SEMAINE 12 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS

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1 EXERCICE : SEMAINE SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS. Soi la focio ϕ : x x( x. Morer que la suie de focios (ϕ, où ϕ = ϕ ϕ ϕ représee l iérée -ième de ϕ, coverge uiforméme sur ou compac de ], [ vers la focio cosae.. Soi I u segme iclus das ], [. Morer que oue focio f coiue de I vers IR es limie uiforme sur I d ue suie de focios polyômes à coefficies eiers relaifs. O pourra commecer par raier le cas où f es cosae sur I. Source : Aoie CHAMBERT-LOIR, Séfae FERMIGIER, Vice MAILLOT, Exercices de mahémaiques pour l agrégaio, Aalyse, ISBN Soi K u compac iclus das ], [. Alors il exise α avec < α < Pour ou eier aurel, o a alors ϕ (K ϕ ([α, α]. el que K [α, α]. Ue éude rapide de ϕ (faire u dessi [ more la symérie ϕ( x = ϕ(x pour ou x [, ] e le fai que, sur l iervalle, ] (qui es sable par ϕ, l applicaio ϕ es coiue e [ sriceme croissae. O e dédui que ϕ([α, α] = ϕ(α, ] puis, par ue récurrece [ immédiae, ϕ ([α, α] = ϕ (α, ] pour ou IN. Efi, la suie ( ϕ (α ], à valeurs das, [, es croissae (car, sur ce iervalle, sable par ϕ, o a ϕ(x x, majorée doc covergee, e il es alors immédia que sa limie es. De ϕ (K [ ϕ (α, ] avec lim ϕ (α =, o dédui que la suie de focios (ϕ coverge uiforméme sur K vers la focio cosae.. Moros d abord le résula das le cas où f es cosae (f = C sur I : si C =, c es la quesio. puisque les focios ϕ so des polyômes à coefficies eiers relaifs ; o e dédui le résula pour C = pour ou p IN par récurrece sur p e uilisa p le résula suiva : si (f f uiforméme, (g g uiforméme, e si les focios f e g so uiforméme borées, alors (f g fg uiforméme (démosraio évidee ; o e dédui alors le résula lorsque C es u ombre dyadique, c es-à-dire de la forme q avec q Z e p IN. p o more efi que c es vrai pour C réel quelcoque, puisque les ombres dyadiques so deses das IR. Pour ou eier aurel p, o peu ecadrer le réel C ere ses valeurs approchées dyadiques à p près par défau e par excès, qui so les ombres u p = p E( p C e v p = u p + p.

2 Soi f : I IR coiue. O sai (héorème de Weiersrass qu o peu approcher f uiforméme sur I par des focios polyômes (à coefficies réels! : si o se doe ε >, il exise u polyôme P à coefficies réels el que f P ε (où représee d la orme de la covergece uiforme sur C(I, IR. Noos P (x = a k x k. Pour ou ε d k [[, d]], soi Q k Z[X] el que Q k a k (d + e posos Q(x = Q k (xx k. La focio Q es polyomiale à coefficies eiers relaifs e, de x pour ou x I, o dédui par l iégalié riagulaire que f Q ε. Le résula rese vrai, par raslaio, sur ou segme de IR e recora pas Z. Il es faux sur u segme I recora Z car, si k I Z, si (R es ue suie d élémes de Z[X] covergea uiforméme vers f sur I, alors f(k = lim R (k es écessaireme u eier relaif car les R (k so ous des eiers relaifs. k= k= EXERCICE : Méhode de Laplace O admera que + e d = π. Soi f : [, ] IR ue focio sriceme posiive, de classe C, aya e u maximum global sric, e elle que f ( <. a. Démorer que b. E déduire que (o pourra poser u = x. a > x [, ] f(x f( e ax. ( f(x dx + ( + π f( f ( c. Doer u équivale, lorsque x ed vers +, des expressios g(x = a. Pour x [, ] \ {}, o a f(x f( e ax π (si x d e h(x = π e x cos d l ( f(x ax a ( f(x f( x l. f(

3 Or, la focio ϕ : x ( f(x x l es coiue e à valeurs sriceme posiives sur f( chacu des iervalles [, [ e ], ]. Du développeme limié f(x f( = + f ( f( x + o(x, ( f(x o dédui que l = f ( f( f( x + o(x, doc lim ϕ(x = f ( >. La focio x f( ϕ, aisi prologée, es coiue e sriceme posiive sur le segme [, ], doc adme u miimum sriceme posiif m. Pour répodre à la quesio, o peu choisir a = m. ( ( ( u b. Posos I = f(x dx = f du. Cosidéros alors J = ( ( I = f u f( f( du = g IR où, pour ou IN, la focio g es défiie sur IR par ( g (u = f u si u [, ], g (u = sio. f( Chaque focio g g (u = e h(u, où es coiue par morceaux sur IR. Pour u [, ], o a ( h (u = l f u f(. Pour ou u IR fixé, le développeme limié de f à l ordre deux e zéro perme d écrire, lorsque ed vers + : ( u f = + f ( ( f( f( u + o, d où ( l f u f( + f ( f( u e ( f lim g ( (u = exp + f( u. Efi, la majoraio de la quesio a. doe g (u e au, la focio u e au éa iégrable sur IR. O peu doc appliquer le héorème de covergece domiée : + ( f lim J ( = lim g = exp + + f( u du = π f( f ( e uilisa + IR e d = π. Cela fouri bie l équivale demadé pour I.

4 Remarque. Le leceur vérifiera sas peie que, sous les mêmes hypohèses, o a ( + ( π f( f(x dx + f (. c. Das l iégrale g(x, poser = π ( u : o obie g(x = π ( cos πu xdu. O applique la méhode de Laplace avec f(u = cos πu π e cela doe g(x (lorsque x es u x eier aurel, o recoaî les iégrales de Wallis. π De la même faço, o obie h(x x ex. EXERCICE 3 : Défiiios : a. Soi A( ue asserio dépeda d u eier aurel o ul. O appelle probabilié de l évèeme A( le ombre, s il exise lim Card { k [[, ]] A(k es vrai }. b. Ue suie (x de réels es die équiréparie modulo si, pour ous réels a e b avec a < b, la probabilié de l évèeme x E(x [a, b[ es égale à b a. Éocé :. Soi (x ue suie réelle elle que, pour ou eier relaif m o ul, o ai e iπmx k = o( lorsque +. k= Morer que (x es équiréparie modulo.. Soi d u eier, d [[, 9]]. Quelle es la probabilié pour que l écriure décimale du ombre commece par le chiffre d? Source : Aoie CHAMBERT-LOIR, Séfae FERMIGIER, Vice MAILLOT, Exercices de mahémaiques pour l agrégaio, Aalyse, ISBN Pour oue focio f : IR C, coiue par morceaux e -périodique, e pour ou eier aurel o ul, posos S (f = f(x k. L hypohèse es que, pour ou m Z, e oa e m : x e iπmx, o a k=

5 lim S (e m = = e m. + Par liéarié, e comme S (e = = e, o a doc lim S (f = f pour + oue focio f Vec{e m ; m Z}, c es-à-dire pour ou polyôme rigoomérique -périodique. Soi alors g : IR C, coiue e -périodique. Le héorème de Weiersrass rigoomérique perme d approcher g uiforméme par des polyômes rigoomériques -périodiques : si o se doe ε >, o peu rouver f Vec{e m ; m Z} el que g f ε 3 ; o a alors S (g S (f ε 3 pour ou IN e g f g f ε 3 ; soi N u eier el que S (f f ε pour ou N. Par l iégalié riagulaire, o 3 a alors S (g g ε pour ou N. O a doc lim S (g = g pour oue focio coiue e -périodique. + Soie a e b avec < a < b <, soi χ la focio -périodique coïcida sur [, ] avec la focio caracérisique de l iervalle [a, b[. Pour ou ε avec < ε < mi { a, b, b a }, soie ϕ ε e ψ ε les focios -périodiques e coiues défiies comme sui sur l iervalle [, ] : - la focio ϕ ε es ulle sur [, a] e sur [b, ], vau sur [a + ε, b ε], e es affie sur chacu des iervalles [a, a + ε] e [b ε, b] ; - la focio ψ ε es ulle sur [, a ε] e sur [b + ε, ], vau sur [a, b], e es affie sur chacu des iervalles [a ε, a] e [b, b + ε] (faire u dessi!!. Pour ou ε >, o a ϕ ε χ ψ ε, doc S (ϕ ε S (χ S (ψ ε pour ou IN. Soi par ailleurs N u eier el que, pour ou N, o ai S (ϕ ε ϕ ε ε e S (ψ ε ψ ε ε. Comme ϕ ε = χ ε e ψ ε = χ + ε, pour ou N, o a S (ϕ ε χ ε e S (ψ ε χ ε.

6 O a doc les iégaliés ( ( ε S (ϕ ε S (χ S (ψ ε d où S (χ χ χ χ + ε, ε pour N, doc lim S (χ = χ = b a, ce qui prouve que la suie (x es équiréparie modulo (je laisse le leceur méiculeux examier les cas a = ou b =. La codiio doée par l éocé comme codiio suffisae d équirépariio modulo es aussi ue codiio écessaire : c es le crière de Weyl.. L écriure décimale du ombre commece par le chiffre d si e seuleme si p IN d p < (d + p, c es-à-dire si e seuleme si (e oa log le logarihme décimal p IN p + log(d log( < p + log(d + ou ecore si e seuleme si log(d log( E ( log( < log(d +. Or, la suie (x, avec x = log( l = log( = es équiréparie modulo car elle vérifie le crière l de Weyl : l le ombre a = log = l es irraioel car, si o avai a = p q, cela eraîerai q = p, soi q p = 5 p ce qui es absurde, alors, pour ou m Z, la suie (s défiie par s = e iπmx k iπma eiπma = e es borée, doc es o(. eiπma k= La probabilié pour que l écriure ( décimale de commece par le chiffre d es doc p = log(d + log(d = log +. C es la loi de Beford. d EXERCICE 4 : Ue focio coiue parou e dérivable ulle par Soi g la focio -périodique vérifia [ x, ] Pour ou IN, o défii la focio g par Morer que la focio f = + g = g(x = x. g (x = g( x. es coiue sur IR, mais es dérivable e aucu poi.

7 Pour prouver la o-dérivabilié de f e u poi x, o éudiera des aux d accroisseme δ = f(x + h f(x h, avec h = ε où ε {, }. Remarquos que g(x = d(x, Z = (x E + x. La focio g es coiue e borée : g(x, d où, pour ou IN e ou x IR, g (x. Les focios g so coiues sur IR e la série g coverge ormaleme, ce qui assure la coiuié sur IR de la focio somme f. Soi x u réel. Pour ou k IN, la focio g k es k -périodique. Si h = ε avec ε = ±, o a doc g k (x + h = g k (x pour ou k. Doc δ = h + k= [ gk (x + h g k (x ] = h [ gk (x + h g k (x ] k= = ε k[ g( k x + ε k g( k x ]. k= Soi m [ l uique eier relaif el que x appariee à l iervalle m I =, m [ +. Alors l u au mois des deux ombres x e x + apparie aussi à l iervalle I (la différece ere ces deux ombres vau 5 <. Fixos alors ε {, } de faço que x + ε I. Alors, pour ou [ k [[, ]], les ombres [ k x e k x + ε k appariee à[ l iervalle m k, m + p k, qui es iclus das u iervalle de la forme, p + [ avec p Z. Or, das u el iervalle, la focio g es affie de pee ou -, doc k [ g( k x + ε k g( k x ] {, } e δ, somme de eiers apparea à {, }, es u eier relaif de même parié que. O a lim h = e la suie de erme gééral δ = f(x + h f(x e peu pas + h coverger, ce qui coredi la dérivabilié de la focio f au poi x.

8 EXERCICE 5 : Soi la série de focios IN f, où f (x = x O oe f la focio somme de cee série. e IN f (x = x x. a. Morer que f es défiie sur IR \ Z, qu elle es impaire, -périodique e qu elle vérifie x IR \ ( Z f(x = f(x + f x +. (* b. Morer que la focio g : x f(x π coa πx es prologeable e ue focio coiue sur IR. c. E cosidéra le maximum de g sur [, ], morer que g es ulle sur IR. d. E déduire, pour ou x IR \ Z, π si πx = x + + = ( (x + (x a. La covergece simple de la série f sur IR \ Z es immédiae. Chacue des focios f es impaire, doc f es impaire. Il es commode de oer que, pour IN, o a f (x = x + + x. E oa alors S la somme parielle d ordre de la série f, o a S (x = x + k, d où k= S (x + = S (x + doc f es -périodique (faire edre vers +. x + + x, Pour prouver (*, remarquer de même que x IR \ ( Z S (x = S (x + S x + x + +. b. Soi a ], [. Sur [a, a], pour, la majoraio f (x = f (x ( a prouve que la série f coverge ormaleme sur [a, a]. Les focios f éa coiues sur ce iervalle, il e es de même de f, qui es doc coiue sur ], [, e doc sur IR \ Z par périodicié. La focio x π coa πx es aussi défiie e coiue sur IR \ Z, doc g aussi.

9 Au voisiage de zéro, o a π coa πx = + O(x. De plus, x f(x = x + x + = x, cee derière série de focios covergea ormaleme sur ou iervalle [ + α, α] avec < α < grâce à la majoraio x = x ( α. O e dédui (coiuié de la somme e zéro : f(x = x π 3 x + o(x = x + O(x au voisiage de, doc g(x = O(x e zéro ; elle es doc prologeable par coiuié e zéro, avec g( =. Ea -périodique, elle es prologeable par coiuié sur IR. c. La focio x π coa πx es impaire, -périodique e vérifie la propriéé (* (vérificaio facile. Il e es doc de même de la focio g. Mais g es coiue sur [, ], doc g adme u maximum M sur ce segme, aei e u poi x. La relaio (* doe alors ( M = g(x = g x ( x + ( x ( x + + g g + g M. Il e résule que g g ( x = M, puis, par ue récurrece immédiae, que, pour ou IN, ( x = M. La coiuié de g e zéro doe alors M = g( =. La focio g es ulle sur [, ] e, par périodicié, sur IR ou eier. Fialeme, x IR \ Z π coa πx = x + + = x x. d. Il suffi de dériver erme à erme, ce qui es auorisé par la covergece ormale de la série des dérivées sur ou iervalle [a, a] avec < a <, puis par la périodicié. EXERCICE 6 : O rappelle que + e u du = π.. Soi f : IR + IR ue applicaio coiue e borée, avec f(. Doer u équivale de lorsque ed vers +. a = + e f( Das la suie de l exercice, f es ue focio de IR + vers IR, de classe C e borée. Pour ou IN, o pose d

10 + e f( a = d. +. Pour ou IN e f(, o pose c = d. Morer que, pour ou réel α sriceme posiif, c es égligeable deva lorsque ed vers +. α 3. E déduire, pour ou p IN, le développeme asympoique de a : a = ( p (k! π k (k! f (k ( + o. k= k+ p+ Pour cela, o appliquera l iégalié de Taylor-Lagrage à f sur [, ] e o e déduira ue e f( esimaio de b = d Soi M = sup f (o a M > ; l exisece de a pour IN résule de l équivalece IR + e f( f( e zéro e de la majoraio e f( M e qui garai l iégrabilié sur [, + [. E posa = u, o obie a = + ( u e u f du. Pour ou u IR +, o a ( ( u lim f = e + e u u f( e la majoraio u f M e e u u perme d appliquer le héorème de covergece domiée : + ( u + π lim e u f du = f( e u du = + f(, π ce qui codui immédiaeme à la coclusio a f(.. Avec M = sup f, o obie sas difficulé la majoraio IR + + c = e f( d M e, doc c es égligeable deva pour ou α >. α 3. Appliquos l iégalié de Taylor-Lagrage à f sur [, ] : [, ] p f( k= f (k ( k! k M p+ (p +! p+

11 avec M k = sup f (k ( pour ou k IN. Pour ], ] e IN, o muliplie par e e o iègre : b p k= f (k ( k! e posa, pour ou k IN e IN, J k ( = La majoraio + k e d e ( u développeme asympoique à la précisio o remplacées par les iégrales I k ( = J k ( M p+ (p +! J p+(, + + ( k e d. e k d more que, pour obeir, les iégrales J k ( peuve êre p+ k e d, la différece éa égligeable à la précisio demadée, c es-à-dire das l échelle de comparaiso des calcul simple, par récurrece sur k, more que I k ( = k+ + u k e u du = k+ (k! π, k k! avec α >. U α d où le développeme demadé pour b, puisque le rese es de l ordre de J p+ ( ou de I p+ (, égligeable deva lorsque ed vers +. Efi, c = a b éa aussi égligeable deva pour a. p+ p+ (quesio., o rouve le même développeme asympoique