Exercices sur sens de variation des fonctions dérivables. 1 ère S. 13 Étude d une fonction polynôme du troisième degré

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1 ère S Étude des variations de onctions polynômes Dans les eercices à, calculer Eercices sur sens de variation des onctions dérivables '. Dresser le tableau de variation de ; on tracera les lèches à la règle. Calculer les etremums locau éventuels et compléter le tableau de variation. Faire des phrases pour epliquer le sens de variation de la onction. Vériier à l aide d une calculatrice graphique ou d un logiciel de tracé de courbes sur ordinateur. 6 (actoriser ' (actoriser ' ) ) Étude des variations de onctions rationnelles Dans les eercices 5 à, déterminer l ensemble de déinition de la onction, déterminer sur quel ensemble est dérivable et calculer. ' Dresser le tableau de variation de ; on tracera les lèches à la règle. On n oubliera pas de mettre des doubles barres sur la ligne intitulée «Signe de '» et sur la ligne lorsque la onction n est pas déinie. Attention, pour tracer une double barre, on utilise la règle pour tracer un trait continu entre la ligne intitulée '» et la ligne. «Signe de Calculer les etremums éventuels et compléter le tableau de variations. Faire des phrases pour epliquer le sens de variation de la onction. Vériier à l aide d une calculatrice graphique ou d un logiciel de tracé de courbes sur ordinateur. (déterminer d abord le domaine de déinition de ) (actoriser le numérateur de ' ; ne pas oublier les doubles barres) Étude d une onction polynôme du troisième degré On considère la onction : et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé O, i, j (unité graphique : le centimètre). ) Calculer ' en actorisant le résultat et aire le tableau de variations de. Calculer les etremums locau. Faire des phrases epliquant les variations. ) Recopier et compléter le tableau de valeurs :,5 0,5 0 0,5,5 ) Sur un graphique, tracer le repère O, i, j en respectant l unité indiquée au début de l eercice. Placer les points du tableau précédent. Mettre des pointillés et les valeurs sur les aes pour les points correspondant au etremums locau. Tracer les tangentes horizontales en ces points. On rappelle que l on représente usuellement une tangente par une double lèche. ) Tracer C en reliant les points précédents à la main en tenant compte du tableau de variations. On soignera particulièrement l allure de la courbe au voisinage des tangentes horizontales. Contrôler sur la calculatrice graphique ou sur un logiciel de tracé de courbes tel que Sinequanon. On considère la onction déinie par : muni d un repère O, i, j. ) Calculer '. et l on note C sa courbe représentative dans le plan ) Déterminer l équation réduite de la tangente T à C au point A d abscisse 0. ) Déterminer les abscisses des points de C en lesquels C admet une tangente horizontale. (ou ormulation équivalente : Déterminer les abscisses des points de C en lesquels la tangente est horizontale.) 5 On considère la onction : repère O, i, j. ) Calculer '. ) Dresser le tableau de variation de. et l on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un ) Déterminer les abscisses des points de la courbe C en lesquels la tangente est parallèle à la droite d équation y.

2 Les eercices 6 à 9 ne sont pas à aire. Dans chacun des eercices 6 à 9, on donne une onction et l on note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère O, i, j. 6. Démontrer que C admet le point ( ; ) pour centre de symétrie.. 7 Démontrer que C admet le point ( ; ) pour centre de symétrie. 8. Démontrer que C admet le point ( ; ) pour centre de symétrie. Soit ABCDEFGH un cube d arête 0., on construit : Pour tout réel 0 ;0 le point M de [AB] tel que AM ; le point N de [AE] tel que EN ; le point Q de [AD] tel que AQ ; le parallélépipède AMRQNPTS. On note V le volume du parallélépipède AMRQNPTS. Reproduire la igure. ) Eprimer V en onction de. ) Déterminer pour quelle valeur de le volume de AMRQNPTS est maimal. H G 9. Démontrer que C admet la droite d équation réduite pour ae de symétrie ; on suppose que le repère O, i, j est orthogonal. E N S P T F 0 Dans chaque cas, on donne l epression d une onction. Faire le tableau de variation de ; en déduire le meilleur encadrement possible de intervalle précisé dans chaque cas. ) : ) : ) : 9 ; I ; 9 ; I 0 ; 6. ; I ; ) :. ; I ; 8.. pour I, I étant un A M B L unité de longueur est le décimètre. On désire réaliser une boîte en papier qui a la orme d un pavé droit sans couvercle. Pour cela, on dispose d une euille carrée de côté 6. En enlevant dans chaque «coin» un carré de côté (0 ), on obtient le patron de la boîte sans couvercle. On note V le volume de la boîte en dm. Faire une igure. ) Préciser les trois dimensions de la boîte puis eprimer Q D R V en onction de. ) Pour quelle valeur de le volume de la boîte est-il maimal? ) Déterminer à l aide de la calculatrice les valeurs décimales approchées d ordre par déaut des réels pour lesquels le volume de la boîte de 0 dm. C

3 Une boîte de conserve a la orme d un cylindre de révolution. Son volume est de dm. R h On note R le rayon de la base (en dm), h la hauteur (en dm) et S l aire totale (en dm ). Reproduire la igure. ) Démontrer que R h. ) Eprimer S en onction de R. Indication : On pourra réléchir à partir du patron de la boîte de conserve). ) Déterminer R pour que S soit minimale. Démontrer qu alors la hauteur est égale au diamètre.

4 Point-méthode valable pour tous les eercices : : 6 D Corrigé Pour calculer les etremums, on utilise la «orme de base». est dérivable sur car c est une onction polynôme. ' Signe de 6 * Signe de 0 Signe de 0 Signe de ' La onction présente un maimum local en égal à. Remarque : positionner les etremums au bout des lèches. Vériier avec une calculatrice graphique ou avec un logiciel de tracé de courbe sur ordinateur. : D est dérivable sur car c est une onction polynôme. ' 6 0 Signe de 0 Signe de 0 Signe de ' 0 0 On calcule les etremums locau en 0 et en. 0 8 Le tableau de variation ait apparaître deu etremums locau. On ne met que des sur la première ligne car 6 est toujours positi «quoiqu il» arrive. * Ligne acultative car 6 est un nombre strictement positi. On calcule les etremums locau de en et en : : D 7 est strictement décroissante sur l intervalle ] ; ]. est strictement croissante sur l intervalle [ ; ]. est dérivable sur comme onction polynôme. ' Cette epression ne s annule jamais, elle est toujours strictement positive, donc dans la ligne «du tableau récapitulati, on ne met aucun 0. '» est strictement décroissante sur l intervalle [ ; [. La onction présente un minimum local en égal à 7.

5 ' est strictement décroissante sur ; Attention, les deu intervalles sont ermés (il n y a pas de «zone plate» pour la représentation graphique). et sur ; (ne pas dire sur la réunion des deu intervalles). est strictement croissante sur. n admet pas d etremum. 5 : est dérivable sur \ {} comme onction rationnelle (ou même comme onction homographique). Commentaires : Il y a un seul signe sur la ligne «'». Cela peut surprendre de prime abord. La courbe représentative de la onction n admet ni début ni in. Fonction dont l epression est du type a b c d avec a, b, c, d. : D est dérivable sur comme onction polynôme. \ ' La dérivée de ne s annule en aucun réel. ' ' est un polynôme du second degré dont les racines sont (racine évidente) et (obtenue par produit). ' 0 0 Signe de Signe de * 0 dén 59 7 Signe de ' Dans le tableau de variation, on ne met que des valeurs eactes. est strictement croissante sur ;. * Un carré est toujours positi ou nul. On met une double barre dans le tableau de variation au niveau de la valeur interdite. est strictement décroissante sur les intervalle ] ; [ et sur ] ; [.

6 6 : D * est dérivable sur * comme somme de onctions dérivables sur * ou comme onction rationnelle (à condition de mettre préalablement l epression de au même dénominateur, ce qui montre que est bien une onction rationnelle). ' * Seule cette écriture de la dérivée sous orme d un quotient dont le numérateur est actorisé permet de bien étudier le signe de '. 0 ' 0 Variations de On a une double barre à partir du signe de '. Il peut être choquant à première vue de trouver que le maimum de sur l intervalle ; 0 plus petit que le minimum de sur l intervalle 0 ;. Mais il ne aut pas oublier que ce sont des etremums locau de! 0 déno num 0num 7 : D = \ {} est dérivable sur \ {} comme onction rationnelle. \ ' 0 0 dén ' Variations de 8 : D = \ { } est dérivable sur \ { } comme onction rationnelle. \ ' 0 5

7 5 5 ' Variations de 9 : D = \ { } 8 est dérivable sur \ { } comme onction rationnelle. \ { } ' est un polynôme du second degré qui admet pour racines (racine évidente) et (obtenue par produit). On peut aussi calculer le discriminant réduit (en posant a, b, b ', c ). ' b' ' ac ' 0 donc le polynôme admet deu racines distinctes dans : b' ' a b' ' a Remarque : Pour, le prime ne veut pas dire que l on ait le discriminant de! Il signiie «discriminant réduit». 0 dén 0 ' Variations de 9 est strictement croissante sur les intervalles est strictement décroissante sur les intervalles 0 : D = est dérivable sur comme onction rationnelle. ' ; et ;. ; et ;. ' 0 dén

8 = : D = * : eiste si et seulement si D = \ {0 ; } 0 si et seulement si 0 si et seulement si 0 et 0 si et seulement si 0 et est dérivable sur \ {0 ; } comme onction rationnelle (en eet, la onction est une onction polynôme car c est une onction constante). Pour calculer la dérivée, on eectue une réécriture de (). On écrit. \{0 ; } ' ' Variations de 0 dén 0 dén est croissante sur l intervalle ; ; est croissante sur l intervalle ; ; est décroissante sur l intervalle ; 0 ; est décroissante sur l intervalle ]0 ; [. est dérivable sur * comme somme de onctions dérivables sur * ou comme onction rationnelle (à condition de mettre préalablement l epression de au même dénominateur, ce qui montre que est bien une onction rationnelle). * ' 0 ' Var de est strictement croissante sur chacun des intervalles ] ; 0[ et ]0 ; [. Attention, on ne peut pas dire que est strictement croissante sur * (car * est une réunion d intervalles). On vériie le résultat graphiquement. Remarque : est impaire c est-à-dire que *. La courbe représentative admet donc l origine du repère pour centre de symétrie. : D = ) est dérivable sur car c est une onction polynôme. ' ' ' 0 0 ' 0 0 0

9 0 est strictement croissante sur ] ; ] et sur [ ; [. est strictement décroissante sur l intervalle [ ; ]. ) 8 6,5 0,5 0 0,5,5 0,5,75 0,65 0 0, ,5,75,5,75 6,5,5 0,5 0,5,5,75 0,5 0,5,5 0,65,5,75,5 0,875 8) Tracer éventuellement quelques tangentes supplémentaires ain d ainer le tracé. : D = ) Calcul de ' est dérivable sur comme onction rationnelle (quotient d un polynôme de degré sur un polynôme de degré ). ' ) Déterminons une équation de la tangente T à C au point d abscisse 0. C On applique la ormule donnant une équation de tangente (ormule à savoir par cœur). Une équation de T s écrit y ' Or 0 et ' 0. j O i T a donc pour équation y. ) Déterminons les abscisses des points de C en lesquels la tangente est horizontale. Les tangentes horizontales sont les tangentes de coeicient directeur nulle. Lors du tracé d une courbe, après avoir placé les points, on les relie à la main, proprement. ) Tracer les aes. ) Tracer les vecteurs unités. ) Placer les points correspondant au etremums locau, tracer les tangentes horizontales en ces points à la règle ainsi que les pointillés à la règle ain d écrire les valeurs des coordonnées de ces points. ) Placer les points du tableau de valeurs. 5) Joindre le plus harmonieusement possible ces points à la main et non à la règle On résout l équation ' 0 (). () est successivement équivalente à : 0 0 (voir note ci-dessous) ou (obtenue en calculant le discriminant ou, mieu, le discriminant réduit) 6) Prolonger le tracé un peu avant et un peu après. 7) Écrire le nom de la courbe

10 Conclusion : La courbe C admet une tangente horizontale au points d abscisses et. Note pour la ligne 0 : Son discriminant réduit est égal à ' (ormule ' b' ac ). ' 0 donc l équation admet deu racines distinctes dans : ou. 5 : D = \ { } ) Calculons '. est dérivable sur \ { } comme onction rationnelle (c est même une onction homographique, c est-à-dire quotient de deu onctions aines). \ { } ' ) Étudions les variations de. La dérivée de ne s annule en aucun réel. Signe de ) Déterminons les abscisses des points de C en lesquels la tangente est parallèle à la droite : y. Deu droites (non parallèles à l ae des ordonnées) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coeicient directeur. Le coeicient directeur de est égal à. On résout l équation ' (). On se place dans \ { } (ensemble de réérence pour les équivalences). () est successivement équivalente à : Ne pas développer le er membre. ou ou ou ou il s agit bien d une équivalence La courbe C admet une tangente parallèle à la droite d équation y au points d abscisses Commentaire : On déduit le coeicient directeur de à partir de son équation réduite ( y ). et. Signe de 0 dén Signe de ' Formule pour trouver la dérivée d une onction homographique (quotient de deu onctions aines) : a b ad bc ' c d c d La onction est strictement croissante sur les intervalles ; et ;. ( est strictement croissante sur le er intervalle et sur le e intervalle).

11 6 D = \{ } D est centré en. Soit h un réel quelconque. h D h h 0 Dans toute la suite, on suppose que h 0. On eectue les calculs de h et h séparément. h h h h h h h h 6 h h h h h h h h h h h h 6 h h h h h (On peut aussi tout simplement remplacer h par h dans le calcul de h ). h h h h h h 0 h h h h h On en déduit que C admet le point ; pour centre de symétrie. 7 D = Démontrons que C admet le point ; pour centre de symétrie. D est centré en. Soit h un réel quelconque. On eectue les calculs de h et h séparément. h h h h h h h h h h h h h (On remplace h par h dans le calcul de h h h h h h h h On en déduit que C admet le point ; pour centre de symétrie. ) D = \{} 8 Démontrer que C admet le point ( ; ) pour centre de symétrie. D est centré en. Soit h un réel quelconque. h D h h 0 Dans toute la suite, on suppose que h 0. On eectue les calculs de h et h h h h h h h h h h h h h séparément. (On peut aussi tout simplement remplacer h par h dans le calcul de h h h 6h h 0 h h 6 h h h On en déduit que C admet le point ; pour centre de symétrie. 9 D = \{0 ; } Le repère O, i, j est orthogonal. ). Démontrons que C admet la droite d équation réduite pour ae de symétrie. D est centré en. Soit h un réel quelconque. h D h 0 et h h et h Dans toute la suite, on suppose que h et h

12 On eectue les calculs de h et h h h séparément. h h h h h h h h \ ; h h On en déduit que C admet la droite d équation réduite pour ae de symétrie. 0 Principe général : On cherche le minimum et le maimum de la onction sur l intervalle considéré. On peut étudier la onction sur tout entier ou sur l intervalle donné (ce qui, d une certaine manière esy plus simple). Méthode : On étude les variations de sur grâce à la dérivée. On calculer les images des bornes de l intervalle I donné (il s agit chaque ois d un intervalle ermé borné). On en déduit le maimum et le minimum global de sur I. On peut éventuellement dresser le tableau de variations de uniquement sur I. «Le maimum global de sur I est ; le minimum global de sur I est». On conclut par le meilleur encadrement demandé : «Le meilleur encadrement de est......». pour I Il est important de retenir la rédaction qui est proposée (notamment pour le maimum global et le minimum global). ) : ; I = [ ; ] Déterminons le meilleur encadrement de pour I. ' Le polynôme a pour racines et. 0 D après la calculatrice,, Le minimum global de sur I est égal à 5 et le maimum global de sur I est égal à 7. On en déduit que le meilleur encadrement de ) : 9 ; I = [0 ; 6] pour I est : Déterminons le meilleur encadrement de pour I. ' ' est un polynôme du second degré dont les racines sont (racine évidente) et (obtenue par produit) Signe de ' Signe de Le minimum global de sur I est égal à et le maimum global de sur I est égal à 8. On en déduit que le meilleur encadrement de pour I est : 8. '

13 ) : 9 ; I = [ ; ] Déterminons le meilleur encadrement de * pour I ' La mise au même dénominateur est obligatoire pour l étude du signe. En revanche, la actorisation de 9 ne l est pas. Dans le tableau ci-dessous, il audrait aire plusieurs lignes avant d écrire la ligne du signe de (, et ) '. 0 ' Le minimum global de sur I est égal à 5 et le maimum global de sur I est égal à 9. On en déduit que le meilleur encadrement de ) : ; I = [ ; 8] pour I est : Déterminons le meilleur encadrement de pour I Le minimum global de sur I est égal à On en déduit que le meilleur encadrement de Complément pour le ) : calcul des etremums On considère une onction déinie par que v ne s annule pas sur I. u ' v uv ' On a alors '. v Si ' a 0, alors u av a u av a ' ' 0. Donc sous réserve d eistence des dénominateurs, on a : u Ici, ' v u ' v et le maimum global de sur I est égal à pour I est : u où u et v sont deu onctions dérivables sur un intervalle I telles v ' ' u a u a a. v a v a u 5 u ' v 5 v ' 5 \ ' Dans le tableau ci-dessous, il audrait aire plusieurs lignes avant d écrire la ligne du signe de '. 5 5 ' D après la calculatrice, 5,6...

14 Problème d optimisation Il s agit d un problème d optimisation dans l espace. L utilisation d un logiciel de géométrie dynamique dans l espace serait intéressante pour ce type d eercice. Il est important de se souvenir que 0 ;0 comme cela est dit dans l énoncé Reaire la igure comme c est demandé! On pensera à bien respecter les conventions des tracés en pointillés pour les arêtes cachées. ) Eprimons V() en onction de. V AM AQ AN V 0 V 0 ) Déterminons pour quelle valeur de le volume de AMRQNPTS est maimal. On cherche le maimum de la onction V sur l intervalle [0 ; 0]. Pour cela, on étudie les variations de la onction V sur l intervalle [0 ; 0]. On va utiliser la dérivée. V est dérivable sur l intervalle [0 ; 0] comme onction polynôme. [0 ; 0] V ' 0 On aurait aussi pu développer (nous appliquons la ormule de dérivation d un produit) 0 V et dériver l epression développée mais cela conduit à plus de calculs. Calcul du maimum : V (nous avons remplacé par 0 0 [Ave la calculatrice, on trouve V 8,88 ] Conclusion : Variations de V V ' 0 Le volume du parallélépipède AMRQNPTS est maimal pour dans l epression de V) Problème d optimisation L utilisation d un logiciel de géométrie dynamique dans l espace serait intéressante pour ce type d eercice. La première chose à aire est de aire une igure. Faire une igure avec les traces de pliage. On marque les codages correspondants au longueurs égales et on dessine les pointillés correspondants au traits de pliage (aire une igure avec les traits de pliage).

15 À la limite, on pourrait aire le patron de la boîte dans du papier un peu ort (on ait d abord en sorte d avoir une euille carrée) et le découper. On jette tous les coins du «carré». ) Eprimons les dimensions et le volume de la boîte en onction de. Les trois dimensions de la boîte en dm sont : 6 6 (Mieu vaut ne pas employer les mots «longueur», «largeur», «hauteur» pour un pavé droit.) Largeur : 6 6 Longueur : 6 Hauteur : V 6. Le volume de la boîte est donné par ) Cherchons pour quelle valeur de le volume de la boîte est maimal. On cherche le maimum de la onction V sur l intervalle [0 ; ]. Pour cela, on étudie les variations de la onction V sur l intervalle [0 ; ]. On va utiliser la dérivée. V est dérivable sur l intervalle [0 ; ] comme onction polynôme. V ' 6 6 * [0 ; ] * Nous appliquons la ormule de dérivation d un produit. On doit donc dériver la onction 6 (principe de «sous-dérivée» c est-à-dire de dérivée dans la dérivée) On utilise la ormule de dérivation u ' uu '. On aurait aussi pu développer V mais cela donne davantage de calculs. 6

16 Eplication plus détaillée : V 6 Pour calculer la dérivée, on ne peut pas isoler le en tant que k (ce n est pas une onction du type «ku»). Travail préparatoire : On analyse la orme de V. C est un produit. V uv avec u : et v : 6 u ' et v' 6 uv ' u ' v uv' Calcul à écrire : On n écrit pas la ormule utilisée. En revanche, la première ligne comporte la trace de la ormule de dérivation utilisée V ' 6 6 V ' 6 V' V' (on «sort» le du premier acteur et on «sort» le 6 du deuième acteur) V ' Remarque : Une autre orme de la dérivée est V '. Calcul du maimum : V 6 Conclusion : Le volume de la boîte est maimal pour. Dans ce cas, il vaut 6 dm. ) Déterminons à l aide de la calculatrice les valeurs décimales approchées d ordre par déaut des valeurs de pour lesquelles le volume de la boîte est égal à 0 dm. Il s agit de résoudre l équation V 0 (c est-à-dire l équation 6 0 ]. Comme il s agit d une équation du troisième degré que l on ne sait pas résoudre, on la résout de manière approchée. On doit résoudre l équation s écrit 0 0 Variations de V V ' V 0 avec 0 ; Si on développe le premier membre, on obtient l équation qui est équivalente à Il s agit d une équation polynomiale de degré. On ne sait pas la résoudre de manière eacte donc on va utiliser une résolution approchée à l aide de la calculatrice. On trace la représentation graphique de la onction V sur l écran de la calculatrice. On trace également la représentation graphique de la onction 0. On utilise une bonne enêtre graphique (par eemple, X min 0, X ma, Y min 0, Y ma 8 ).

17 On cherche les abscisses des points d intersection des deu représentations graphiques (aire nde trace 5 : intersect). On observe deu points d intersection dont les abscisses et appartiennent à l intervalle 0 ; (on observe un troisième point d intersection mais son abscisse n est pas dans l intervalle 0 ; ). On ait deu ois la démarche. On trouve 0, 586 et,875 (pour la troisième solution, non retenue, on obtient,800). Les deu solutions que l on conserve sont les deu premières car elles appartiennent à l intervalle [0 ; ]. Il s agit de nombres irrationnels (on peut le démontrer aisément avec des résultats de Terminale spécialité). Boîte de conserve (problème d optimisation) L objet de cet eercice est la résolution d un problème d optimisation relié à une situation concrète. R Sur un patron, la surace latérale est représentée par un rectangle. Pou bien comprendre, il aut compléter le patron avec les mesures. R h h R ) Démontrons que R h. On sait que le volume de la boîte est égal à dm. Donc R h () (c. ormule du volume d un cylindre de révolution). R ) Eprimons S en onction de R. L aire totale d un cylindre est la somme de l aire de la surace latérale et des aires des deu disques (ce que l on voit sur un patron). aire totale d un cylindre de révolution aire latérale aire des deu disques Faire une igure. On doit calculer l aire S du patron. Cette aire est égale à la somme de l aire latérale représentée sur le patron par un rectangle et par la somme des aires des deu disques de base. On a : S Rh R. () donne Rh R d où Rh. R On en déduit : S R R

18 ) Déterminons R pour que S soit minimale. On considère la onction :. À l aide de la calculatrice, on peut donner une valeur approchée de 0, ' * On cherche tel que 0 () () est successivement équivalente à : 0 Signe de 0 Signe de Signe de 0 ' 0 Démontrons qu alors h. R d où R donc R. R R Par conséquent, h R R R La hauteur de la boîte est égal au double du rayon du disque de base c est-à-dire au diamètre. On peut vériier cette propriété sur des boîtes de conserve ordinaires.

19 Eercices supplémentaires D 9 eiste si et seulement si 9 0 si et seulement si 9 si et seulement si et \ ; \ ; ' ' D = \{} Pour dériver, il ne aut pas transormer l epression de (en particulier, il ne aut pas écrire d un seul quotient). sous orme \{} ' On voit immédiatement que : \{} ' 0. '

20 D = * * ' ' ' ' ' 0 D = ' 8 8 est un polynôme du second degré. 0 0 donc le polynôme est toujours du signe de son monôme de degré c est-à-dire strictement positi. 6 6 est un polynôme du second degré 0 0 donc le polynôme n admet pas de racine dans. ' D = ' Signe de 6 0 Signe de Signe de 6 ' 0 5