Boubacar MANÉ. Série d exercices de Mathématiques : L Oasis Des Mathématiques. Étude de fonctions à variable réelle dansr : Énoncé des exercices

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1 Séri d rcics d Mathématiqus : Étud d fonctions à variabl réll dansr : Énoncé ds rcics Ercic Soit la fonction numériqu f défini par : f )= a) Détrminr l nsmbl d définition D f t ls its au borns. b) Détrminr ls réls a, b t c tls qu D f, f )= a+ b+ c +.. a) Montrr qu la droit ) : y = 4 st un asymptot obliqu à C f ) n t n. b) Étudir la position d C f ) par rapport à ). 3. Construir C f ) ainsi qu touts ls asymptots. Ercic On donn ls fonction d raccordmnt f t g définis par : + si > 0 si > a) f )= b) g )= 3 si 0 si Dans chacun ds cas : Détrminr l nsmbl d définition puis ls its au borns. Étudir la continuité t la dérivabilité au points d raccordmnt. Calculr ls dérivés puis étudir lurs signs. Drssr lurs tablau d variation puis construir lurs courbs rprésntativs. Ercic 3 4 Soit f la fonction défini par f ) = +. Détrminr l nsmbl d définition puis ls its au borns.. a) Détrminr la dérivé f d f. b) Drssr l tablau d variation d f. [ [ 3. a) Montrr qu f réalis un bijction d 4 ; sur un intrvall J à précisr. b) Montrr qu f admt un bijction réciproqu f. Détrminr D f. c) Eplicitr f ). 4. Construir ) ) ) C f t C f dans un mêm rpèr orthonormal O; i, j. Boubacar MANÉ boubacarman.jimdo.com pag : Boubacar MANÉ

2 Ercic 4 Soit g la fonction défini [ ; [ par g )= +.. Détrminr l sign d g ).. Soit la fonction f défini sur [ ; [ par f )= +. a) Montrr qu [ ; [, f )= g ) +. b) Détrminr ls variations d f. c) Montrr qu,5 st un maimum d f. d) Montrr qu f st un bijction d [0; 3] sur [ ; ]. ) Montrr qu l équation f ) = 0 admt un solution uniqu α [0; 3]. ) 3. Construir C f ) dans un rpèr orthonormé O; i, j. Ercic 5 Soit la fonction numériqu défini par f )=.. Montrr qu, pour tout élémnt d l nsmbl d définition d la fonction f, on a f ) > 0.. On donn un fonction g défini par g )=. a) Donnr l nsmbl d définition D g d la fonction g puis détrminr ls its au borns. b) Étudir la parité d g. c) Donnr ls points d intrsction d C g ) t la droit D) : y =. 3. Montrr qu D f, g )= f ). 4. Drssr l tablau d variation d g. 5. Soit h la rstriction d g sur [, + [. Montrr qu h st un bijction d [, + [ vrs un intrvall J à précisr. 6. On not h la fonction réciproqu d h. Construir C g ) t C h ) dans un mêm rpèr orthonormé. Ercic 6 Soit f la fonction défini surrpar f )= 6+ 5 ) ; C f ) st sa courb rprésntativ dans un rpèr O; i, j.. Eprimr f ) sans symbol d valur absolu.. Étudir la continuité t la dérivabilité d f n t n 5. Précisr ls tangnts n cs points. 3. Étudir ls variations d f. 4. Démontrr qu la droit d équation y = 3 st un a d symétri d C f ). 5. Démontrr qu ls droits D ) : y = 3 t D ) : y = + 3 sont ds asymptots obliqus à C f ). 6. Détrminr ls coordonnés ds points A t B, points d intrsction d la courb avc ls du asymptots ; A étant l point dont l absciss st supériur à Soit K l point d coordonné 3; 0). a) Démontrr qu pour tout [; 5], l point M ; f )) st à un distanc constant d K. b) En déduir la natur géométriqu d C f ) lorsqu Tracr C f ) t ss asymptots n faisant figurr ls points A t B. boubacarman.jimdo.com pag : Boubacar MANÉ

3 Séri d rcics d Mathématiqus : Étud d fonctions à variabl réll dans R : Corrigé ds rcics Ercic Domain d définition d la fonction f : f ssi + 0. L domain d définition d la fonction f, D f st donc : Limits au borns d D f : 3+ 5 f )= = + f )= D f =] ; [ ] ; [ = )= 3+ 5 f )= = + = )= f )= 3+ 5 ) = 9 + )="0 " f )= f )= t f )= f )= ) = )="0+ " + f )= t f )= f )= + La droit D ) : = st un asymptot vrtical à la courb rprésntativ C f d f. Continuité : Continuité n : f ) f ), f n st donc pas continu n. + Continuité sur D f : Sur D f =] ; [ ] ; [, f st un fonction rationnll donc continu. Dérivabilité : Dérivabilité n : f n st pas continu n, donc f n st pas dérivabl n. Dérivabilité sur D f : Sur D f =] ; [ ] ; [, f st un fonction rationnll donc dérivabl. Calcul d la dérivé : ] ; [ ] ; [, f ) 3+ 5 )= = 3+ 5) + ) + ) 3+ 5) + + ) f )= 3) + ) 3+ 5) + ) = 3) + ) ) = ) f )= ) boubacarman.jimdo.com pag : 3 Boubacar MANÉ

4 Étud du sign d la dérivé : L sign d f dépnd d son numératur ; f a l mêm sign qu =0 ssi = 4 ou = pour ls détails du calcul, rvoir l programm d la scond) C qui conduit au conclusions suivants : f )>0 ssi ] ; 4[ ]; [, t f st croissant. f )<0 ssi ] 4; [, t f st décroissant. f )=0 ssi = ou = 4, la courb rprésntativ d f, C f admt ds tangnts horizontals au points d abscisss = t = 4. Autr écritur d l prssion d f : Montrons qu f ) put s mttr sous la form f )= a+ b+ c où a, b t c sont ds réls. + Plusiurs méthods sont possibls, mais il st plus rapid d utilisr l algorithm d Hörnr. Il faudra cpndant précisr qu ctt méthod n march qu si l dénominatur d la fonction rationnll st d dgré D où alors a=, b= 4 t c = 9 sont ls réls chrchés, c qui donn f )= Asymptot obliqu : [ ] [ ] 9 f ) 4) = = 0. ± ± + D ) : y = 4 st un asymptot obliqu d C f n t n. Position d C f par rapport à D ) : ) 9 = > 0 ssi >0 ssi <. + Dans ] ; [, D ) st au dssus d C f. Dans ] ; [, D ) st n dssous d C f. Tablau d variation : Tablau d valurs : f ) f y -,8 -,5 -,6 -,5-5 5,5,5,8 Boubacar MANÉ boubacarman.jimdo.com pag : 4 Boubacar MANÉ

5 Rprésntation graphiqu : D ) f )= C f Ω D ) Rmarqu : En obsrvant la rprésntation graphiqu, on rmarqu qu l point Ω ; 5) st un cntr d symétri pour la courb. La démonstration s fait comm suit : Théorèm : f )+ f a ) La courb C f st symétriqu par rapport au point Ωa; b) si t sulmnt si b=. Pour f )= 3+ 5 t Ω ; 5), on obtint : ) 3 ) f )+ f ) ) + )+ b= = = + 0+ ) b= ) = = 0 + ) = 5 Ω ; 5) st bin un cntr d symétri pour la courb C f boubacarman.jimdo.com pag : 5 Boubacar MANÉ

6 Ercic Fonction f f )= Domain d définition : La fonction f st défini ssi 0. L domain d définition d la fonction f st donc : + si > 0 si 0 D f =] ; [ ] ; 0] ]0; [ si ] ; [ ] ; 0] On obtint alors : f )= + si ]0; [ Limits au borns d D f : f )= = =. f )= f )= D ) : y = st un asymptot horizontal à la courb d f C f n. f )= f )= = =. f )= D ) : y = st un asymptot horizontal à la courb d f C f n. = ) = )=. f )= D 3) : = st un asymptot vrtical à la courb d f C f n. = f )= 0 0 = 0. f )= ) + + = )=. f )= D 3) : = st un asymptot vrtical à la courb d f C f n. + + = ) = 0 + f )= = 0. Continuité d f : f )= f ) f ) f n st pas continu n. + boubacarman.jimdo.com pag : 6 Boubacar MANÉ

7 0 f )= f )= f 0)=0 f st continu n Dérivabilité d f : f ) f 0) 0 Sur ] ; [ ] ; 0[ ]0; [, f st continu comm composition d fonctions continus. = f ) f ) = 0 0 Rmarqu : f n st pas continu n donc f n st pas dérivabl n. = ) = si ] ; [ ] ; 0[ + ) = + si ]0; [ f ) = t = = f ) f 0) f ) f 0), donc, f n st pas dérivabl n Sur ] ; [ ] ; 0[ ]0; [, f st dérivabl comm composition d fonctions dérivabls. f ) f 0) =, C f admt un tangnt d équation y = à gauch d f ) f 0) =, C f admt un tangnt vrtical à droit d Donc C f admt un point d rbroussmnt n 0. Calcul ds dérivés : Si ] ; [ ] ; 0[, f )= f + )= ) = ) + + ) Si ]0; [, f )= + f + )= + ) = + ) = + ). Si ] ; [ ] ; 0[, f )= ) ; si ]0; [, f )= + ). Sign d la dérivé : Sur ] ; [ ] ; 0[, f )= < 0 donc f st strictmnt décroissant. ) Si ]0; [, f )= + > 0, alors f st strictmnt croissant sur ]0; [. ) Tablau d variation : f ) f Boubacar MANÉ 0 boubacarman.jimdo.com pag : 7 Boubacar MANÉ

8 Rprésntation graphiqu : C f D ) D ) D 3 ) Boubacar MANÉ boubacarman.jimdo.com pag : 8 Boubacar MANÉ

9 Fonction g si g )= si > Domain d définition d la fonction g : Écrivons la fonction g sans barrs d valur absolu : s annul pour = 0 t pour =, c qui donn l tablau ci-dssous : Condition d istnc d : ssi 0. La condition d istnc d la fonction g st donc : D g =] ; 0[ [0; ] ]; [ ]; [ On obtint donc : g )= si ] ; 0[ + si [0; ] Limits au borns d D f : = g )= g )= = si ]; [ ]; [ = ) = =. = ) )=. g )= = g )= + = g )= + = 0. g )= + + = 0. g )= t g )= g )=0 t g )= g )=0 t g )=0 + boubacarman.jimdo.com pag : 9 Boubacar MANÉ

10 g )= = ) g )= + + = ) + + Continuité d g : = 3 )=. = 3 )=. g )= t f )= + La droit D ) : = st un asymptot vrtical à la courb rprésntativ C g d g. 0 g )= g )= g 0)=0 g st continu n g )= g )= g )=0 g st continu n. + g ) g ) g n st continu n. + Dérivabilité d g : Dérivabilité n 0 : g ) g 0) g ) = = Sur R {0; ; }, g st continu comm composition d fonctions continus. ) = 0 g ) g 0) f ) + ) = = = Dérivabilité n : g ) g ) + = = g ) g ) = ) g ) g 0) = 0 = 0 + ) + = ) = g ) g 0), g n st pas dérivabl n 0. 0 Au point d absciss 0 = 0 on a un point d rbroussmnt. + + ) + + = ) = = ) ) + = g ) g ) = + + = + ) ) = )+ ) + ) ) = + + = = Dérivabilité n : g ) g ) + g ) g ), g n st pas dérivabl n. Au point d absciss 0 = on a un point angulu. g n st pas continu n, donc g n st pas dérivabl n. + Sur R\{0; ; }, g st dérivabl comm composition d fonctions dérivabls. boubacarman.jimdo.com pag : 0 Boubacar MANÉ

11 Calcul d la fonction dérivé d g : Fonction dérivé d g sur ] ; 0[ : Sur ] ; 0[, g )= g )= Fonction dérivé d g sur ]0; [ : Sur ]0; [, g )= + g )= + Fonction dérivé d g sur ]; [ ]; [ : Sur ]; [ ]; [, g )= g )= ) =. ) = + +. ) = ) ) ) = 4+ ). On a alors : g + )= + si ] ; 0[ si ]0; [ 4+ ) si ]; [ ]; [ Sign d la dérivé t sns d variation d la fonction g : Si ] ; 0[, g )= t g ) 0 si t sulmnt si 0 si t sulmnt si 0 Sur ] ; 0[, g < 0 t g st strictmnt décroissant. Si ]0; [, g )= + + t + g ) 0 si t sulmnt si + 0 ] [ Sur 0;, g > 0 t g st strictmnt croissant. ] [ Sur ;, g < 0 t g st strictmnt décroissant. g )=0 si =, on a un tangnt horizontal n P si t sulmnt si + 0 ) ;. Si ]; [ ]; [, g )= 4+ ) t g ) 0 si t sulmnt si 4+ ) 0 si t sulmnt si Sur ]; [ ] ; + 3 [, g < 0 t g st strictmnt décroissant. Sur ] + 3; [, g > 0 t g st strictmnt croissant. g )=0 si = + ) 3, on a un tangnt horizontal n P + 3; Étud ds branchs paraboliqus : g ) = = = ) [g ) )]= [g )+ ]= + = = =. ) + ) boubacarman.jimdo.com pag : Boubacar MANÉ

12 [g )+ ]= = [g )+ ]= 0+ ) = [ g ) + g ) = [g ) ]= )] = [g )+ ]= = 0. = ) [ g ) + )] = 0, D 3 ) : y = + st un asymptot obliqu à C f n. ) = = ) = [g ) ]= = = =. ) = [g ) + )]= [g ) )]= [g ) ] = =0. Tablau d variation d la fonction g : +. [ ] g ) + ) = 0, D4 ) : y = + st un asymptot obliqu à C f n. g g boubacarman.jimdo.com pag : Boubacar MANÉ

13 Rprésntation graphiqu d la fonction g : 4 C f D 3 ) P D ) Boubacar MANÉ P D 4 ) boubacarman.jimdo.com pag : 3 Boubacar MANÉ

14 Baccalauréat Séri S Juillt 03 PROBLÈME Ls résultats d la parti A sront utils dans la parti B. PARTIE A ) Montrr qu = 0. 0 ) Soit k : ]0; [ R ln)) a) k st-ll continu sur ]0; [? Justifir la répons. b) Soit K : ]0; [ R 3 4 ln) Vérifir qu K st un primitiv d k dans ]0; [. PARTIE B L plan st rapporté à un rpèr orthonormé O; i, j Soit la fonction f défini par f ) = { si 0 ln) si > 0 ) unité graphiqu cm). ) Détrminr D f, l domain d définition d f. Puis calculr ls its d f au borns d D f. ) a) Étudir la continuité d f n 0. b) Étudir la dérivabilité d f n 0. Intrprétr géométriqumnt ls résultats. 3) Donnr ls domains d continuité t d dérivabilité d f. 4) Calculr la dérivé d f sur son domain d istnc t étudir son sign. 5) Drssr l tablau d variation d f. 6) Montrr qu la droit ) d équation : y = st un asymptot à la courb C f ) d f dans vrs. 7) Précisr la natur d la branch infini d C f ) quand tnd vrs. ) 8) Rprésntr graphiqumnt la courb C f ) dans l O; i, j. Précisr l allur d la courb au point d absciss 0 t tracr. 9) Soit h la rstriction d f à [ ; [. a) Montrr qu h réalis un bijction d [ ; [ sur un intrvall J à précisr. b) Rprésntr graphiqumnt C h ), la courb rprésntativ d h dans ) O; i, j à l aid d C f ). ) O; i, j quand tnd 0) Soit A ) l air du domain du plan déité par =, =, la courb C f ) t la droit D) d équation y =. a) Calculr A ). b) En déduir l air A ) du domain du plan déité par ls droits d équations rspctivs : =, y =, la droit D) t la courb C h ). boubacarman.jimdo.com pag : 4 Boubacar MANÉ

15 Baccalauréat Séri S Juillt 03 Corrigé PARTIE A ) Montrons qu 0 = 0. = = =0. = 0 0 ) a) Sur ]0; [, k st défini comm étant la somm d du fonctions puissanc t logarithm continus, k st donc continu. b) Vérifions qu K st un primitiv d k dans ]0; [. k st continu sur ]0; [ èr Méthod Plus simpl) ) èm Méthod K )= 3 4 ln)+ k)d = ln))d K )= 3 ln) = d [ ] ln)d K )= ln)= k) = ln)d K )=k) On pos u= ln) u = t v = v =, on obtint : [ ] [ ] k)d = ln) + [ ] [ [ ] d k)d = ]+ ln) [ 4 k)d = 3 4 ln) ] +C,C R k)d = [K )]+C,C R PARTIE B f st défini par f ) = { si 0 ln) si > 0 K st donc un primitiv d k sur ]0; [. ) Détrminons D f, l domain d définition d f. Puis calculons ls its d f au borns d D f. R, f ) ist, l nsmbl d définition d la fonction f st doncr. = f )= )= = f )= ln)= ) a) Étudions la continuité d f n 0. f )= 0 0 )= =0 0 ln) f )= + 0 +ln))= 0 + f 0)= 0 0 = =0 0 R, f ), D f =] ; [. = f )= = f )=. [ = ln) ] = 0 0=0 0 + f )= f )= f 0)=0, f st donc continu n 0. + b) Étudions la dérivabilité d f n 0 t intrprétation géométriqu du résultat. f ) f 0) 0 { = f ) = si 0 ln) si > 0 f ) = = f ) = 0 + ln)= f ) f ) alors f n st donc pas dérivabl n Au point O0; 0), la courb d f admt du dmi-tangnts d équations = 0 t y = 0. boubacarman.jimdo.com pag : 5 Boubacar MANÉ

16 3) Domains d continuité t d dérivabilité d f. f st continu surrt dérivabl surr\{0} comm composition d fonctions dérivabls. D après c qui précèd, f st continu surrt dérivabl surr\{0} 4) Calcul d la dérivé d f t étud du sign d la dérivé. { f ) = si 0 )= [ ln)] = ln)+ = ln)+ si > 0 Sur ] ; 0], f ) 0 si t sulmnt si 0 Donc sur ] ; 0], f ) 0 car ] ; 0], t la fonction f st décroissant ] ; 0]. Sur ]0; [, f ) 0 si t sulmnt si ln)+ 0 ln). Donc sur ] 0; [, f ) 0 t la fonction f st décroissant, sur [ ; [, f ) 0 t la fonction f st décroissant. f ) = 0, la courb d f admt un minimum au point d coordonnés ; f )), c st-à-dir l point d coordonnés ; ). { f si 0 f 0 t f ց )= ln)+ si ] 0; [ f 0 t f ց; si [ ; [ f 0 t 5) Tablau d variation d f. f ) f f ր ) Montrons qu la droit ) d équation : y = st un asymptot à la courb C f ) d f dans vrs. f ) )= + + )= = 0. O; i, j Boubacar MANÉ ) quand tnd f ) )=0 ; la droit ) d équation : y = st un asymptot à la courb C f ) d f dans ) O; i, j quand tnd vrs. 7) Natur d la branch infini d C f ) quand tnd vrs. f ) ln) = = ln)= f ) =, C f ) a un branch paraboliqu d dirction [ O y ) boubacarman.jimdo.com pag : 6 Boubacar MANÉ

17 ) 8) Rprésntation graphiqumnt la courb C f ) dans l rpèr O; i, j. C f y = Au point d absciss 0, on a un point d rbroussmnt. O A #» j A #» i y = C h 9) a) Montrons qu h réalis un bijction d [ ; [ sur un intrvall J. f st strictmnt croissant sur [, [, donc h réalis un bijction d [, [ sur J = [, [. 0) a) Calcul d A ). A U a = A U a = alors : A ln)d + d U a = d ln)d = k)d = [K )] ln)d [ ln)] d. Or ln)= k), t K ) st un primitiv d k), c qui donn [ A 3 U a = 4 ] [ 3 ln) or U a = 4cm, on a alors : A = 4 ] ln) 4cm A = [ 3 ln) ] [ ) ) )] cm = 3 ln) 3ln + ln cm [ ] ) ) A = ) cm = 3 cm = 5 cm b) Déduction d l air A ) : Par symétri par rapport à la prmièr bissctric,on a : A = 5 ) cm Boubacar MANÉ A = A = ) 5 cm boubacarman.jimdo.com pag : 7 Boubacar MANÉ