Chap.5 Oscillateur harmonique, étude en régime libre

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1 Chap.5 Oscillateur harmnique, étude en régime libre 1. L scillateur harmnique, un mdèle très utilisé en physique 1.1. Préalable mathématique : dévelppement limité et frmule de Taylr-Yung 1.. Petites scillatins autur d une psitin d équilibre stable 1.3. Exemple des petites scillatins du pendule 1.4. Exemple des petites scillatins d un pint attaché à un ressrt 1.5. Définitin de l scillateur harmnique : un scillateur sinusïdal. Etude du régime libre de l scillateur harmnique.1. Définitin du régime libre de l OH.. Etude énergétique de l OH.3. Prtrait de phase de l OH.4. Ischrnisme des petites scillatins 3. Etude du régime libre de l scillateur harmnique amrti 3.1. Définitin d un OH amrti 3.. Réslutin de l équatin différentielle : 3 types de régimes 3.3. Régimes pseud-péridique : décrément lgarithmique 3.4. (Cmplément) Très faibles amrtissements : interprétatin énergétique de Q 3.5. Prtrait de phase d un OH amrti 4. Analgies entre grandeurs électriques et mécaniques Intr : On intrduit dans ce chapitre le mdèle de l scillateur harmnique (OH), dnt le champ d applicatin est très vaste en physique. Il permet dans certaines cnditins d étudier les vibratins de systèmes mécaniques (bâtiment vibrant sus l actin du vent, vibratins d une viture sur une rute accidentée), mais aussi les vibratins des atmes au sein des mlécules u des slides. On retruve ce mdèle dans d autres dmaines de la physique : physique quantique, physique statistique. Dans ce chapitre, ntre étude se limite aux scillatins mécaniques, dans le cas ù le système peut être : assimilé à un pint matériel repéré par une seule crdnnée d espace (prblème à un degré de liberté) Le mdèle de l OH est adapté à l étude de petites scillatins autur d une psitin d équilibre stable, pur un système en évlutin cnservative. Dans le présent chapitre, n se limite à l étude de l OH en régime libre, c està-dire nn sumis à une excitatin extérieure. Cela signifie que les frces appliquées au système ne dépendent pas explicitement du temps. On abrdera ensuite l étude de l OH sumis à des frces de frttement fluide. On parle d scillateur harmnique amrti. On verra que la réslutin mathématique est ttalement similaire à celle intrduite pur l étude des régimes transitires du circuit RLC série. Suite à cette étude, n dégagera quelques analgies entre les grandeurs électriques et mécaniques. 1 Mreggia PCSI 011/01

2 1. L scillateur harmnique, un mdèle très utilisé en physique 1.1. Préalable mathématique : dévelppement limité et frmule de Taylr-Yung On cnsidère une fnctin f(x) de la variable réelle x. On suppse cette fnctin infiniment dérivable, c est-à-dire que ses dérivées snt définies quelque sit l rdre de dérivatin. Un thérème mathématique établit que cette fnctin «admet un dévelppement limité au visinage de x = a, quelque sit a». Cela signifie qu autur du pint, il existe un «plynôme en» qui est une bnne apprximatin de la fnctin. Plus le degré de ce plynôme est élevé, meilleure est l apprximatin. Ce plynôme (ici dnné pur un degré n quelcnque) se calcule à l aide de la frmule de Taylr-Yung : n n df x a d f x a d f f x f a x a a a a n dx! dx n! dx Cette frmule n est pas à cnnaître (en physique de début d année) En bref, si la fnctin est cnnue, il est facile de truver ce plynôme. Les plynômes étant des fnctins faciles à manier (intégrer, dériver), ce prcédé cnsistant à «dévelpper la fnctin sus la frme d un plynôme» est très utilisé en physique (NB : n va rarement au-delà de ). 1.. Petites scillatins autur d une psitin d équilibre stable On cnsidère un pint matériel sumis à des frces cnservatives uniquement. On suppse qu une seule crdnnée d espace permet de repérer sa psitin, c est un prblème à un degré de liberté. On suppse que c est une crdnnée cartésienne, que l n nmme x. On suppse aussi qu une psitin d équilibre stable existe, elle est repérée par x = x 0. L énergie ptentielle E p (x) admet dnc un minimum en cette psitin. On étudie ici les petites scillatins du pint matériel autur de cette psitin d équilibre. Grâce à un dévelppement limité de E p (x) autur de x 0 et en appliquant le TEM, n truve l EDiff du muvement. Equatin différentielle de l scillateur harmnique (OH) Vérifiée par les scillateurs effectuant de petites scillatins cnservatives autur d une psitin d EQ stable. 0 s appelle la pulsatin prpre de l scillateur. Remarque : Seul l ESSM permet de repérer l EDiff d un scillateur harmnique. On verra bientôt que le secnd membre d une EDiff dépend de ce qui excite l scillateur (la frce des mains pur les scillatins d une balançire, le GBF pur les scillatins électriques) Lrsque l scillateur n est pas excité, n dit qu il effectue des «scillatins libres». On peut alrs tujurs se ramener à un secnd membre nul (via un changement d rigine du repère en méca, par exple) On ntera qu au visinage de la psitin d équilibre, la frce cnservative appliquée au système prend nécessairement la frme d une frce de rappel élastique (idem celle d un ressrt : frce prprtinnelle au déplacement). On ntera que l n a effectué un dévelppement limité pur établir l équatin différentielle de l OH. L scillateur harmnique est dnc un mdèle issu d une apprximatin. En se référant au diagramme d énergie ptentielle, n parle d apprximatin parablique du puit de ptentiel autur de la psitin d équilibre. Mreggia PCSI 011/01

3 1.3. Exemple des petites scillatins du pendule Exprimer l énergie ptentielle du pint M dans le cas du pendule. Sachant qu au visinage de, la fnctin csinus admet le dévelppement limité suivant : simplifier l expressin de l énergie ptentielle. Purqui peut-n parler «d apprximatin parablique du puit de ptentiel»? En appliquant le TEM, mntrer que le pendule aux petits angles est un scillateur harmnique. Sachant qu aux petits angles, mntrer que la cmpsante rthradiale du pids (la «frce prjetée») est bien de type frce de rappel élastique (i.e. prprtinnelle au déplacement angulaire ) Exemple des petites scillatins d un pint attaché à un ressrt Dans le cas d un ressrt hrizntal, a-t-n besin de faire une «apprximatin parablique du puit de ptentiel»? Les scillatins du ressrt snt-elles tujurs harmniques, quelque sit leur amplitude? 1.5. Définitin de l scillateur harmnique : un scillateur sinusïdal La slutin de l EDiff s écrit sus deux frmes équivalentes. Les cnstantes se déterminent à partir des C.I. t Acs 0t Bsin t t X t x 0 (A, B cnstantes) x m 0 cs (X m, cnstantes) Les scillatins snt dnc sinusïdales, de pulsatin égale à la pulsatin prpre. La péride des scillatins est égale à la péride prpre T 0. 0 C est le caractère sinusïdal des scillatins qui permet de définir un scillateur harmnique : «Harmnique» n est rien d autre qu un synnyme de «sinusïdal».. Etude du régime libre de l scillateur harmnique.1. Définitin du régime libre de l OH Le régime libre de l scillateur harmnique crrespnd à la situatin ù aucune «frce d excitatin» n est appliquée au système au curs du muvement. Cela se traduit par un secnd membre de l équatin différentielle nul u cnstant. En chisissant une rigine du repère centrée sur la psitin d équilibre, n peut tujurs se ramener à une ED dnt le secnd membre est nul. Pur étudier les scillatins libres du pendule, il suffit de le lâcher (avec u sans vitesse initiale) et de le laisser évluer librement. A l inverse, n purrait exciter l scillateur en le pussant régulièrement avec le digt par exemple. 3 Mreggia PCSI 011/01

4 .. Etude énergétique de l OH On cnsidère l énergie cinétique, l énergie ptentielle et l énergie mécanique. On a réslu l équatin différentielle du muvement, dnc x(t) est cnnue. Par cnséquent, l expressin des tris frmes d énergie en fnctin du temps est cnnue. On retiendra que : L énergie mécanique est cnstante, car l évlutin du système est cnservative L énergie mécanique est prprtinnelle au carré de l amplitude des scillatins Il y a échange péridique des frmes cinétique et ptentielle de l énergie.3. Prtrait de phase de l OH Cncernant les trajectires de phase d un OH, n retiendra que : x dans l espace x,, ce snt des cercles centrés sur la psitin d équilibre, de rayn X m (amplitude) 0 elles snt parcurues dans le sens hraire le muvement de l OH est réversible (les cercles snt symétriques par rapprt à l axe des abscisses) Dans le cas des petites scillatins du pendule, mntrer que les trajectires de phases dans l espace snt des cercles. Préciser le centre et leur rayn..4. Ischrnisme des petites scillatins Un système effectuant des scillatins de faible amplitude autur de sa psitin d équilibre peut être décrit par le mdèle de l scillateur harmnique. Une cnséquence imprtante du caractère harmnique des scillatins est que la péride d scillatin ne dépend pas de l amplitude des scillatins. On parle de l ischrnisme des scillatins. On peut le vérifier sur la figure ci-cntre. Oscillatins du pendule simple (amplitude de 5 et 10 ) Dans le cas du pendule simple, le caractère harmnique des scillatins n est valable qu aux petits angles. On peut remarquer sur la figure ci-dessus que la péride augmente avec l amplitude, si cette dernière dépasse 30. Oscillatins du pendule simple (amplitude de 10 et 45 ) Oscillatins du pendule simple (amplitude de 45 et 85 ) Sur la trisième figure, pur une très grande amplitude (prche de 90 ), le caractère nn sinusïdal (n dit aussi anharmnique) des scillatins devient particulièrement flagrant. 4 Mreggia PCSI 011/01

5 3. Etude du régime libre de l scillateur harmnique amrti 3.1. Définitin d un OH amrti Un scillateur harmnique sumis à une frce de frttement fluide devient un scillateur harmnique amrti. Dans tute la suite de cette sectin, n étudie l exemple d un pint matériel lié à un ressrt et se déplaçant sur un supprt hrizntal. On néglige les frces de frttement slide, mais n tient cmpte des frces de frttement fluide. Etablir l équatin différentielle du muvement. Par analgie avec les écritures canniques intrduites en électrcinétique, dnner l expressin des variables réduites,, Q et 0 dans le cas de l OH amrti. Remarque : Attentin à ne pas se méprendre sur le sens de l appellatin «scillateur harmnique amrti»! Il est clair qu un OH amrti n est plus un scillateur harmnique : ses scillatins ne snt plus sinusïdales, à cause des frttements. 3.. Réslutin de l équatin différentielle : 3 types de régimes Truver le critère sur le facteur de qualité qui permet de distinguer les tris types de régimes Idem avec le cefficient d amrtissement. Discuter de l allure des curbes (cf. cas du pendule amrti, curbes à la fin du plycpié) On retiendra que les scillatins ne snt plus sinusïdales : l scillateur harmnique amrti n est plus un scillateur harmnique Régimes pseud-péridique : décrément lgarithmique Rappeler la définitin du décrément lgarithmique dans le cas d scillatins libres (centrées sur 0) : frmule mathématique et schéma (Cmplément) Très faibles amrtissements : interprétatin énergétique de Q Dans le cas des très faibles amrtissements (frttements très faibles, << 1, Q >> 1), n peut mntrer que : décrît expnentiellement avec le temps la variatin relative de sur une pseud-péride, est inversement prprtinnelle à : La décrissance expnentielle de l énergie mécanique avec le temps est illustrée sur les curbes représentées à la fin du plycpié Prtrait de phase d un OH amrti Sur la figure ci-cntre snt représentées les trajectires de phase du pendule simple sumis à des frces de frttement fluide : vitesse initiale nulle angle initial de 5 = 4, 1 et 1/8 Le prtrait de phase met très clairement en évidence l influence des frttements sur les scillatins : Les trajectires de phase ne snt pas des curbes fermées : le muvement n est plus péridique 5 Mreggia PCSI 011/01

6 Le prtrait de phase n est plus symétrique par rapprt à l axe des abscisses : le muvement n est plus réversible (Cas pseud-péridique) L amplitude des scillatins décrît avec le temps, et le système s immbilise dans sa psitin d équilibre stable. Cette psitin finale est «un pint attracteur». (Cas critique et apéridique) Le pendule atteint le pint attracteur sans sciller. Représenter le diagramme d énergie ptentielle en-dessus du prtrait de phase, et expliquer qualitativement l évlutin de l OH amrti sur ce diagramme 4. Analgies entre grandeurs électriques et mécaniques En faisant le bilan des relatins établies dans le curs d électrcinétique et dans le présent chapitre, n remarque clairement une «analgie frmelle» (i.e. purement mathématique) entre les grandeurs électriques et mécaniques. Un même frmalisme, fndé sur l établissement et la réslutin d équatin différentielle, et fndé aussi sur le cncept d énergie, permet de décrire des situatins physiques a priri très différentes. Ces analgies ne signifient pas que les grandeurs électriques et mécaniques, mises en parallèle, «représentent la même chse». Cela permet de prendre un peu de recul et de mémriser plus simplement les relatins établies dans ces deux parties du curs de physique. On retiendra particulièrement l analgie entre résistance électrique et frttements fluides, tus deux représentatifs de l amrtissement des scillatins. Tableau d analgies entre un scillateur à ressrt (1 deg. liberté) et un circuit RLC série : Grandeurs mécaniques Grandeurs électriques Cmmentaires h R cf. équatin différentielle m L k 1 cf. équatin différentielle m LC h R frttements résistance : amrtisssement m L Inertie («résistance») à la variatin de v / i dx dq v i vitesse du pint M / intensité du débit de charge dt dt x q psitin / charge F fluid hv u Ri résistance / frttement P Fv P ui définitin puissance 1 1 Ec mv Ebb Li une frme d E emmagasinée (vitesse pint M / e - ) 1 E kx 1 q p E cnd une autre frme d E emmagasinée C E m = E c + E p E tt = E bb + E cnd énergie ttale emmagasinée P nc hv P J Ri représente la diminutin de l énergie ttale emmagasinée NB : Le caractère vectriel de certaines équatins mécaniques est vlntairement mis pur plus de clarté 6 Mreggia PCSI 011/01

7 (Mathematica) Pendule amrti avec L = 30 cm et 0 = 5 Régime apéridique = 1, et 4 Q = 4 = 1/8 Régime pseud-péridique = 1/4 et 1/8 Q = 0 = 1/40 Tris types de régimes = 4, 1 et 1/4 7 Mreggia PCSI 011/01

8 Ntins clefs Savirs : Définitin de l OH et de l OH amrti : frmes des équatins différentielles (écritures canniques) frmes des slutins (critère sur le discriminant pur les distinguer) Allure des curbes représentant le muvement en fnctin du temps Définitin du décrément lgarithmique Interprétatin énergétique du facteur de qualité (qualitativement seulement, pas de frmules) Analgies entre grandeurs électriques et mécaniques (surtut frttement et résistance) Savirs faire : Lire et interpréter les prtraits de phase de l OH et de l OH amrti Savir refaire les exemples vus en curs (pas par cœur, il faut cmprendre la méthde) 8 Mreggia PCSI 011/01