Chapitre 11 DÉRIVÉES - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

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1 Chapitre DÉRIVÉES - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Mohamed TARQI 2 mars 2006 Table des matières Dérivabilité - Différentiébilité 2. Dérivée,dérivée à droite,dérivée à gauche Différentiabilité en un point Fonction dérivée-dérivées successives Opérations sur les fonctions dérivées Application : Étude des fonctions 7 2. Théorème de ROLLE Théorème des accroissements finis Inégalité des accroissements finis Dérivée et sens de variation d une fonction Convexité-Concavité-Point d inflexion Étude des branches infinies Développements limités 2 3. Développements limités au voisinage de Développements limités au voisinage de a Développements limités au voisinage de Calcul des développements limités Opérations sur les développements limités Développements limités usuels au voisinage de Exemples d utilisation de développement limité Calcul de limites Calcul des valeurs approchées

2 Dérivabilité - Différentiébilité. Dérivée,dérivée à droite,dérivée à gauche Définition. Soient I un intervalle de R, f : I R une fonction et x 0 I. On dit que f est dérivable en x 0 si f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 existe. Lorsqu elle existe, cette limite se note f (x 0 ), D(f)(x 0 ) ou df dx (x 0). elle est appelé nombre dérivé de f en x 0. On dit que f est dérivable à droite (resp.à gauche ) en x 0 si lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 (resp. lim x x 0 existe. On la note note f d (x 0) ( resp.f g(x 0 ) ). Exemples :. f(x) = x, x 0 0. Cherchons f (x 0 ). Soit x 0 R et x x 0, f(x) f(x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 ) = lim x x0 =. x 2 0 x x 0 x x 0 xx 0 La fonction : x définie sur x R est dérivable en tout point x 0 de R et sa dérivée en x 0 est. x Dérivée de la fonction sinus. Soit x 0 R, on a : sin(x 0 + h) sin x 0 h = 2 sin( h 2 ) cos(x 0 + h 2 ) h = sin h 2 h 2 cos(x 0 + h 2 ) Donc on déduit, en passant à la limite h 0, que sin (x 0 ) = cos(x 0 ). 3. f(x) = x 2 + x, x 0 = 0 On a : et f d(0) = f(x) f(0) lim x 0,x>0 x 0 = lim (x + ) =. x 0,x>0 f g(0) = f(x) f(0) lim x 0,x<0 x 0 = lim (x ) = x 0,x<0 Rédigé par M.TARQI Page 2

3 Proposition. Pour que f soit dérivable au point x 0 il faut et il suffit que f admette une dérivée à droite et une dérivée à gauche au point x 0 qui soient égales. Théorème. Si f est dérivable en x 0, f est continue en x 0 Démonstration : Soit ε > 0. β > 0 : x x 0 < β = f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) x x 0 < ε d où : f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 < ( f (x 0 ) + ε) x x 0 donc donc ε α = inf( f (x 0 ) + ε, β) : x x 0 < α = f(x) f(x 0 ) < ε c est à dire f est continue en x 0. lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Remarque : La réciproque du théorème est fausse, par exemple : f(x) = x, f est continue en 0 mais pas dérivable en 0. Proposition.2 ( DÉRIVÉE D UNE FONCTION COMPOSÉE ) Si f est dérivable en x 0 et g est dérivable en f(x 0 ) alors g f est dérivable en x 0 et (g f) (x 0 ) = f (x 0 )g (f(x 0 ). Ainsi si f(x) = (u(x)) n, n N f (x) = n(u(x)) n u (x) Démonstration : Soit β > 0. Comme f est dérivable en x 0, elle est continue en x 0. On pose, pour h < α avec ε(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) h de même, pour k < β ( α > 0) : x x 0 < α = f(x) f(x 0 ) < β f (x 0 ) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (x 0 ) + hε(h) lim ε(h) = 0 h 0 g(f(x 0 ) + k) = g(f(x 0 )) + kg (f(x 0 )) + kε (k) avec lim ε (k) = 0 k 0 Rédigé par M.TARQI Page 3

4 comme par hypothèse, pour h < α, f(x 0 + h) f(x 0 ) < β, on peut alors écrire g(f(x 0 + h)) = g(f(x 0 )) + (hf (x 0 ) + hε(h))g (f(x 0 )) + (hf (x 0 ) +hε(h))ε (hf (x 0 ) + hε(h)) = g(f(x 0 )) + hf (x 0 )g (f(x 0 ) + hε(h))g (f(x 0 )) + (hf (x 0 ) +hε(h))ε (hf (x 0 ) + hε(h)) = g(f(x 0 )) + hf (x 0 )g (f(x 0 ) + hε 2 (h) avec et ce qui prouve le résultat. ε 2 (h) = ε(h))g (f(x 0 )) + ((f (x 0 ) + ε(h))ε (hf (x 0 ) + hε(h)) lim ε 2(h) = 0 h 0 Applications :. Si g est dérivable en x 0 et g(x 0 ) 0, alors g est dérivable en x 0 et ( g ) (x 0 ) = g (x 0 ) g 2 (x 0 ) En effet : Soit f(x) = x, alors g = f g, d où : ( g ) (x 0 ) = f (g(x 0 ).g (x 0 ) = g (x 0 ) g 2 (x 0 ) 2. Soit f une fonction dérivable. a et b deux constantes réelles, alors la fonction g : x f(ax + b) est dérivable et on a : g (x) = af (ax + b). Proposition.3 Si f est une application continue, strictement monotone sur I, dérivable en a avec f (a) 0. Alors f est dérivable en b = f(a) et (f ) (b) = f (f (b). Démonstration : Pour x a et y b, on a f (y) f (b) y b = x a f(x) f(a) avec x = f (y) posons ϕ(x) = x a, alors lim ϕ(x) = f(x) f(a) x a f (a) D autre part f étant continue, donc la fonction f (y) f (b) y b = ϕ[f (y)] tend vers f [f (a)] = f (b) quand x tend vers x 0 Rédigé par M.TARQI Page 4

5 FIG. L interprétation géométrique du nombre dérivée.2 Différentiabilité en un point. Définition.2 Soit f une fonction définie sur un voisinage centré en x 0. On dit que f est différentiable au point x 0 s il existe l R et une fonction ε : x ε(x) définie sur un intervalle I de centre 0 telles que : ( h I) f(x 0 + h) = f(x 0 ) + lh + hε(h) avec lim ε(h) = 0 h 0 Remarque : f est différentiable en x 0 f est dérivable en x 0 et l = f (x 0 ) Définition.3 L application, notée df x0, définie sur R par : ( h R) df x0 (h) = f (x 0 ).h est appelé fonction différentielle de f en x 0. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ : Soit f une fonction définie sur un intervalle centré en x 0 et C f sa courbe représentative. Si f est dérivable en x 0, alors C f admet au point M 0 (x 0, f(x 0 )) une tangente d équation : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) f(x) f(x Remarque : Si lim 0 ) x x x x 0 0 tangente verticale. = ±, alors C f admet au point M 0 (x 0, f(x 0 )) une.3 Fonction dérivée-dérivées successives. Définition.4 On dit que f est dérivable sur un intervalle I de R si f est dérivable en tout point de I. L application, notée f, définie par : f : I R x f (x) est appelé fonction dérivée de f. Si f est elle-même dérivable sur I alors on définit (f ) notée f applée dérivée seconde de f est ainsi se suite. n N, f (n) désigne la dérivée de f (n ), c est la dérivée n ième de f. Par convention f (0) = f. Rédigé par M.TARQI Page 5

6 Notation : f n = D n (f) = dn f dx n Définition.5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si x I, F (x) = f(x). Définition.6 Une application f : I R est dite de classe C n si f (n) existe sur I et y continue. On note C n (I, R) l ensemble des fonctions de classe C n de I sur R. Lorsque f est de classe C n pour tout n, on dit que f est de classe C. Remarque : C = n N C n. Théorème.2 (Formule de LEIBNIZ ) Soient I un intervalle de R, f et g deux fonctions de I dans R, et a I telles que f (n) (a) et g (n) (a) existent. Alors fg est n fois dérivable en a et k=n (fg) (n) (a) = k nf (k) (a)g (n k) (a) k=0 Démonstration : La démonstration se fait par récurrence sur n..4 Opérations sur les fonctions dérivées Théorème.3 Si f et g sont dérivables sur un intervalle I, alors f +g, fg et λf (λ R) sont dérivables sur I, si de plus x I, g(x) 0, alors et f sont dérivables sur I et g g on a (f + g) (x) = f (x) + g (x) (λf) (x) = λf (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( g ) (x) = g (x) [g(x)] 2 ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Remarque : L ensemble D(I) des fonctions dérivables sur l intervalle I, muni de l addition, de la multiplication, et de la multiplication par un scalaire a une structure d algèbre commutative et unitaire. Corollaire. L application dérivation : D(I) R I est linéaire. Remarque : La dérivation n est pas un morphisme d algèbres, puisque on a : D() = 0. Gottfried Whihelm von Leibniz (646-78), allemand.à l origine avec Newton du calcul différentiel. Rédigé par M.TARQI Page 6

7 Dérivées des fonctions usuelles D f f(x) f (x) R f(x) = λ f (x) = 0 R f(x) = x n (n N ) f (x) = nx n [0, + [ f(x) = x f (x) = 2 x, x ]0, + [ R f(x) = sin(x) f (x) = cos(x) R f(x) = cos(x) f (x) = sin(x) R \ { π f(x) = tan(x) f (x) = + tan 2 (x) = 2 cos 2 (x) D u f(x) = u n (x) f (x) = nu n (x)u (x) R f(x) = sin(ωx + ϕ) f (x) = ω cos(ωx + ϕ) R f(x) = cos(ωx + ϕ) f (x) = ω sin(ωx + ϕ) 2 Application : Étude des fonctions 2. Théorème de ROLLE Définition 2. On dit que la fonction f définie sur un voisinage de x 0 admet un maximum relatif ( resp. minimum relatif ) s il existe un intervalle ]x 0 α, x 0 + α[ sur lequel on a : x ]x 0 α, x 0 + α[, f(x) f(x 0 ) ( resp. f(x) f(x 0 )) On dit que f admet un extremum relatif si et seulement si f admet un maximum relatif ou minimum relatif. Proposition 2. Soit I un intervalle ouvert de R et f : I R une application. Si f admet un extremum relatif en c I et si f (c) existe alors f (c) = 0. Démonstration : Pour simplifier, supposons que f(c) est un maximum relatif. Donc il existe un intervalle ouvert J I tel que : et alors x > c et x J = f(x) f(c) x < c et x J = f(x) f(c) f(x) f(c) f(x) f(c) lim 0 et lim x c + x c x c x c et comme f est dérivable en c alors 0 f (c) = f d(c) = f g(c) = 0 Théorème 2. (Théorème de ROLLE 2 ) Soit f : [a, b] R une application vérifiant : f est continue sur [a, b], f est dérivable sur ]a, b[. f(a) = f(b), Alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0 2 Michel Rolle, , mathématicien français à l origine de la notation n x. Rédigé par M.TARQI Page 7

8 FIG. 2 L interprétation géométrique du théorème de Rolle. Théorème 2.2 (Théorème des accroissements finis ) Soit f : [a, b] R une application vérifiant : f est continue sur [a, b], f est dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que FIG. 3 L interprétation géométrique du théorème des accroissements finis. f (c) = f(b) f(a) b a. Démonstration : Si f est constante le résultat est évident. Sinon, il existe x 0 ]a, b[ tel que f(x 0 ) f(a), par exemple f(x 0 ) > f(a). D autre part il existe c [a, b] tel que f(c) = sup{f(x) : x [a, b]}. ( la continuité de f sur [a, b] ) Or f(c) f(x 0 ) > f(a) = f(b), donc c ]a, b[, donc, f(c) étant un extremum de f, on a f (c) = 0. Exemple : Soit n N. Montrons que le polynôme P n = dn (x 2 ) n admet n racines dx n deux à deux distinctes. En effet le polynôme Q n = (x 2 ) n à deux racines distinctes d ordre n, et. D après le théorème de ROLLE, il existe x () ], [ tel que Q n(x () ) = 0, donc le polynôme Q n a trois racines distinctes : < x () <, de même, par application de théorème de ROLLE, on montre que le polynôme Q n a quatre racines distinctes : < x (2) < x 2 2 < et ainsi de suite. Donc le polynôme Q n n, de degré n +, admet (n + ) racines distinctes : < x (n ) < x (n ) 2 <... < x (n ) n <, donc par application de théorème de ROLLE à chacun des intervalles [, x (n ) ], [x (n ) 2, x (n ) 3 ],...[x (n ) n, ] on déduit que le polynôme P n = dn (x 2 ) n = Q (n) dx n n admet n racines distinctes sur [, ] : = x (n) < x (n) 2 <... < x n (n) =, et sont les seuls puisque P n est de degré n. 2.2 Théorème des accroissements finis Démonstration : On a Posons A = f(b) f(a) b a et ϕ : [a, b] f(x) A(x a). ϕ(a) = f(a) = ϕ(b) Rédigé par M.TARQI Page 8

9 donc d après le théorème de Rolle, il existe c ]a, b[ tel que ϕ (c) = 0. On en déduit f f(b) f(a) (c) = A = b a d où le résultat. Exemple : Soient f et g deux applications continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[, alors il existe c ]a, b[ tel que : [f(b) f(a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c). En effet, il suffit d applique le théorème précédent à la fonction sur l intervalle [a, b]. ϕ(x) = [f(b) f(a)]g(x) [g(b) g(a)]f(x) Proposition 2.2 Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur l intervalle [a, + [. Si f(a) = g(a) et f (x) g (x) x [a, + [ alors f(x) g(x), x [a, + [ Démonstration : On pose : h = f g Soit x > a. h est continue sur [a, x] et dérivable sur]a, x[, donc d après le théorème des accroissements finis il existe c ]a, x[ : h (c) = h(x) h(a) 0 x a donc h(x) Inégalité des accroissements finis Proposition 2.3 Soient a et b des réels tels que a < b ainsi qu une fonction f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. S il existe des réels m et M vérifiant : x ]a, b[, m f(x) M alors on a : m(b a) f(b) f(a) M(b a) Démonstration : D après l égalité des accroissements finis, il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c). L hypothèse m f (c) M implique m(b a) f(b) f(a) M(b a) Exemple : Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b, alors b < ln b ln a b a < a En effet, si x [a, b], alors < b ln (x) = <, d où le résultat. x a Rédigé par M.TARQI Page 9

10 FIG. 4 La courbe d une fonction convexe. 2.4 Dérivée et sens de variation d une fonction Théorème 2.3 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I f est constante sur I si et seulement si f (x) = 0, x I f est croissante sur I si et seulement si f (x) 0, x I f est décroissante sur I si et seulement si f (x) 0, x I Démonstration : Soit x 0 de I, on a : f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 est positif. Réciproquement, supposons f (x) 0 pour tout x de I. Soient x et x 2 de éléments de I tels que x < x 2, d après le théorème des accroissements finis, il existe c ]x, x 2 [ tel que f(x 2 ) f(x ) = (x 2 x )f (c) 0 et par suite f(x 2 ) f(x ). Donc f est croissante. Si f est décroissante, f est croissante, la démonstration en résulte. Une fonction est constante si et seulement si elle est croissante et décroissante, c est-àdire f = Convexité-Concavité-Point d inflexion Définition 2.2 Soit f le graphe d une fonction f défine sur un intervalle I. On dit que f est convexe ( resp. concave), si tout arc MN de f est situé au dessous ( resp. au dessus ) de la droite (MN). On dit que f admet un point d inflexion P si f change la concavité de gauche à droite du point P. Théorème 2.4 Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I et f sa courbe représentative. Si f (x) > 0, x I, alors f est convexe. Si f (x) > 0, x I, alors f est concave. Démonstration : Montrons le théorème dans le cas où f 0, l autre cas est similaire. Considérons deux éléments quelconques x et x 2 de I tel que x < x 2, auxquels sont associés les points M (x, f(x )) et M 2 (x 2, f(x 2 )) de son graphe Γ. x, x 2 = px + m étant l équation de la droite (M M 2 ), étudions sur [x, x 2 ] le signe de la fonction : On a : ϕ(x) = f(x) (px + m) ϕ (x) = f (x) p et ϕ (x) = f (x) Rédigé par M.TARQI Page 0

11 Comme ϕ(x ) = ϕ(x 2 ) = 0, le théorème de ROLLE entraîne l existence d un élément c de [x, x 2 ] tel que ϕ (c) = 0. Par ailleurs le fonction ϕ est croissante, donc c est unique. x x c x 2 ϕ + ϕ 0 ϕ 0 µ<0 0 D après le tableau de variations de ϕ, on déduit que l arc M M 2 de Γ est situé au-dessus de la droite (M M 2 ), ce qui démontre le théorème. Remarque : Si f (x 0 ) = 0 avec changement de signe, alors le point M 0 (x 0, f(x 0 )) est un point d inflexion pour f 2.6 Étude des branches infinies Le dessin suivant donne les différents types des branches infinies rencontrées lors d une étude d une fonction.. lim x x0 f(x) = ± la droite x = x 0 est asymptote verticale 2. lim x ± f(x) = y 0 3. lim f(x) = ± x ± B.p : Branche parabolique. A.o : Asymptote oblique. la droite y = y 0 est asymptote horizontale f(x) 3) lim x ± x 3 Développements limités f(x) ) lim x ± x = ± B.p de sens l axe des ordonnées f(x) 2) lim = 0 x ± x B.p de sens l axe des abscisses = a(a 0) lim x ± [f(x) ax] = ± B.p:y=ax lim x ± [f(x) ax] = b A.o:y=ax+b Soit f une fonction numérique. Nous avons vu que f est différentiable en un point a s il existe un voisinage V (a) de a et une application ε définie sur un voisinage de 0 telle que lim x 0 ε(x) = 0, pour laquelle, pour tout x, a + x V (a), f(a + x) = f(a) + xf (a) + xε(x). Donc la différentiabilité de f peut être vu comme le fait d approcher une fonction en un point par une fonction polynôme (x f(a) + xf (a)). Un développement limité est donc une généralisation de la différentiabilité : On cherche à approcher f par une fonction polynôme. Rédigé par M.TARQI Page

12 3. Développements limités au voisinage de 0 Dans la suite de cette partie, I désigne un intervalle de R non réduit à un singleton. Définition 3. Soit f : I R un application, et supposons 0 I. Si n N, on dit que f admet un développement limité (D.L) d ordre n au voisinage de 0 s il existe a 0, a,..., a n R tels que, au voisinage de 0, f(x) = a 0 + a x a n x n + o(x n ) Le polynôme a 0 + a x a n x n s appelle la partie régulière du D.L Exemples :. sin(x) = x + o(x) 2. +x = x + x2 + o(x 2 ) ln(+x) x 3. lim x 0 x = 0 = ln( + x) = x + o(x) Proposition 3. Si f admet un développement limité d ordre n N, il est unique. Démonstration : Supposons que f admet deux D.L(0) tel que : f(x) = P (x) + o(x n ) et f(x) = Q(x) + o(x n ) alors P (x) Q(x) = o(x n ), soit a k x k le monôme de plus bas degré du polynôme P (x) Q(x) = o(x n ) P Q alors P (x) Q(x) a k x k au voisinage de 0 ce qui est en contradiction avec P (x) Q(x) = o(x n ). Remarques : Si f admet un D.L d ordre n, alors il existe un polynôme P n (x) et une application ε définie sur un voisinage de 0 telle que : donc f(x) = P n (x) + x n ε(x) avec lim x 0 ε(x) = 0 f(x) P n (x) = x 0 o(x n ) L ordre du D.L est l entier n sur o(x n ), et non le degré du polynôme P n. Une fonction admet un D.L d ordre 0 au voisinage de 0 si et seulement si elle continue en 0. Dans ce cas : f(x) = f(0) + o() Une fonction admet un D.L d ordre au voisinage de 0 si et seulement si elle dérivable en 0. Si f admet un développement limité d ordre n N au voisinage de 0, alors f(0) = a 0, f est dérivable en 0 et f (0) = a. Si une fonction admet un D.L d ordre n au voisinage de 0 alors pour tout entier m tel que m n, cette fonction admet un D.L d ordre m au voisinage de 0, en effet si alors f(x) = a 0 + a x a m x m a n x n + o(x n ) f(x) = a 0 + a x a m x m + o(x m ) Rédigé par M.TARQI Page 2

13 3.2 Développements limités au voisinage de a 0 Définition 3.2 Soit I un intervalle ouvert et a I. On dit f admet un D.L au voisinage de a si et seulement si la fonction admet un D.L au voisinage de 0. Exemple : f(t) = t et a = On a au voisinage de 0 : d où au voisinage de, on a : g : t f(a + t) f( + u) = + u = u + u2 + o(u 2 ) t = t (t ) + (t )2 + o((t ) 2 ). 3.3 Développements limités au voisinage de Définition 3.3 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a, + [ (resp.], a[). On dit que f admet un D.L au voisinage de + (resp. ) si et seulement la fonction admet un D.L au voisinage de 0 Exemple : Au voisinage de, on a : g : t f( t ) t = t t = t + t 2 + o( t 2 ) 3.4 Calcul des développements limités Théorème 3. ( Formule de Taylor-Lagrange 3 ) Soit f : [a, b] R une application de classe C n sur [a, b], telle que f (n+) existe sur ]a, b[. Alors c ]a, b[ tel que : 3 Lagrange, Joseph Louis de Lagrange (736-83), mathématicien et astronome français. Né à Turin, il fit ses études à l université de cette ville. Il fut nommé professeur de géométrie à l école militaire de Turin à l âge de dix-neuf ans ; en 758, il fonda une société scientifique qui devint ensuite l Académie des sciences de Turin. En 766, il fut nommé directeur de la section mathématique de l Académie des sciences de Berlin et, vingt ans plus tard, il répondit à l invitation du roi Louis XVI et partit pour Paris. Pendant la période de la Révolution française, il fut chargé d établir un nouveau système de poids et mesures (voir Métrique, système). Il fut nommé professeur à l Ecole normale, récemment créée, après la Révolution ; sous Napoléon Ier, il devint membre du Sénat et fut promu comte. Considéré comme l un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle, il introduisit de nouvelles méthodes pour le calcul des variations et pour l étude des équations différentielles, qui lui permirent de donner un exposé systématique de la mécanique dans son célèbre ouvrage Mécanique analytique (788). Il travailla sur la théorie additive des nombres. On lui doit le théorème sur la décomposition d un entier en 4 carrés. Dans l étude des équations algébriques, il introduisit des concepts qui conduiront à la théorie des groupes développée plus tard par Abel et Galois. Parmi ses recherches en astronomie, citons ses calculs sur la libration de la Lune et sur les mouvements des planètes. Rédigé par M.TARQI Page 3

14 f(b) = f(a) + (b a)f (a) Démonstration : Considérons l application : (b a)n f (n) (a) + n! (b a)n+ f (n+) (c). (n + )! φ : [a, b] R x f(b) f(x) + (b x)f (x) (b x)n f (n) (x) + A (b x)n+ n! (n+)! la constante A étant choisie telle que φ(a) = φ(b) = 0. Cette application est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et x ]a, b[, φ (x) = (b x)n f (n+) (b x)n (x) + A n! n! donc d après le théorème de Rolle, il existe c ]a, b[ tel que φ (c) = 0, c est à dire A = f (n+) (c). Remarque :. Si n = 0, on retrouve le théorème des accroissements finis. 2. Si 0 I, on a sous les mêmes hypothèses : x I, θ ]0, [ : f(x) = f(0) + xf (0) xn f (n) (0) + n! x n+ f (n+) (θx). (n+)! sous cette forme, cette relation s appelle formule de M aclaurin avec reste de Lagrange Corollaire 3. Si f : I R est une fonction n fois dérivable en 0, alors f admet au voisinage de 0 le développement limité d ordre n suivant : Exemples : f(x) = f(0) + x! f (0) xn n! f (n) (0) + o(x n ). f(x) = +x = x + x2 + o(x 2 ) 2. g(x) = + x = + x 2 8 x2 + o(x 2 ) 3. h(x) = x = x 2 8 x2 + o(x 2 ) Corollaire 3.2 ( Formule de Taylor-Young ) Si f : I R est une fonction de classe C n. Soit a I tel que f (n) (a) existe. Alors lorsque h 0 on a f(a + h) = f(a) + h! f (a) hn n! f (n) (a) + o(h n ) Rédigé par M.TARQI Page 4

15 3.5 Opérations sur les développements limités Proposition 3.2 Soient f et g : I R deux fonctions admettant au voisinage de 0 des développements limités d ordre n : f(x) = P n (x) + o(x n ) et g(x) = Q n (x) + o(x n ) où P n et Q n sont deux fonctions polynômiales de dgré n. Alors. λf + µg admet un développement limité d ordre n donné par : avec (λ, µ) R 2. (λf + µg)(x) = λp n (x) + µq n (x) + o(x n ) 2. Le produit fg admet un développement limité d ordre n dont la partie régulière est obtenue en ne gardant que les termes n dans le produit P n Q n. Démonstration :. λp n + µq n est un polynôme de degré inférieure ou égal à n et on a : (λf + µg)(x) = λf(x) + µg(x) = λ(p n (x) + o(x n )) + µ(q n (x) + o(x n )) = (λp n + µq n )(x) + o(x n ) 2. Soit A le polynôme de degré n tel que P Q = A + X n+ R avec R R[X]. On alors : (fg)(x) = P n (x) + o(x n ) + Q n (x) + o(x n ) = A(x) + (x n+ R(x) + P (x)o(x n ) + Q(x)o(x n ) + o(x 2n )) = A(x) + o(x n ) Théorème 3.2 Soient f et g : I R deux fonctions admettant au voisinage de 0 des développements limités d ordre n : f(x) = P n (x) + o(x n ) et g(x) = Q n (x) + o(x n ) où P n et Q n sont deux fonctions polynômiale de dgré n. Si f(0) = 0, la fonction g f admet le même développement limité d ordre n que le polynôme Q n P n ; on obtient donc ce développement en ne conservant, dans Q n P n, que les termes d ordre n. Exemples :. Développement de ln 2 ( + x) à l ordre 3 au voisinage de 0 On a ln( + x) = x x2 + x o(x3 ) ln 2 ( + x) = [x x2 2 + x3 3 + o(x3 )] 2 = x 2 x 3 + o(x 3 ) Rédigé par M.TARQI Page 5

16 2. Développement de e sin(x) à l ordre 3 au voisinage de 0. sin(x) = x x3 + 6 o(x3 ) et e x = + x + x2 + x o(x3 ) sin 2 (x) = [x x3 6 + o(x3 )] 2 = x 2 + o(x 3 ) sin 3 (x) = [x 2 + o(x 3 )][x x3 6 + o(x3 )] = x 3 + o(x 3 ) d où : e sin(x) = + (x x3 ) + x2 + x o(x3 ) = + x + x2 + 2 o(x3 ) 3. Développement de ( + x) x à l ordre 4 au voisinage de 0, ( + x) x = e x ln(+x) On a : x ln( + x) = x x3 + x o(x4 ) et [x ln( + x)] 2 = x 4 + o(x 4 ) d où : ( + x) x = + x 2 x x4 + o(x 4 ) Proposition 3.3 On suppose f de classe C au voisinage de 0, avec f admettant un D.L donné par : f (x) = a 0 + a x a n x n + o(x n ) alors f admet un D.L d ordre n + donné par : f(x) = f(0) + a 0 x + a 2 x a n n + xn+ + o(x n+ ) Démonstration : Voir chapitre intégration. Exemple : On a : = x + +x x2 + o(x 2 ) et [ln( + x)] = +x alors ln( + x) = x x2 + x o(x3 ) 3.6 Développements limités usuels au voisinage de 0 La formule de T aylor Y oung permet d obtenir facilement les développements limités suivants, lorsque x 0. sin(x) = x x3 3! ( ) p x2p+ (2p+)! + o(x2p+2) cos(x) = x2 2! ( ) p x2p (2p)! + o(x2p+) tan(x) = x + x x5 + o(x 6 ) e x = + x + x2 xn o(x n ) 2 n! ln( + x) = x x ( )n xn + n o(xn ) ln( x) = x x... xn + 2 n o(xn ) = x + +x x ( ) n x n + o(x n ) + x = + x x ( ) n.3...(2n 3) (2n) x n + o(x n ) x = x x (2n 3) x n + o(x n ) (2n) α R, (+x) α = + α α(α ) x+ x α(α )...(α n+) x n +o(x n )! 2! n! Rédigé par M.TARQI Page 6

17 3.7 Exemples d utilisation de développement limité 3.7. Calcul de limites lim x 0 [ x 2 sin 2 (x) ] On a : x 2 sin 2 (x) d où : e lim sin x e tan x x 0 sin x tan x = (sin x x)(x+sin x) x 2 sin 2 x x 3 6.2x x 4 lim [ x 0 x x 3 2 sin 2 (x) ] = lim.2x 6 x 0 x 4 = 3 On a : e sin x e tan x = x3 2 + o(x3 ) et sin x tan x = x3 d où : lim x 0 e sin x e tan x sin x tan x = arccos( x) lim x 0 x Posons y = arccos( x). 2 + o(x3 ) On a x = cos y, donc x = cos y, = 2 sin 2 ( y ), d où sin( y ) = x y = 2 arcsin x 2 x = 2 x 2 2 donc lim x 0 arccos( x) x = 2. x +b x +c x et finalement lim ( a ) x. x + 3 Posons t =. On a : a x = a t = e t ln a = t ln a + o(t), de même on obtient b x = b t = x e t ln b = t ln b + o(t) et c x = c t = e t ln c = t ln c + o(t). Donc a x + b x + c x = t ln abc + o(t) et par conséquent donc ( a x + b x + c x 3 ) x = (t ln abc + o(t)) t = e ln abc+o() 3 lim (a x + b x + c x ) x = 3 abc x Calcul des valeurs approchées On a ( + x) 2 = + 2x + x 2 Le nombre + 2x est une valeur approchée par défaut de ( + x) 2, l incertitude est x 2. Si x 0 l incertitude est inférieure à 0 2. Nous écrivons donc ( + x) 2 + 2x. On a + x = + x 2 8 x2 + o(x 2 ) et + x + x 2 Le nombre + x 2 est une valeur approchée par excès de + x. Donc + x + x 2 De même on a, pour x trés petit : Rédigé par M.TARQI Page 7

18 + x x, ( + x) 2x, x 2 + x 2 Exemples, 0 2 = = 00 3 = (, ) = 0 0, 5 = 9, = ( ) = = 0, Rédigé par M.TARQI Page 8