Devoir de Mathématiques 1 : corrigé

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1 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Devoir de Mathématiques : corrigé Exercice. Résolutions d inéquations (a) Disjonction de cas selon le signe de x. Si x [, ] alors x = x. Dans ce cas : x x x ou x x [, ] [ ], Si x ], [ ], + [ alors x = x. Dans ce cas : x x x [ [ x, ], ] L ensemble S a des solutions de l inéquation est : [ ] [ S a =,, ] Autres méthodes. On peut également appuyer cette résolution d inéquation par le graphique ci-dessous : y = x y = On peut également écrire : x x Puis résoudre les deux inéquations.

2 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born (b) Factorisons. Lorsque cela a un sens (pour x et x 0) : Nous avons le tableau de signe : B(x) = L ensemble S b des solutions de l inéquation est : x x + x + x = x x(x + ) x 0 + x + x + + (x + ) B(x) S b = [, 0[ \ { } [, + [ (c) Considérons la fonction C définie pour tout x R + par : C(x) = x + ln(x) La fonction C est strictement croissante (comme somme de fonctions strictement croissantes ) sur R +. Comme C() = il vient : C(x) C() x L ensemble S c des solutions de l inéquation est : S c = [, + [ Exercice. Vocabulaire sur les applications. Questions de cours. Cf cours.. On considère la fonction numérique g définie par g(x) = de g dans un repère orthonormé direct. (a) Pour tout x R, + cos(x) 0 donc g est définie sur R. (b) Pour tout x R, (c) Pour tout x R, g( x) = g(x + π) = sin(x) + cos(x). On note C g la courbe représentative sin(x + π) + cos(x + π) = g(x) sin( x) + cos( x) = sin(x) + cos(x) = g(x) La fonction g est impaire. La courbe C g est symétrique par rapport à l origine du repère. (d) Nous : ( g π + π ) ( = et g π π ) = Les deux valeurs précédentes sont distinctes donc la droite d équation x = π n est pas un axe de symétrie pour C g.. Si vous préférez : étudiez C et donner son tableau de variation.

3 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born (e) Pour tout x R, + cos(x) donc : Ainsi g est bornée. Comme g ( π x R, g(x) = sin(x) i.e. g(x). + cos(x) ) = la fonction g admet un maximum atteint x = π Comme g ( π ) = la fonction g admet un minimum atteint x = π. Question de cours. Cf cours. dont la valeur est. dont la valeur est. 4. (a) U = V = Z et f : n n. Soit m Z. L équation m = f(n) = n admet une unique solution n = m dans Z. Donc f est bijective. Notez que f f = Id Z donc f est sa propre réciproque. (b) U = R, V = R + et f : x x 4 + x +. Nous avons f() = = f( ). Donc admet deux antécédents distincts dans R ainsi f n est pas bijective. (c) U =]0, + [, V = R et f : x exp(x) exp ( x). L application x x est dérivable sur ]0, + [ et exp est dérivable sur R. Donc par composition x exp ( x) est dérivable sur R. Ainsi f est dérivable sur ]0, + [ comme différence de deux fonctions dérivables. Enfin pour tout x R +, f (x) = exp(x) + ( ) x exp > 0 x L application f définie sur l intervalle ]0, + [ est : continue (car dérivable) ; strictement croissante ; et telle que lim f(x) = et lim f(x) = +. x 0 + x + Donc d après le théorème de la bijection continue f est une bijection de ]0, + [ vers l intervalle f(]0, + [) = R. Exercice. Un encadrement optimal. Soit (a, b) ( R +). a b a 4 a + b (a b)(a + b) 4a car a + b > 0 ab a + b 0 a ab + b 0 (a b) La dernière inégalité est vraie donc, par équivalence successives, la première l est aussi.. Soit (a, b, c) ( R +). La question précédente nous donne : a b 4 a a + b ; b c 4 En sommant ces trois inégalités il vient immédiatement : a + b + c a a + b + b b + c et c a 4 b b + c + Cas d égalité. On remarque qu il est atteint pour a = b = c. c c + a c c + a

4 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born. Soit (a, b, c) ( R +). a a + b < a a a + b < a a a + b < car a > 0 a a + b car a + b > 0 0 b La dernière inégalité est vraie donc, par équivalence successives, la première l est aussi. Il vient de même : b b + c < b et c c + a < c En sommant ces trois inégalités strictes : 4. Pour (a, b, c) ( R +) on pose : a a + b + b b + c + c c + a < a + b + c Pour x > 0, nous avons : ϕ(a, b, c) = a a + b + b b + c + a + b + c c c + a ϕ(x, x, ) = x x + La limite ne pose aucun problème. Nous avons x x + + x + x + = x + x x + + x + x + lim ϕ(x, x, ) = x 0 + Problème I. Sur les fonctions sigmoïdes Pour tout réel λ R, la fonction sigmoïde de paramètre λ est définie par : f λ (x) = + e λx Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct R(O, i, j). Rappels. Pour tout (a, b) R, e a+b = e a.e b et e a = e a Partie I : la fonction tangente hyperbolique La fonction tangente hyperbolique, notée th, est définie par : th(x) = ex e x e x + e x. 4

5 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born. La fonction th est définie sur R car pour tout x R, e x + e x > 0. Pour tout x R : Donc la fonction th est impaire. th( x) = e x e x e x + e x = th(x). En factorisant par e x au numérateur et au dénominateur il vient : th(x) = e x + e x. Comme lim x + e x = 0 nous avons : lim th(x) = x + Par imparité de th nous obtenons : lim th(x) = x. La fonction th est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. Nous avons pour tout x R : Nous avons le tableau de variation : th (x) = (e x + e x ) > 0 x + th(x) La fonction th est strictement croissante et continue sur R. Avec les limites aux bornes de définition calculées à la question précédente, le théorème de la bijection, nous affirme que la fonction th induit une bijection de R vers ], [. Partie II : étude des fonctions f λ 4. Remarquons que x R, + e λx > 0 donc le dénominateur de f λ ne s annule jamais ; la fonction f λ est définie sur R (et est strictement positive). Remarquons également que f λ est dérivable sur R, puisque c est l inverse de la la fonction x + e λx, elle même dérivable sur R (et ne s annulant jamais sur R). (a) Cas λ = 0. La fonction f λ est dans ce cas la fonction constante égale à. (b) Cas λ > 0. Calculons la dérivée de f λ : x R, e λx f λ(x) = λ ( + e λx ). Ainsi, nous avons x R, f λ (x) > 0. Ainsi f λ est strictement croissante sur R. Calculons les limites de f λ aux bornes de son ensemble de définition. Remarquons d abord que : Il vient donc clairement : lim x e λx = + et lim x + e λx = 0. lim f λ(x) = 0 et lim f λ(x) =. x x + Nous pouvons désormais dresser le tableau de variation de f λ : x + f λ (x) 0 5

6 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born (c) Cas λ < 0. Ce cas est tout à fait symétrique au précédent. Nous avons le tableau de variation : x + f λ (x) 0 5. Pour λ 0, la fonction f λ est strictement monotone et continue sur R. D après les tableaux de variations précédents, elle définit une bijection de R sur ]0, [. Explicitons, dans ce cas la réciproque de f λ : soit y ]0, [ tel que y = f λ (x), y = +e λx e λx = y La fonction ln est la réciproque de la fonction exp et comme 0 < y <, nous avons y appliquant ln à la dernière égalité, nous avons : y = f λ (x) ( ) λx = ln y > 0. En Puisque λ est supposé non nul, il vient donc pour y ], [ : y = f λ (x) x = ( ) y λ ln. y L application : ]0, [ R, x ( ) y λ ln, y est-donc la réciproque de l application f λ : R ]0, [. 6. Remarquons que x R, th(x) = e x. D où, + e x + th(λx ) = + e λx + e λx ( + e λx = f λ (x). ) Partie III : propriétés géométriques de C λ On suppose dans cette partie que λ est un réel non nul. On note C λ la courbe représentative de f λ dans le repère R. 7. On vérifie par un rapide calcul que : x R, f λ (x) + f λ (x) On en déduit donc que I(0, ) est un centre de symétrie pour C λ. 8. La courbe C λ se situe entre ces deux asymptotes horizontales : les droites d équation y = 0 et y =. 9. On désigne par T λ la tangente à C λ au point d abscisse x = 0. (a) Nous avons f λ (0) = λ 4 La droite T λ a pour équation : =. y = λ 4 x + (b) On considère la fonction g λ définie pour tout x R par : g λ (x) = f λ (x) λ 4 x La fonction g λ est dérivable comme différence de fonctions dérivables et pour tout x R : e λx g λ(x) = λ ( + e λx ) λ 4 = λ ( e λx 4( + e λx ) e λx). Or ( e λx e λx) = ( e λx ), donc g λ (x) est du signe de λ sur R. 6

7 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born (c) i. Cas λ > 0. g λ est strictement décroissante sur R et g λ (0) = 0. Donc pour tout réel x positif, f λ (x) λ 4 x +. Ainsi C λ est au dessus de sa tangente en 0. Enfin pour tout réel x négatif, f λ (x) λ 4 x +. Ainsi C λ est au dessous de sa tangente en 0. ii. Cas λ < 0. Il est opposé au précédent. 0. Nous avons le tracé ci-dessous dans le cas λ = : Partie IV : primitives et équations différentielles. La fonction F λ définie sur R par : F λ (x) = λ ln ( + e λx) est une primitive de f λ.. Nous avons pour tout réel x, l identité En dérivant cette égalité de fonctions, il vient : F λ (x) = x λ ln(f λ) et on a déduit l équation différentielle : f λ = f λ λf λ, f λ = λf λ ( f λ ) Cette question peut bien sur être traitée directement (i.e. sans connaître F λ ). Note. Les fonctions sigmoïdes sont régulièrement utilisées dans la modélisation de systèmes physiques. Elles permettent généralement d approximer un changement d état physique. Un exemple d application est la conception en microélectronique de neurones biologiquement réalistes. On les retrouve aussi en dynamique des populations comme solutions d équations différentielles (Partie IV) régissant, dans certains modèles, l évolution d une population. 7

8 PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Barème. Total /80 Présentation - Rédaction. / Exercice. /9 (a) pts ; (b) pts ; (c) pts. Exercice. /0. (a) pt ; (b) pt ; (c) pts.. (a) pt ; (b) pts ; (c) pts ; (d) pts ; (e) pts.. pts 4. (a) pt ; (b) pt ; (c) pts. Exercice. /0. pts ;. pts ;. pts ; 4. pts. Problème. /8 Partie I.. pts ;. pts ;. 6pts. Partie II. 4. 7pts ; 5. 4pts ; 6. pts. Partie III. 7. pts ; 8. pts ; 9. (a) pts ; (b) pts ; (c) pts ; 0. pts. Partie IV.. pts ;. pts. Résultats Moyenne Max Exercice,04 6 Exercice 7,76 4 Exercice,94 8,5 Problème,44 4 P - R,44 TOTAL 6,6 44 8

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