Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

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1 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique) ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable en a si le tau d accroissement f f ( a) admet une ite finie quand tend vers a. a f ' a. Cette ite, appelée nombre dérivé de f en a, est notée Si on maintenant, considère la courbe représentative C f de f O, i, j du plan, cette courbe admet une tangente dans un repère au point d abscisse a. Le coefficient directeur de cette tangente est f (a). Plus précisément, l équation de cette tangente est y = f a a + f a. ' Si une fonction f est définie et dérivable en tout point d un un intervalle I de R. On définit alors, sur I, sa fonction dérivée, notée f ', par f ': f '. Eemple : la fonction «racine carrée» est définie sur R mais seulement dérivable sur R.

2 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur ) Formules de dérivation : ( a, b R, n Z fiés) Dérivées des fonctions usuelles : Fonction Définie sur Dérivable sur Dérivée Constante : a R R Nulle : Identité : R R Affine : a + b R R Constante : a Carré : R R Puissance : Inverse : Racine : Sinus : n R R Puissance : R + R R + R n sin R R Cosinus : cos Opposé de sinus : Cosinus : cos R R sin π π Tangente : tan R \ { + kπ, k Z } R \ { + kπ, k Z } + tan = cos Opérations sur les fonctions dérivables : Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle. n Si f est de la forme : Alors f est aussi dérivable et f ' = A condition que : u + v u ' + v ' a u, a R fié a u ' u v u ' v + u v ' v u v v' v v u ' v u v' v v n n u, n Z n u ' u u dans le cas où n u u ' u u >

3 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 3 sur Dérivée d une fonction composée (nouveauté du programme de terminale) Théorème: Soient I, J et K trois intervalles de R,et deu fonctions dérivables u : I J et f : J K. On peut alors définir la composée fou de I dans K par f u. Cette composée est alors dérivable sur I et Démonstration: A indiquer, mais pas eigible Soit a I. ( ) sa dérivée est définie par: ( fou) ' = u ' f '( u ) On suppose que la fonction u n'est pas constante au voisinage de a. Dans le cas contraire, la formule est vérifiée car la composée est constante aussi. a a u u ( a) f ( u ) f ( u( a) ) f ( u ) f ( u ( a) ) = = a a u u( a) a u est dérivable en a, elle est aussi = a g ( X ) g ( u( a) ) g u( a) = g ( u( a) ) X u( a) X u( a) g ( u ) g ( u( a) ) = g ( u( a) ) Pour voisin de,, on peut donc supposer que et : fou fou a u u a Comme continue en a et donc u a. Comme est dérivable en, on a '. On en déduit que '. a a u u( a) Comme = u '( a), on obtient le résultat. a a Eemples : f = sin 3) Dérivée et variation Propriété: f étant une fonction dérivable sur un intervalle I de, f ' positive sur I équivaut à f croissante sur I, f ' négative sur I équivaut à f décroissante sur I, f ' nulle sur I équivaut à f constante sur I. Remarques : Pour étudier les variations d une fonction dérivable, il suffit donc d étudier le signe de sa dérivée. Pour cela il faut savoir étudier le signe d une epression. Voir point Méthode La troisième assertion du théorème est très importante. On l utilisera dans le chapitre sur les primitives.. 4) Notation différentielle

4 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 4 sur II) Limites d une fonction Ce que dit le programme : Nouveautés : Théorème des gendarmes et ite de la composée

5 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 5 sur ) Limite à l infini a) Définitions Définitions : Etant donnée une fonction f, on dira quelle tend vers L quand tend vers + si pour tout h >, on a L h < f < L + h "pour assez grand". tend vers + quand tend vers + si pour tout M >, on a M < f "pour assez grand". tend vers + quand tend vers si pour tout M >, on a f < M "pour assez grand". Eemples : Démontrer les ites de quelques fonctions usuelles :,... Remarques : On utilisera ces définitions pour démontrer le théorème «des gendarmes» On peut utiliser la calculatrice pour faire une conjecture, mais toute ite devra ensuite être soigneusement justifiée. Attention : Toute fonction n admet pas forcément une ite. Par eemple, les fonctions trigonométriques sinus et cosinus n admettent pas de ite en l infini. b) Limite des fonctions usuelles Fonction affine a + b avec a > Fonction affine a + b avec a > Fonction puissance p, avec p N, 4 6 e:,,... Fonction puissance p+, avec p N, 3 5 e : =,,.. Fonction inverse, sur R Fonction racine, sur + R + Si a < a + b = + a + b = + Si a < a + b = a + b = + ± p = + + p+ p+ = + = = ± = + + = + = +

6 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 6 sur c) Opérations sur les ites (L et L désignent des nombres réels) Sommes de fonctions Si f = L L L + + Eemple : On cherche à déterminer la ite de 3 + en On a : = + et = donc d'après le tableau + = Produit d une fonction par une constante * On se donne k R Si f = L + ± Alors k f = k L ± + si k > si k < Eemple : On cherche à déterminer la ite de On a : ± Si g ± Alors [ f g ] ± si k > si k < 4 5 en. = + donc d'après le tableau 5 = = L = L+L + + FI FI est l'abréviation de "forme indéterminée". Cela signifie que l'on ne peut pas conclure dans le cas général et qu'il faut faire une étude plus fine. Produit de deu fonctions Si f = L L + + ± Si g ± Alors f g = ± = L ± ± + L L' ± Eemple : On cherche à déterminer la ite de ( ) On a : + + = + = ( ) Inverse d une fonction Si f Alors ± f ( = ± ) = L ± L? + donc d'après le tableau avec + avec f > f < + en +. ( ) = Eemple : On cherche à déterminer la ite de en On a ( + 5) = = +. Donc d'après le tableau = Quotient de deu fonctions Si f = L L L ± ± ± ± Si g ± = L ± L et g est de signe constant Alors f = L ± ± ± ± g L' On peut résumer toutes les opérations sur les ites par (α désigne une ite réelle non nulle): ±??

7 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 7 sur Somme : α + + = + α + = = + + = + + = FI Produit : ( ± ) α ± = ± ± ± = ± = FI α ± α ± ± Quotient : = = = ± = = ± = FI = FI ± ± ± α ± ± d) Limites infinies des polynômes et fonctions rationnelles Eemple avec un polynôme : On cherche à déterminer la ite de + en. On a : = + et = donc d'après le tableau c'est une FI. Pour lever l indétermination, il faut travailler plus finement. On met en facteur : + = + si est non nul ( ce qui est le cas quand tend vers + ) = + et + = donc ( + ) = Comme on rencontre très souvent ce genre de situation, on peut utiliser un théorème général : Théorème : La ite en ± d'un polynôme est égale à la ite en ± de son monôme de plus haut degré. Eemples d application (et de rédaction) : = = ou = = + Eemple avec une fonction rationnelle : 3 On cherche à déterminer la ite de + en +. On a ( ) ( ) 3 = + et + = + donc d'après le tableau c'est une FI. + + Pour lever l indétermination, il faut travailler plus finement. On met respectivement et en facteur : 3 3 = et si est non nul ( ce qui est le cas quand tend vers ) + = Alors 3 = =. Et et = + = donc = Comme on rencontre très souvent ce genre de situation, on peut utiliser un théorème général : Théorème : La ite en ± d'une fonction rationnelle est égale à la ite en ± du rapport de ses monômes de plus haut degré = = = et = = = Eemples d application :

8 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page 8 sur e) Conséquences graphiques : asymptotes horizontales et obliques Propriété: Asymptote horizontale Si la fonction f vérifie f = a, alors la droite d'équation y = a + est une asymptote horizontale en + à la courbe de f. Si la fonction f vérifie f = a, alors la droite d'équation y = a est une asymptote horizontale en à la courbe de f. Eemples : La courbe de la fonction inverse admet une asymptote horizontale en + et en - : l ae des abscisses d équation y =. En effet : = et = + Propriété: Asymptote oblique La droite d'équation y = a + b est une asymptote oblique à la courbe de la fonction f en + si f a + b =. + La droite d'équation y = a + b est une asymptote oblique à la courbe de la fonction f si f a + b =. Remarque : Une asymptote horizontale est un cas particulier d asymptote oblique, c est le cas où la pente a est nulle Eemple : On considère la fonction définie sur /{-}. + Montrer que la droite d équation y = + est asymptote à la courbe en + et en f ( + ) = ( + ) = = en 3 f ( ) + + = = f ( ) + = = + La droite d équation y = + est donc bien asymptote à la courbe en + et en.

9 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page 9 sur f) Position d une courbe par rapport à son asymptote Situation : Une fois que l on a établit l eistence d une asymptote horizontale ou oblique à droite ou à gauche (c est à dire : en + ou en ). Il est légitime de se poser la question de la position de la courbe par rapport à cette asymptote. Méthode : On étudie le signe de f ( a + b) Si f ( a b) Si f ( a b) Si f ( a b) + > alors la courbe est au dessus de l asymptote. + = alors la courbe coupe l asymptote. + < alors la courbe est au dessous de l asymptote. On présente généralement ces conclusions sous la forme d un tableau. Eemple : Intersection avec la courbe f ( ) = * L'ensemble de définition est. [ f ( ) ] = = + + donc la droite d'équation y = est asymptote à la courbe. On résout l'équation f ( ) = = = Cette équation n'ayant pas de solutions, la courbe ne coupe jamais l'asymptote. Attention, la courbe est en deu morceau, l un est au dessus de l asymptote, l autre dessous, et pourtant il n y a pas d intersection.. Eemple : Intersection et Positions relatives f ( ) = * L'ensemble de définition est. [ f ( ) ] = = = donc la droite horizontale d'équation y = est asymptote à la courbe. On cherche à déterminer le signe de f ( ) = = Comme est positif, le signe de dépend de. + + f ( ) + Positions relatives C / /C La courbe coupe l'asymptote en =. On a f =. Le point d'intersection a donc pour coordonnées ;

10 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page sur ) Limites au bord d une valeur interdite a) Une évidence Propriété: Si f est une fonction dérivable au voisinage de a, alors f = f ( a). Eemple : ( ) a 3 = 3 = 4 3 = car une fonction polynôme est dérivable sur. Remarque : En fait cette propriété est celle des fonctions continues que l on verra au chapitre. b) Opération sur les ites On peut encore résumer toutes les opérations sur les ites par (α désigne une ite réelle non nulle): Somme : α + + = + α + = = + + = + + = FI Produit : ( ± ) α ± = ± ± ± = ± = FI α ± α ± ± Quotient : = = = ± = = ± = FI = FI ± ± ± α ± ± Remarque : Il y a deu ites au bord d une valeur interdite, une à droite, une à gauche. Ces ites peuvent être égales ou différentes. Eemple : On cherche à déterminer les ites de ( ) On a =. > au bord de sa valeur interdite : ( ) D'après le tableau, son inverse tend vers + ou suivant le signe de Il faut donc distinguer deu cas: Si >, c'est à dire quand > on a : = +. C'est la ite à droite. Si <, c'est à dire quand < on a : =. C'est la ite à gauche La fonction < a donc deu ites en, l une à droite, l autre à gauche. Eemple : On cherche à déterminer les ites de On étudie le numérateur : ( ) + = + =. Pour le dénominateur, on distingue deu cas : + + A droite : ( ) = et pour le quotient: = + > > + A gauche : ( ) = et pour le quotient : = < < + au bord de sa valeur interdite.

11 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page sur c) Asymptotes verticales Propriété: Si une fonction admet des ites infinies en a alors sa courbe présente une asymptote verticale d'équation = a. Eemple : + La fonction admet une asymptote verticale en. + + = + et = > < Attention!! Ce n est pas parce qu une fonction n est pas définie en a que sa courbe présente une asymptote verticale en a. sin f =. Contre-eemple : la fonction f définie par Cette fonction n est évidemment pas définie en. Et sa courbe ne présente pas d asymptote. En effet, étudions les ites en. sin sin sin Comme =, c est le tau d accroissement de la fonction sinus en. Il a pour ite la dérivée de sinus en, c'est-à-dire Les ites en ne sont pas infinies, mais égales à. cos =. π π Eemple : la fonction tangente (étude sur,, puis etension par périodicité) 3) Limite d une fonction composée Propriété: α, β et δ représentent trois réels ou éventuellement + ou. On se donne alors deu fonctions f et g telles que f g soit définie pour " voisin de α ". α β Si g = β et si f = δ alors f g = δ. α Eemples d application : Limites au bords de l ensemble de définition de +, π + sin + Remarque : Ne pas insister, ça va naturellement servir quand on aura des ites du type ln u ( ) ou 4) Théorèmes de comparaison u e Théorème des gendarmes: α représente un réel ou éventuellement + ou et l R. On se donne trois fonctions u, v et f définies pour " voisin de α ". = = Si u v l et si u f v alors f = l. α α α

12 Terminale S Chapitre : Généralités sur les fonctions Page sur Démonstration (ROC) On démontre dans deu cas ( α R et α = + ) en utilisant les définitions Eemple d application : sin + Théorème du gendarme: α représente un réel ou éventuellement + ou.. On se donne trois fonctions u, v et f définies pour " voisin de α ". Si u = + et si u f alors f = +, α α Si u = et si f u alors f =. α α Eemple d application : sin + 5) Bilan : eemples d études complètes a) Etude complète d une fonction rationnelle b) Etude complète d une fonction irrationnelle c) Etude complète de la fonction tangente

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