Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal».

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1 «Toute théore n est bonne qu à condton de s en servr pour passer outre». ndré Gde n «Journal». Résumé L usage des los de Krchhoff permet de toujours trouver les tensons et courants dans un réseau électrque lnéare en régme quelconque. Mas la résoluton passe par un système d équatons dont la talle augmente avec celle du crcut et par conséquent des nconnues à détermner. Dans le cas de crcuts fonctonnant en régme établ, c est à dre lorsque le régme transtore est termné, l est possble d optmser la recherche des grandeurs nconnues. Celle-c fat appel aux théorèmes généraux de l électrocnétque. Le premer, le théorème de superposton, explote les proprétés des crcuts lnéares : la réponse complète d un crcut à la superposton de pluseurs grandeurs est la somme des réponses obtenues pour chacune d elle applquée seule. Mas un réseau électrque peut être assmlé à une source de tenson réelle dont on défnt la résstance nterne et la force électromotrce dans le cas du théorème de Thévenn ou la conductance nterne et le courant électromoteur dans le cas du théorème de Norton. l est possble de passer de l une à l autre de ces sources qu sont équvalentes. Enfn, lorsque le réseau est composé de nombreuses branches aboutssant à un nœud central, la tenson entre ce derner et le nœud de référence (souvent O V) s exprme très rapdement à l ade du théorème de Mllman. Sommare. ntroducton.... Les los de Krchhoff..... Lo des nœuds..... Lo des malles Méthodologe d étude...3. ntroducton aux théorèmes généraux... 3 V. Théorème de superposton... 3 V.. Défnton...3 V.. Exemple...4 V. Théorèmes de Thévenn et Norton... 4 V.. Théorème de Thévenn...4 V.. Théorème de Norton...5 V.3. Equvalence Thévenn-Norton et passage Thévenn Norton...5 V.4. utre cas d utlsaton des théorèmes de Thévenn et Norton...6 V. Théorème de Mllman... 6 décembre 99 V..55 / 6 Théorèmes généraux de l'électrocnétque

2 . ntroducton L étude des crcuts électrques lnéares est basée sur les los de Krchhoff. Leur applcaton condut à une mse en équaton dont la résoluton permet d établr les los d évoluton des dfférentes grandeurs recherchées. Ces los sont générales, s ben que leurs résultats restent valables quelque sot la nature des sgnaux applqués.. Les los de Krchhoff Dans un crcut, les los de Krchhoff sont consttuées de la lo des malles, qu trate des tensons, et de la lo des nœuds qu trate des courants... Lo des nœuds Les courants sont repérés par une flèche qu marque le sens conventonnel postf. S le courant crcule effectvement dans ce sens, la grandeur algébrque assocée est postve, snon elle est négatve. La somme algébrque des courants crculant dans les branches adjacentes à un nœud est nulle. On peut dre auss que la somme algébrque des k courants entrants dans un nœud est égale à la somme des l courants sortants (toutes les charges qu attegnent le nœud en repartent). X X 3 4 X 3 X 4 l Fgure : Exemple d applcaton de la l lo des nœuds. k k Dans l exemple de la Fgure : ou Lo des malles La tenson aux bornes d un élément est marquée par une flèche conformément à la conventon générateur ou récepteur en usage. S la tenson est effectvement dans ce sens, la grandeur algébrque assocée est postve, snon elle est négatve. Un sens de parcours conventonnel est chos pour dstnguer le sgne des tensons. La somme algébrque des tensons rencontrées en parcourant la malle dans le sens prédéfn est nulle. E u X X + u E ( ± ) v k + s vk est dans le sens de parcours. s vk est dans le sens contrare. Fgure : Exemple d applcaton de la lo des malles. Dans l exemple de la Fgure : E u + u E décembre 99 V..55 / 6 Théorèmes généraux de l'électrocnétque

3 .3. Méthodologe d étude Pour effectuer la mse en équaton pus la résoluton d un crcut électrque peut suvre une démarche qu se résume à la successon des étapes suvantes : Numéroter les nœuds et les branches ; Dans chaque branche du crcut, noter les courants par une flèche pour ndquer le sens postf et lu donner un nom, souvent, et comme ndce le numéro de la branche ; Pour chaque élément, noter la tenson à ses bornes par une flèche dans la conventon en usage (récepteur ou générateur) et lu donner un nom (même processus que les courants) ; Mettre en équaton en utlsant deux groupes de relatons : Un pour les aspects topologques (organsaton du réseau) : (n-) los des nœuds pour n nœuds recensés dans le réseau et (m-) los de malles pour m malles ndépendantes recensées. Pour trouver les malles ndépendantes, procéder à partr d une premère malle de talle mnmale, pus construre d autres malles en chosssant un élément dfférent à chaque fos pour assurer leur ndépendance, Un second pour les relatons attachées à chaque élément utlsé. Poser les hypothèses smplfcatrces. Par exemple, les courants ou tensons dentques, les contrantes mposées par certans éléments, etc. Smplfer les relatons en tenant compte des hypothèses. ce stade on dspose alors d un système d équatons toutes ndépendantes ; Résoudre le système pour en extrare les tensons et courants nconnus. Cette méthode est à la fos très rgoureuse et générale. Elle permet d attendre le résultat de manère certane. Cependant, dans la pratque, son applcaton est fastdeuse car elle nécesste la résoluton d un système d équatons lnéares. Le problème est d autant plus ardu que le nombre d nconnus est mportant. Toutefos, elle consttue une méthode satsfasante lors de la mse en équaton automatque des réseaux utlsée par les logcels de smulaton.. ntroducton aux théorèmes généraux S le fonctonnement du crcut a attent un régme permanent, la résoluton du crcut est rendue plus asée par l emplo des théorèmes généraux de l électrocnétque. On rencontre le plus souvent des grandeurs constantes, l étude est alors dte en contnu, ou des grandeurs snusoïdales, on utlse alors la notaton complexe. Dans tous les cas, les grandeurs permanentes utlsées seront notées en lettres majuscules à la dfférence des grandeurs nstantanées notées en lettre mnuscules. Pour étendre le comportement de la résstance, on utlse l mpédance qu sera notée. Cet élément rele la tenson et le courant en généralsant la lo d Ohm : U.. ttre de remarque et de comparason, en régme snusoïdal, l mpédance est une grandeur complexe, donc soulgnée. Parfos, l est préférable d utlser l admttance qu est l nverse de l mpédance. V. Théorème de superposton Pusque les crcuts étudés sont lnéares, ls en possèdent les proprétés. La prncpale est la superposton qu peut se tradure de la manère suvante : la réponse globale d un montage soums à pluseurs stmul est la somme des réponses partelles correspondant à chaque stmulus. V.. Défnton L ntensté du courant crculant dans une branche (resp. la tenson de branche) d un réseau contenant pluseurs branches est égale à la somme algébrque des ntenstés (resp. tensons) créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant étents). l y a autant de cas à superposer que de générateurs ntervenant dans le réseau. Remarque : l y a autant de cas à superposer que de générateurs ntervenant dans le réseau. décembre 99 V / 6 Théorèmes généraux de l'électrocnétque

4 V.. Exemple Sur la Fgure 3, le crcut de gauche est la superposton des deux crcuts de drote. a b + E E E E Fgure 3 : Superposton de deux réseaux. Montage E ( + ) E donc en applquant la relaton du dvseur de courant : + Montage E Le processus est le même, l sufft de fare crculer les ndces : b + + En ajoutant superposant les deux courants partels : a + b E + E + + V. Théorèmes de Thévenn et Norton Dans des réseaux complexes, on peut remplacer une porton du crcut par son équvalent lmté à une branche composée d une source et d une mpédance en sére ou en parallèle. L explotaton de cette porton de réseau est smlare au débt d une source réelle dans une charge. Suvant que l on assmle le réseau à une source de tenson ou de courant, on dstngue deux théorèmes : Thévenn et Norton. V.. Théorème de Thévenn Un réseau comprs entre deux nœuds et est équvalent à un générateur ndépendant de tenson parfat E en sére avec le dpôle composé (Fgure 4). E représente la tenson u lorsque la porton de réseau débte dans un crcut ouvert (tenson à vde). est l mpédance entre les ponts et lorsque toutes les sources ndépendantes sont étentes.? U E Fgure 4 : llustraton du théorème de Thévenn. Thévenn (Léon), physcen franças (857-96). Exposé du théorème en 883. Norton (), scentfque amércan. décembre 99 V / 6 Théorèmes généraux de l'électrocnétque

5 Exemple (sur la Fgure 3, on recherche la source de Thévenn entre les ponts et ) : Les sources sont étentes, subsstent deux mpédances en parallèle : ; + Sans charge, la tenson est E E + E. + V.. Théorème de Norton Un réseau comprs entre deux nœuds et est équvalent à une source ndépendante de courant réelle en parallèle avec un dpôle composé d admttance (Fgure 5). est le courant électromoteur, c est à dre lorsque la porton de réseau débte dans un court-crcut. est obtenue lorsque toutes les sources ndépendantes sont étentes (comme pour Thévenn).? Fgure 5 : llustraton du théorème de Norton. Exemple (sur la Fgure 3, on recherche la source de Norton entre les ponts et ) : + Les sources sont étentes, subsstent deux mpédances en parallèle : ; En court-crcut, le courant est E E E + E +. V.3. Equvalence Thévenn-Norton et passage Thévenn Norton Les schémas équvalents de Thévenn et de Norton sont transposables l un à l autre (Fgure 6). E Fgure 6 : transposton Thévenn-Norton. Vu de et (sources étentes), on observe toujours. vde : U E.. En court-crcut : E. décembre 99 V / 6 Théorèmes généraux de l'électrocnétque

6 V.4. utre cas d utlsaton des théorèmes de Thévenn et Norton S un montage comporte un (ou des) élément(s) non lnéare(s), l applcaton des los de Krchhoff ne fournt pas de relaton asées pour les éléments. On peut donc séparer le montage en deux partes : la premère content tous les éléments lnéares et la seconde, les éléments non lnéares. La parte lnéare est transformée grâce à l applcaton des théorèmes de Thévenn ou de Norton (Fgure 7). Le problème est alors convert en débt d une source dans un dpôle non lnéare qu sera résolu par une méthode graphque ou numérque. ou E Parte lnéare du montage transformée en sa source équvalente U Parte non lnéare du montage conservée (car non transformable) Fgure 7 : séparaton en deux sous-réseaux. V. Théorème de Mllman 3 Le théorème de Mllman, appelé auss théorème des nœuds, permet de détermner le potentel d un noeud (Fgure 8) où aboutssent des branches composées d un générateur de tenson réels. V n n E n E E E n Fgure 8 : llustraton du théorème de Mllman. V La démonstraton de ce théorème consste à transformer chaque branche en source de courant, de courant électromoteur : Le courant résultant E E crcule dans l mpédance parallèle équvalente. La tenson V s écrt donc : V Exemple (sur la Fgure 3, la détermnaton de la tenson aux borne de est mmédate) : U E E + + ( E + E) Mllman (), décembre 99 V / 6 Théorèmes généraux de l'électrocnétque

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