Propriétés asymptotiques de quelques estimateurs non-paramétriques pour des variables vectorielles et fonctionnelles.

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1 THÈSE DE DOCTORAT DE l'université PARIS 6 Spécialité : Mathématiques Option : Statistique présentée par Bertrand Maillot pour obtenir le grade de DOCTEUR DE l'université PARIS 6 Sujet de la thèse : Propriétés asymptotiques de quelques estimateurs non-paramétriques pour des variables vectorielles et fonctionnelles. Soutenue le 03/2/2008 devant le jury composé de Directeur de thèse Djamal Louani Université Paris VI Rapporteurs Hervé Cardot Université de Bourgogne Marc Hoffmann Université de Marne-la-Vallée Examinateurs Denis Bosq Université Paris VI Paul Deheuvels Université Paris VI Elias Ould-Saïd Université du Littoral

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3 Remerciements Mes premiers remerciements vont naturellement à Djamal Louani qui m'a encadré durant ces années de thèse. Je voudrais lui exprimer ma gratitude pour sa grande disponibilité, pour le temps qu'il a passé à m'aider à améliorer et compléter mes travaux, pour ses conseils avisés qui m'ont permis de mener à bien cette entreprise. Je voudrais remercier Hervé Cardot et Marc Homann pour avoir accepté d'être mes rapporteurs, ainsi que les membres de mon jury, Denis Bosq, Paul Deheuvels et Elias Ould-Saïd. Je tiens aussi à remercier Louise Lamart pour avoir toujours réglé ecacement les problèmes administratifs et pratiques avec le sourire et une bonne humeur communicative. J'adresse un remerciement aux doctorants du L.S.T.A. pour leur aide ainsi que l'ambiance décontractée et studieuse qu'ils ont su instaurer dans le bureau, avec un merci tout spécial à Mohammed, dont la gentillesse, la patience et la compétence ont rendu cette première expérience de collaboration aussi agréable qu'instructive. Je voudrais aussi exprimer ma reconnaissance, bien au delà du cadre de la co-rédaction, à Vivian. Je tiens évidemment à remercier mes amis pour les moments moins sérieux, dans l'ordre approximatif de proximité géographique : Julien, Jib malgré qui j'ai pu terminer cette thèse, Vivian encore et Virginie, Philippe et Solenne, Gabriel et Juliette, Alex et Viviane, Philippe et Claire, et Raoul. Ceux qui n'y sont pas apprendront par ces lignes que nous ne sommes pas amis, ou que je les ai oubliés... Même si son aide fut très réduite au niveau mathématiques, que seraient ces lignes si je ne remerciais pas Ségolen? Je prote d'être hors du contexte académique pour inclure ici Michel, Jean-Mi, Cédric, Karine, Kian et Ushane. Finalement, je voudrais terminer avec quelques lignes, sans doute trop courtes, pour exprimer toute ma gratitude à ma famille, et plus particulièrement mes parents, mon frère Vincent et Olivia ainsi que mémé Dédée. i

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5 Liste des travaux [] Debbarh, M. et Maillot, B Additive regression model for continuous time processes, Comm. Statist. Theory Methods 375, [2] Debbarh, M. et Maillot, B.2008 Asymptotic normality of the additive regression components for continuous time processes. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 346, [3] Maillot, B. Regression estimation for continuous time processes with values in functional spaces. Soumis. [4] Maillot, B. Conditional density estimation for continuous time processes with values in functional spaces, with applications to the conditional mode and the regression function estimators. Soumis. [5] Maillot, B. et Viallon, V. Uniform limit laws of the logarithm for nonparametric estimators of the regression function in presence of censored data. Soumis. iii

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7 Table des matières Introduction 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau Présentation des estimateurs et du cadre de travail Les modèles additifs, une solution au éau de la dimension Les variables aléatoires fonctionnelles Les variables aléatoires censurées à droite Présentation des résultats Le modèle additif pour des processus à temps continu Estimation de la densité pour des processus non stationnaires Variables fonctionnelles en temps continu Modèle de censure aléatoire à droite Additive regression model for continuous time processes 5. Introduction and motivations Notations and results Proofs Proof of Theorem Proof of Theorem Asymptotic normality of the additive regression components for continuous time processes Version française abrégée Introduction Hypotheses and Notations Results Proof Proof of Lemma Proof of Theorem Proof of Theorem Proof of Proposition : v

8 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 3 Estimation de la densité par la méthode du noyau pour des processus non stationnaires 5 3. Introduction Hypothèses et résultats Démonstrations Preuve du Théorème Preuve du Théorème Regression estimation for continuous time processes with values in functional spaces Introduction Hypotheses and results Proofs Conditional density estimation for continuous time processes with values in functional spaces, with applications to the conditional mode and the regression function estimators Introduction Hypotheses and results Proofs Uniform limit laws of the logarithm for nonparametric estimators of the regression function in presence of censored data Introduction-Motivations Notations and hypotheses Main result Corollaries-Applications Corollaries Almost sure asymptotic simultaneous condence bands for the true regression function Proofs The uncensored case Proof of Theorem A useful technical result Proof of Theorem Proof of Theorem Proofs of corollaries 6.4., and Appendix A Perspectives de recherche 35 Bibliographie 36 vi

9 Introduction L'objet de cette thèse est d'établir des résultats limites consistance, vitesses de convergence, normalité asymptotique et loi du logarithme pour des estimateurs de fonctions et de fonctionnelles liées à divers modèles. Ainsi, notre cadre de travail est multiple, regroupant le modèle additif de régression et l'estimation de la densité pour des processus à temps continu, mais aussi l'étude de la fonction de régression, du mode conditionnel, de la fonction de répartition conditionnelle et des quantiles conditionnels pour des variables fonctionnelles observées en temps continu. Enn, nous considérons l'estimation de la fonction de régression pour des variables censurées. Les estimateurs étudiés sont construits sur la base de méthodes nonparamétriques. Ils sont présentés, ainsi que la nature des données et les modèles étudiés, dans le paragraphe de cette introduction. Le paragraphe 2 présente quant à lui de façon succincte les résultats obtenus. 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau Depuis les travaux de Rosenblatt 956 et Parzen 962 portant sur l'estimation non-paramétrique de la densité de probabilité, la méthode du noyau a été très largement utilisée pour l'estimation de diverses fonctions et fonctionnelles, et de nombreux travaux ont été consacrés à l'étude des propriétés des estimateurs sousjacents. Vu l'étendu de la littérature disponible dans ce domaine, nous ne pouvons faire un exposé exhaustif et nous nous limitons donc ici à présenter les fonctions et fonctionnelles qui ont été l'objet d'une étude dans le cadre de cette thèse. Ainsi, les paragraphes qui suivent présentent la densité de probabilité, la fonction de régression, le mode conditionnel, la fonction de répartition conditionnelle et le quantile conditionnel accompagnés des estimateurs associés. Dans cette première partie, nous introduisons aussi le modèle additif de régression, le modèle de données censurées ainsi que les variables aléatoires fonctionnelles.

10 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau Introduction 0.. Présentation des estimateurs et du cadre de travail Estimation de la densité de probabilité Soit X,..., X n un échantillon de variables aléatoires identiquement distribuées, à valeurs dans R d, de densité commune f et K, appelé noyau de Parzen- Rosenblatt, une application dénie sur R d telle que Kxdx = et lim R d x R d x d R Kx = 0, d où. R d est la norme euclidienne sur R d. L'estimateur de la densité de Parzen-Rosenblatt est déni, pour tout x R d, par f n x := nh d n n x Xi K, i= où h n, appelé la fenêtre de lissage, est un paramètre tendant avec une certaine vitesse vers 0 lorsque n tend vers l'inni. Rosenblatt 956 donna dans son article l'erreur quadratique moyenne relative à l'estimation de la densité dans le cas d'observations univariées indépendantes et identiquement distribuées et où le noyau uniforme K = I [,] est utilisé I désigne la fonction indicatrice. Parzen 962 généralisa ce 2 résultat en considérant une classe très vaste de noyaux et établit aussi la normalité asymptotique, puis le cas multivarié fut traité par Cacoullos 966. De nombreux auteurs, parmi lesquels nous citons Roussas 969a, Rosenblatt 970, Borwanker 97 pour des δ-séquences incluant les estimateurs à noyau, Tran 990 et Pham et Tran 99, ont par la suite traité le cas où les variables sont dépendantes. Nous renvoyons à Bosq 998 pour une présentation détaillées des résultats dans ce contexte. Il ressort dans le cadre de structures de dépendances faibles que sous certaines conditions portant sur les coecients de mélangeance voir Doukhan 994 pour les dénitions et les propriétés des mélanges, il est possible d'atteindre les mêmes vitesses de convergence que dans le cas indépendant. Ainsi, pour une densité de probabilité deux fois continûment dérivable, sous des conditions usuelles que nous ne détaillons pas ici, il est établi, pour la convergence en moyenne quadratique, que h n n 4 4+d E fn x fx 2 = O. 2 Banon 978 fut le premier à s'intéresser à l'estimation de la densité en temps continu, dans le cas de processus de diusion sous la condition G 2 de Rosenblatt voir Rosenblatt 970 en utilisant des noyaux récursifs. L'estimateur de la densité par la méthode du noyau est donné, pour un processus X t observé pour t [0, T ], par 2

11 Introduction 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau f T x := T h d T T t=0 x Xt K dt. 3 Delecroix 979 obtint la convergence presque sûre et la convergence en moyenne quadratique des estimateurs de la densité et de la densité conditionnelle pour des processus strictement stationnaires et fortement mélangeants. Par la suite, Castellana et Leadbetter 986 démontrèrent qu'il était possible, sous certaines conditions sur les densités jointes du processus, d'atteindre une vitesse de convergence de l'estimateur de la densité en T, qu'on appelle vitesse "suroptimale" ou "paramétrique" puisqu'elle est identique aux vitesses obtenues classiquement en statistique paramétrique. h T Estimation de la fonction de régression Nadaraya 964 et Watson 964 furent les premiers à s'intéresser à l'estimation de la fonction de régression par la méthode du noyau. Soit X, Y,..., X n, Y n un échantillon de n répliques d'un couple aléatoire générique X, Y à valeurs dans R d R. La fonction de régression est l'espérance de la variable Y conditionnée par X : rx := E Y X = x. Cette grandeur est posée exister et être nie. L'estimateur de Nadaraya-Watson est alors déni comme suit n i= ik Y x X i h n, si n n i= K i= K x X i h n 0, rx := x X i h n n n i= Y i, pour n i= K x X i h n = 0. Une littérature abondante s'est développée sur l'étude de la convergence de cet estimateur. Nous renvoyons à Collomb 98, Krzy»ak et Pawlak 987, Collomb et Härdle 986, Bosq et Lecoutre 987, Györ et al. 989, Roussas 990 et Bosq 998 pour un corpus de résultats et des références plémentaires. Sous des conditions générales, la vitesse de convergence de l'estimateur de la fonction de régression est identique à celle obtenue pour l'estimateur de la densité, 4 n 4 4+d E rn x rx 2 = O. 5 L'estimateur de la fonction de régression par la méthode du noyau pour des processus à temps continu a été introduit par Cheze 992 qui établit la convergence 3

12 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau Introduction en moyenne quadratique, la convergence presque sûre et la normalité asymptotique. La vitesse suroptimale pour ce même estimateur fut obtenue par Bosq 993 et Bosq 997. Le mode conditionnel L'estimation de la fonction de régression est une méthode naturelle en vue de la prédiction, mais elle est sensible aux valeurs aberrantes et peut se montrer inappropriée dans certains cas, comme lorsque la distribution est multimodale ou fortement asymétrique. L'estimation du mode conditionnel constitue alors une alternative intéressante. Soit X, Y un couple de variables aléatoires à valeurs dans R d R d et X, Y,..., X n, Y n n copies de ce couple. On pose que le couple X, Y possède une densité jointe f X,Y et que la variable aléatoire X admet une densité marginale f X. Nous pouvons alors dénir le mode conditionnel θx, posé unique sur un compact S R d, comme étant la valeur maximisant la densité conditionnelle de Y sachant X = x, avec θx := argmax y S fy x fy x = f X,Y x, y. f X x Il s'agit en fait ici d'une version locale du mode conditionnel celui-ci étant normalement déni comme le remum pour y R d, orant l'avantage de poser l'unicité du mode conditionnel local sans exclure les distributions multi-modales. Pour estimer le mode conditionnel, on se donne deux noyaux de Parzen-Rosenblatt H et K, ainsi que deux fenêtres de lissage h H,n et h K,n et on pose f n y x := n i= H y Y i h d H,n nh d H,n x X i h H,n K n i= K x X i h K,n h K,n, si n i= K x X i h n 0, n i= H y Y i h H,n, pour n i= K x X i h K,n = 0. L'estimateur du mode conditionnel est alors déni par l'expression 6 θ n x := argmax y S fn y x. 7 Nous pouvons remarquer que cela ne dénit pas de façon unique l'estimateur plusieurs vecteurs y peuvent satisfaire la relation 7, mais le vrai mode conditionnel étant lui unique, les résultats obtenus sont valables pour tous les vecteurs satisfaisant 7. Collomb et al. 987 établirent la convergence uniforme de cet estimateur 4

13 Introduction 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau pour un processus φ-mélangeant avec d =, et Samanta et Thavaneswaran 990 obtinrent la normalité asymptotique. Pour des références plus récentes sur l'estimation du mode conditionnel, nous renvoyons à Quintela-Del-Río et Vieu 997, Berlinet et al. 998 et Louani et Ould-Saïd 999. Dans le cas de processus à temps continu, il n'y a, à notre connaissance, aucune publication sur le sujet. La fonction de répartition conditionnelle et les quantiles conditionnels La fonction de régression et le mode conditionnel ont tous deux l'inconvénient de ne fournir qu'une valeur prédictive sans nous renseigner sur la probabilité que la réalisation soit proche de celle-ci c'est à dire sans décrire la distribution de la variable conditionnée. La fonction de répartition conditionnelle nous donne la probabilité que la variable d'intérêt appartienne à un intervalle donné, tandis que les quantiles conditionnels permettent la construction d'intervalles de prédiction. Ils apportent par conséquent tout deux un complément d'information fort utile sur le comportement de la variable d'intérêt. Nous considérons le même échantillon que celui introduit dans la présentation de l'estimation de la fonction de régression. La fonction de répartition conditionnelle, dénie par la relation F y x := P Y y X = X, est posée admettre une version régulière, et nous l'estimons par la statistique F n y x := n i= I x X ],y]y i K i h n, si n i= K x X i h n n i= K x X i h n 0, n n i= I ],y]y i, pour n i= K x X i h n = 0. Nous pouvons constater que cet estimateur correspond à celui de la régression de la variable aléatoire I ],y] Y par rapport à la variable X. Pour x R d, nous posons alors que la fonction de répartition conditionnelle F y x est continue et strictement croissante sur un intervalle [a, b], et dénissons, pour tout θ [F a x, F b x], le quantile conditionnel u θ x comme vériant l'équation F u θ x x = θ. Un estimateur naturel du quantile conditionnel est alors donné par û θ x := u, F u x θ. u R L'estimation des quantiles conditionnels fut traitée pour la première fois par Roussas 969b dans le cas de processus de Markov, en utilisant un estimateur de la fonction de répartition conditionnelle déni comme étant l'intégrale de l'estimateur de la densité conditionnelle. Pour des références sur le sujet, nous renvoyons tout particulièrement à Berlinet et al

14 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau Introduction 0..2 Les modèles additifs, une solution au éau de la dimension. Comme nous pouvons le voir dans la relation 5, la vitesse de convergence de l'estimateur de la fonction de régression est une fonction décroissante de la dimension de la covariable. Ce fait, appelé le éau de la dimension, traduit la dispersion des données lorsque la dimension augmente. Ainsi, si nous considérons l'intervalle [0, ], nous pouvons le partitionner en 0 intervalles de longueur /0 tandis qu'il faut, en dimension d, 0 d hypercubes d'arête de longueur /0 pour partitionner [0, ] d. Par conséquent, si nous considérons une variable aléatoire à valeurs dans [0, ] d, il faut avoir un échantillon de taille 0 d+ pour avoir en moyenne autant d'observations par hypercube d'arête de longueur /0 qu'il y en a par intervalle de longueur /0 pour un échantillon de taille 00 en dimension. Parmi les travaux qui se sont proposés d'apporter un solution au problème posé par cette dispersion des données en grande dimension, on peut distinguer deux types d'approches. La première consiste en une diminution de la dimension des variables par projection sur un espace de dimension moindre, comme la projection pursuit, technique qui fut proposée par Kruskal 969 et adaptée à l'estimation de la fonction de régression par Friedman et Stuetzle 98. La seconde propose de faire des hypothèses sur la forme de la fonction de régression comme dans les modèles additifs généralisés dont nous savons depuis les travaux de Stone 985 et Stone 986 qu'ils permettent d'obtenir une vitesse de convergence identique à celle du cas univarié. Si cette approche a l'avantage de donner un résultat plus aisément interprétable que la projection pursuit, elle est cependant moins souple puisqu'elle pose que la fonction de régression s'écrive comme la somme de fonctions des composantes de la variable explicative. Pour ψ une fonction mesurable à valeurs dans R et x = x,...x d R d, le modèle s'écrit m ψ x := E ψy X = x = µ + d m l x l, l= où les fonctions m l, l [, d], sont appelées les composantes additives et sont dénies à une constante additive près. Cela implique que nous devons imposer une contrainte plémentaire an que le modèle soit identiable, la plus courante étant Em l X l = 0, l [0, d]. Le backtting voir Hastie et Tibshirani 990 pour une présentation détaillée de celui-ci, basé sur un algorithme itératif, est facilement implémentable et constitue par conséquent la méthode la plus utilisée en pratique pour estimer les composantes additives. En contre partie, la nature algorithmique de cette méthode rend malaisée 6

15 Introduction 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau l'étude théorique des propriétés asymptotiques de l'estimateur associé nous renvoyons à Opsomer et Ruppert 997 et Opsomer 2000 pour des résultats sur le sujet. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la méthode d'intégration marginale introduite par Newey 994, Tjøstheim et Auestad 994 et Linton et Nielsen 995 et dont nous rappelons le principe dans ce qui suit. Nous considérons à nouveau un échantillon de n répliques d'un couple aléatoire X, Y R d R. Soient q,..., q d d fonctions de densité dénies sur R avec d 2. Pour x = x,..., x d R d et x l = x,...x l, x l+,..., x d, nous posons qx := d i= q ix i, q l x l := i l q ix i et η l x l := m ψ xq l x l dx l m ψ zqzdz. R d R d Cela permet de réécrire la fonction de régression comme suit d m ψ x = η l x l + m ψ zqzdz. 9 R d i= Un estimateur naturel de la fonction de régression additive est alors donné par avec m ψ,n,add x := d η l,n x l + m ψ,n zqzdz 0 R d l= m ψ,n x := m ψ,n,l x := η l x l := n ψy i K x Xi 3 i= nh d ˆf,,n n X i n xl X K n,l x l X i, l K2 h,n h 2,n i= nh,n h d f ψy i, 2,n n X i m ψ,n,l xq l x l dx l m ψ,n,l xqxdx, R d R d h,n où K, K 2 et K 3 sont des noyaux de Parzen-Rosenblatt et f n est l'estimateur de la densité déni en. Il est à noter que les fonctions η l, l [,..., d], sont égales, à une constante additive près, aux composantes additives m l ; il s'agit donc de composantes additives satisfaisant d'autres conditions d'identiabilité. Dans le cadre de cette thèse, nous avons traité le modèle additif en temps continu qui est présenté plus bas dans la section 0.2. de cette introduction Les variables aléatoires fonctionnelles. Si la qualité de l'estimation réduit considérablement lorsque la dimension augmente, il est naturel de s'interroger sur la vitesse de convergence des estimateurs 7

16 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau Introduction non-paramétriques lorsque la covariable est à valeurs dans un espace fonctionnel de dimension innie. Ce type de variables se retrouvant dans de nombreux domaines, comme la météorologie, la chimie quantitative, la biométrie, l'économétrie ou l'imagerie médicale voir Frank et Friedman 993, Hastie et al. 995, Ramsay et Silverman 2002, Ferraty et Vieu 2006 pour des exemples de situations où des variables fonctionnelles sont impliquées, un intérêt croissant s'est développé pour l'étude de celles-ci. De plus, en raison de la précision des appareils de mesure modernes et de l'importante capacité de stockage qu'orent les systèmes informatiques actuels, il est possible d'obtenir une discrétisation très ne des données qui sont par conséquent très proches des courbes étudiées. Les premiers travaux à envisager le cas de variables aléatoires fonctionnelles sont ceux de Rao 958 et Tucker 958 qui s'intéressèrent à l'analyse en composantes principales, mais l'intensication des recherches sur le sujet est récente. Frank et Friedman 993 rent une comparaison des diérentes méthodes de régression paramétrique pour variables fonctionnelles alors développées que sont la ridge regression dont le principe a été posé par Hoerl et Kennard 970, la régression sur composante principale Massy 965 et la régression partial least square voir Helland 990. Cet article fut suivi d'un commentaire de Hastie et Mallows 993 qui remarquèrent que ces méthodes, qui ne prennent pas en considération la nature fonctionnelle des données, ne sont pas adaptées lorsque les courbes ne sont pas lisses ou mesurées avec des erreurs ni lorsque la discrétisation des courbes n'est pas réalisée aux mêmes points, ce qui est souvent le cas en pratique. Par la suite, plusieurs auteurs ont proposé des modèles qui tiennent compte de la nature fonctionnelle des variables voir Ramsay et Silverman 997, Cardot et al. 999, Bosq 2000 et Cuevas et al Les modèles pleinement non-paramétriques pour les variables fonctionnelles ont quant à eux été introduits par Ferraty et Vieu, tout d'abord en utilisant la dimension fractale Ferraty et Vieu 2000 et Ferraty et al. 2002, an de maîtriser la probabilité que la variable appartienne à de petites boules, sans faire intervenir la notion de densité. Ils assouplirent par la suite cette condition Ferraty et Vieu 2004 en imposant au processus X i à valeur dans un espace fonctionnel H les conditions suivantes, pour tout x C, 0 < β φh P X Bx, h φhβ 2, 0 < β 3 ψh P X i, X j Bx, h Bx, h ψhβ 4, 2 i j où C est un compact de H auquel on restreint l'étude, Bx, h est la boule de centre x et de rayon h dénie par la semi-métrique de l'espace H, β, β 2, β 3, et β 4 sont 4 réels positifs, et φ et ψ sont des fonctions positives dépendant des propriétés du processus Les variables aléatoires censurées à droite La modélisation de la probabilité d'apparition d'un événement au cours du temps est un problème rencontré dans un grand nombre de domaines et de dis- 8

17 Introduction 0. L'estimation non paramétrique par la méthode du noyau ciplines. Ce problème est souvent lié à la notion de durée de survie, rencontrée à l'origine dans les études d'essais cliniques et par la suite en abilité et en économie. il se trouve dans certains cas que la participation d'individus à une étude est interrompue pour une raison indépendante du sujet d'intérêt. On parle alors d'un cas de censure car la durée de survie n'a pas été observée intégralement pour tous les participants. Le cadre décrit ici présente plus précisément la censure à droite qui est aléatoire si les interruptions de participations à l'étude se produisent de façon aléatoire et le nombre total de durées de survie observées complètement est aléatoire. Outre le modèle de censure déterministe, dit de type I, des modèles de censures de type II alliant une date de censure aléatoire et une composante déterministe imposant une contrainte sur le nombre de durées de survies eectivement observées ont aussi fait l'objet d'étude dans la littérature nous renvoyons à Koul et Deshpande 995 pour une présentation de résultats sur les variables censurées. Le travail effectué dans le cadre de cette thèse considère la censure aléatoire à droite où n'est observé que le minimum entre la durée de survie et l'instant aléatoire de censure. La question posée est d'expliquer la durée de survie Y sujette à une censure C par une variable aléatoire vectorielle X. Pour ce faire, nous disposons de n copies indépendantes X i, Y i, C i du triplet X, Y, C. Nous posons naturellement que la variable de censure C est indépendante du couple X, Y. Notons que les observations se résument à l'échantillon Z i, δ i, X i, i =,..., n, où Z i est le minimum entre Y i et C i, δ i = si Z i = Y i et δ i = 0 sinon : Z i = Y i C i δ i = I [,Ci ]Y i. 3 L'estimateur de la fonction de survie d'une variable aléatoire est celui de Kaplan et Meier 958 qui se présente comme suit. Si G est la fonction de répartition de la variable de censure C, alors l'estimateur de la variable de censure C, alors l'estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie de C est déni, avec les conventions = et 00 =, par G nu := i:z i u δ Nn Z i i, pour tout u R 4 N n Z i où N n x = n i= I {Z i x}. Il ressort alors qu'un estimateur à noyau IPCW Inverse Probability of Censoring Weighted, voir Carbonez et al. 995 et Kohler et al de la fonction de régression est donné par m ψ,n,hx := n j= K x Xj h n i= K x X i h δ i ψz i G nz i. 5 9

18 0.2 Présentation des résultats Introduction 0.2 Présentation des résultats Les processus à temps continu seront étudiés dans les cinq premiers chapitres de cette thèse. Les deux premiers chapitres portent sur l'estimation de la fonction de régression additive, le troisième chapitre s'intéresse à l'estimation de la densité dans le cas où le processus est non stationnaire et les chapitres 4 et 5 traitent des variables aléatoires fonctionnelles. Finalement, nous nous intéressons dans le chapitre 6 à des variables aléatoires indépendantes censurées Le modèle additif pour des processus à temps continu Hormis les processus à trajectoires irrégulières pour lesquels l'estimateur de la fonction de régression converge à la vitesse paramétrique, les processus à temps continu subissent, comme les processus à temps discret, le éau de la dimension. Il semble donc naturel de s'intéresser aux modèles additifs qui, comme nous l'avons vu pour les processus à temps discret, apportent une solution à ce problème. Le cas de variables aléatoires mélangeantes a été traité par Camlong-Viot et al dans le cas β-mélangeant et par Camlong-Viot et al pour des processus α-mélangeants, mais aucun travail ne porte sur les processus à temps continu. L'estimateur de la fonction de régression additive par la méthode d'intégration marginale est dans ce cas donné par avec m ψ,t,add x = d η l x l + m ψ,t xqxdx 6 R d l= η l x l := m ψ,t x := m ψ,t,l x := m ψ,t,l xq l x l dx l m ψ,t,l xqxdx, R d R d T W T,t xψy t dt avec W T,t x = K x Xt 3 h,t 0 T h d ˆf,T T X t, T WT,txψY l t dt avec WT,tx l = K xl X t,l x l X t, l K2 h,t h 2,T 0 T h,t h d f 2,T T X t où f T est l'estimateur de la densité déni en 3. Nous nous intéressons dans le chapitre aux vitesses de convergence en moyenne quadratique et de convergence presque sûre de la fonction de régression additive, et obtenons des vitesses identiques au cas univarié. Dans le chapitre 2, nous établissons la normalité asymptotique des composantes additives η l. En temps continu, pour obtenir la normalité asymptotique d'un estimateur, il faut imposer des conditions assurant que celui-ci ne converge pas 0

19 Introduction 0.2 Présentation des résultats trop vite vers la fonction à estimer voir Cheze 992. Par conséquent, en plus de la normalité asymptotique, nous établissons sous des conditions moins contraignantes, pour tout α, β ]0; 2 [ ] 2 ; [, en notant Q α le quantile d'ordre α d'une loi normale centrée réduite, que lim inf T k T P 2k+ A { η l,t x l η l x l h k l,t b l x l } [Q α ; Q β ] β α, 7 où A est une constante non nulle vériant A lim T + T 2k 2k+ Varˆηl,T x l /2 et b l x l = ck k! R uk K l udu k m k l x l m R lzq k l zdz, avec c une constante et K l un noyau à valeurs dans R Estimation de la densité pour des processus non stationnaires L'étude de la convergence de l'estimateur de la densité par la méthode du noyau pour des processus non stationnaires s'appuie généralement sur des hypothèses vériées par les processus stationnaires. L'objectif du chapitre 3 est de tirer parti de la non stationnarité pour atteindre, pour certains processus, de meilleures vitesses de convergence, et obtenir, pour d'autres processus, la consistance de l'estimateur lorsque le coecient de mélangeance ne satisfait pas les hypothèses habituelles. Pour ce faire, nous introduisons un estimateur qui pondère les observations en fonction de leur localisation dans le temps : f T x := f T x, φ := φt h d T T 0 φ uk x h T, X u h T du, où φ est une application continûment dérivable sur ]0; + [, nulle et continue à l'origine, et strictement croissante et φ est sa dérivée et sert à pondérer les observations en fonction de l'instant de réalisation. En fait, ce type de pondération revient à un changement de temps, et nous obtenons donc que la vitesse de convergence presque sûre est identique à la vitesse classique, avec φt dépendant de la distribution du processus, donc inconnue à la place de T. Nous proposons alors une méthode permettant de sélectionner la fonction φ satisfaisant nos hypothèses parmi un ensemble ni de fonctions données et permettant de donner la meilleure vitesse de convergence Variables fonctionnelles en temps continu Les modèles non-paramétriques pour les variables fonctionnelles introduits par Ferraty et Vieu sont récents mais plusieurs résultats majeurs ont néanmoins été produits. Ainsi, la convergence presque sûre Ferraty et Vieu 2004, la convergence en moyenne quadratique et la normalité asymptotique Ferraty et al. 2007

20 0.2 Présentation des résultats Introduction et Attouch et al de l'estimateur de la fonction de régression ont été obtenues tandis que Ferraty et al ont établi la convergence presque sûre des estimateurs de la fonction de répartition conditionnelle, des dérivées de la densité de probabilité conditionnelle, du mode conditionnel et des quantiles conditionnels. Le but des chapitres 4 et 5 est d'établir ce type de résultats dans le cas de processus à temps continu. De nombreux phénomènes physiques, comme le champs magnétique terrestre, les ondes sismiques ou les isothermes et les isobares en météorologie, peuvent en eets être représentés par des variables aléatoires fonctionnelles en temps continu. Nous considérons un processus {X t, Y t } t R + observé pour t [0, T ], où Y t est une variable aléatoire réelle et X t est à valeurs dans un espace métrique H. Nous imposons toujours la relation tandis que la condition fondamentale 2 devient alors, pour un certain δ > 0, pour C un compact de H et pour tout réels positifs s et t tels que t s > δ, x C P X s Bx, h, X t Bx, h β 3 φh 2. Dans le chapitre 4, nous introduisons une fonction Ψ dénie sur R 2 et dénissons la fonction de régression généralisée que nous estimons par r T x, y := T rx, y = EΨy, Y 0 X 0 = x Ψy, Y t=0 tkh T dx, X tdt T t=0 Kh T dx, X, si T t=0 tdt Kh T dx, X tdt 0, T Ψy, Y T t=0 tdt, pour T t=0 Kh T dx, X tdt = 0. Nous montrons que la vitesse de convergence uniforme en y et en x de cet estimateur est identique à celle obtenue dans le cas discret pour un estimateur de la fonction de régression simple, i.e., de l'ordre de O h η T + lnt où η est un T φh T paramètre dépendant de la régularité de la fonction de régression, et en déduisons en corollaire la convergence des estimateurs de la fonction de répartition conditionnelle et des quantiles conditionnels. Sous des hypothèses plus fortes concernant la structure de dépendance et pour un choix spécique du noyau K, nous montrons qu'il est possible d'atteindre la vitesse de convergence en probabilité vers 0 suroptimale, ln m T à savoir O. T Dans le chapitre 5, nous nous intéressons à l'estimateur de la densité conditionnelle. Soient C et S des compacts de l'espace métrique H et R d respectivement, notre estimateur est alors déni, pour tout x, y C S, par 2 8

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