ESSAI DE 12 CRÉDITS ÉVALUATION RISQUE-NEUTRE DES CAT BONDS AVEC. Mathieu Parcollet ( ) EXPOSITION AU RISQUE DE CHANGE

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1 ESSAI DE 12 CRÉDITS ÉVALUATION RISQUE-NEUTRE DES CAT BONDS AVEC EXPOSITION AU RISQUE DE CHANGE Mathieu Parcollet ( ) MAÎTRISE EN INGÉNIERIE FINANCIÈRE Directeur : Van Son Lai Lecteur : Bernard Lamond 22 avril 2012

2 Table des matières 1 Introduction 4 2 Présentation des CAT bonds Motivation économique Définition rigoureuse Structure Déclencheurs Hasard moral et risque de base Aperçu du marché des CAT bonds Revue de littérature Évaluation des CAT bonds Incomplétude des marchés en présence de catastrophes naturelles Évaluation risque-neutre des CAT bonds Modèles d équilibre Modélisation du taux de change Objectif de l essai Modèle d évaluation Cadre d analyse Dynamique de l économie Prix d une option d achat sur devise Indice de catastrophes naturelles Évaluation analytique Structure des flux monétaires Mesure martingale forward Formule générale pour le prix du CAT bond Indépendance entre les catastrophes naturelles et le reste de l économie Simulation Monte Carlo Position du problème Méthode de Joshi et Leung adaptée à l évaluation des CAT bonds Description générale Conditionnement sur le premier saut Simulation de trajectoires et échantillonnage préférentiel Calcul du prix par trajectoire Algorithme

3 5.2.6 Exemple de simulation d une trajectoire Résultats numériques Choix des valeurs pour les paramètres Impact du risque de catastrophe Analyse de sensibilité aux paramètres de l économie Impact de la variance du taux de change Impact de la variance des taux d intérêt Influence de la structure de corrélation Influence du niveau des taux d intérêt Discussion Conclusion 30 3

4 Introduction 4 1 Introduction À la suite de l ouragan Andrew qui leur causa dix-sept milliards de dollars de pertes, les compagnies d assurance et de réassurances ont cherché des moyens de financer les catastrophes naturelles de grande sévérité en se tournant vers les marchés de capitaux. On a alors assisté au début des années 1990 à l essor de produits financiers nouveaux négociés sur les marchés de gré à gré, les insurance-linked securities, dont le rôle est, par un mécanisme de titrisation, de transférer le risque catastrophique aux investisseurs sur les marchés. Au sein de cette famille d actifs, les catastrophe bonds (CAT bonds) sont les plus populaires et les plus importants en terme de volume. Il s agit d obligations dont le versement des coupons et le remboursement du montant principal sont suspendus en cas d événement majeur. L objectif de cet essai est d élaborer un modèle d évaluation des CAT bonds prenant en compte le risque de change en sus du risque de catastrophe. La grande majorité des CAT bonds est en effet émise en dollars américains pour une question de liquidité, exposant l émetteur dont le dollar n est pas la devise à un risque de change qu il est contraint de subir. Ce risque devrait donc être rémunéré, ce qui se modélise en général par l introduction d un coût de couverture dans l évaluation du prix. Cet essai se propose d étendre l unique contribution à ce sujet, due à Poncet et Vaugirard (2001), en considérant un univers qui admet la présence d événements catastrophiques, ce que ces auteurs ont négligé. Après une brève présentation des CAT bonds et de leur économie, le modèle de valorisation sera détaillé et on démontrera analytiquement une formule de prix partiellement explicite avec risque de change. Le calcul numérique de cette formule sera ensuite étudié ; on utilisera en particulier des méthodes de simulation Monte Carlo récentes et efficaces qui résolvent les problèmes techniques liés à l implémentation et donnent une bonne précision du résultat. Enfin, les propriétés du modèle seront analysées à travers une analyse de sensibilité aux paramètres.

5 Présentation des CAT bonds 5 2 Présentation des CAT bonds 2.1 Motivation économique Les CAT bonds sont conçus pour protéger leur émetteur des événements rares mais d une grande sévérité qu il n est pas commun de couvrir par réassurance. Un contrat pour un pareil aléa serait particulièrement onéreux puisqu un réassureur qui intervient dans une zone géographique sensible est déjà très exposé. Les CAT bonds sont moins une alternative à la réassurance traditionnelle qu un complément. Ils ont par ailleurs la propriété d emmener le risque de catastrophe sur un territoire où il est absent a priori, les marchés financiers. Ils orientent ainsi ce risque vers les agents économiques qui désirent le prendre. Ces derniers y trouvent en outre un outil intéressant de diversification pour leurs portefeuilles, car les CAT bonds ont des rendements faiblement corrélés avec ceux du marché, sinon décorrélés (Litzenberger et al. (1996)). On dit alors que les CAT bonds sont des actifs "zéro-beta". Le dernier avantage majeur d un tel investissement est qu il promet de forts rendements, plus juteux que ceux des obligations classiques qui se voient attribuer la même note par les agences. On peut cependant reprocher aux CAT bonds leur coût initial élevé pour l émetteur, dû notamment à la création du SPV (Canter et al. (1996)). Du point de vue de l investisseur, leur inconvénient est la marge à financer en cas d adversité, qui s élève à 100% de la mise de départ. 2.2 Définition rigoureuse Structure Un CAT bond prend la forme d une obligation classique qui verse des intérêts sous forme de coupons à intervalle régulier en échange d un montant initial prédéfini. Sa singularité vient du fait que les flux monétaires promis à l investisseur sont contingents à l absence de catastrophe naturelle avant la maturité du produit ; si un indice de risque naturel - ou un indice de pertes du secteur de l assurance - atteint un seuil prédéterminé, le détenteur du CAT bond perd soit ses coupons, soit la valeur faciale, parfois même les deux, cela dépend du contrat initial. Une analogie apparaît clairement entre le risque de catastrophe naturelle et le risque de défaut d une obligation de catégorie spéculative. Le CAT bond est émis par un fonds commun de créance (Special-Purpose Vehicle en anglais, abrégé en SPV) créé à dessein et situé dans une zone à fiscalité avantageuse, comme les îles Caiman. Ce montage aboutit à un instrument financier purement lié aux catastrophes, puisqu il a été détaché du risque de crédit du sponsor. L argent reçu à l émission du CAT bond sous forme de valeurs faciales alimente ensuite un fonds chargé d indemniser le sponsor s il survient un événement catastrophique pour qu il

6 Présentation des CAT bonds 6 puisse faire face à ses obligations, à savoir rembourser les assurés ayant subi des dégâts matériels. En attendant, le SPV investit l argent à court terme dans des actifs peu risqués, par exemple des bonds du Trésor américain, et verse aux investisseurs des coupons à taux variable, c est-à-dire de la forme LIBOR + prime de risque. Les détenteurs de CAT bonds prennent souvent position dans un swap pour garantir leur taux. Le schéma suivant illustre la structure qui vient d être décrite : FIGURE 1: Structure typique d un CAT bond Certes conçus pour être des produits purement liés au risque de catastrophe naturelle, les CAT bonds sont néanmoins sujets à d autres risques, notamment le risque de contrepartie venant du swap de taux, le risque de taux d intérêt inhérent à toute obligation, et le risque de change qui fait l objet cet essai Déclencheurs Il est fondamental de pouvoir déterminer de manière formelle et impartiale l instant où l on constate une catastrophe naturelle d une ampleur suffisante pour "déclencher" le CAT bond, c est-à-dire suspendre le paiement des flux monétaires futurs vers l investisseur et indemniser le sponsor. Cette tâche est remplie par un paramètre qu on appelle l événement déclencheur (trigger). Cummins (2008) recense trois types de déclencheurs : déclencheur d indemnité : le CAT bond est déclenché en fonction du niveau des pertes de l émetteur ; déclencheur indiciel : les flux monétaires dépendent du niveau d un indice spécifié au préalable ;

7 Présentation des CAT bonds 7 déclencheur hybride : fait intervenir plusieurs déclencheurs dans un seul CAT bond. Un détail mérite d être précisé ; le déclenchement est arbitré sur une zone géographique précise et clairement définie dans le contrat. Par exemple, le séisme survenu au large du Japon le 11 mars 2011 n a déclenché pratiquement aucun des CAT bonds qui concernaient l archipel nipponne, car leur envergure était limitée à la ville de Tokyo et sa banlieue, qui ont été épargnées. Il existe encore une grande variété de déclencheurs indiciels. On recense trois catégories d indices : indice de pertes de l industrie : déclenchement quand les pertes sur l ensemble du secteur de l assurance provoquées par un événement catastrophique atteint un certain seuil. On peut donner en exemple l indice PCS (Property Claim Services), NatCatSERVICE de Munich Re ou encore PERILS ; indice fondé sur un modèle : indice calculé à partir d un modèle fourni par une entreprise de modélisation des catastrophes, comme Applied Insurance Research, Equecat ou Risk Management Solution ; indice paramétrique : déclenchement par une mesure physique spécifique, comme la vitesse du vent pour un CAT bond sur ouragan, ou un niveau sur l échelle de Richter pour un tremblement de terre Hasard moral et risque de base Quel déclencheur choisir? La réponse résulte d un équilibre entre le hasard moral et le risque de base (Doherty (1997)). Le risque de base sourd d une corrélation imparfaite entre les pertes engrangées par le cédant et les flux monétaires du CAT bond. Il s agit, ni plus ni moins, du risque que le cédant accuse des pertes qui ne soient pas comblées entièrement par les paiements du CAT bond. Parmi l éventail des déclencheurs, celui d indemnité procure le plus fort hasard moral mais n a pas de risque de base. À l opposé, le déclencheur paramétrique est pur de tout hasard moral et draine un risque de base élevé. En toute logique, le déclencheur d indemnité est le favori de l émetteur du CAT bond, que seul le risque de base concerne, mais il voue l investisseur à des désagréments dus à la vérification des pertes ; cette dernière est effectuée par un superviseur indépendant et peut prendre du temps. Par conséquent, une rémunération plus élevée est souvent demandée au CAT bond avec déclencheur d indemnité. L investisseur, lui, tend à favoriser un déclencheur paramétrique, car il est aisé d en vérifier le niveau, et ne réserve pas de mauvaise surprise. Cette confrontation entre les deux parties peut être résolue par l utilisation d un déclencheur double ou multiple.

8 Présentation des CAT bonds Aperçu du marché des CAT bonds Le premier CAT bond a été émis par Hannover Re en 1994 pour un montant de 85 M$. Après un début timide dans les années 1990, on a vu une forte accélération des émissions en 2006 et 2007 en volume comme en nombre de transactions, ce qui est mis en évidence par la figure 2. Le marché a cependant souffert de la faillite de la banque d investissement Lehman Brothers, qui jouait le rôle de partenaire financier dans quatre contrats importants. Le premier CAT bond a avoir été déclenché est le KAMP Re Ltd. émis par Zurich Financial en 2005 pour un montant de 190 M$, suite à l ouragan Katrina. FIGURE 2: Évolution du marché des CAT bonds Les émetteurs de CAT bonds sont en premier lieu les assureurs et réassureurs, mais on note aussi l émergence de sponsors institutionnels comme l état mexicain. Le plus gros émetteur est le réassureur Swiss Re. Les CAT bonds sont des produits vendus à des investisseurs institutionnels. Les premiers clients étaient des compagnies d assurance, fonds mutuels et hedge funds, mais le développement du marché a vu l apparition de fonds spécialisés dans les insurance-linked securities, qui détiennent aujourd hui près de la moitié du marché. Les premiers CAT bonds avaient une maturité pouvant aller de un à dix ans, mais l évolution récente montre que les émissions de ces deux dernières années ont dans

9 Présentation des CAT bonds 9 leur majorité une maturité de trois ans. Ils se caractérisent également par un marché secondaire encore peu développé et peu liquide ; les investisseurs ont en effet tendance à conserver ces produits jusqu à maturité. Il en découle un manque de liquidité sur ce marché et des spreads d émission élevés, ainsi qu une valorisation opaque. Cummins et Weiss (2009) observent que sur la période de 1997 à 2007, la demande représente 31,8% du volume total pour la couverture des ouragans aux États- Unis, 29,6% pour les tremblements de terre aux États-Unis, 15,2% pour les tempêtes en Europe, 11% pour les tremblements de terre au Japon et 8% pour les typhons au Japon. Quant à la répartition selon le type de déclencheur, les CAT bonds à déclencheur d indemnité occupent 30% du volume total, tandis que les déclencheurs paramétriques représentent 25,9%, les indices industriels 21,5%, les indices hybrides 14% et les indices de modèle 8,5

10 Revue de littérature 10 3 Revue de littérature 3.1 Évaluation des CAT bonds Incomplétude des marchés en présence de catastrophes naturelles Les catastrophes naturelles sont souvent modélisées par l introduction d un processus à sauts dans le processus sous-jacent, qu il s agisse d un indice paramétrique ou de pertes. Les marchés financiers sont incomplets dans cette situation ; il n est donc pas possible de mettre en œuvre une stratégie de réplication de portefeuille pour évaluer un instrument financier, et la mesure martingale équivalente n est pas unique. Pour trancher ce nœud gordien, deux méthodologies ont été développées. La première, due à Merton (1976), consiste à supposer que le risque lié aux sauts peut être entièrement éliminé par diversification ; il n est pas systématique. On dit alors que les investisseurs sont neutres par rapport au risque de catastrophe naturelle. Sous cette hypothèse, l unicité de la mesure martingale équivalente tient ; l évaluation par arbitrage devient légitime. La seconde manière de procéder est d envisager un modèle d équilibre. Il s agit de postuler une fonction d utilité pour l investisseur, et de mener l évaluation en maximisant l utilité espérée sous la mesure de probabilité réelle Évaluation risque-neutre des CAT bonds L approche de Merton donne l existence et l unicité de la mesure martingale équivalente, ce qui permet, on l a dit, de raisonner par absence d opportunité d arbitrage. Les premières études de ce genre consacrées CAT bonds font fi du risque catastrophique, c est le cas de Poncet et Vaugirard (2002) qui utilisent un simple processus de diffusion pour l indice de catastrophe, dans un univers de taux d intérêt stochastique. Quoique péchant par manque de réalisme, ce modèle offre néanmoins une formule explicite de prix pour le CAT bond. Vaugirard (2002) étend le modèle en ajoutant les catastrophes naturelles au moyen d un processus de diffusion avec sauts. Vaugirard (2003) effectue le même travail en remplaçant le processus de diffusion par un processus de retour vers la moyenne. Lee et Yu (2002) proposent un modèle pour les assureurs évaluant les CAT bonds dont le sous-jacent est un processus de pertes vu sous l angle d un processus de Poisson composé, et étudient l impact sur le prix des CAT bonds du risque de défaut, du hasard moral et du risque de base. Par souci de réalisme, certaines études rendent stochastique la fréquence des catastrophes ; c est le cas de Baryshnikov et al. (2001). Dassios et Jang (2003) suggèrent d utiliser un processus de Poisson "doublement stochastique". Albrecher et al. (2004) fournissent un algorithme d évaluation par quasi-monte Carlo pour ce modèle. Cette idée est reprise par Hainaut (2010) qui introduit une composante saisonnière dans l intensité.

11 Revue de littérature 11 Une méthodologie alternative est suggérée par Jarrow (2010). En remarquant l analogie entre le risque de catastrophe et le risque de défaut, il adapte aux CAT bonds un modèle simple d évaluation des produits dérivés de crédit qui repose sur deux paramètres d entrée, la probabilité que survienne une catastrophe par unité de temps, et le pourcentage de pertes étant donnée la catastrophe. Malgré une simplicité analytique évidente, ce modèle souffre de sa dépendance à l estimation empirique des deux paramètres, rendue difficile par le manque de données Modèles d équilibre Pour résoudre le problème de l incomplétude des marchés en présence de risque catastrophique, Cox et Pedersen (1995) proposent un modèle fondé sur la technique de "l agent représentatif", qui consiste à postuler une fonction d utilité pour l investisseur, ainsi qu un processus de consommation. Le prix du CAT bond est obtenu par maximisation de l utilité espérée. Cette méthodologie est reprise par Egami et Young (2007) pour évaluer des CAT bonds structurés, c est-à-dire composés de deux tranches junior et senior. Reshetar (2008) valorise un CAT bond multi-catastrophes qui considère en particulier le risque d attentats terroristes. 3.2 Modélisation du taux de change La modélisation du risque de change est abordée de manière récurrente dans la littérature de la valorisation des options sur devise. Garman et Kohlhagen (1983) étendent la formule de Black-Scholes aux options sur devise, où le taux d intérêt étranger joue le même rôle qu un taux de dividendes. Grabbe (1983) développe un modèle où les prix des obligations domestique et étrangère sont stochastiques suivant un brownien géométrique, et obtient une formule explicite. Amin et Jarrow (1991) abordent le même problème dans le cadre de Heath et al. (1992). Hilliard et al. (1991) fournissent une généralisation des modèles précédents pour des taux d intérêt domestique et étranger stochastiques corrélés avec le taux de change. Ils montrent que le modèle où les taux d intérêt sont stochastiques est plus performant que celui avec des taux constants pour estimer le prix des options sur devises. D autres auteurs notent l importance d introduire une volatilité stochastique pour le taux de change. Hakala et Wystup (2002) adaptent le modèle de volatilité de Heston pour les options sur taux de change. Haastrecht et al. (2009) et Grzelak et Oosterle (2010) considèrent un modèle à quatre facteurs avec taux et volatilité stochastique, mais ne parviennent pas à trouver une formule explicite pour les options sur devise.

12 Revue de littérature Objectif de l essai Comme il a été évoqué en introduction, le point de départ de cet essai est le constat que la plupart des CAT bonds est émise en dollars américains pour une raison de liquidité, soumettant les sponsors dont ce n est pas la devise à un risque de taux de change non désiré au moment du transfert d argent en provenance du SPV, si le CAT bond est déclenché. L idée est que, puisque le sponsor n a pas la liberté de renoncer à ce risque, ce dernier devrait être rémunéré. Le prix du CAT bond doit donc incorporer le refus de l émetteur de subir le risque de change. Seul un article s est déjà attaqué à cette problématique, il s agit de The Valuation of Nature-Linked Bonds with Exchange Rate Risk de Poncet et Vaugirard (2001). Ces auteurs prennent en compte le risque de change en considérant que le sponsor vend des options sur sa devise pour se couvrir. Ils se placent dans un univers non catastrophique où l indice de pertes est un processus de diffusion, et aboutissent à une formule explicite. Leurs résultats indiquent que le risque de change a un effet négatif sur le prix du CAT bond, quoiqu assez faible par rapport au risque naturel. Cet essai entend reprendre le travail de Poncet et Vaugirard en joignant le risque catastrophique au risque de change, au moyen d un processus de diffusion avec sauts pour l indice de catastrophe. Un tel processus a déjà été employé par Vaugirard (2002) dans un cadre plus général, sans risque de change. De plus, en introduisant un modèle à trois facteurs de Hilliard et al. (1991) pour le taux de change, on espère pouvoir observer des propriétés plus fines du modèle.

13 Modèle d évaluation 13 4 Modèle d évaluation 4.1 Cadre d analyse Dynamique de l économie On choisit de modéliser le taux de change S t par un mouvement brownien géométrique et les taux d intérêt domestique et étranger r d et r f chacun selon le modèle de Vašíček (1977). On obtient un modèle à trois variables d état qui s écrit sous la mesure martingale équivalente domestique Q ds t /S t = (r d r f )dt + σ S dwt S dr d = κ d (θ d r d )dt + σ d dwt d dr f = κ f (θ f r f )dt + σ f dw f où κ d et κ f sont les vitesses de retour vers la moyenne, θ d et θ f sont les moyennes de long terme, σ S, σ d et σ f sont les volatilités instantanées, et Wt S, Wt d et Wt f sont trois mouvements browniens admettant la matrice de corrélation Γ = 1 ρ Sd ρ S f. 1 ρ d f.. 1 Dans le modèle de Vašíček, le prix à t de l obligation domestique zéro-coupon (ici américaine, c est-à-dire libellée en USD) payant 1$ à T est t P d (t, T ) = exp{a(τ) B(τ)r d } (2) (1) où et A(τ) = B(τ) = 1 e κ dτ κ d ( ) θ d σ2 d (B(τ) τ) σ2 d B(τ) 2 2κ d 4κ d en notant τ = T t le temps jusqu à la maturité. Le prix de l obligation étrangère zérocoupon admet une formule similaire ; il suffit de remplacer l indice d par f. Le modèle de taux de change retenu est plus complexe que celui de Grabbe (1983) utilisé par Poncet et Vaugirard (2001), qui est un modèle à deux variables d état, r d et P d S t. Il doit permettre d étudier le rôle d un plus grand nombre de paramètres.

14 Modèle d évaluation Prix d une option d achat sur devise Si on note ν 2 (τ) la variance conditionnelle du taux de change forward F(t, T ) et σ d f, σ Sd et σ S f les covariances entre les trois variables d état S t, r d et r f, alors Hilliard et al. (1991) proposent l approximation ν 2 (τ) = σ 2 S τ + τ 3 (σ2 d + σ2 f 2σ d f ) + τ 2 (σ Sd σ S f ) (3) et montrent que le prix de l option d achat sur devise dans ce modèle est C(t, T ) = P d (t, T )[F(t, T )N(d 1 ) KN(d 2 )] (4) où N(.) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, d 1 = ln(f(t, T )/K) ν2 (τ) ν(τ) et d 2 = d 1 ν(τ) Les taux de change spot et forward sont liés par la relation de parité des taux d intérêt, F(t, T ) = P d(t, T ) P f (t, T ) S t (5) Cette dernière relation sera utile par la suite dans l algorithme de simulation Indice de catastrophes naturelles Pour modéliser l indice de pertes, on reprend le processus de diffusion avec sauts utilisé par Vaugirard (2002), introduit par Merton (1976) pour l évaluation des options : di t /I t = µdt + σdw t + (Y 1)dN t (6) W t est un mouvement brownien, N t est un processus de Poisson standard d intensité constante λ N. Y est une variable aléatoire log-normale, telle que pour un instant de saut t n, I + t n = Y I t n Le choix de ce processus plutôt que d un simple processus de diffusion constitue le principal apport de ce travail par rapport à la contribution de Poncet et Vaugirard (2001), dans le cadre de l évaluation d un CAT bond soumis au risque de change. Selon l hypothèse de Merton, le risque introduit par le processus de Poisson est supposé

15 Modèle d évaluation 15 diversifiable, ce qui justifie l évaluation par arbitrage. Il faut noter par ailleurs que l indice I t n est pas un bien négociable sur le marché ; une prime de risque spécifique lui est donc associée. En considérant la Q-dynamique de I t, 6 devient di t /I t = (µ λσ)dt + σdw t + (Y 1)dN t (7) où λ est la prime de risque due aux sauts. 4.2 Évaluation analytique Structure des flux monétaires On définit l instant η de déclenchement du CAT bond comme le premier instant où l indice I t atteint le seuil de déclenchement H : η = min t 0 I t H Le flux monétaire promis du CAT bond à l échéance T est X = V 1 η>t + (1 ω)v 1 η<t = V (1 ω1 η<t ) où 1 η<t est la variable aléatoire "indicatrice" définie par { 1 si η T 1 η<t = 0 sinon En effet, si le seuil n est pas atteint avant l échéance, la valeur faciale V est restituée entièrement, mais si le CAT bond est déclenché avant l échéance, elle est amputée d une proportion ω. Pour tenir compte du risque de change, il faut ajouter le pay-off d une couverture hypothétique mise en place par le sponsor qui ne veut pas courir ce risque. Il souhaite se protéger contre une appréciation de sa monnaie contre le dollar américain, c est-à-dire contre une hausse de S t, dans le cas où surviendrait une catastrophe qui l obligerait à convertir dans sa devise l indemnisation que lui verserait le SPV. Ainsi, à l instant où le CAT bond se déclenche, le cédant prend une position longue sur un call sur sa devise pour fixer le taux de change à T. Le pay-off de cette stratégie est (S T K)1 ST >K1 η<t En ajoutant ce pay-off pour la quantité ωv /K au pay-off du CAT bond non soumis au risque de change (pay-off négatif pour l investisseur qui a vendu l option), on obtient

16 Modèle d évaluation 16 la fonction du flux monétaire total total X CAT = V ωv 1 η<t ωv K (S T K)1 ST >K1 η<t (8) Mesure martingale forward La mesure martingale forward Q T est définie comme étant la mesure équivalente quand on choisit pour numéraire l obligation sans risque zéro-coupon payant 1$ à T. Le processus de vraisemblance est défini par L t = dqt dq (9) Ft Si le prix d une obligation zéro-coupon payant 1$ à T a pour dynamique sous Q suit alors la dynamique de L t est dp(t, T ) P(t, T ) = r tdt + σ(t, T )dwt Q dl t /L t = σ(t, T )dw Q t et la relation entre un Q-mouvement brownien et un Q T -mouvement brownien est, d après le théorème de Girsanov, dw Q t = dw QT t + σ(t, T )dt (10) La propriété fondamentale de la mesure martingale forward, établie par Geman et al. (1995), est E Q [ e T t r(u)du X ] F t = P(t, T )E Q T [X F t ] (11) où P(t, T ) est le prix à t d une obligation sans risque zéro-coupon payant 1$ à T. L équation 11 est valable quelle que soit la relation de dépendance entre X et le facteur d actualisation ; il est donc clair que le passage à Q T est un outil naturel dès qu on évalue un produit financier dont les flux monétaires sont liés d une quelconque manière au taux d intérêt Formule générale pour le prix du CAT bond On note le facteur d actualisation D(t, T ) = e T t r d (u)du

17 Modèle d évaluation 17 Le prix du CAT bond est donc soit en utilisant la formule 8, P CAT (t, T ) = E Q [D(t, T )X CAT F t ] P CAT (t, T ) =V P d (t, T ) ωv E Q [ D(t, T )1η<T F t ] ωv K E [ ] (12) Q D(t, T )(ST K)1 ST >K1 η<t F t En passant à la mesure martingale forward Q T, on peut sortir D(t, T ) des deux espérances conditionnelles : [ ] P CAT (t, T ) =V P d (t, T ) ωv P d (t, T )E Q T 1η<T F t ωv K P [ ] (13) d(t, T )E Q T (ST K)1 ST >K1 η<t F t Enfin, en factorisant par V P d (t, T ), on trouve la formule générale pour le prix du CAT bond avec risque de change : { [ ] P CAT (t, T ) =V P d (t, T ) 1 ωe Q T 1η<T F t ω K E Q T [ (ST K)1 ST >K1 η<t F t ] } (14) Poncet et Vaugirard (2001) arrivent à la même équation et obtiennent ensuite une formule explicite, car quand l indice de catastrophe suit un processus de diffusion la deuxième espérance conditionnelle admet une expression analytique, établie par Heynen et Kat (1994). Avec le processus de diffusion avec sauts retenu dans ce travail, une telle expression n existe pas ; il faut imposer des hypothèses supplémentaires si l on veut pousser plus loin les calculs Indépendance entre les catastrophes naturelles et le reste de l économie Il est raisonnable de supposer que l indice de catastrophe est indépendant du reste de l économie, ce qui permet de simplifier considérablement l équation 14. On peut d abord scinder le dernier terme en deux espérances conditionnelles. De plus, la dynamique de I t reste inchangée quand on passe de Q à Q T (elle est donnée par l équation 7), ce qui signifie que E Q T [ 1η<T F t ] = EQ [ 1η<T F t ]

18 Modèle d évaluation 18 La formule de prix devient { [ ] P CAT (t, T ) =V P d (t, T ) 1 ωe Q 1η<T F t ω K E Q T [(S T K)1 ST >K F t ]E Q [ 1η<T F t ] } (15) On fait apparaître le prix de l option sur devise, { [ ] P CAT (t, T ) = V P d (t, T ) 1 ωe Q 1η<T ω C(t, T ) F t K P d (t, T ) E [ ] } Q 1η<T F t (16) On peut mettre la formule précédente sous une forme plus compacte, { ( P CAT (t, T ) = V P d (t, T ) 1 ω ) } C(t, T ) Q(η < T ) K P d (t, T ) (17) On remarque que la probabilité de déclenchement Q(η < T ) est le seul facteur n admettant pas de formule explicite. La formule de P d (t, T ) est donnée à l équation 2 et celle de C(t, T ) est donnée à l équation 4.

19 Simulation Monte Carlo 19 5 Simulation Monte Carlo 5.1 Position du problème Déterminer de manière numérique l instant où le CAT bond est déclenché constitue un problème analogue à celui de l évaluation des options barrières à temps continu. Il s agit de détecter l instant où l indice de catastrophe atteint un niveau prédéterminé, en l occurrence le seuil de déclenchement du CAT bond. Si on se contente de tester le niveau de l indice en chaque point de l intervalle de temps discrétisé, on s expose au risque que le seuil de déclenchement soit atteint entre deux pas de temps et ne soit pas détecté ; procéder de cette manière donnerait un résultat biaisé. De plus, la précision d une telle simulation est catastrophique ; il faudrait un nombre de trajectoire très important et un pas de discrétisation très petit. On ne peut pas se permettre de simuler ce modèle à l emporte-pièce. Il faut envisager une alternative non biaisée, qui soit assez souple pour s adapter aux spécificités du problème des CAT bonds, et qui ait une vitesse convenable. Une telle méthode existe pour l évaluation des options barrières. Metwally et Atiya (2002) mettent au point un algorithme fondé sur la technique du pont brownien pour évaluer de telles options dans le modèle de Merton (1976). Il consiste à exploiter le fait qu entre deux sauts, le sousjacent suit un mouvement brownien géométrique classique. Cette méthode donne des résultats non biaisés et sa vélocité surpasse largement celle d une simulation naïve. Joshi et Leung (2007) reprennent cette méthode, jointe à une technique d échantillonnage préférentiel ; cela permet d économiser du temps de calcul sur les trajectoires qui mènent à un pay-off nul quand la barrière a été atteinte. Ces auteurs mettent en exergue la vitesse de leur algorithme pour de faibles fréquences de saut. Cependant, leur méthode requiert une formule explicite pour l option barrière dans le modèle sans sauts. Ross et Ghamani (2010) proposent une autre technique de réduction de variance à la méthode de Metwally et Atiya (2002). Cet essai opte pour la méthode de Joshi et Leung (2007), qui est l une des plus récentes à notre disposition, plus récente en particulier que celle utilisée par Vaugirard (2002) pour l évaluation des CAT bonds. Elle est sans biais et, dans la mesure où l on considère des intensités faibles, elle est rapide. Dans le modèle qui a été retenu, le CAT bond admet une formule explicite quand l indice de catastrophe est sans sauts, ce qui rend cette méthode adéquate pour le problème étudié. Il faut néanmoins l adapter pour prendre en compte le taux de change et les deux taux d intérêt qui sont stochastiques.

20 Simulation Monte Carlo Méthode de Joshi et Leung adaptée à l évaluation des CAT bonds Description générale L idée de Metwally et Atiya est de générer d abord les instants de sauts, et de se déplacer entre chaque saut en simulant une loi normale pour le logarithme du sous-jacent. Ainsi, entre deux sauts, la dynamique du sous-jacent est un mouvement brownien dont on connaît le point de départ et la valeur d arrivée, c est un pont brownien. La probabilité que la barrière soit atteinte entre deux sauts est connue, elle est obtenue par la formule du maximum du pont brownien (voir par exemple Karatzas et Shreve (1991)). Au lieu de tester à chaque fois si la barrière est atteinte, Joshi et Leung utilise la méthode d échantillonnage préférentiel en modifiant la mesure de probabilité pour forcer chaque variation aléatoire du sous-jacent à ne pas franchir la barrière, et corrigent le pay-off final avec cette probabilité. De plus, ils conditionnent sur l arrivée du premier saut, de manière à utiliser la formule explicite dans le modèle de Black-Scholes dans les cas où il ne survient aucun saut avant l échéance. La simulation est donc réservée pour les trajectoires qui comprennent au moins un saut. Ainsi, cette méthode demande plus de calculs par trajectoires, mais donne une bonne précision pour un nombre de trajectoires bien moindre Conditionnement sur le premier saut On décompose le prix en fonction de l arrivée du premier saut : P CAT (t, T ) = P(t 1 > T )P CAT (t, T ) pas de saut + P(t 1 T )P CAT (t, T ) saut or le temps d attente entre chaque saut suit une loi exponentielle de densité λ N e λ Nt, d où la probabilité qu il n arrive aucune catastrophe : p = P(t 1 > T ) = e λ NT On obtient P CAT (t, T ) = pp CAT (t, T ) pas de saut + (1 p)p CAT (t, T ) saut (18) S il n y a pas de saut, l indice de catastrophe suit un mouvement brownien géométrique simple ; le prix du CAT bond admet alors une formule explicite { ( P CAT (t, T ) = V P d (t, T ) 1 ω ) } C(t, T ) Q(η < T ) K P d (t, T )

21 Simulation Monte Carlo 21 où la probabilité de déclenchement a pour expression Q(η < T ) = N(d 1 ) + ( ) 1 2γ/σ 2 I0 N(d 2 ) (19) H avec et d 1 = ln(i 0/H) + (γ σ 2 /2)T σ T d 2 = ln(i 0/H) (γ σ 2 /2)T σ T γ = µ λσ,, Il reste donc à estimer par simulation le prix du CAT bond quand il y a au moins un saut avant la maturité Simulation de trajectoires et échantillonnage préférentiel La Q-dynamique de I t est di t /I t = (µ λσ)dt + σdw t + (Y 1)dN t Entre deux sauts, I t suit un simple mouvement brownien géométrique de drift µ λσ : di t /I t = (µ λσ)dt + σdw t donc la dynamique de lni t est d lni t = (µ λσ 1 2 σ2 )dt + σdw t Notons t n 1 et t n les (n-1)-ème et n-ème instants de saut, I + t n 1 la valeur de l indice de catastrophe immédiatement après le (n-1)-ème saut, I t n sa valeur qui précède immédiatement le n-ème saut, et τ n = t n t n 1. On peut écrire la loi de passage de lni t de t n 1 et t n : lni t n N (lni +tn 1 + (µ λσ 12 ) σ2 )τ n ; σ 2 τ n (20) L algorithme pour construire une variable gaussienne Z N(µ, σ) qui soit en dessous d un réel x est Z = φ 1 (θu, µ, σ), θ = P(Z < x)

22 Simulation Monte Carlo 22 où φ(z,a,b 2 ) est la fonction de répartition de la loi normale de moyenne a et d écarttype b. Le ratio de vraisemblance dans ce cas est donc θ = Q(lnI t n < lnh) = φ (lnh ; lni +tn 1 + (µ λσ 12 ) σ2 )τ n ; σ 2 τ n (21) Y est une variable aléatoire log-normale ; elle peut s écrire Y = mexp ( 12 ) σ2jump + σ jumpϕ n, où ϕ n N(0,1) et comme I + t n = Y I t n, alors lni + t n = lni t n + lny, d où lni + t n = lni t n + ln(m) 1 2 σ2 jump + σ jumpϕ n On obtient finalement lni + t n ( N lnit n + ln(m) 1 ) 2 σ2 jump ; σ2 jump (22) Comme on va contraindre cette variable à ne pas franchir le seuil de déclenchement, le ratio de vraisemblance associé est θ 2 = Q(lnI + t n < lnh) = φ ( lnh ; lnit n + ln(m) 1 ) 2 σ2 jump ; σ2 jump (23) En notant Z t le pont brownien sur l intervalle [t n 1 ; t n ] défini par Z tn 1 = ln(i + t n 1 ) et Z tn = ln(i t n ), on a : ( ) { } P max Z t lnh t n 1 t t n I+ t n 1, It n = exp 2ln(I t n /H)ln(I t + n 1 /H) σ 2 I T Ainsi, la probabilité que le CAT bond ne soit pas déclenché pendant l intervalle [t n 1 ; t n ] est P n = 1 exp { Calcul du prix par trajectoire 2ln(I t n /H)ln(I + t n 1 /H) σ 2 I T } (24) (25) Notons t le dernier instant de saut pour une trajectoire donnée, et θ le ratio de vraisemblance agrégé de 0 à t. Alors le prix du CAT bond pour la trajectoire est θp d (t, T )P CAT (t, T )

23 Simulation Monte Carlo 23 En effet, quand le seuil de déclenchement n a pas été atteint au dernier saut, le prix du CAT bond à t est le prix d un CAT bond dans le modèle sans saut arrivant à maturité à T. Pour calculer P d (t, T ) et P CAT (t, T ), on a besoin de simuler r d (t ) et F(t, T ). La solution de l EDS de Vašíček est t r d (t ) = r d (0)e κ dt t + κ d θ d e κ dt ds + σ d Il est donc clair que r d (t ) est gaussien, avec 0 0 e κ dt dw d t E[r d (t )] = r d (0)e κ dt + θ d (1 e κ dt ) et Var[r d (t )] = σ2 d 2κ d (1 e 2κ dt ) La loi de r f (t ) est analogue. Quant a S t, on a la formule de passage entre 0 et t, ( t t ) S t = S 0 exp r d (u)du r f (u)du + σ S Wt S 0 0 Les deux intégrales sont gaussiennes mais pour les simuler, on a besoin de connaître leur loi jointe respectivement avec r d (t ) et r f (t ). L intégrale en r d est gaussienne et ses paramètres sont (voir par exemple Glasserman (2004)) et [ t ] E r d (u)du 0 = r d(0) θ d (1 e κ dt ) + θ d t κ d [ t ] Var r d (u)du = σ2 d (2κ 0 2κ 3 d t 3 + 4e κ dt e 2κ dt ) d et la covariance entre et r d (t ) et son intégrale stochastique est ( t ) Cov r d (t ), r d (u)du = σ2 d (1 2e κ dt + e 2κ dt ) 0 2κ d F(t, T ) est enfin obtenu par la relation de parité des taux d intérêt donnée à l équation 5. On a donc explicité dans cette partie comment étendre la méthode de Joshi et Leung à un modèle de taux de change à trois facteurs stochastiques indépendants de I t Algorithme Pour chaque trajectoire, 1. fixer le ratio de vraisemblance à 1 ;

24 Simulation Monte Carlo calculer le premier instant de saut en simulant une variable aléatoire de Poisson, avec importance sampling pour s assurer qu il est antérieur à T ; 3. simuler tous les instants de sauts suivants jusqu à T ; 4. pour chaque instant de saut avant la maturité, (a) calculer l accroissement gaussien de l indice de catastrophe depuis l instant de saut précédent d après 20, avec importance sampling pour s assurer que le seuil de déclenchement ne soit pas franchi. Mettre à jour le ratio de vraisemblance en le multipliant par θ ; (b) calculer la probabilité que le seuil de déclenchement soit atteint durant ce pas de temps en utilisant la formule du maximum du pont brownien. Multiplier le ratio de vraisemblance par P n donné par l équation 25 ; (c) calculer l ampleur du saut d après 22 avec importance sampling pour s assurer que le seuil de déclenchement ne soit pas franchi, et mettre à jour le ratio de vraisemblance en le multipliant par θ 2 ; 5. simuler r d (t ), r f (t ) et S t et calculer P d (t, T ) et C(t, T ) ; 6. calculer le prix du CAT bond dans le modèle sans saut à t, P CAT (t n, T ), par la formule explicite 17 ; 7. actualiser ce prix par P d (0, t n ) et le multiplier par le ratio de vraisemblance θ accumulé durant la trajectoire. On obtient le prix du CAT bond pour cette trajectoire. Il reste enfin à calculer la moyenne des prix obtenus pour chaque trajectoire, et d insérer le résultat dans l équation Exemple de simulation d une trajectoire Pour mieux comprendre comment fonctionne cette méthode numérique, on se propose de détailler étape par étape la simulation d une trajectoire. Supposons que la valeur de l indice à t = 0 est 100 et que le seuil de déclenchement est 200, avec une maturité de 1 an. On initialise le ratio de vraisemblance à 1 : θ = 1. On simule d abord les instants de sauts : deux sauts surviennent aux instants t 1 = 0,1053 et t 2 = 0,1368. logi 0 = 4,6051. Entre t 0 et t 1, logi t suit un mouvement brownien simple, logi t1 suit une loi normale. On simule logi t1 sachant I 0 et conditionnellement à logit 1 < logh. On obtient logit 1 = La probabilité que logi t1 reste en dessous de logh est θ 1 = 0,9999. On met à jour le ratio de vraisemblance : θ =

25 Simulation Monte Carlo 25 La probabilité que l indice de catastrophe n ait pas franchi le seuil de déclenchement entre t 0 et t 1 se calcule avec 25. On obtient P n = 0,9999, on met alors à jour le ratio de vraisemblance : θ = θ P n. On simule le saut qui survient à t 1 conditionnellement au fait que la valeur de l indice après le saut reste en dessous du seuil de déclenchement, et on obtient logi t + 1 = 4,7558. La probabilité que le saut ne déclenche pas le CAT bond est θ 2 = 0,9982. On met à jour le ratio de vraisemblance : θ = θ θ 2 = 0,9982. On simule logi t2 sachant logi t1 et conditionnellement à logi t2 < logh. On obtient logit 2 = La probabilité que logi t2 reste en dessous de logh est θ 1 = On met à jour le ratio de vraisemblance : θ = θ θ 1. La probabilité que le CAT bond n ait pas été déclenché entre t 1 et t 2 est P n = 1. On simule le saut qui survient à t 2 conditionnellement au fait que logi t + 2 reste en dessous de logh. On trouve logi t + 2 = La probabilité qu il n y ait pas déclenchement par ce saut est θ 2 = , ce qui donne un ratio de vraisemblance accumulé θ = θ θ 2 = Pour obtenir le prix du CAT bond pour cette trajectoire, on calcule le prix dans le modèle sans saut d un CAT bond qui commence à t 2 et dont la maturité est T = 1, que l on actualise avec P d (t 2 ), et qu on multiplie par θ qui est la probabilité cumulée de ne pas franchir le seuil de déclenchement entre t = 0 et t = T. On obtient le prix pour la trajectoire : P =

26 Résultats numériques 26 6 Résultats numériques 6.1 Choix des valeurs pour les paramètres Pour les paramètres de l indice de catastrophe, on a repris les valeurs utilisées par Vaugirard (2002) pour pouvoir comparer les résultats donnés par notre modèle avec les sien, à savoir λ = 0,1, λ N = 0,5, µ = 0,2 σ = 0,5, ω = 0,9, σ jump = 0,2 et m = 1,1, et on a conservé la proportion I 0 /H = 0,5. Voici les valeurs de référence des paramètres du modèle utilisées dans la simulation : Paramètre Description Valeur V Valeur faciale du CAT bond 1000 I 0 Niveau initial de l indice de catastrophe 100 H Seuil de déclenchement du CAT bond 200 ω Part de la valeur faciale exposée au risque de catastrophe 0,9 λ Prime de risque de catastrophe naturelle 0.1 λ N Intensité des catastrophes 0.5 µ Dérive de l indice de catastrophe 0.2 σ Volatilité de l indice de catastrophe 0.5 m Moyenne des sauts de Poisson 1.1 σ jump Écart-type des sauts de Poisson 0.2 κ d, κ f Vitesses de retour vers la moyenne des taux d intérêt 0.1 θ d, θ f Moyennes de long terme des taux d intérêt 0.1 σ S Volatilité du taux de change 0.1 σ d Volatilité du taux d intérêt domestique 0.05 σ f Volatilité du taux d intérêt étranger 0.05 ρ Sd Corrélation entre S t et r d 0.5 ρ S f Corrélation entre S t et r f -0.4 ρ d f Corrélation entre r d et r f 0.25 S 0 Niveau initial du taux de change 0,0125 K Strike de l option sur devise 0,0125 r d (0) Niveau initial du taux d intérêt domestique 0,1 r f (0) Niveau initial du taux d intérêt étranger 0,1 6.2 Impact du risque de catastrophe On présente ici le prix d un CAT bond en fonction de l intensité des sauts (c est-àdire la fréquence des catastrophes) dans le modèle avec taux de change que nous avons développé. On donne également ce prix dans le modèle de Vaugirard (2002) sans risque de change avec les mêmes paramètres pour l indice de catastrophe.

27 Résultats numériques 27 Intensité des sauts λ N Vaugirard (2002) Notre modèle On constate que la fréquence des catastrophes et le risque de change ont un impact négatif sur le prix du CAT bond. Néanmoins, le risque de catastrophe est prépondérant, dans la mesure où la différence de prix entre les modèle avec et sans risque de change est de l ordre de 1% pour les paramètres utilisés. 6.3 Analyse de sensibilité aux paramètres de l économie Rappelons l équation de la variance conditionnelle du taux de change forward, ν 2 (τ) = σ 2 S τ + τ 3 (σ2 d + σ2 f 2σ d f ) + τ 2 (σ Sd σ S f ) Comme le prix de l option sur devise est une fonction croissante de cette variance conditionnelle, une augmentation de ν 2 devrait avoir un impact négatif sur le prix du CAT bond puisqu elle représenterait une hausse du coût de couverture du risque de change. On s attend à ce que les paramètres ayant un signe positif dans cette variance aient une relation négative avec le prix du CAT bond. Il faut également regarder si ces paramètres ont un impact important ou non.

28 Résultats numériques Impact de la variance du taux de change σ S Prix du CAT bond La variance du taux de change a un impact négatif sur le prix du CAT bond, ce qui est cohérent avec la conjecture précédente Impact de la variance des taux d intérêt σ d Prix du CAT bond σ f Prix du CAT bond La variance des taux d intérêt a un impact presque nul sur le prix du CAT bond. De manière surprenante, la variance du taux domestique admet une relation positive avec le prix du CAT bond Influence de la structure de corrélation ρ Sd Prix du CAT bond ρ S f Prix du CAT bond ρ d f Prix du CAT bond En faisant varier la structure de corrélation entre les trois facteurs stochastiques, on observe que seules les corrélations avec le taux de change ont un réel impact sur

29 Résultats numériques 29 le prix du CAT bond ; les variations de la corrélation entre les deux taux d intérêt ont en revanche un impact négligeable. La corrélation entre taux de change et taux d intérêt domestique admet une relation négative avec le prix du du CAT bond, tandis que celle entre taux de change et taux étranger admet une relation positive, ce qui confirme l intuition donnée par l équation de la variance du taux forward Influence du niveau des taux d intérêt r d (0) Prix du CAT bond r f (0) Prix du CAT bond Le niveau du taux d intérêt domestique initial a un fort impact négatif sur le prix du CAT bond, essentiellement à sa contribution dans le facteur d actualisation : plus le taux d intérêt est élevé, plus le taux d actualisation est faible. Le niveau du taux d intérêt étranger a en revanche un impact très faible, négatif lui aussi Discussion L analyse de sensibilité aux paramètres qui vient d être effectuée montre que, en plus du risque catastrophique, le prix du CAT bond est principalement affecté par la variance du taux de change et ses corrélations avec les taux d intérêt domestique et étranger. Les autres paramètres ont une influence extrêmement faible. Le rôle de ces paramètres vient de leur contribution à la variance conditionnelle du taux de change forward, qui est le premier driver du prix de l option sur devise, et donc du coût de la couverture du risque de change.

30 Conclusion 30 7 Conclusion Cet essai a proposé une évaluation par arbitrage des CAT bonds soumis au risque de change. Il étend modèle de Poncet et Vaugirard (2001) en prenant en compte les événements catastrophiques au moyen d un processus de diffusion avec sauts, dans une économie à trois facteurs stochastiques, le taux de change et les taux d intérêt domestique et étranger. Le risque de change a été modélisé par l introduction d une couverture hypothétique avec une option d achat sur devise. Une formule partiellement explicite a été obtenue, dans laquelle seul l instant de déclenchement du CAT bond ne peut pas être calculé directement. Pour que le modèle soit envisageable du point de vue numérique, il a fallu choisir un modèle de taux de change qui donne une formule explicite pour le prix d une option d achat sur devise, fournie en l occurrence par Hilliard et al. (1991), et supposer que les catastrophes naturelles sont indépendantes du reste de l économie. Le calcul a été mené par simulation Monte Carlo par la méthode de Joshi et Leung (2007), fondée sur la technique du pont brownien et l échantillonnage préférentiel, qui donne une bonne précision du résultat pour un nombre très réduit de trajectoires. En terme de temps d exécution, elle est terriblement plus rapide qu une simulation brutale par discrétisation pour les intensités de sauts faibles de cette étude. Il a fallu démontrer au préalable une extension prenant en compte les trois facteurs stochastiques de l économie, ce qui requérait la loi jointe de ces variables entre deux instants quelconques. Les résultats numériques montrent que le risque de change reste faible par rapport au risque de catastrophe naturelle. L analyse de sensibilité aux paramètres a mis en évidence que la volatilité du taux de change et ses corrélations avec les taux d intérêt sont les principaux paramètres de l économie affectant le prix du CAT bond, les deux premiers ayant un impact négatif, le dernier ayant un impact positif. Cela peut être observé de manière analytique en remarquant que ce sont les facteurs qui contribuent le plus à la variance conditionnelle du taux de change forward et donc au prix de l option sur devise utilisée comme couverture.

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