) dx 8

9 6) E ppliqut l formule de Tylor: f C ([, b]; R), c ], b[; f( + h) = f() + h f () + h f (c)/ à l foctio y Arctg (y x), motrer l existece d u c qui s écrit + θ h pour u certi θ ], [ tel que l o it: h x Arctg ( + h) x Arctg ( x) = + x h c x 3 ( + c x ) Pour h < /, motrer l ecdremet: 3 h ψ ( ) f( + h) f() h ϕ() h ψ ( 3 ) E coclure que f() est cotiue et dérivble quel que soit > et que s dérivée vut ϕ() 7) Clculer ϕ() vec > 8) E déduire f() vec > 9) Vérifier le résultt e clcult f() à l ide du chgemet de vrible défii pr x = /u Exercice 65 Quelle est l ture (covergete ou divergete) des itégrles géérlisées suivtes ( ) e si t si t i) si t si dt ; ii) dt ; iii) dt t t t + si t Exercice 66 Quelle est l ture (covergete ou divergete) des itégrles géérlisées suivtes i) cos t t dt ; ii) cos (e t ) dt ; Exercice 67 O cosidère l foctio f : I R défiie pr : f(x) = ( + x) l ( + x) 3/ si x, x I =], + [ iii) cos t t ) Soit J = (α, β) vec α < β + Rppeler ce que sigifie "f est loclemet itégrble sur l itervlle J" ) O prtge l itervlle I selo : I = ], /] [ /, [ ], ] [, + [ Expliquer pourquoi f est loclemet itégrble sur chcu des qutre sous-itervlles isi mis à jour 3) Détermier l limite de f lorsque x I ted vers Quelle est l ture de l itégrle géérlisée f(x) dx? Justifier / 4) Doer u équivlet de f lorsque x ted vers Quelles sot les tures des itégrles géérlisées / f(x) dx et f(x) dx? Justifier 5) Motrer que : f(x) x (l x) 3/, x [, + [ 6) Clculer x (l x) 3/ dx 7) Expliquer pourquoi f est itégrble (c est à dire bsolumet covergete) sur l itervlle [, + [ 8) Quelle est l ture de l itégrle géérlisée f(x) dx? Justifier 9) Quelle est l ture de l itégrle géérlisée ( + x) si x dx? Justifier Exercice 68 Soit f : [, + [ C cotiue telle que l itégrle + f(t) dt soit covergete Motrer que, pour λ >, l trsformée de Lplce de f F (λ) := + e λt f(t) dt est covergete (Idictio : Effectuer ue itégrtio pr prties e itroduist l primitive φ(t) = t f(s) ds de f sur [, + [ qui s ule e t = ) dt 9

10 Exercice 69 Soit f : [, ] R ue foctio cotiue strictemet positive Pour α R, o pose : ( ) F (α) := f(t) α α dt ) Motrer que lim α + F (α) = sup t [, ] f(t) ( ) ) Motrer que lim α F (α) = exp l [f(t)] dt (O pourr motrer que l foctio H défiie pr : H(α) := [f(t)]α dt est de clsse C et clculer s dérivée) 3) Que se psse-t-il pour f : [, b] R cotiue strictemet positive?