Exemple 89. Définition 51. point d inflexion de Exemple Tracé du graphe d une fonction

Transcription

1 59 Eemple 89. L foctio f : 2 est deu fois dérivle sur R, et pour dérivée et dérivée secode sur R : f ) = 2 et f ) = 2 Puisque s dérivée secode est positive sur R, l foctio f est covee sur R. E u poit 0 où l dérivée secode f d ue foctio f chge de sige, le grphe de cette foctio trverse s tgete. Pr eemple si f est positive vt 0 lors f est covee vt 0 et doc so grphe est u-dessus de ses tgetes, et si f est égtive près 0 lors f est cocve près 0 et so grphe est u-dessous de ses tgetes : ds ce cs, le grphe de f est u-dessus de s tgete u poit 0, f 0 )) vt 0 et u-dessous près, doc il "trverse" s tgete e ce poit. O doe u om prticulier à ce tpe de poits : Défiitio 51. Soit f ue foctio deu fois dérivle sur u itervlle I, u poit 0 de I est ppelé poit d ifleio de f si s dérivée secode f chge de sige u poit 0. Eemple 90. Si o cosidère l foctio sius si : si) lors elle est deu fois dérivle sur [0, 2π] et s dérivée secode est si ) = si) qui chge de sige e π : sur [0, π] l dérivée secode si est égtive et doc si est cocve, et sur [π, 2π] cette dérivée secode est positive et doc si est covee. Au poit 0 = π, l tgete de si est = 1) π) + 0 et le grphe de si psse doc de u-dessous de s tgete à u-dessus : = si) = π Trcé du grphe d ue foctio E vue de trcer le grphe d ue foctio umérique f, o procède selo les étpes suivtes : o détermie le domie de défiitio de f ; o clcule les limites de f u ords de so domie de défiitio ; o étudie les smptotes évetuelles de f e et + ; o clcule l dérivée f et o doe le tleu de vritios de f, e fist ppritre les etrem locu et/ou glou) ; o clcule l dérivée secode f, o étudie so sige pour détermier les itervlles sur lesquels f est covee ou cocve, et o trouve les poits d ifleio. efi pour trcer le grphe de f o reporte les smptotes, les directios smptotiques, les tgetes horizotles u poits où f tteit u etremum et les tgetes u poits d ifleio : o lors suffismmet d idictios pour trcer l llure du grphe.

2 60 O triter de mière étedue e cours le cs de l foctio Gussiee f : e 2, pour oteir le grphe suivt : = e 2

3 61 5 Itégrle et primitive 5.1 Itégrle d ue foctio cotiue Soit et deu omres réels tels que <, et soit f ue foctio cotiue sur le segmet [, ], le grphe de f, l e des scisses et les droites verticles = et = délimitet ue régio du pl qui peut être e plusieurs morceu si f s ule), représetée e gris ds l eemple ci-dessous : = f) O peut ssocier à cette régio du pl comprise etre le grphe de f et l e des scisses so ire sigée : o dit sigée prcequ o compte e positif l ire de l zoe qui se trouve u-dessus de l e des scisses, et e égtif l prtie qui se trouve u-dessous. Eemple 91. O cosidère pr eemple le cs = 1, = 2 et f) =. L ire sigée de l prtie du pl comprise etre le grphe de f) = et l e des scisses sur [ 1, 2] vut lors 3 2 : = l ire du petit trigle sous l e des scisses est égle à 1 2, elle est comptée pour 1 2, et l ire du grd trigle u-dessus de l e des scisses est égle à 2, elle est comptée pour +2. L ire sigée vut doc = 3 2. Comme o v le voir, cette ire sigée ue grde importce e mthémtiques, c est pour cette riso qu o itroduit l otio suivte : Défiitio 52. Soit et deu omres réels tels que < et soit f ue foctio cotiue sur le segmet [, ], o ppelle itégrle de f sur le segmet [, ] l ire sigée de l prtie du pl qui se trouve etre le grphe de l foctio f sur [, ] et l e des scisses. O ote ce omre Remrque 40. Pr covetio o pose le omre ft)dt. ft)dt = 0, et si < lors l ottio ft)dt. ft)dt désige

4 62 O déduit les propriétés suivtes de l défiitio l itégrle e terme d ire sigée : 5.1. Propriété Itégrle 1. Soit < et soit f ue foctio cotiue sur le segmet [, ], lors : Reltio de Chsles : pour tout c [, ] o ft)dt = c ft)dt + ft)dt c Itégrle d ue costte : si α est u omre réel fié et f) = α pour tout [, ] lors ft)dt = α dt = α ) Si g est cotiue sur [, ] et f) g) pour tout ds [, ] lors ft)dt gt)dt E prticulier, si m et M sot deu costtes telles que m f) M pour tout [, ] lors m 1 ft)dt M 1 Le omre ft)dt est ppelé vleur moee de f sur [, ]. Lie vec l prité : o suppose 0, si f est ue foctio pire sur [, ] lors ft)dt = 2 ft)dt et si f est impire sur [, ] lors 0 ft)dt = 0. Eemple 92. Si o repred l eemple 91, comme f) = lors o 1 f) 2 pour tout ds 1 2 [ 1, 2] et o voit que l vleur moee de f sur [ 1, 2], qui vut ft)dt = 1 2 1) = 1 2 est ie etre 1 et 2. Ue utre mière de défiir l itégrle de f sur [, ] est l suivte : o ssocie à l foctio f l suite I ) 1 de terme géérl I = 1 f + k Géométriquemet, I est l somme des ires des rectgles costruits à prtir de f de l mière suivte : )

5 63 = f) Eemple 93. Si o repred à ouveu l eemple 91 o lors = 2 1) = 3 et o peut clculer I 1 = 3 1 f ) = 3f 1) = 3 1) = 3 1 I 2 = 3 2 f ) f ) = f 1) + 3 ) 1 2 f = I 3 = 3 3 f ) f ) f ) 3 = f 1) + f0) + f1) = 0 I = 3 1 f 1 + k 3 ) = 3 = 3 [ 1 1) + 3 ] 1 k = k 3 ) [ + 3 ] 1) = Ds ce cs l suite I ) 1 est l suite de terme géérl I = O peut démotrer que l suite I ) 1 isi défiie est toujours covergete, et plus précisémet que s limite est l ire sigée de l prtie du pl qui se trouve etre le grphe de l foctio f sur [, ] et l e des scisses : c est doc l itégrle de f sur [, ]. O lors l propriété : 5.2. Propriété Itégrle 2. Soit < et soit f ue foctio cotiue sur le segmet [, ], lors : ft)dt = 1 lim f + + k ) Eemple 94. O repred l eemple 91 : ds ce cs, puisque l suite I ) 1 est l suite de terme géérl I = o voit que s limite est ie 3 2, qui est effectivemet l ire sigée de l prtie du pl comprise etre le grphe de f) = et l e des scisses sur [ 1, 2].