cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION

Transcription

1 cosinus - mathématiques. 1 PRÉSENTATION cosinus, fonction trigonométrique, complémentaire de la fonction sinus, introduites toutes deux dans la définition de la mesure d un angle en géométrie euclidienne. Si la trigonométrie est une discipline des mathématiques datant de plus de ans, la définition des fonctions sinus et cosinus, telles qu elles sont connues aujourd hui, date du XVI e siècle seulement. 2 GÉOMÉTRIE PURE Pour définir le cosinus d un angle, il est sans doute plus simple de l introduire à l aide d un triangle rectangle, tel celui de la figure ci-dessous : On désigne par hypoténuse d un triangle rectangle, le segment de droite opposé à l angle droit (côté le plus long), autrement dit l hypoténuse est le segment de droite formant des angles aigus avec les deux autres segments. On notant A, B, et C, les trois sommets de ce triangle, rectangle en C, tels que [CA] soit perpendiculaire à [CB], et θ l angle que forme entre eux les deux segments de droite [CA] et [AB], l hypoténuse est égale au segment [AB] et le cosinus de l angle θ, noté cos θ, est défini par la relation : cos θ = CA / AB c'est-à-dire le quotient de la longueur du segment adjacent à θ par la longueur de l'hypoténuse Le théorème de Pythagore permet d exprimer la mesure de l hypoténuse en fonction des deux autres côtés par la relation suivante : AB 2 = CA 2 + CB 2, soit AB = (CA 2 + CB 2 ) 1/2 Comme la longueur de l hypoténuse AB est toujours supérieure à celles des deux autres côtés, la valeur absolue du cosinus d un angle est toujours inférieure à 1. Pour obtenir le cosinus d un angle α formé par deux droites D et D sécantes en un point A, il suffit de se ramener à la figure précédente : on choisit ainsi un point B sur une des deux droites, D par exemple, puis on l abaisse perpendiculairement sur la droite D et l on obtient ainsi le point C ; on retrouve alors la même configuration de triangle rectangle décrit dans le paragraphe précédent, ce qui permet de définir le cosinus de l angle θ de façon identique. 3 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET PROJECTIVE Soient x et y l abscisse et l ordonnée d un point M dans un plan défini par un repère orthonormé d origine O, et (r ; θ) ses coordonnées polaires. Les relations entre les deux systèmes de coordonnées sont données par : x = r cos θ et y = r sin θ où sin est le symbole de la fonction trigonométrique sinus. On a alors : cos θ = x / r = x / (x 2 + y 2 ) 1/2 Comme x est toujours inférieur à r, le cosinus d un angle est ainsi toujours compris entre 1 et + 1. Un cercle unitaire centré sur O contient tous les points M du plan tel que r = (x 2 + y 2 ) 1/2 = 1 (équation d un cercle unitaire) L abscisse de chacun de ces points M est donc égale au cosinus de l angle θ, correspondant à l angle entre l axe des abscisses et l axe passant par l origine O et le point M. En géométrie projective, le cosinus de l angle θ entre deux vecteurs et est défini par leur produit scalaire divisé par le produit de leurs normes : cos θ =

2

3

4 .

5 /

6

7 .

8

9 4 ANALYSE D un point de vue analytique, la fonction cosinus est définie, continue et dérivable sur l ensemble des nombres réels. Elle est périodique, de période égale à 2p, d où cos (x + 2p) = cos x Elle est décroissante sur l intervalle [0, p] avec cos (0) = 1, cos (p/2) = 0 et cos (p) = - 1, et croissante sur l intervalle [p, 2p], avec cos (3p/2) = 0 et cos (2p) = 1. La fonction cosinus est une fonction paire [cos x = cos (- x)] et sa dérivée est égale à l opposé de la fonction sinus : (cos x) = d(cos x) / dx = - sin x Les apports du calcul infinitésimal ont permis d'obtenir un développement en série de la fonction cosinus : cos (x) = 1 - x 2 /2! + x 4 /4! - x 6 /6! + =

10 où n!, dit factorielle n, est égal au produit de tous les entiers inférieurs à n : n! = n (n - 1) (n - 2) Le mathématicien Euler, au XVIII e siècle, définit la fonction cosinus à partir de l exponentielle complexe, par la relation : cos x = 1/2 (e ix + e -ix ) La réciproque de la fonction cosinus d un réel x est la fonction multiforme (et multivoque) Arc cosinus, notée Arc cos : pour toute variable réelle x de, et tout réel y défini par y = cos x, on a : x = Arc cos y ; la fonction Arc cos associe ainsi à tout réel une infinité de réels y ; lorsqu il s agit de mesures d angles, le réel x est alors exprimé usuellement en radian.

11 5 GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE Le cosinus hyperbolique, noté ch, joue en géométrie hyperbolique un rôle analogue à celui de la fonction cosinus en géométrie euclidienne (voir non-euclidienne, géométrie). Pour tout réel x, on appelle cosinus hyperbolique de x le nombre : ch(x) = (e x + e -x )/2 où e est la base de la fonction exponentielle. Le cosinus hyperbolique est une fonction paire, strictement décroissante pour tous les réels négatifs (ou nuls) et strictement croissante pour tous les réels positifs (ou nuls) ; elle tend vers + lorsque x tend vers + ou -. Sa dérivée est égale à la fonction sinus hyperbolique, noté sh ; de plus, on a l égalité suivante : cos(ix) = ch(x) où i est le nombre imaginaire pur, tel que i 2 = - 1. Le développement en série du cosinus hyperbolique est donné par : ch (x) = 1 + x 2 /2! + x 3 /3! + =

12 La fonction réciproque de la fonction ch est nommée argument du cosinus hyperbolique, et notée Arg ch. C est une bijection de [0, + [ sur [1, + [. Pour tout réel x tel que x > 1, le nombre Arg ch x est l unique réel y non nul, vérifiant ch y = x. On démontre que : Sa dérivée est la fonction : Microsoft Encarta Microsoft Corporation. Tous droits réservés.