Symétries et physique quantique

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1 7.4 & 15.5 Symétries et physique quantique Quiz de bienvenue Soit une rotation, représentée par l opérateur dans l espace de Hilbert, ce qui signifie qu une fonction d onde tournée sous l action de cette rotation s écrit. On considère un système décrit par l hamiltonien supposé invariant sous l action de cette rotation. Quelle est la relation ci-dessous la plus générale qui soit toujours vérifiée?

2 1. Opérateur d évolution

3 Evolution temporelle Equation différentielle linéaire du 1 er ordre. où est un opérateur linéaire appelé l opérateur d évolution. On montre que est unitaire (exercice) : Pour un système isolé, l Hamiltonien est indépendant du temps: Dans ce cas, on montre :

4 Démonstration 1 (utilisation de la base propre)

5 Démonstration 2 (développement en série entière)

6 2. Invariance et commutation

7 Notion de groupe de symétrie L ensemble des transformations laissant un système invariant forme un groupe que l on appelle groupe de symétrie. Il peut s agir d un groupe discret, par exemple les rotations d angle pour la molécule de benzène. Il peut également s agir d un groupe continu, appelé groupe de Lie lorsqu il est différentiable par rapport à un paramètre. Groupe des translations (pour un système homogène) Groupe des rotations (pour un système invariant par rotation comme un atome). Théorème de Noether : à toute invariance du système est associée une grandeur physique conservée (1918). Transformation Translation dans le temps Translation dans l espace Rotation dans l espace Grandeur conservée Energie Impulsion Moment cinétique

8 Invariance et commutation Soit un système invariant par l opération représentée par dans l espace de Hilbert. Mais

9 Conséquences de la relation La grandeur se conserve Démonstration immédiate à l aide du théorème d Ehrenfest Ou calcul direct de la valeur moyenne et peuvent être diagonalisés dans une même base, ce qui simplifiera souvent la recherche des états propres de l hamiltonien. Exemple : benzène PHY311 PC9

10 3. Parité

11 Opérateur parité On considère un système invariant par parité On introduit l opérateur parité Cas 1D associé à la symétrie miroir Cas 3D On peut également considérer l opérateur parité symétrie par rapport à un point correspondant à une

12 Propriétés de l opérateur parité Indiquer la ou les propriété(s) vérifiée(s) par l opérateur parité A. (observable) B. (opérateur unitaire) C. (opérateur idempotent) D. (involution) Plusieurs réponses possibles. Appuyez sur 0 pour annuler vos réponses et recommencer.

13 Système invariant par parité L invariance par parité du système se manifeste par On en déduit qu il existe une base propre commune à et Valeurs propres et vecteurs propres de l opérateur parité Les valeurs propres de sont +1 et -1. Etats symétriques (ou pairs) Etats anti-symétriques (ou impairs) Exemple: dans On peut donc chercher les états propres de symétriques ou anti-symétriques. sous la forme d états

14 Etats propres d une boîte carrée à 2D On considère une particule dans une boîte à 2D parfaitement carrée. Indiquez les fonctions qui semblent être des états propres plausibles de A B C D E + - Plusieurs réponses possibles. Appuyez sur 0 pour annuler vos réponses et recommencer.

15 4. Translations

16 Translation dans l espace Opérateur : effet de la translation dans l espace de Hilbert

17 Propriétés de l opérateur translation Indiquer la ou les propriété(s) vérifiée(s) par l opérateur translation A. (observable) B. (opérateur unitaire) C. (opérateur idempotent) D. (involution)

18 Translation infinitésimale

19 Opérateur translation sont les générateurs infinitésimaux du groupe des translations.

20 Système invariant par translation Considérons un système invariant sous l action de n importe quelle translation. L impulsion du système se conserve (d après le théorème d Ehrenfest) Principe d inertie! De manière générale, les générateurs infinitésimaux du groupe d invariance sont des constantes du mouvement (théorème de Noether). L impulsion et l hamiltonien peuvent être diagonalisés dans une base propre commune.

21 Ondes planes peuvent être diagonalisés dans une même base.

22 Impulsion et quantité de mouvement Par définition, l impulsion est le générateur infinitésimal du groupe des translations. Dans le cas d un système à une particule, l impulsion du système s écrit Si l hamiltonien s écrit permet d établir le théorème d Ehrenfest nous PHY311 PC6 Dans ce cas, impulsion = quantité de mouvement Est-ce toujours vérifié?

23 Hamiltonien en présence d un champ magnétique Pour une particule sans spin, on a alors (cf chapitre 15 ou PHY431) où l on a défini l opérateur vitesse PC2 On vérifie (cas où est uniforme)

24 Invariance de jauge Transformation de jauge On montre que l équation de Schrödinger est encore vérifiée avec les nouveaux potentiels à condition d effectuer une transformation unitaire sur la fonction d onde L invariance du système sous l action d une transformation de jauge est appelée invariance de jauge. C est un exemple d invariance sous l action d une transformation non géométrique.

25 5. Cas d un réseau cristallin Théorème de Bloch

26 Théorème de Bloch et peuvent être diagonalisés dans une même base. On pose avec est une fonction périodique de période On peut chercher les états propres de l hamiltonien d un système invariant par une translation de pas sous la forme où et

27 Etats propres pour un système périodique à 1D Energies quantifiées

28 Energie Illustration numérique du théorème de Bloch Bandes d énergie Bandes d énergies permises Bandes interdites (gaps) Masse effective m eff

29 Structure de bande Silicium Bande interdite (gap) Matériau Gap (ev) m eff /m 0 Si GaAs GaP GaN Chelikowsky & Cohen, electronic structure of silicon, Phys. Rev. B 10, 5095 (1974)

30 Cristaux photoniques Cf PHY432 La théorie des bandes peut également s appliquer à tout système périodique. Modulation périodique des propriétés optiques Cristal photonique. Bandes interdites photoniques Contrôle de la dispersion de la lumière w(k) Exemple : fibres optiques à cristal photonique Yablonovitch, Inhibited spontaneous emission, Phys. Rev. Lett. 58, 2059 (1987) P. Russel, Photonic crystal fibers, Science 299, 358 (2006)

31 Cristaux photoniques naturels 0.5 µm Jian Zi et al., Coloration strategies in peacock feathers, PNAS 100, (2003)

32 En résumé Groupes discrets Parité Translations d un réseau (théorème de Bloch) Rotations d angle fini (molécule de benzène PHY311 PC9) Groupes continus Transformation Opérateur unitaire Générateur infinitésimal Translation dans le temps Opérateur d évolution Hamiltonien Translation dans l espace Impulsion Rotation Moment cinétique (amphi 3) PC2