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1 Contenu de la section Étude de fonction Approximation de Taylor

2 Périodicité Contenu de la section Étude de fonction Périodicité Interprétation de la dérivée seconde Asymptotes

3 Périodicité Définition Un nombre p > 0 est une période d une fonction f : A R si pour tout x R : f(x + p) = f(x). Une fonction est périodique si elle admet une période. On parle de la période p si toute autre période est plus grande que p. Exemple La fonction sinus et la fonction cosinus sin : R R : x sinx cos : R R : x cosx ont pour période 2π. y 1 2π π 1 π 2π x

4 Périodicité Exemple La fonction caractéristique des rationnels (1 pour x QQ et 0 sinon) est périodique, mais n admet pas de période minimale!

5 Périodicité Remarque Il est souvent possible de trouver une période d une fonction mais trouver la période (si elle existe) peut se révéler plus difficile. Connaître une période p est déjà utile. Si p est une période de f, q une période de g, h une fonction quelconque, et c une constante réelle : 1. Pour la composée h f : p est une période de h f ; 2. f h n est pas a priori périodique (mais peut l être) ; 3. x f(x + c) est périodique de période p (un des rares cas où l on est sûr de la période!); 4. x f(cx) est périodique de période p c (un autre rare cas) ; 5. f + g, fg, f/g admettent ppcm(p,q) comme période.

6 Périodicité Exemple sinx + cosx est périodique de période 2π. Pour le prouver : on voit que cette fonction vaut 0 uniquement en x = 3π/4 + kπ, donc la période ne peut être qu un multiple de π. Comme π n est pas une période (pourquoi?), et que 2π en est une, c est bien 2π la plus petite! Le produit f(x) = sinx cosx admet 2π pour période, mais la période de f est π. Pour le voir, on écrit f(x) = 1 2 sin(2x) (un cas rare!).

7 Périodicité Définition Si a,b > 0, leur «plus petit multiple commun», noté ppcm(a,b) s il existe, est le plus petit réel positif qui soit à la fois multiple entier de a et de b. Lorsque le ppcm n existe pas, on dit que a et b sont incommensurables. Exemple ppcm(3,6) = 6 ppcm(4,6) = 12 ppcm(2π,3π) = 6π ppcm(4π, 3π) = 12π ppcm(2π/3, π) = 2π Exemple Une période de sin(3x) + cos(2x) est ppcm(2π/3,π) = 2π. C est en fait la période.

8 Interprétation de la dérivée seconde Contenu de la section Étude de fonction Périodicité Interprétation de la dérivée seconde Asymptotes

9 Interprétation de la dérivée seconde La dérivée seconde d une fonction f en un point a est liée à la concavité, c est-à-dire la tendance qu ont les tangentes de f d être sous le graphe de f (concavité tournée vers le haut) ou au dessus du graphe de f (concavité tournée vers le bas). Si f (a) > 0, la dérivée est croissante, donc la pente de la tangente a tendance à remonter près de a, donc la concavité en a est tournée vers le haut! Inversement, f (a) < 0 indique une concavité tournée vers le bas. Définition Lorsque f change de signe en c (et souvent s y annule), alors la concavité du graphe de f change en c et on dit que c est un point d inflexion de f.

10 Interprétation de la dérivée seconde y y = f(x) o a c b x

11 Asymptotes Contenu de la section Étude de fonction Périodicité Interprétation de la dérivée seconde Asymptotes

12 Asymptotes Définition Une asymptote est une droite (ou une courbe) de laquelle le graphe d une fonction donnée se rapproche. On distingue généralement les asymptotes «verticales», «horizontales» et «obliques». Dans la suite nous considérons une fonction réelle f.

13 Asymptotes Définition La droite d équation x = a est une asymptote verticale au graphe de f si f(x) = ± ou lim f(x) = ± + lim x a x a Exemple La droite x = 0 est asymptote verticale au graphe de x 1 x. La droite x = π 2 est asymptote verticale au graphe de la fonction tangente.

14 Asymptotes Définition La droite d équation y = b est une asymptote horizontale au graphe de f lorsque lim f(x) = b ou lim f(x) = b x x + Exemple La droite d équation y = 0 est asymptote horizontale (tant en + qu en ) au graphe de x 1 x La droite d équation y = π/2 est asymptote horizontale (en + ) au graphe de arctan. La droite d équation y = π/2 est asymptote horizontale (en ) au graphe de arctan.

15 Asymptotes Exemple y 5 5 x

16 Asymptotes Définition La droite d équation y = mx + b où m 0 est une asymptote oblique au graphe de f si lim x [f(x) (mx + b)] = 0 ou lim x + [f(x) (mx + b)] = 0 C est le fait que m 0 qui justifie l adjectif «oblique». Lorsque m = 0, on retrouve le cas d une asymptote horizontale.

17 Asymptotes Exemple La droite d équation y = x + 1 est asymptote oblique au graphe de la fonction f définie par f(x) = y x2 x x

18 Asymptotes La proposition suivante permet de calculer m et b lorsqu ils existent. Résultat La droite y = mx + b, où m 0, est asymptote oblique au graphe de f pour x tendant vers + si et seulement si lim x + f(x) x = m 0 et lim [f(x) mx] = b x +

19 Asymptotes Exemple Le cas de la fonction ln est intriguant car lnx lim x x = 0 (en application de la règle de l Hospital), mais lim x lnx = + dès lors il n y a en réalité pas d asymptote horizontale, ni oblique!(par contre il y a bien une asymptote verticale x = 0.)

20 Approximation de Taylor Contenu de la section Étude de fonction Approximation de Taylor

21 Approximation de Taylor Ordre 1 Contenu de la section Approximation de Taylor Ordre 1 Ordres supérieurs

22 Approximation de Taylor Ordre 1 Définition f est dérivable en a (intérieur à son domaine) si la limite suivante existe : lim x a f(x) f(a). x a En d autres termes, il existe un réel, noté f (a), tel que f(x) f(a) lim f (a) = 0 x a x a ou encore f(x) (f(a) + f (a)(x a)) lim = 0 x a x a ou encore, en notant T(x) = f(a) + f (a)(x a), cela revient à dire que f(x) T(x) est un o(x a) pour x a. Remarque T est une fonction polynômiale de degré 1 dont le graphe est simplement la tangente au graphe de f au point (a,f(a)).

23 Approximation de Taylor Ordre 1 Questions de notations On peut écrire : f(x) = f(a) + f (a)(x a) + o(x a) ou encore ou encore f(a + δx) = f(a) + f (a)δx + o(δx) f(x + δx) = f(x) + f (x)δx + o(δx)

24 Approximation de Taylor Ordre 1 Remarque Si f est dérivable au point a, la droite d équation y = f (a)(x a) + f(a) est la droite tangente au graphe de f au point (a,f(a)) ou droite tangente de f en a.

25 Approximation de Taylor Ordre 1 Remarque Idée générale : si f est une fonction quelconque, on aimerait l approximer, le mieux possible, par des fonctions plus simples. Il n est pas forcément possible de bien approximer partout, donc on se contentera ici de bien approximer près d un point a fixé dans le domaine. Le polynôme T défini ci-dessus est une bonne approximation de f près de x = a. Si on note R(x) = f(x) T(x), on a vu que R(x) tend vers 0 plus vite que (x a) pour x a. Définition T défini par T(x) = f(a) + f (a)(x a) est le polynôme de Taylor d ordre 1 de la fonction f au point a.

26 Approximation de Taylor Ordre 1 Si on essaye d approximer par des polynômes de degré plus élevé, a-t-on une meilleure approximation? Oui! Peut-on approximer une fonction par autre chose que des polynômes? Oui! (mais on ne le verra pas ici.)

27 Approximation de Taylor Ordres supérieurs Contenu de la section Approximation de Taylor Ordre 1 Ordres supérieurs

28 Approximation de Taylor Ordres supérieurs Définition Le polynôme T f,a,n défini par n T f,a,n (x) = f k (x a)k (a) k! k=0 = f(a) + f (a)(x a) + f (x a)2 (a) f n (x a)n (a) n! est le polynôme de Taylor d ordre n de f au point a. Ici f k désigne la dérivée k-ème de f. Remarque Le polynôme de Taylor d ordre n de f est un polynôme de degré (au plus) n dont la dérivée d ordre k au point a est égale à la dérivée d ordre k de f au point a, pour k = 0,...,n. C est le seul tel polynôme.

29 Approximation de Taylor Ordres supérieurs Définition L erreur commise en approximant f(x) par son polynôme de Taylor T f,a,n d ordre n est notée R n (x), et s appelle le reste d ordre n de f. Donc : R n (x) = f(x) T f,a,n (x) Remarque Notons que le reste possède un signe : si R n (x) > 0 alors T f,a,n (x) < f(x) (sous-approximation), et si R n (x) < 0 alors T f,a,n (x) > f(x) (sur-approximation).

30 Approximation de Taylor Ordres supérieurs