Exercice 1 : études de fonctions économiques
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- Anne-Marie Leblanc
- il y a 7 ans
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1 remière ES2 Corrigé devoir maison n 6 À remettre le jeudi 12/05/2011 Eercice 1 : études de fonctions économiques L entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur eprimée en kilomètre, étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur par la formule : C = Le graphique de l annee 1 donne la représentation graphique de la fonction C. Les deu parties A et B de cet eercice sont indépendantes artie A : Étude du bénéfice Si le marché offre un pri p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l entreprise CoTon pour la vente d une quantité est égal à R =p. 1. Voir graphique de l annee 1. L entreprise CoTon réalise des bénéfices lorsque la droite D 1 est au dessus de la courbe représentative de la fonction C. Or, elle est toujours au dessous de cette courbe. L'entreprise ne peut réaliser de bénéfice en vendant son tissu 400 euros le kilomètres. 2. Dans cette question on suppose que le pri du marché est égal à 680 euros. a. Voir le graphique de l annee 1 En vendant le tissu 680 euros, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice pour une quantité telle que : [2,05;8,65] b. On considère la fonction B définie sur l intervalle [ 0 ;10 ] par : B =680 C B =680 C B = B = B = c. Démontrer que pour tout appartenant à l intervalle [ 0;10 ] on a : B = B' = On en déduit que : B ' = d. Étudions le signe de B ' sur l'intervalle [0;10] Calculons le discriminant : =b 2 4ac On a a=-45, B=240 et c=180, donc : = = /6
2 remière ES2 Corrigé devoir maison n 6 À remettre le jeudi 12/05/2011 Le discriminant est positif donc la fonction B' admet 2 racines distinctes: 1 = b et 2a 2 = b. D'où : 2a 1 = b 2a = = = = = = 54 9 =6 = = = 6 9 = 2 3 roprité : Soit f =a b c. Si le discriminant est strictement positif alors f a la signe de (-a) entre ces racines. Dans ce cas, le discriminant est strictement positif et a est négatif donc -a est positif. B ' 0 [ 2 3 ;6] Dans ce cas, comme [0 ;10]. On en déduit que : B ' 0 [0 ;6] On en déduit le tableau de variations de B f '() + 0 f() -750 B 0 = 750 B 6 =1410 B 10 = Le bénéfice maimum est réalisé pour une quantité de 6 kilomètres de tissu. et il vaut 1410 euros artie B : Étude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production C M mesure le coût par unité produite. C On considère la fonction C M définie sur l intervalle [ 0 ;10 ] par : C M = 1. our tout appartenant à l intervalle ] 0;10 ] on a : C C M = donc : C M = C M = = Donc : = =30 2 = /6
3 remière ES2 Corrigé devoir maison n 6 À remettre le jeudi 12/05/2011 On a démontré que : C 'M = On aurait pu remarquer que C() s'écrit C = u v avec : u = et v = ropriété : u u ' v uv' '= v v 2 On a u = et u ' = = v = et v ' =1 = = = = Développons l'epression = = = = = = On en déduit que : = a. Étudions le signe de 5 pour appartenant à l intervalle ] 0;10 ]. On a : =b 2 4ac avec a=1, b=1 et c=5 Donc : = =1 20= 19 Le discriminant est strictement négatif, la fonction du second degré a toujours le signe de a, qui est positif. ]0;10] 5 0 ]0;10] On a montré que = Or 30; 5 et étant strictement positif sur l'intervalle ] 0;10 ]. est le produit d'un nombre positif et de 5. a donc le signe de 5 b. Tableau de variations de la fonction C M sur l intervalle ] 0;10 ]. 3/6
4 remière ES2 Corrigé devoir maison n 6 À remettre le jeudi 12/05/ C M 415 C M 5 = = =415 c. our quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Le coût moyen est minimal pour une quantité produit de 5 kilomètres Dans ce cas C M 5 =415 et C 5 =2125 Eercice 2 : pile ou face On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On note le côté obtenu à chaque lancer (ile :, ace : ) a) Reproduire et compléter l'arbre ci-dessous pour déterminer tous les résultats. Lancer n 1 Lancer n 2 Lancer n 3 Résultat 4/6
5 remière ES2 Corrigé devoir maison n 6 À remettre le jeudi 12/05/2011 b) On a 8 résultats possibles. c) Calculer la probabilité des événements suivants : A: «On obtient face au deuième lancer» A={;;;} A = 4 8 = 1 2 =0,5 A =0,5 B : «On obtient 3 fois pile» : B={} B = 1 8 =0,125 B =0,125 C : «On obtient 2 fois face» C={;;} C = 3 8 =0,375 C est aussi l'évènement «On obtient une seul fois pile» et on a trois solutions possibles. D: «Les deu côtés sont apparus» D = 6 8 = 3 4 =0,75 Dans ce cas, c'est plus facile de compter les issues de D, «une seule face est apparue» D ={;} d) L'évènement A D : «on obtient face au deuième lancer ET les 2 côtés sont apparus». A D= ; ; A D = 3 8 =0,375 e) L'évènement A D est : «On obtient face au deuième lancer OU on obtient les 2 faces» A D = 7 8 =0,875 Seule l'issue {}n'appartient pas à A D 5/6
6 remière ES2 Corrigé devoir maison n 6 À remettre le jeudi 12/05/2011 ANNEXE 1 in du corrigé 6/6
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