Études de fonctions Annales
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- Pierre-Marie Rochefort
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1 Terminale 8 STG 009/00 Exercices Études de fonctions Annales Exercice CGRH Pondichéry, avril 007 Lors d une compétition d atlhlétisme, un entraîneur analyse la technique d un lanceur de poids, et plus particulièrement la trajectoire du poids lors du lancer. n considère la fonction f donnée par f(x) = 0,08x + 0,8x +,9 pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0; ]. Cette fonction donne la hauteur (en mètres) du poids en fonction de la variable x (exprimée également en mètres). Cette variable x mesure la longueur entre les pieds du lanceur et l ombre au sol du poids (en considérant que cette ombre au sol est à la verticale du poids). f(x) x / Recopier et compléter, à l aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront donnés au centimètre près. x (en mètres) 0 0,5,5,5 4,5 5 5,5 6 6, f(x) (en mètres) / Dériver la fonctionf. / Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle [0; ]. 4/ Déterminer la hauteur maximale atteinte par le poids (au cm près). 5/ À quoi correspond la (ou les) valeur(s) dex, solution(s) de l équationf(x) = 0 sur l intervalle [0; ]? 6/ a) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0; ], b) Quelle est la longueur du lancer? f(x) = 0,08(x + )(x ). Exercice CGRH France, juin 007 Dans une petite entreprise, la fabrication journalière de x objets impose un coût de fabrication par objet en euros, notéf(x). Cet objet étant vendu e, le chiffre d affaires en euros, réalisé par l entreprise par la vente de x objets, est donc le nombre réel g(x) = x. n définit ainsi deux fonctionsf etg. Partie A n a tracé ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ; le nombre d objets est placé en abscisse et le coût de fabrication en euros est porté en ordonnée. Études de fonctions Annales /9
2 Terminale 8 STG 009/00 Exercices C Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : / Quel est le coût de fabrication pour une production journalière de 5 objets? Quelle autre quantité d objets fabriqués donne le même coût de fabrication? / Quelle production journalière correspond à un coût de fabrication de 55 e? / Pour quelle quantité d objets fabriqués le coût de fabrication n excède-t-il pas 05 e? Dans le repère précédent, tracer la droite d équation y = x et déterminer graphiquement combien l entreprise doit fabriquer d objets pour être bénéficiaire. Partie B Dans la suite de l exercice, on admet que la fonctionf est définie pour tout nombre réel x de l intervalle [0; 50] par : f(x) =x 40x / Montrer que, pour tout nombre réelxde l intervalle [0 ; 50], g(x) f(x) = x + 5x 480 / n désigne parb la fonction définie sur [0; 50] parb(x) = x + 5x 480. a) Déterminer la fonction dérivéeb deb sur [0; 50]. b) Étudier son signe et en déduire le tableau de variations deb sur [0; 50]. / En déduire le bénéfice maximal que l entreprise peut réaliser, en précisant la production journalière correspondante. Comment peut-on retrouver ce résultat graphiquement? Exercice CGRH La Réunion, septembre 007 Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par : C(x) =x + 50x + 00 pour 5 x 40. Études de fonctions Annales /9
3 Terminale 8 STG 009/00 Exercices / L entreprise vend chaque appareil 00 euros. a) Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x objets est égal à :B(x) = x + 50x 00 pourxappartenant à [5; 40]. b)b étant la fonction dérivée deb sur [5; 40], calculerb (x) et étudier son signe, c) Dresser le tableau de variations deb. d) Quel est le nombre d appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l entreprise soit maximal? / Le coût moyen de production d un objet est égal àf(x) = C(x) pourxappartenant x à [5; 40]. a) Montrer quef(x) =x pourxappartenant à [5; 40]. x b)f étant la dérivée de la fonctionf sur [5; 40], montrer que : f (x 0)(x + 0) (x) = x pourxappartenant à [5; 40]. c) Étudier le signe def (x) et dresser le tableau de variations def. d) Pour quelle valeur dexle coût moyen est-il minimal? Préciser alors sa valeur. e) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira au centime d euro) : x f(x) f) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Unités graphiques : cm pour cinq appareils en abscisse, cm pour 0 euros en ordonnée. Exercice 4 CGRH Polynésie, septembre 007 Partie A n considère la fonction f définie sur l intervalle [0; 0] par f(x) = 0,4x + 4x 8. / a) Calculerf (x) oùf désigne la dérivée de la fonctionf. b) Étudier le signe def (x) pour tout nombre réelxde l intervalle [0; 0]. c) En déduire les variations de la fonctionf sur l intervalle [0; 0]. d) Quel est le maximum de la fonctionf sur l intervalle [0; 0]? / La feuille de calcul ci-dessous, extraite d un tableur, donne les images par la fonction f de quelques valeurs de l intervalle [0; 0]. A B x f(x) = 0,4x + 4x ,4 4,6 5 0,4 6 4, , ,4 0 8,6 9 4,4 0 8 Études de fonctions Annales /9
4 Terminale 8 STG 009/00 Exercices Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, faut-il écrire en B pour compléter la colonne B? Partie B Une petite entreprise fabrique des piscines hors sol. Pour des raisons de stockage la production mensuelleq est comprise entre 0 et 0 unités. Le coût total de fabrication mensuel, exprimé eu milliers d euros, est donné par la fonctionc définie sur [0 ; 0] par : C(q) = 0,4q +,5q + 8. Chaque piscine est vendue 5,5 milliers d euros. / Calculer la recette puis le bénéfice correspondant à piscines. / Montrer que le bénéfice mensuel B(q), exprimé en milliers d euros, est définie sur [0; 0] par B(q) = 0,4q + 4q 8. / En utilisant la partie A : a) Déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif. b) Déterminer le nombre de piscines à fabriquer et à vendre mensuellement pour que le bénéfice soit maximal. c) Quel est alors ce bénéfice maximal? Exercice 5 Mercatique Antilles, septembre 007 n considère une fonctionf définie et dérivable sur l intervalle [ 5 ; 5]. n note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d unité cm. Le tableau de variations def est le suivant : x Variations de f 4 n précise les valeurs suivantes concernantf et sa fonction dérivéef : f(0) =,5 f() = 0 f ( 5) = f (5) = / Quel est le maximum def sur l intervalle [ 5 ; 5]? / Quelle est la solution de l équationf(x) = 0? / Quel est le signe du nombref (0)? 4/ Établir une équation de la tangente à C au point d abscisse 5. 5/ Tracer sur une feuille de papier millimétré une courbe représentative possible de la fonction f respectant l ensemble des informations fournies dans l énoncé. Exercice 6 CGRH Nouvelle Calédonie, novembre 007 Une coopérative désire optimiser la production de son unité de tri de pommes. Ce tri consiste à écarter les pommes avariées de l ensemble des pommes. n désigne parxle nombre de centaines de pommes triées par heure. n suppose que le nombre de pommes avariées non écartées à l issue du tri est une fonction dex, notéef, telle que lorsque x appartient à l intervalle [4; 50]. f(x) =x 84x + 87 Études de fonctions Annales 4/9
5 Terminale 8 STG 009/00 Exercices / a) n désigne parf la fonction dérivée de la fonctionf. Déterminerf (x). b) Étudier le signe def (x) et en déduire les variations def sur l intervalle [4; 50]. / Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x f(x) / Tracer la courbe représentative de la fonctionf dans le plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : cm pour 00 pommes en abscisse à partir de 4 ; cm pour 0 pommes en ordonnée à partir de 00). 4/ La coopérative estime que le tri est satisfaisant si la part des pommes avariées parmi celles acceptées lors du tri n excède pas %. a) Justifier que le nombref(x) doit être inférieur ou égal à x. b) Sur le repère précédent tracer la droite d équation y = x. c) En utilisant le graphique, déterminer le nombre maximal de pommes à trier par heure pour lequel le tri reste satisfaisant. Exercice 7 Mercatique Nouvelle Calédonie, novembre 007 Partie A Les courbes ci-dessous représentent quatre fonctionsf,f,f etf 4 définies et dérivables sur [ ; ]. y = f (x) y = f (x) j j ı ı j j ı ı y = f (x) y = f 4 (x) / n donne ci-dessous les tableaux de signes de ces fonctions. Études de fonctions Annales 5/9
6 Terminale 8 STG 009/00 Exercices Signe a Signe b Signe c 0 0 Signe d Compléter le tableau suivant à l aide de la lettre a, b, c ou d qui convient : Fonction f f f f 4 Tableau de signes / n donne ci-dessous les tableaux de variations de ces fonctions. Variations a Variations b Variations c Variations d Compléter le tableau suivant à l aide de la lettre a, b, c ou d qui convient : Fonction f f f f 4 Tableau de variations / n donne ci-dessous les tableaux de signes des dérivées de ces fonctions. Dérivée a Dérivée b Dérivée c Dérivée d Compléter le tableau suivant à l aide de la lettre a, b, c ou d qui convient : Fonction f f f f 4 Signes des dérivées Partie B Dans cette partie, on considère la fonctiongdéfinie sur [ ; ] par : / Vérifier queg(x) = x x +x+. / Déterminer la dérivéeg deg. Vérifier queg (x) = (x + )( x). g(x) = ( x) (x + ). / Étudier le signe deg sur [ ; ]. En déduire le tableau de variations deg. 4/ En fait la fonctiongest l une des quatre fonctionsf,f,f ouf 4 de la partie A. Quelle est cette fonction? Justifier votre réponse. Études de fonctions Annales 6/9
7 Terminale 8 STG 009/00 Exercices Exercice 8 CGRH Polynésie, juin 008 Une étude de marché s intéresse à l évolution de l offre et de la demande d un certain produit en fonction du prix unitaire x, exprimé en euros. Pour un prix unitaire dexeuros, compris entre et 0 le nombre de produits demandés est modélisé par f(x) = 0,05x 4x + 80,8 et le nombre de produits offerts est modélisé par g(x) = x + 6 Les courbesc f etc g, tracées sur le graphique ci-dessous représentent respectivement les fonctionsf etg C f C g / Déterminer graphiquement le nombre de produits offerts et le nombre de produits demandés lorsque que le prix du produit est de 8e. Vous ferez apparaître sur le graphique les tracés utiles. / a) Calculer la dérivéef de la fonctionf. b) Étudier le signe def et en déduire les variations def sur l intervalle [; 0]. c) Donner une interprétation économique des variations de f. / n appelle prix d équilibre d un produit, le prix pour lequel l offre et la demande sont égales. a) Déterminer graphiquement le prix d équilibre de ce produit. b) n se place au prix d équilibre, quel est alors le nombre de produits demandés (et donc aussi offerts) et le chiffre d affaires réalisé? Exercice 9 CGRH France, septembre 008 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque bonne réponse rapporte point, chaque réponse incorrecte retire 0,5 point, une question sans réponse n apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l exercice est 0. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. n donne le tableau de variations d une fonctionf définie et dérivable sur [ 0 ; 4]. Études de fonctions Annales 7/9
8 Terminale 8 STG 009/00 Exercices Valeurs de x Signe de f(x) Variations de f 4 / n a : A)f positive sur [5 ; 4] B) f positive sur [ 0 ; ] C) f négative sur [ 0 ; 5] / n considère l équation f(x) = 0. Sur l intervalle [ 0 ; 4] A) elle n admet aucune solution B) elle admet une unique solution C) on ne peut pas répondre / n cherche à comparerf( ) etf() : A)f( )>f() B)f( )<f() C) on ne peut pas répondre 4/ La courbe représentative de la fonction f admet au point d abscisse A) une tangente horizontale B) une tangente dont le coefficient directeur est négatif C) une tangente dont le coefficient directeur est positif 5/ Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 est : A)y= 0x + B)y=x + C)y=x + 6/ Une équation de la tangente à la courbe représentative def au point d abscisse 5 est : A)y= 4 B)x = 4 C)y= 0 Exercice 0 CGRH Polynésie, septembre 008 [ ; ]. Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte vaut point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. Si le total des points et négatif, la note de l exercice est ramenée à 0. n donnec f la représentation graphique d une fonctionf définie et dérivable sur l inter- valle C f admet une tangente horizontale aux pointsa( ; 0) etc(0 ; 4). D est la tangente àc f au pointb( ; ). D passe par le point de coordonnées (0 ; 5). Études de fonctions Annales 8/9
9 Terminale 8 STG 009/00 Exercices D A 4 C f B 4 C [ ] / Le nombre de solutions sur l intervalle ; de l équationf(x) = 0 est : a. b. c. [ ] / Les solutions sur l intervalle ; de l équationf (x) = 0 sont : a. et b. et 0 c. et 0. / Le nombre dérivéf ( ) est égal à : a.,5 b. c. 4/ Une équation de la droitedest : a. y = x b. y = x 5 c. y = x 5. 5/ La représentation graphique de la fonction dérivéef de la fonctionf est : C C C a. b. c. Études de fonctions Annales 9/9
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