Chapitre 4.8 Le champ magnétique généré par une boucle de courant

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1 Chapite 4.8 Le champ magnétique généé pa une boucle de couant Champ d une spie Si l on coube note ligne de couant en cecle, on peut défini l oientation du champ magnétique à l aide de la ègle de la main doite. Si l on étudie le champ magnétique dans un plan pependiculaie à la spie, on etoue la situation de deux couants paallèles de sens contaie. Tès souent, c est le champ magnétique au cente de la boucle qui a nous intéesse. Aec la ègle de la main doite, il est éident d en deine le sens. Champ magnétique au cente d une bobine Une bobine est un egoupement de spie que l on peut appoxime comme étant supeposé les uns su les autes. Le module du champ magnétique poduit au cente d une bobine pacouue pa un couant est défini à l aide de l équation suiante : où = N : Champ magnétique poduit au cente de la bobine en tesla (T) N : Le nombe de spie dans la bobine, N > : Couant électique en ampèe (A) : Le ayon de la bobine en mète (m) 7 : Constante magnétique, = Ns / C éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age Note de cous édigée pa : Simon Vézina

2 eue : Considéons une spie dans le plan xy pacouue pa un couant où l on eut éalue le champ magnétique au cente de celle-ci en un point. On éalise que chaque petit bout de fil d l génèe un petit élément de champ magnétique d au point de la fome z suiante : d dl ˆ dl = = sin( θ ) nˆ où θ = 9 : Angle ente d l et ˆ. = : Distance constante ente tous les d l et le point. nˆ = k : Diection de tous les champs magnétiques infinitésimaux d. schéma en pespectie y d l x uisque le fil possède une longueu connue ( C = π ), on peut éalise l addition de tous les champs magnétiques infinitésimaux d : dl = d = sin( θ )nˆ (emplace d ) dl = sin( 9 )k = l k 4 d π (emplace et θ ) (Factoise les constantes) = ( π )k (Éalue l intégale: d = π l ) = k (Simplifie) = (Éalue le module de ) éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age Note de cous édigée pa : Simon Vézina

3 Situation A : oteau éité à l aide d un demi-cecle. Un électicien applique au sol un fil électique tès long en ligne doite. Afin d éite un poteau qui epésente un obstacle pou la tajectoie ectiligne du fil, l électicien contoune l obstacle en coubant son fil su un demi-cecle de 7 cm de ayon. Le cente de coubue du fil coïncide aec le cente du poteau. On désie éalue le module du champ magnétique poduit pa le fil électique au cente du poteau sachant qu un couant de A cicule dans le fil. Voici une epésentation gaphique de la situation : Demi-cecle oteau 7 cm Nous pouons découpe note long fil en tois paties : ca =. Fil semi-infini gauche () : = sin( ) sin( ) = Demi-cecle () : = N ca =. Fil semi-infini doit (3) : = sin( ) sin( ) = Ainsi, le champ magnétique total sea poduit uniquement pa le demi-cecle : N = = (l y a ½ spie de couant) 7 ( )( ) = (,7) (emplace aleus numéiques) 7 = 8,97 T (Module du champ magnétique) éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age 3 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

4 Champ su l axe cental d une spie Nous pouons également éalue le champ magnétique su l axe cental d une spie. En découpant la spie en petits éléments de fil fini, on éalise que l ensemble des petits champs magnétiques poduits fome un cône. L addition ectoielle de tous ces champs magnétiques donne un champ magnétique ésultant paallèle à l axe cental de la spie. 3 ue en pespectie 4 Ainsi, le champ magnétique le long de l axe cental d une spie est pependiculaie à la spie et oienté selon le sens du couant. 3 4 Axe cental Champ magnétique su l axe cental d une bobine Le module du champ magnétique généé le long d un axe passant pa le cental de la bobine et étant pependiculaie au plan de la bobine dépend du couant ciculant dans la bobine, du nombe de spies N, du ayon de la bobine et de la distance ente le point où le champ magnétique est éalué et le cente de la bobine expimée sous la fome d un angle : où 3 = N sin ( ) : Champ magnétique poduit su l axe centale de la bobine en tesla (T) N : Le nombe de spie dans la bobine, N Z > : Couant électique en ampèe (A) : Le ayon de la bobine en mète (m) : Angle pou positionne le point : Constante magnétique, = π 7 4 Ns / C éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age 4 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

5 eue : Éaluons le champ magnétique su l axe cental d une spie : ue en pespectie sin ue en d pespectie d 3 ue en pespectie On éalise que :,, 3 et 4 sont tous de même module. Le champ magnétique ésultant est puement es le haut. Nous aons la elation géométique suiante : sin =. On éalise que chaque petit bout de fil d l génèe un champ magnétique au point de la fome suiante : d dl ˆ dl = = sin( θ ) nˆ où θ = 9 : Angle constant ente d l et ˆ. = + d : Distance constante ente tous les d l et le point. nˆ : Diection paticulièe pou chacun des d. éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age 5 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

6 Le champ magnétique selon l axe y aua la fome d y = d sin ( ) que l on peut éécie à l aide de la loi de iot-saat sous la fome où l expession ( ) dl = sin d y ( θ ) sin( ) sin coespond à la pojection du champ magnétique su l axe y. ue en pespectie sin a symétie, on éalise que l addition de tous les d génèe uniquement un champ magnétique dans la diection j. Effectuons note intégale afin d éalue le module du champ magnétique su l axe de la bobine : = d = d nˆ (Décompose module et oientation) = d j (Applique pincipe de supeposition) y dl = (emplace d y ) sin( θ ) sin( ) j dl = sin( 9 ) sin( ) j = sin( ) d j sin( )( π ) j l (emplace θ ) d (Factoise les constants) = (Éalue l intégale: d = π l ) = sin( ) j (Simplifie) = sin( ) j (emplace sin = / = / sin ) ( / sin( )) 3 = sin ( ) j (Simplifie) 3 = (Éalue le module du champ ) sin ( ) éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age 6 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

7 Execices éféence : Note Science Santé Chapite 6 Question 3 On eplie un fil doit infini pa une demi-boucle de ayon. Calculez le champ magnétique au cente de la demi-boucle. éféence : Note Science Santé Chapite 6 Question Un fil en fome de deux demi-cecles eliés, est pacouu pa un couant. Touez au cente C des deux demi-cecles. éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age 7 Note de cous édigée pa : Simon Vézina

8 Solutions éféence : Note Science Santé Chapite 6 Question 3 Demi-boucle : demi boucle = boucle ( k ) demi boucle = k ( boucle = ) demi boucle = k 4 Fil haut : fil _ haut = sin sin k Fil bas : ( ) ( ) ( ) fil _ haut = fil _ bas fil _ haut = sin( π ) sin( ) ( k ) fil _ haut = k Champ total : = demi boucle fil _ haut fil _ bas = k k 4 π = + 4 π k éféence : Note Science Santé Chapite 6 Question ac ac = ( k ) = k 4 = ( k ) = k 4 = = fil et fil = ac = 4 ac fil k fil = 4 k éféence : Mac Séguin, hysique XX Volume age 8 Note de cous édigée pa : Simon Vézina