CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE MATH 2001 PC

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1 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE MATH PC Partie I I..Si A = alors t AA = : Pour la réciroque on calcule les coe cients diagonaux de t AA : 8i f;;:::;g ; t AA = X n (A i;i k;i ) Les coe cients étant réels on a une somme de réels ositifs. La somme est nulle si et seulement si chaque terme est nul. Donc si t AA =, our tout k f;;:::;ng et our tout i f;;:::;g ; (A) k;i = k= t AA = si et seulement A = Remarque : En utilisant la forme matricielle du roduit scalaire on eut montrer que Ker(A) = M n; (R) : X Ker(A) ) kaxk = t X t AAX = donc AX = et donc Ker(A) = M n; (R) et A = :Mais comme on utilise une question qui suit ce n est as la meilleure méthode ici. désormais A est suosée non nulle donc t AA = I.. t AA M (R); c est une matrice symétrique réelle, elle est donc diagonalisable au moyen de matrices orthogonales. A t A M n (R); c est une matrice symétrique réelle, elle est donc aussi diagonalisable au moyen de matrices orthogonales. I.. a)question de cours hxjyi n = t XY = t YX b) W est un vecteur rore de t AA associé à la valeur rore ; donc W = et t AAW = W donc kaw k n = t (AW )AW = t W ( t AAW) = t W ( W) = tww = kwk : I.4 kawk n = kw k c) On sait déjà que toutes les valeurs rores sont réelles. kwk > (car W vecteur rore est non nul ) et kaw k n donc a) xin A t A I In () n; xin A In A t = A I () ;n xi Les valeurs rores de t AA sont donc réelles, ositives ou nulles A t = t A xi n A A I () ;n I xin n; t A t AA xi b) D arès le déterminant d une matrice diagonale ar blocs on sait que det A B () C = det(a)det(b) si A et B sont des matrices carrées. On sait aussi que det(a:b) = det(a) det(b) Si on désigne ar P M le olynôme caractéristique d une matrice M M n (R), P M (x) = P(M xi n ) On a donc : et det xin A t A I In n; t A I = det det xin A In () det n; t A I t = ( ) n xin A det A I t A I A t A xi n A () ;n I = P A t A(x)

2 donc P A ta(x) = ( ) n xin A det t A I de même avec l autre roduit ( ) n ( x) det xin A t A I = ( x) n PtAA(x) donc ( x) n Pt AA(x) = ( x) P A t A(x) Donc si est racine non nul de Pt AA de multilicité k alors (X ) k divise Pt AA donc aussi P A t A et réciroquement. t AA et A t A ont les mêmes valeurs rores non nulles avec le même ordre de multilicité c) Si on calcule le rang dans une base de vecteur rore on constate que, our une matrice diagonalisable, le rang est égal au nombre de valeurs rores non nuls en comtant la multilicité) t AA et A t A ont même rang. I.5. Si n > ; P A t A(x) = ( x) n Pt AA(x) donc est racine de P A t A : si n >, est valeur rore de A t A et si n < ; est valeur rore de t AA I.. Les i sont des réels ositifs (I.) donc les ¹ i sont bien dé nis et sont des réels ositifs. Il existe une base orthonormale (V j ) de vecteurs rores car la matrice est symétrique réelle. a) A étant non nulle, t AA est non nulle, elle est diagonalisable, elle a donc au moins une valeur rore non nulle. (la seule matrice diagonalisable dont le sectre est réduit à est la matrice nulle) Toutes ses valeurs rores sont ositives, donc la lus grande des valeurs rores est strictement ositive : > b) La somme des ordres de multilicité des valeurs rores non nulles de t AA est égale à r donc r = rang( t AA) = rang(a t A) d arès I.4.c. A t A M n (R) donc r n et d arès le théorème du rang, dim(kera t A) = n r c) Pour tout i f;;::;rg; AV i = ¹ i U i ar dé nition des U i si r > ; our tout i fr + ;::;g ; i = ; t AAV i = ; kav i k n = t V t i AAV i = ; si r > ; our tout i fr + ;::;g ; AV i = si i > r ¹ i = on ne eut toutefois as dire AV i = ¹ i U i car U i eut ne as exister si > n. Dans la suite il faut distinguer i r et i > r. d) Pour tout i f;;::;rg; t AU i = ¹ i ( t AAV i ) = i ¹ i V i = ¹ i V i our tout i f;;::;rg; t AU i = ¹ i V i e) Si n > r, our tout i fr + ;::;ng ; U i KerA t A ;donc A t AU i = et donc k t AU i k =t U i (A t AU i ) = ; si n > r, our tout i fr + ;::;ng ; t AU i = f) Pour tout i f;;::;rg ; our tout j f;;::;rg ; hu i ju j i = ¹ i ¹ t (AV i )(AV j ) = j ¹ i ¹ t V i ( t AAV j ) = j hv j ¹ i ¹ i jv j i = ± ij uisque j = ¹ j j et que (V j) est une base orthonormale. si n > r, ar dé nition (U r+ ;::U n ) est une famille orthonormale, our tout i f;;::;rg; our tout j fr + ;::;ng; hu i ju j i = ( t V t ¹ i A)U j = i uisque t AU j = (U ;U ;::;U n ) est donc une base orthonormale de R n de lus si i r ; A t AU i = A(¹ i V i ) = ¹ i U i = iu i si r < n ; r + i n ; A t AU i =, donc

3 (U;U;::;Un) est une base orthonormale de vecteurs rores de A t A ½ our tout i f;;::;rg ; Ui est associé à la valeur rore i our tout i fr + ;::;ng ; U i est associé à la valeur rore I.7. a) Pour calculer ( t UAV ) ij on fait le roduit de la ligne i de t U et de la colonne j de AV. On reconnaît donc le roduit scalaire de U i ar AV j ou ar : 8 (i;j) f;;::;ng f;;::;rg ; t UAV ij = hu ijav j i = ¹ j hu i ju j i = ¹ j ± ij 8 (i;j) f;;;::;ng fr + ;::;g ; t UAV ij = hu iji = = ¹ j ± ij car la base (U i ) est orthonormée. 8(i;j) f;;::;ng f;;::;g ; ( t UAV ) ij = ¹ j ± ij b) On a donc t UAV = car our j > r ¹ j = Les vecteurs colonnes de U constituent une base orthonormale de R n, donc U est une matrice orthogonale, U O(n); U est inversible et U = t U De même V O() et V est inversible avec V = t V Donc, en multiliant l égalité t UAV = à droite ar t V et à gauche ar U on obtient : c) t A A = A = U t V ; = ; = ; V = ; V = A ; U = A ; On a bien deux vecteurs normés et orthogonaux. On rend alors U = U ^U A ; On véri e bien que (U ) est une base de Ker (A t A ) avec A t A A: 4 A = U t V avec U = C A ; A ; t V = t B B = ( ) ; V = () ; U = ; U = B = U t V avec U = Ã! ; = ; t V = () I.8. U et t V sont des matrices inversibles, donc le rang de A est égal au rang de (matrices équivalentes) donc rang(a) = r I.9.Dessiner des roduits de matrices our bien voir ce qui se asse. Utiliser les exemles en etite taille. a) V i t E i est une matrice de M (R) dont toutes les colonnes sont nulles sauf la i-ème égale à V i ; V = P i= V i t E i

4 b) On a de même U = P n j= U j t F ³ j Pn donc A = U t V = j= U j t F j t ( P i= V i t E i ) = P i;j U j t F j E t i V i Or our j r : t F j = ;¹ j ; = ¹ t j E j et donc t F j E i = ¹ t j E je i = ¹ j ± i;j Et our j > r t F j = donc t F j E i = tous les termes our i = j et our j > r étant nuls. A = P r j= ¹ ju j t V j t AA = t A( P r i= ¹ iu i t V i ) = P r i= ¹ i ( t AU i ) t V i, or t AU i = ¹ i V i et i = ¹ i; (car i r ) donc t AA = P r i= iv i t V i En transosant la formule qui donne A on obtient : t A = P r i= ¹ iv t i U i ; donc A t A = P r i= ¹ i (AV i) t U i = P r i= ¹ i (¹ i U i) t U i ; donc A t A = P r i= iu i t U i c) Soit X R ; t V i X = hv i jxi; donc à rx! AX = ¹ i U t i V i X = i= rx ¹ i hv i jxi U i (U;U;::;Ur) est une famille libre de R n, our tout i f;;::;rg ; ¹ i = donc AX = si et seulement si our tout i f;;::;rg; hv i jxi = (V ;V ;:::;V ) étant une base orthonormale de R ; i= si r < ; Ker(A) = Vect (V r+ ;::;V ) et si r = ; Ker(A) = fg Par un raisonnement analogue, si Y R n ; t AY = P r i= ¹ i hu ijyi V i si r < n ; Ker( t A) = Vect (U r+ ;::;U n ) et si r = n ; Ker ( t A) = fg our tout X R ; AX Vect(AV ; ;AV ) = Vect(U ;::;U r ) donc Im A ½ Vect(U ;::;U r ) or dim(im (A)) = rg(a) = r donc ImA = V ect(u ;U ;::;U r ) et on obtient de même Im( t A) = Vect(V ;V ;::;V r ) d) KerA ½ Ker ( t AA), de lus A et t AA ont le même rang r donc dim(kera) = r et dim (Ker( t AA)) = r; donc KerA = Ker( t AA) Un raisonnement analogue ermet de démontrer que: Ker( t A) = Ker (A t A) PARTIE II 4

5 D arès la remière artie toute matrice non nulle admet une décomosition en valeurs singulières. Mais le sujet ne dit as exlicitement que our une décomosition en valeurs singulières les matrice U et V sont obligatoirement construites selon la méthode du I. On eut toutefois véri er réciroquement que si A = U t V alors le carré des termes diagonaux de sont les valeurs rores de t AA et de A t A et que les colonnes de U et V véri ent les conditions imosées en remière artie. En n le sujet semble dire que l on eut admettre l unicité avant de l avoir démontrer. II.. On déduit de I.7.b que Ã! + = d où arès calculs que On en déduit : uis A A + A + = A A + A = I A A + A = A A + A A + = A+ : II..Avec les notations du I.7 on a A + = V + t U Comme U et V sont orthogonales et que + est du tye voulu, A + = V + t U est une décomosition de A + en valeurs singulières, d où l on déduit que (A + ) + = U ( + ) + t V = U t V = A. (A + ) + = A En rocédant ainsi on fait déjà la question dans un cas articulier. Mais c est bien lus raide que de faire les calculs comme en I.7.c II.. Le calcul se fait sur le même rincie que our le roduit de deux matrices diagonales: + = I r () r; r () r;r () r, + = I r () r;n r () n r;r () n r n On obtient des matrices J r usuelles mais de taille di érentes. II.4. Si n = = r, ce qui récède rouve que + =, de lus V = ( t V ) et t U = U, car U et V sont orthogonales. Donc A + = A II.5. Le résultat du I.9.a aliqué à A + = V + t U donne : A + = P r i= ¹ V t i U i i D autre art, en utilisant l égalité A = P r j= ¹ ju j t V j trouvée en I.9.b AA + = X i=::r j=::r ¹ j ¹ i U j t V j V i t U i : Or our tous i et j dans [;], t V j V i = hv j jv i i = ± i;j car (V ;:::;V ) est une base orthonormée de R. D où AA + = P r i= U i t U i De la même façon,en échangeant les rôles de U et V, comme (U ;:::;U n ) est une base orthonormée de R n : A + A = P n i= V i t V i II..a. Pour j n : AA + U j = P r i= U i t U i U j = P r i= hu i ju j i U i = P r ½ i= ± i;j U i. Finalement, AA + Uj si j r U j = si j > r Si Á est l endomorhisme associé à AA + dans la base canonique de R n on obtient que la matrice de Á dans la base (U j ) est une matrice J r qui est la forme canonique de la matrice d une rojection. Comme la base est orthonormale cette rojection est orthogonale. 5

6 Á est la rojection orthogonale de R n sur Vect(U ;:::;U r ). Or ar construction les (V i ) i= est une base de R, donc les (U i ) i= engendre Im(A) En retirant les vecteurs nuls les (U i) r i= engendrent Im(A). (c est même une base car le système est orthonormale) Á est la rojection orthogonale de R n sur Im(A). II..b. Pour tout j [[;], A + AV j = P r i= V i t V i V j = P r i= hv ijv j i V i = P r ½ i= ± i;j V i. Soit A + Vj si j r AV j =. si j > r Par construction les (V i ) n i= est une base orthonormale telle que (V j) n j=r+ soit une base de Ker(t AA) = Ker(A) d arès la question I.9.d l endomorhisme associé à A + A dans la base canonique de R est la rojection orthogonale de R sur (Ker(A))?. II.7. ² AA + est la matrice dans la base canonique de R n, orthonormée our le roduit scalaire canonique, d une rojection orthogonale de R n : elle est donc symétrique. A + A est la matrice dans la base canonique de R, orthonormée our le roduit scalaire canonique, d une rojection orthogonale de R : elle est donc symétrique. AA + = t (AA + ), A + A = t (A + A) ² On AA + A = X i=::r j=::r ¹ i U j t U j U i t V i = rx ¹ i U t i V i i= toujours car t U j U i = ± i;j : Même calcul our (A + A)A + AA + A = A, A + AA + = A + II.8.On sait que Im(MN) ½ Im(M) et Ker(N) ½ Ker(MN). On en déduit alors immédiatement à l aide de II.7 ² ² ² ² ¾ Im(AA + ) ½ Im(A) Im(A) = Im(AA + A) ½ Im(AA + donc ) Im(A) = Im(AA+ ) : Ker(A + ) ½ Ker(AA + ¾ ) Ker(AA + ) ½ Ker(A + (AA + )) = Ker(A + donc Ker(A + ) = Ker(AA + ). ) ¾ Im(A + A) ½ Im(A + ) Im(A + ) = Im(A + AA + ) ½ Im(A + donc Im(A + ) = Im(A + A). A) ¾ Ker(A) ½ Ker(A + A) Ker(A + A) ½ Ker(A(A + donc Ker(A + A) = Ker(A). A)) = Ker(A) ² AA + est la matrice d une rojection (orthogonale) de R n, donc R n = Im(AA + ) Ker(AA + ). De même comme (A + A) est la matrice d une rojection de R, R = Im(A + A) Ker(A + A). R n = Im(A) Ker(A + ) R = Im(A + ) Ker(A) II.9. II.9.a. ² i) B = B(AB) = B t (BA) = B t B t A et B = (BA)B = t A t B B. ² ii) A = (AB)A = t B t AA et A = A(BA) = A t A t B. ² iii) t A = B A t A = t AAB en transosant les égalités ii).

7 II.9.b. Comme A + véri e les hyothèses de cette question, elle véri e, comme B les identités i), ii) et iii). On doit donc montrer que si deux matrices B et C véri ent les hyothèses de II9 (et donc i), ii) et iii) ) elles sont égales.on art de B our trouver C. On commence donc ar i).le morceau t A ermet d introduire C... et l exression se simli e ar ii) our donner une forme symétrique en B et C. On recommence symétriquement avec C en mettant A à gauche: B = B t B t A car B véri e i) = B t B t AAAC car C véri e iii) = BAC car B véri e ii) de même C = t A t CC car C véri e i) = BA t A t CC car B véri e iii) = BAC car C véri e ii) Si on a deux décomositions en matrices singulières de A les deux matrices A + obtenues véri ent II7 et sont donc égales. II.. deux lans ossibles ² utiliser II9 (A + ) + est l unique matrice B M n; (R) véri ant A + B = t (A + B) BA + = t (BA + ) A + BA + = A + BA + B = B Comme A M n; (R) et que A véri e ces quatre relations ² utiliser ( + ) + = Comme A + = V + t U est une décomosition en valeurs singulières de A + on a ar unicité (A + ) + = U ( + ) + t V = A (A + ) + = A ² our t A et en utilisant le second lan: t (A + ) = U t ( + ) t V = U + t V t A = V t U est une décomosition en valeurs singulières de t ta donc ( t A) + = U + t V ( t A) + = (A + ) II.. Soit C = A B A. Cherchons C + sous la forme a b c our que les identités de II9 soient véri ées.(on eut aussi rerendre le lan de calcul de A + ) A a b c a b c A est symétrique si et seulement si c = a et b =, ce que l on suose a b c acquis our la suite des calculs. ² a a C M (R) est toujours symétrique. ² C a a C 8a A d où a = 4 8a ² On véri e que la quatrième relation est vraie On a donc (A B ) + = 4 4 : A artir de la décomosition de B en valeurs singulières :B + = et donc B + A + = = (A B ) + II..bonne révision des rojections orthogonales. II..a. Pour tout H M n; (R), AA + H est le rojeté orthogonal de H sur ImA, donc H AA + H est orthogonal à ImA d où AX AH? H AH En utilisant Pythagore, jjax H jj n = jjax AH jj n + jjh AH j n, d où jjax H jj n jjah H jj n. Or AX décrit Im(A) et AH est l élément de Im(A) rendant minimum jax H j d(h;im(a)) = AH H n n 7

8 II..b. S il existe ~ H M ; (R) tel que ja ~ H H j n = jah H j n = d(h;ima), alors ar unicité du rojeté orthogonal de H sur Im A, A ~H = AH, soit ~H H KerA. On a alors ~H = H + ( ~H H) avec H Im(A + ) = (Ker A)? et ~H H KerA. Par Pythagore, j ~H j = jh jj + j ~H H j. Si de lus ~H = H, jj ~H H jj > et donc II..c. inf ja X H j = jja A + H H jj = = jjh jj < jj ~H j 8