Chapitre I : analyse, étude de fonctions

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1 Chpitre I : lyse, étude de foctios Limites, cotiuité, brches ifiies. Soit u etier turel et f défiie pr : f () =, et si > : f () = (+).e /. Etudier l cotiuité de f. Etudier l limite de f e +. 3 e. Motrer que g est cotiue sur R *. Motrer que g est prologeble pr cotiuité e. Etudier les brches ifiies de C g.. Soit g défiie sur R * pr :g() =.l() et prologée pr cotiuité e et e. Que vlet g(), g()? Etudier l brche ifiie de C g. 3. Soit g défiie sur R +* \ {} pr g() = 4. Soit pprtet à N. Motrer que g : ], [ R,.(l(/)) est cotiue sur ], [ et dmet u prologemet pr cotiuité f sur [, ]. 5. Soit f défiie sur ], [ pr f() = ( + ).l( ). Motrer que f est cotiue. Etudier l - prité de f et motrer que f se prologe e ue foctio cotiue sur [, ]. 6. Soit f : R R : (t t t 3 ) si t [,] sio Motrer que f est cotiue sur R. 7. Etudier les vritios de f défiie pr f() = e + l() puis les brches ifiies de C f. Trcer C f. 8. Mêmes questios vec f() = l + + /. 9. Etudier les brches ifiies de C f vec : ) f() = 4 ( + ).e. ) f() = +. 3 ) f() = +.si(). Théorème des vleurs itermédiires. Utiliser u théorème du cours pour motrer que l foctio logrithme épérie est ue bijectio de ], + [ sur R. Etudier l bijectio réciproque, à l ide de ce théorème : esembles de déprt et d rrivée, cotiuité, ses de vritio, dérivée.

2 . Soit f défiie pr f() = ) Motrer que f défiit ue bijectio de l itervlle ], + [ sur u itervlle à préciser. Soit lors g l bijectio réciproque de f ], + [. Etudier g : esemble de défiitio, cotiuité, ses de vritio, dérivbilité. Clculer f(). E déduire g (/3). ) Epliciter g(y).. (escp 88 oe) Soit f défiie pr f() =.l(). ) Etudier l vritio de f. Préciser les brches ifiies de C f. ) Motrer qu il eiste ue foctio réelle g et ue seule sur l itervlle [ /e, + [ telle que, pour tout poit de cet itervlle, o it : g().l(g()) =. 3 ) Etudier l vritio de g. E prticulier, détermier l limite de g e +. Trcer sur l même figure les courbes représettives de f et g. 4 ) Motrer que lim + l(g()) l() =. E déduire lorsque ted vers + l limite de g().l() 3 3. Soit f défiie pour pprtet à [, ] pr f() = +. ) Motrer que f est ue bijectio de [, ] sur u itervlle que l o préciser. Etudier l bijectio réciproque f : esemble de défiitio, cotiuité, ses de vritio. ) Etudier l dérivbilité de f sur so esemble de défiitio. Clculer (f ) ().Représeter grphiquemet C(f) et C(f ) ds u même repère orthoormé. Préciser les petes des tgetes u poits d bscisses et Soit g() = l() pour >. Etudier g : cotiuité, limites, ses de vritio. + Préciser les brches ifiies de C(g). Motrer que l équtio g() = dmet ue solutio uique ds ], + [. Doer ue vleur pprochée de cette solutio, e idiqut l méthode employée et l précisio obteue. e 5. (esce 88 oe) A) Soit h : ], + [ R,. ) Etudier l vritio de h. Préciser les brches ifiies de C(h). ) étt u etier supérieur ou égl à, justifier l eistece et l uicité d u réel d pprtet à ], [ tel que h(d ) = h(). Détermier les etiers turels p et q tels que p p + q q + < d < et < d 3 <. B) Soit u etier supérieur ou égl à. O cosidère g : [, + [ R telle que : g () = ( ).e ) Etudier les vritios de g. ) E déduire l eistece d u uique réel vérifit : > et g ( ) =. Démotrer que < <. O pose lors = d vec d ds ], [. Vérifier que h(d ) = h() où h est l foctio défiie u A). E déduire à près l vleur de et 3. Trouver le sige de g (), pour ds R +.

3 C) Avec toujours supérieur ou égl à, o cosidère f défiie sur ], + [ pr : f () = f () = si > e ) Etudier l cotiuité de f. ) Etudier l dérivbilité de f. Préciser l tgete à C(f ) à l origie - 3 ) Etudier les vritios de f. O démotrer : pour >, f '() =.g (),où g (e ) est l foctio défiie u B). Démotrer que f ( ) = ( ).. 4 ) Etudier pour m > l positio reltive de C(f m ) et C(f ). 5 ) Costruire C(f ) et C(f 3 ) ( cm e bscisse, cm e ordoée). 6. Motrer que l équtio = dmet u mois ue rcie réelle. Plus géérlemet, motrer que toute équtio polyomile de degré impir dmet u mois ue rcie réelle. Qu e est-il si le degré est pir? 7. Détermier le ombre et des vleurs pprochées des solutios de l équtio : ) = ; ) 3 =. 8. (etrit de edhec ) ) Détermier l'esemble D des réels tels que e e >. O défiit l foctio f pr : D f() = l(e e ). O ote (C) s courbe représettive ds u repère orthoormé (, i, j). ). Etudier les vritios de f et doer les limites de f u bores de D. b. E déduire l'eistece d'u uique réel α vérifit f(α) =, puis doer l vleur ecte de α. c. Motrer que le coefficiet directeur de l tgete (T) à l courbe (C) u poit d'bscisse α vut 5. 3). Clculer lim ( f( ) ) + b. E déduire l'équtio de l'symptote ( ) à l courbe (C) u voisige de +. c. Doer l positio reltive de ( ) et (C). 4) Doer l'llure de l courbe (C) e fist figurer les droites ( ) et (T). O dmettr que α,5 et que 5,. 9. (etrit de esc 3 ; voir chpitre VII) O pose pour réel strictemet positif l foctio f défiie sur [ ; ] pr : Pour tout [; ], f () =. ( + ) () Justifier l dérivbilité de f sur [ ; ] et clculer s dérivée. E déduire le tbleu des vritios de f e précist les vleurs u bores. (b)motrer que f rélise ue bijectio de [ ; ] sur [ ; ]. O ote f s bijectio réciproque. Doer le tbleu des vritios de f e précist les vleurs u bores. (c)motrer que f = f. 3

4 . (etrit de ecricome 3 ; voir chpitre IV) O cosidère les foctios ch et sh défiies sur R pr : e + e e e ch() =, sh() = isi que l foctio f défiie sur R pr : f () = si sh() f () =. Etudier l prité des foctios ch et sh.. Dresser le tbleu de vritios de l foctio sh puis e déduire le sige de sh() pour pprtet à R. 3. Détermier u équivlet e + de sh. E déduire l llure de l courbe représettive de l foctio sh e Motrer que l foctio sh rélise ue bijectio de R sur R. 5. Etudier les vritios de l foctio ch. 6. Motrer que : R, ch() > sh(). 7. Doer, sur u même grphique, l llure des courbes représettives des foctios ch et sh. 8. Etudier l prité de l foctio f. 9. Détermier u développemet limité d ordre 3 e de l foctio sh.. E déduire que l foctio f est cotiue e, dérivble e et détermier f ().. Justifier que f est dérivble sur R + * et sur R - * et clculer f () pour R*.. O pose : R +, h() = sh() ch. Etudier les vritios de h, puis e déduire le sige de h(). 3. Détermier les vritios de f sur R + et doer l llure de l courbe représettive de l foctio f. (O e chercher ps les poits d ifleio). Clcul différetiel. Soit f() = ( + ).e / si >, f() =. Etudier l cotiuité de f sur ], + [. Etudier l dérivbilité de f sur ], + [, puis e. f est-elle de clsse C sur [, + [?. Soit E = R + \ {} et f défiie sur E pr : f() = et f() = l() si >,. ) Etudier l dérivbilité de f sur E. ) Doer le tbleu de vritio de f. 3 )Etudier l cocvité de f : préciser sur quels itervlles f est cocve, covee.doer les coordoées du poit d ifleio de C(f) et ue équtio de l tgete à C(f) e ce poit. 4 ) Trcer l courbe C(f). 3. Etblir les iéglités : e + ( R) ; e + + e (, N * ) ;! 6 3 si() ( ; étudier le cs ) : ( ) ; cos() ( ; étudier le cs ). 4

5 4. Motrer que pour tout ds [, ] : e e. (utiliser l formule des ccroissemets fiis). 5. Motrer que pour tout ds N * : E déduire : l( + ) - l() l() ( ), 3 - puis : l( + ) l() + 3 Détermier l limite qud ted vers + de à reteir) (série hrmoique, résultt 3 6. Démotrer que pour tout réel > : l. E déduire, pour tout N \ { ; } : l(), puis: l( + ) l() +. k= k k= k k= k E déduire que l série de terme géérl /, N*, est divergete, et doer u équivlet de s somme prtielle S =. k k= 7. Motrer que pour tout couple (, y) de ombres réels de [ ; + [ : l( + ) l( y + ) y 4 8. Soit f() = l(). Ecrire l formule des ccroissemets fiis pour f sur [, + ] pour. E déduire que l suite (u ) défiie pr u = l() est mootoe borée. k u e 9. Soit ( u ) l suite défiie pr u = et N,u + = u + Clculer f, f b. Justifier : [,], f (). 4 3 c. Etblir que l équtio () d. Etude de u ) limite est α. k=.. Etude de. Costruire le tbleu de vritio de f ; préciser ([,] ) f. f : e : + f = dmet sur [,] ue uique solutio α. ( : Motrer que : N, u [, ]. E déduire que si ( u ) coverge, s Justifier : N, u + α u α, e déduire : N, u α, coclure. 3 3 e. Ecrire u progrmme e turbo-pscl qui ffiche ue vleur pprochée de α à mois de 6 près. 3. Soit f défiie pr f() = ep( ). ) Dire pourquoi f est idéfiimet dérivble sur R et détermier les trois premières foctios dérivées f ', f '', f ''' ) Pour tout élémet de N, o défiit l foctio H isi : R, H () = ep( ). f () (), où f () est l dérivée -ième de f ; rppel : f () = f.

6 ) Vérifier que pour i ds {,, 3}, H i est ue foctio polyôme, et détermier les rcies de chcu de ces polyômes. b) Motrer que l o, pour tout ds N et tout ds R : H + () = H () H (). E déduire que H est ue foctio polyôme et préciser so degré, isi que le coefficiet du terme de plus hut degré. c) Détermier H 4 et H 5 et trouver le ombre de rcies de chcu de ces polyômes. 3. (iseec ; églemet suite récurrete) ) O cosidère l foctio f défiie sur R pr f() = et R*, f() = ep( / ). ) Motrer que f est cotiue sur R. b) Motrer que f est dérivble e et clculer f '(). c) Motrer que f est dérivble sur R*, clculer f '() pour R* et justifier que f est de clsse C sur R. d) Achever l'étude des vritios de f, dresser so tbleu des vritios, costruire s courbe représettive isi que l tgete à cette courbe à l'origie. ) Etude d'ue suite. Soit u l suite défiie pr : u = 3 et N, u + = f(u ). ) Motrer que N*, u ], [. b) Soit g l foctio défiie sur [, ] pr g() = f(), clculer g''(). Motrer que g rélise ue bijectio de [, ] sur u esemble que l'o détermier. (O dmettr que f ', 8 3.) c) E déduire que l suite u est strictemet décroisste et coverge. Clculer lim + u. O se propose de démotrer que f est idéfiimet dérivble sur R. 3) ) Motrer que f est de clsse C sur R*. b) O défiit pour tout etier turel o ul, l foctio polyôme P pr : R, P () = et N, R, P + () = 3 P' () + ( 3 )P (). P () Clculer P () et vérifier que R*,f ''() = f () 6 () P () Motrer pr récurrece sur, N* que : R*,f () = f () 3 c) Motrer que N*, P () =. d) Motrer que lim + f () () =. e) Motrer pr récurrece sur N que f est de clsse C sur R. E déduire que f est de clsse C sur R. 3. (ecricome, etrit ; voir chp VI) O cosidère l fmille de foctios (f ) N* défiies sur ], + [ pr f () = l( + ). Soit N*, o ote h l foctio défiie sur ], + [ pr h () = l( + ) Etudier le ses de vritio des foctios h.. Clculer h (), puis e déduire le sige de h. 3. Etude du cs prticulier =.. Après voir justifié l dérivbilité de f sur ], + [, eprimer f '() e foctio de h (). b. E déduire les vritios de l foctio f sur, + [. 4. Soit N* \ {}.. Justifier l dérivbilité de f sur ], + [ et eprimer f '() e foctio de h (). b. E déduire les vritios de f sur ], + [. (O distiguer les cs pir et impir). O préciser les limites u bores ss étudier les brches ifiies. 6

7 Formules de Tylor, développemets limités 33. E utilist l formule de Tylor vec reste itégrl, démotrer : 3 ) c [, π/] [ si() [. 3! ) c R e 3 m ) c R e = lim ( K + ). +!! 34. Soit P ue foctio polyôme de degré. O suppose qu'il eiste u réel α tel que P(α), P'(α),..., P () (α) soiet tous strictemet positifs. Motrer que P ' ps de rcie ds [α, + [. 35. Questios idépedtes : l( + ) ) Détermier l limite qud ted vers de l foctio f() = ) Soit g l foctio défiie sur [, + [ pr : l() g() = si > et!, g() =, g() =. ) Motrer que g est cotiue e et e. b) Ecrire le D.L de g d'ordre u voisige de. E déduire l'eistece et l vleur de g'(). 3 ) Soit h() =. ) Quel est l'esemble de défiitio de l foctio h? b) Motrer que Ch dmet ue + symptote u voisige de + et et préciser l positio de C h pr rpport à cette symptote. + ( + ) 4 ) Détermier l limite qud ted vers de 5 ) Etudier l cotiuité et l dérivbilité de k : t 6 ) Soit ϕ() = e e + e. si!, ϕ() =. ) Ecrire le D.L de ϕ d'ordre 3 e b) Motrer que ϕ est cotiue et dérivble e. Que vut ϕ'()? c) Préciser l positio de C ϕ pr rpport à s tgete u poit d'bscisse. l() 36. Soit f() = ) Etudier l vritio de f. ) Clculer le D.L de f u + voisige de à l'ordre 3. 3 ) Trcer l courbe représettive de f ds u repère orthoormé. 37. O rppelle que l foctio tgete rélise ue bijectio de ] π/, π/[ sur R, dot o ote Arct l réciproque, et que : dt c R Arct() =. + t + k k + t ) Motrer que : c N t c R = ( ) t + ( ). + t k= + t ) E déduire ue epressio de Arct() ( pprtet à R). 7

8 3 ) Motrer que pour tout etier turel : t dt =. lim t 4 ) Déduire de ) et 3 ) u développemet limité de l foctio Arct e zéro. 38. (etrit de iscid 9) ) Rppeler le d.l de l(+u) à l'ordre u voisige de. l( + ) ) Soit f l foctio défiie sur R pr :! f() =, et f() =. ) Motrer que f est cotiue et dérivble e. b) Quelle est l ture de l courbe représettive de f u voisige de +? c) Motrer que f est cotiue et dérivble sur R. 39. ( edhec 93) Soit f l foctio de ], + [ ds R défiie pr : l( + ) si f() = si = ) Détermier le développemet limité à l'ordre e zéro de f. ) E déduire que f est dérivble e zéro ; doer l'équtio de l tget u poit d'bscisse zéro à l courbe de f et préciser l positio, u voisige de zéro, de l courbe de f pr rpport à cette tgete. 3 ) Etudier les vritios de f sur ], + [ et doer le sige de f() pour tout réel >. + (+ ) l( ) 4. (esc 97) Soit f l foctio défiie sur [, + [ pr : f () = = e si > f () = O désige pr C l courbe représettive de f. ) ) Motrer que f est cotiue e. b) Etudier l dérivbilité de f e. ) ) Motrer que pour tout réel strictemet positif : l() [ +. b) Clculer f '() pour > et détermier so sige. Préciser le ses de vritio de f. 3 ) ) Détermier l limite de f e +. b) Etudier l ture de l brche ifiie de C e +. O pourr chercher u équivlet de f() e +.) 4 ) ) Motrer que le développemet limité à l'ordre 3 de f e est : f() = + ( ) ( ) 3 + o( ( ) 3 ). O pourr poser = + t. b) Préciser l'équtio de l tgete T à C u poit d'bscisse. Que peut-o dire de T? c) Costruire C et T ds u repère orthoormé. + t t R * ϕ(t) = -t 4. (etrit de ecricome 97, problème ; voir chp VII) O pose : - e ϕ() = ) Motrer que ϕ est ue foctio de clsse C sur [, + [. b) O défiit, de plus, l foctio ψ sur [, + [ pr : t c R + ψ(t) = ( + t) e t. Utiliser cette foctio pour e déduire que ϕ rélise ue bijectio de [, + [ sur [, + [. 4. (etrit de edhec 98, voir chpitre VIII ) O cosidère l foctio défiie pour tout pr f() = e. ). Dresser le tbleu de vritio de f. b. Motrer que : c R f() [, l'églité yt lieu seulemet pour =. 8

9 ). Motrer que, pour tout etier turel et pour tout réel : e k k ( ) + ( t) t = + ( ) e dt k= k!! b. E écrivt l'églité précédete pour =, puis pour = 3, motrer que : c R + / 3 /6 [ f() [ /. 43. (etrit de escl, voir chpitre VI) O cosidère l foctio f : ] ; + [ R défiie, pour tout de ] ; + [, pr : si = f ( ) = l( + ) si ] ;[ ]; + [... Motrer que f est cotiue sur ] ; + [. b. Motrer que f est de clsse C sur ] ;[ et sur ]; + [. Pour tout réel de ] ;[ ]; + [, clculer f '(). c. Motrer que f '() ted vers lorsque ted vers. d. E déduire que f est de clsse C sur ] ; + [.. Motrer : ] ; + [, l( + ). E déduire les vritios de f. O préciser + les limites de f e et e (Etrit de escl ; voir chp. IV.) O cosidère l'pplictio f : [ ; + [ R, défiie, pour tout [ ; + [, pr : si > f () = e si =. ) Motrer que f est cotiue sur [ ; + [. b) Motrer que f est de clsse C sur ] ; + [. Pour tout ] ; + [, clculer f '(). c) Motrer que f '() ted vers / lorsque ted vers. d) E déduire que f est de clsse C sur [ ; + [. e) Détermier : lim + f '(). 45. (etrit de edhec 3 ; voir chpitre IV) ) Motrer que : IR *, e >. O cosidère l foctio f défiie sur IR pr e f ( ) = l( ) f ( ) =. si ) Motrer que f est cotiue sur IR. 3) Motrer que f est de clsse C sur ], [ et sur ], + [, puis préciser f () pour tout de IR *. 4). Motrer que lim f () =. b. E déduire que f est de clsse C sur IR et doer f (). 5). Étudier les vritios de l foctio g défiie pr : IR, g() = e e +. b. E déduire le sige de g(), puis dresser le tbleu de vritios de f (limites comprises). 9

10 Foctios de deu vribles 46. Etrem locu des foctios f défiies pr : ) f(,y) = e y + y e ) f(,y) = y + l( + y ) 3 ) f(,y) = [(l ) + y ] 4 ) f(,y) = 3y 3 y 3. 5 ) f(,y) = 3 + 3y 5 y 6 ) f(,y) = 3 y 3 y + y Rep : ) (, ) poit critique, ps d'etremum ) (,) poit critique, ps d'etremum. 3 ) (,) et (/e,) poits critiques, f(,) miimum 4 ) (,)et (,) poits critiques, f(,) mimum 5 ) (,), (,), (,), (, ) poits critiques, f(,) miimum, f(, ) mimum 6 ) (,) et (,) poits critiques, f(,) mimum 47. Soit f(,y) = ( y)(3 y). ) Soit g λ () = f(,λ), vec λ c R. Motrer que g u miimum locl e. b) f -t-elle u miimum e? 48. ( etrit de escl 97 ; voir chpitre IV) Soit f : R R, y + y + e.. Étblir que l'équtio e =, d'icoue R, dmet ue solutio et ue seule.. Motrer qu'il eiste (o,yo) uique tel que f (, y ) = e =, et étblir : f (, y ) = y = y 3. Motrer que f dmet u etremum e (,y ). Est-ce u miimum ou u mimum? 49. (isg 97) Soit f l foctio défiie sur R pr : f(,y) = ( y) y 4. f (, y) = ) Etudier le système : et motrer qu'il dmet 3 solutios : l'origie O et les f (, y) = y poits A et B tels que A soit d'bscisse positive. ) Motrer que f possède e A u miimum reltif. 3 ) Motrer que f 'dmet ps d'etremum reltif e O. 5. (escp 98) O désige pr λ u réel strictemet supérieur à.soit H l'esemble des poits (, y) de R tels que > et soit D l'esemble des poits de H tels que y!. L'objet de cet eercice est l'étude des etremums de l foctio f défiie sur H pr f(, y) = λ y y y l( + ) +. ) Soit φ l foctio défiie sur ], + [ pr φ() = λ l( + ) et φ' s dérivée. ) Motrer que l'équtio φ'() = dmet ue rcie et ue seule ds ], + [. O ote b cette rcie et o pose φ(b) = c. Motrer que c <. b) Motrer que l'équtio φ() = dmet ue rcie et ue seule, otée, ds ], + [, et que > b. ) Clculer les dérivées prtielles f ' et f 'y de l foctio f. 3 ) ) Détermier l'esemble des poits (, y) de H vérifit f ' (,y) =

11 b) Détermier l'esemble des poits (, y) de H vérifit f ' (,y) = et f ' y (,y) =. O eprimer les solutios (,y) trouvées e foctio des ombres, b, c défiis à l questio ). 4 ) ) Clculer les dérivées prtielles secodes de f. b) Motrer que f dmet u etremum e u uique poit ( λ,y λ ) que l'o préciser. 5. (edhec 98) ) O cosidère l foctio g défiie pour tout élémet de R* + pr : g() = l() + +. ) Etudier les vritios de g et doer les limites de g e + et e +. b) E déduire qu'il eiste u uique réel α, élémet de ], /e[ tel que g(α) =. ) O cosidère l foctio de deu vribles réelles f défiie pr : c R* + R f(,y) = (l + + y ). ) Détermier le seul poit critique de f, c'est à dire le seul couple de R* + R e lequel f est susceptible de préseter u etremum. b) Vérifier que f présete u miimum reltif m e ce poit. c) Motrer que m = α(α + ). 5. (etrit de ecricome 98) Soit f l foctio de deu vribles défiie sur l ouvert U = ], + [ ], [ de R pr : (, y) f(, y) = y( y) =.y.ep[( ).l( y)]. f ) Motrer que f dmet e tout poit (,y) de U des dérivées prtielles premières (,y) et f (,y). Les clculer et les mettre sous forme de produits. Motrer que f est de clsse C y sur U. b) Motrer que pour tout u élémet de ], [ l( u) < u.e déduire que f ps d etremum sur U. 53. (edhec 99, e, prtie ; voir chp VIII ) Pour tout réel, o cosidère l foctio f de R R ds R défiie pr : (,y) R R f (,y) = ( +y + y + ) e y. Ds cette prtie, o suppose et... Clculer les dérivées prtielles premières de f. b. E déduire que f possède deu poits critiques (c'est à dire deu couples de R R e lesquels f est susceptible de préseter u etremum locl) et doer leurs coordoées.. Clculer les dérivées prtielles secodes de f. 3.. Emier, pour chcu des deu poits critiques, à quelle coditio portt sur, f présete e ces poits u etremum locl. b. Détermier, e distigut trois cs, si f présete sur R R u mimum locl ou u miimum locl et doer s vleur e foctio de. 54. (etrit de ecricome 99 ; voir chp VIII ) O ote U l ouvert de R défii pr U = ], [ ],[ et f l pplictio défiie sur U pr : 3 3 (,y) f(,y) = + y y. ) Motrer que f est strictemet égtive sur U. b) Motrer (e rédiget soigeusemet) que f dmet u uique etremum sur U et que celui-ci est u miimum dot o doer l 5 vleur. E déduire que pour tout (,y) de U : f(,y) < 64

12 55. (etrit de ecricome, voir chpitre VII) T est l'esemble des couples (, y) de réels solutios du système d'iéqutios 4, y 4, + y 4 3. O otet ' " l ' itérieur " de T, à svoir l'esemble des couples (, y) solutios du système d ' iéqutios : > 4, y > 4, + y < 4 3. Soit f l foctio défiie sur T pr : f(, y) = +. y + y ) Représeter sur u même grphique T et T '. ) O dmet que T ' est u ouvert de R. ) Détermier les dérivées prtielles d'ordre sur T ' de l foctio f. b) Motrer que f 'dmet ps d'etremum locl ( et doc fortiori bsolu) sur T '. 3) Démotrer pr de simples cosidértios sur des iéglités que l'o pour tout couple 6. (, y) de T : f(, y) ( Etrit de edhec, voir chpitre VIII) O ote f l foctio défiie sur l ouvert ],[],[ de R² pr : f(,y) = (-) + (-y) + (+y). ) Motrer que f est ue foctio de clsse C² sur ],[],[. ) ) Détermier les dérivées prtielles d ordre de f. b) E déduire que le seul poit e lesquelles les dérivées prtielles d ordre de f s ulet simultémet est le poit (, ). 3 3 c) Démotrer que f présete u miimum locl e ce poit. 57. (Etrit de escp.) O cosidère l foctio G de deu vribles réelles défiie, pour tout et tout y strictemet positifs, pr : 3 G(, y) = l + y y ) Clculer les dérivées prtielles d'ordre et de l foctio G. ) Rechercher les etremums évetuels de l foctio G ds le domie ], [ ], [. 58. (etrit de esc ; voir chp VIII) O pose D = ],[ ],[ et f l foctio de deu vribles défiie sur D pr : f(, y) = y( y ) pour tout couple (, y) de D. ) Justifier que f est de clsse C sur D. b) Clculer les dérivées prtielles d ordre de f, e déduire le seul poit (, y ) de D (ppelé «poit critique») susceptible de réliser u etremum locl pour f. c) Clculer les dérivées prtielles d ordre de f, et motrer que f dmet u mimum locl e (, y ) de vleur 8. 7 d) Motrer que pour tout couple (, y) de D : f((, y)) 8 = ( y ) ( y 8) y( + y ) E déduire que ce mimum locl est u mimum globl de f sur D. 59. (etrit de eml 3, voir chpitre VIII) Soit l pplictio g : R* + R* + R défiie pr : (, y) R* + R* +, f (, y) = e y + y e. Motrer que g est de clsse C² sur R* + R* +. Clculer les dérivées prtielles d ordre de g e tout poit (,y) de R* + R* +.

13 3. Motrer qu il eiste u couple uique (,y) de R* + R* + e lequel les deu dérivées prtielles d ordre de g s ulet, et clculer ce couple. 4. Est-ce que g dmet u etremum? Ales isc-eslsc (isc-eslsc 95) Pour tout réel o ul, o cosidère l foctio défiie pour > pr f () = ep( ( - ).l() ) = et o ote (C ) s représettio grphique ds le pl rpporté à u repère orthoormé. ) f est-elle prologeble pr cotiuité e? le prologemet évetuel est-il dérivble e? (O distiguer selo le sige de.) ) Etudier, selo les vleurs de, les évetuelles brches ifiies de (C ). 3 ) Détermier, e discutt selo les vleurs de, les vritio de f. (O écrir f () sous l forme.g () pour ue foctio g que l o détermier, et o pourr étudier les vritios de g pour obteir le sige de cette foctio.) 4 ) Soit et b deu ombres réels o uls tels que < b. Détermier les positios reltives de (C ) et (C b ). (isc-eslsc 96) Soit f l foctio défiie sur ], ] pr : si <, f() = ( ) = ep(.l( )), et f() =. ) Etudier les vritios de l foctio h défiie sur ], [ pr : h() = l( ) - ) Motrer que f est dérivble sur ], [ et détermier le sige de f (). L foctio f est-elle cotiue e? dérivble e? 3 ) Dresser le tbleu de vritios de f. 4 ) Eiste-t-il u ombre réel c tel que l foctio g défiie pr : si >, g() = si, g() = c.f() soit ue desité de probbilité 5 ) Soit h l foctio défiie pr : h() = ( cos()) cos(). ) Motrer que h est défiie sur R et costruire le tbleu de vritios de h sur le segmet [, π]. b) Trcer l courbe représettive de h sur le segmet [ π, π], le pl étt rpporté à u repère orthoormé. (isc-eslsc 97) )O défiit l foctio f sur R + pr : f(t) = t + t l( + t), où l désige l foctio «logrithme épérie». ) Etudier les vritios de f. Préciser l ture de l brche ifiie de l courbe représettive de f ds le pl rpporté à u repère orthoormé, isi que l'équtio de l tgete à l'origie. b) Motrer que l équtio f(t) = dmet ue uique solutio ds R* + = ], + [, que l o oter α. E déduire le sige de f() selo l positio de pr rpport à α. Motrer que α est comprise etre 3 et 4. Doer u ecdremet de α d'mplitude,. ) O cosidère l foctio g défiie pr: g() = e.l( + e ) ( où e = ep() désige l foctio epoetielle de bse e). ) Motrer que g est défiie et dérivble sur R. b) Clculer e.g (). Détermier le sige de g'(), selo les vleurs de. c) Etudier les brches ifiies de l représettio grphique de g. (isc-eslsc 98) ) Soit f l foctio défiie pr: f() = l + - où l désige l foctio "logrithme épérie ". 3

14 ) Quel est le domie de défiitio de l foctio (). : + -? Détermier, selo les vleurs de, le sige de b) Quel est le domie de défiitio D de f? Doer, selo les vleurs de, ue epressio de f() e cotet plus de vleur bsolue. Pour D, comprer f( ) et f(). c) Motrer que f est dérivble sur D et clculer f () E déduire les vritios de l foctio f. ) Soit g l foctio défiie pr: g() = + l -. ) Quel est le domie de défiitio de g? g est-elle prologeble pr cotiuité e et e? Comprer g( ) et g(). b) Étudier les vritios de l foctio g. c) Détermier lim + g(). E ott l cette limite, détermier lim ( g() l ). (O pourr poser =.) + u 4