. Mais ceci entraîne successivement q 1. 2(q 1) = (q 1)(q + 1) 2 = q = q.

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1 ES Suites arithmétiques et géométriques Réponses & Corrigés Démontrer qu une suite qui est à la fois arithmétique et géométrique est une suite constante Si u est à la fois arithmétique et géométrique on a u u 0 + r, u u 0 q, u u 0 + r, u u 0 q D où u 0 + r u 0 q r u 0 q u 0 r u 0 q u 0 q r Et u 0 + r u 0 q r u 0 q u 0 r u 0 q u 0 q r Mais ceci entraîne successivement q r q r q q Or une suite géométrique de raison est une suite constante q q q + q + q Donner des exemples simples de suites qui ne sont ni arithmétiques ni géométriques ;;; ;; ;;; ;; 0 ; ; 4 ;9;6;5;, c est à dire la suite des carrés des nombres entiers positifs a Déterminer un exemple de suite l telle que l n+ l n quel que soit l entier naturel n, et qui soit arithmétique Toute suite arithmétique de raison,5 convient car on a dans ce cas l n l 0 +, 5n et donc l n+ l 0 +, 5n + l 0 +, 5n + l n + b Déterminer un exemple de suite l telle que l n+ l n quel que soit l entier naturel n, mais qui ne soit pas arithmétique Par exemple : 0 ;0; ;0;6;0 ;9;0 ;;0;5;0;;0 ; Soit u une suite géométrique de raison 00 0 et de terme initial u 0 6 4a Calculer les trois premiers termes u 0 6, u , 5, u b Donner des valeurs approchées de u 5, u 4 et u 00 u , 66, u c Donner une valeur approchée de 50 i0 u i 50 i0 u i , , , 54 et u , 000 Soit b une suite arithmétique de raison r, et de terme initial b 0 4 5a Calculer les quatre premiers termes b 0 4, b 4, 409, 9, b 409, 9, 40,, b 40,, 405, 6 5b Calculer b b b 0 + r 4 +, 9 5c Donner une valeur approchée de 00 p0 b p 00 p0 b p , 5 5d Donner une valeur approchée de 00 p4 b p p0 b p , 99 Donc 00 p4 b p 00 p0 b p p0 b p 45, 5 400, 99, 49

2 Soit a une suite arithmétique de raison, 5 et telle que a 5 0 6a Calculer a a a 5 + 5, 5 0, b Calculer a 6 a 6 a , 5 0 4, 5, 5 Calculer la somme de tous les entiers naturels compris entre 5 et 54 inclus , donc a Déterminer quel est le plus grand multiple de inférieur à , 6 Le plus grand multiple de inférieur à est donc b Calculer la somme de tous les multiples de compris entre 0 et Il s agit de calculer qui est la somme partielle d une suite arithmétique u de raison et de terme initial u 0 0 Le dernier terme qu on veut ajouter est u La somme vaut a Déterminer quel est la plus grande puissance de inférieure à et , la plus grande puissance de inférieure à est donc 5 9b Calculer la somme de toutes les puissances de comprises entre 0 et Soit v une suite géométrique de raison 0 99, telle que v 5 0a Calculer v 4 et v 6 v 4 v et v 0 6 v b Donner des valeurs approchées de v 60 et de v 0 v 60 v , 9 et v0 v , 6

3 a Compléter le tableau suivant suite er terme ème terme ème terme ćart ou rapport constant? sa ou sg n 0 non n non n oui sa raison n + 4, 4 6 non n 0 oui sa raison n + n oui sg raison + oui sa raison n n 49 5 oui sa raison 4 n n non n 4 +n n 4 oui sg raison 0 oui sa raison 9 non 45 n oui sa raison 45 n 5 n oui sa raison 5 4 oui sg raison 5 4 n 9594 oui sg raison n oui sg raison 4 n + n 5 non b Classer les suites précédentes en trois catégories : arithmétique, géométrique, ni arithmétiques ni géométrique Dans les deux premiers cas préciser la raison Voir exercice précédent

4 Démontrer que les suites suivantes sont arithmétiques ou géométriques suivant le cas Pour n on a + n+ n L écart entre deux termes successifs est constant donc la suite est arithmétique et sa raison est Pour n on remarque que tous les termes sont strictement positifs une puissance d un nombre strictement positif est strictement positive De plus un+ n+ n Le rapport entre deux termes successifs est constant donc la suite est géométrique Sa raison est Pour n+4 on a + n++4 n 4 L écart entre deux termes successifs est constant donc la suite est arithmétique et sa raison est Pour + n on a u n+ + n + n L écart entre deux termes successifs est constant donc la suite est arithmétique et sa raison est n n se simplifie en 4n+49 On a + 4n++49+4n 49 4 L écart entre deux termes successifs est constant donc la suite est arithmétique et sa raison est 4 n Pour on remarque que tous les termes sont strictement positifs De plus + n+ n Le rapport entre deux termes successifs est constant donc la suite est géométrique Sa raison est Pour 45 n 4 on a + 45 n n L écart entre deux termes successifs est constant donc la suite est arithmétique et sa raison est 45 Pour n on a + n+ n L écart entre deux termes successifs est constant donc la suite est arithmétique et sa raison est Pour 5 n 4 on remarque que tous les termes sont strictement positifs puisque 5 > 4 De plus un+ 5 4 n n 4 Le rapport entre deux termes successifs est constant donc la suite est géométrique Sa raison est 5 4 Pour n on remarque que tous les termes sont strictement positifs De plus un+ n+ Le rapport entre deux termes successifs est constant donc la suite est géométrique Sa n raison est Pour n+ n raison est n on remarque que tous les termes sont strictement positifs De plus un+ Le rapport entre deux termes successifs est constant donc la suite est géométrique Sa c est à dire n 4 +n se simplifie en n On a + n + n + C est une suite arithmétique de raison Soit u une suite arithmétique de raison r Déterminer u 0 et r sachant que u 5 + u 6 + u 0 et u + u + u + u 4 00 La suite étant arithmétique on peut exprimer chaque terme en fonction de u 0 et de r selon la formule u 0 + nr u On obtient 0 + 5r + u 0 + 6r + u 0 + r 0 u 0 + r + u 0 + r + u 0 + r + u 0 + 4r 00 u0 + r 0 Ce qui se simplifie en 4u r 00 La résolution de ce système donne u et r 9 4

5 4 Soit w une suite arithmétique de raison r Déterminer w 0 et r sachant que i0 w i 04 et 4 i0 w i 4 En utilisant les formules de sommes partielles pour les sa on obtient u0 + r 04 4u r 4 En simplifiant u0 + 5r 04 4u 0 + 6r 4 La résolution de ce système donne u 0, 50 et r 0, Soit u une suite géométrique de raison q > 0 et telle que u 5 et u, 4 5a Déterminer q u u 5 q donne q,4, D où q, car on sait que q > 0 5b Déterminer u 0 u 0 u 5 q 5, 5 0, 0 Soit u une suite géométrique de raison q et telle que u 5 et u 60 6a Déterminer toutes les valeurs possibles de q q u60 u 5 6 donc q 4 ou q 4 6b Déterminer u 6 4 u 6 u 60 q 04 4, selon la valeur de q 04 Soit u une suite géométrique de raison q et telle que u 50 et u 60 a Déterminer toutes les valeurs possibles de q q 0 u60 u 50 6 Ce qui donne deux solutions : q 6 0, 9 ou q 6 0, 9 b Déterminer u 4 6 u 4 u 50 q , 0, 6 0 0, 0 suivant la valeur de q Soit l une suite arithmétique de raison r a Quelle relation de récurrence y a-t-il entre l n et l n+ l n+ l n + r b Quelle relation de récurrence y a-t-il entre l n et l n+ l n+ l n + r Soit w une suite géométrique de raison q 9a Quelle relation de récurrence y a-t-il entre w n et w n+ w n+ w n q 9b On considère la suite v associée à la suite w par la relation v n w n valable pour tout entier naturel n Démontrer que v est géométrique et préciser sa raison v n+ v n w n+ w n w0qn+ w 0q n w0qn+ w 0q q Le rapport entre deux termes successifs est constant il ne n dépend pas de n, ce qui prouve que la suite est géométrique et sa raison est q 5

6 0 Soient u et v deux suites telles que u+v est géométrique de raison et de terme initial u+v 0 et u v est arithmétique de raison 6 et de terme initial u v 0 5 Expliciter les termes généraux et v n en fonction de n On a + v n n n et v n 5 + 6n En ajoutant ces égalités on obtient n n, c est à dire n n En les soustrayant on obtient v n n 5 + 6n, c est à dire n 5 n Soit h et k deux suites définies par h n n + 5 et k n h n+ h n Prouver que la suite k est arithmétique et préciser quelle est sa raison k n+ k n h n+ h n+ h n+ h n h n+ h n+ +h n n n n + 5 n + n + + n n + 4n+4 n 4n + n 4 L écart entre deux termes successifs de la suite k est constant, égal à 4 La suite k est donc arithmétique de raison 4 Soit l une suite arithmétique de raison q et dont tous les termes sont positifs On définit une nouvelle suite L en posant L n Vérifier que ln+ l n+ N i L i N l + l N On remarque d abord que l étant une suite arithmétique de raison q on a l l q, l l q, etc On remarque ensuite que L n ln l n+ ln ln+ ln l n+ ln l n+ ln+ l n+ l n+ l l n+ n l n+ Ainsi N i L i l l + l l + l l ln 4 l N + + l l + l l + l l l N l N l l N l l N l + l N l + l N l l N l + l N l l + N q l + l N N q l + l N N l + l N Soient a, b et c trois termes successifs d une suite arithmétique de raison r Déterminer a, b et c sachant que leur somme est 9 et que la somme de leurs carrés est 59 On a a b r et c b + r Leur somme est a + b + c b 9, on en tire b La somme de leurs carrés est a +b +c r + ++r 9 6r+r r+r +r Ceci doit être égal à 59 d après l énoncé D où + r 59 r r ou r On a donc deux solutions : a, b, c,, + ou a, b, c +,, 6

7 Soient a, b et c trois termes successifs d une suite géométrique de raison r 4a Démontrer que a + b + ca b + c a + b + c dans le cas où a, b et c trois termes successifs d une suite géométrique de raison r On a b ar et c ar D où a + b + ca b + c a + c + ac b a + c + a r a r a + c + a r a + b + c 4b Déterminer a, b et c sachant que leur somme est 9 et que la somme de leurs carrés est 4459 a + b + c 9 a + b + c 9 a + b + c 9 a + b + c 4459 a + b + ca b + c a b + c 4459 a + b + c 9 En soustrayant les deux égalités on trouve b 4 soit b On sait en outre a b + c 49 que a b r r et que c br r puisque ce sont trois termes d une géométrique de raison r Or a + b + c 9 donne a + c 0 puis r + r 0 qu on peut simplifier en r + r 0 Écrit sous la forme + r 0r ou r 0r + 0 on voit que ceci est une équation du second degré de discriminant 64 admettant deux solutions et Il y a deux solutions a, b, c,, 6 et a, b, c 6,, 5 Soit u géométrique et telle que pour tout n N on a Quelle est, en supposant que celle-ci est positive, sa raison? + q et + q, d où devient q q + Il y a deux possibilités : q q + En factorisant cela Ou bien 0 ce qui signifie que tous les termes de la suite sont nuls La raison de la suite peut alors être n importe quel nombre réel Ou bien 0 ce qui implique q 0, équation du second degré dont les solutions sont 5 et + 5 On place la somme C francs sur un compte rémunéré au taux de 0, 44% par mois On note C n le capital obtenu a-ième mois 6a Justifier pourquoi C 0, C, C, etc, les montants successifs du capital, forment une suite géométrique Préciser sa raison et son terme initial Chaque mois le capital est multiplié toujours par le même nombre :,0044 C est donc une suite géométrique de raison,0044 et de terme initial b Quel est le capital C 4? C , , 5 6c Quel est le pourcentage global d augmentation entre C 0 et C 4? C 4 C 0 + t 00 C 4 C 0 + t C4 C 0 t C est à dire t, 5 On place au taux annuel de, % un capital de francs a Quel est le montant du capital au bout de 0 ans? , , 66 b Au bout de 0 ans? , , 96 c Au bout de n ans? , n 00

8 On place un capital de francs d abord pendant 6 ans au taux de 6, 09% puis pendant ans au taux de, % a Quel est le montant du capital final obtenu? , , 0 699, 6 b Quel est le pourcentage global d augmentation? 699, t , t , t C est à dire t 0, 5 c Quel est le pourcentage moyen d augmentation chaque année? 699, t 699,65 699, t t C est à dire t 6, Sachant que 0% des mangeurs de hamburgers meurent chaque année, sachant qu on en recensait au premier janvier 99, combien seront-t-ils encore à la fin de 00 si l espèce continue à disparaître au même rythme? On a une suite géométrique de raison , 9, de terme initial u et on cherche u 4 u 4 u 0 0, On place un capital C 0 au taux annuel de 5, 4% 0a Combien faut-il d années pour que le capital double? On cherche l entier naturel n le plus petit possible tel que C 0, 054 n C 0 Cette égalité peut se simplifier en, 054 n À la calculatrice à l aide du tableau de valeurs on trouve n 4 0b Combien faut-il d années pour que le capital soit multiplié par 5? On cherche l entier naturel n le plus petit possible tel que C 0, 054 n 5C 0 Cette égalité peut se simplifier en, 054 n 5 À la calculatrice à l aide du tableau de valeurs on trouve n Un véhicule de travaux publics coûte Il se déprécie de 0% par an c est à dire que son prix de revente baisse de 0% par an a On appelle u sa valeur au bout d un an, u sa valeur au bout de deux ans, etc Calculer u et u u , et u u 0, 0000 b Si est sa valeur une année, exprimer + sa valeur l année suivante en fonction de En déduire que les termes u, u,, forment une suite de nature, de raison et de premier terme que l on précisera On a , un La suite est donc géométrique de raison 0, et de terme initial u c Quelle est sa valeur au bout de cinq ans? u , d Si pendant la même période le prix des véhicules augmente de 4% par an, quelle somme l entreprise doit-elle prévoir pour remplacer le véhicule dans cinq ans? Dans cinq ans un véhicule neuf coûtera , 6 Il faudra débourser 50, , 6 Le montant d une «facture téléphonique» s obtient en appliquant une fonction affine f aombre d unités enregistrées pour une période de deux mois : fx est le prix à payer quand on a consommé x unités

9 a On sait qu une facture s élève à,5 pour 500 unités et qu une autre s élève à, pour 400 unités Déterminer l expression de fx en fonction de x On cherche une fonction affine c est à dire une fonction de la forme fx ax + b On doit avoir f500, 5 500a + b, 5 f400,, c est à dire Par soustraction des deux égalités on 400a + b, obtient 00a 0,, ce qui donne a 0, 0 En reportant la valeur de a dans une des équations on trouve b La fonction cherchée est donc la fonction définie par fx 0, 0x + b Quel est le prix de l abonnement? C est f0 L opérateur décide de réduire le prix de l unité de centime mais d augmenter le prix de l abonnement de 0% c Déterminer la fonction g qui donne le nouveau prix gx à payer en fonction dombre x d unités utilisées Le prix de l abonnement est maintenant + 00, Le prix d une unité est 0, 0 0, 06 La fonction g est la fonction définie par gx 0, 06x +, d Étudier, suivant le nombre d unités consommées, si le nouveau tarif est plus avantageux fx gx 0, 0x + 0, 06x +, 0, 0x 0, x 0, 0,0 0 Le nouveau tarif est donc plus avantageux à partir de 0 unités 9