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1 Ondes (Préparation Olympiades de Physique 2006) 1 Ondes I Ondes progressives 1/ Desription Dans un milieu à une dimension (orde, ressort), on peut observer une onde se propager selon la diretion Ox du milieu omme par exemple la déformation de la orde ou un ébranlement le long du ressort. On peut aussi entendre une onde sonore, dans e as est une surpression de l air qui se propage. Dans tous les as, la propagation de l onde, est aratérisée par le fait qu une déformation du milieu observée à un instant donné t 1 en une position donnée x 1 se retrouve un peu plus tard en t 2 > t 1 à l absisse x 2. Si il n y a pas d atténuation la déformation prend rigoureusement la même forme en tous les points où elle passe. y t 1 x 1 y t >t 2 1 x 2 On remarque que le déplaement de l onde dans la diretion Ox ne s aompagne d auun transport de matière dans ette diretion de propagation. On onstate don une double dépendane spatiale et temporelle de la variable y(x,t). Mais le fait de retrouver toujours la même déformation à des instants différents et des positions différentes impose à la fontion y(x,t) d être fontion de deux variables qui ne sont pas indépendantes lors de la desription de la propagation de l onde. 2/ Vitesse de propagation Dans le as du shéma préedent, la propgation de l onde impose : y(x 1,t 1 ) = y(x 2,t 2 ). On peut alors naturellement définir la vitesse de l onde omme le rapport de e qu elle a progressé sur le temps pendant lequel elle l a fait. Ii, en notant sa vitesse (ou élérité), on aura = x 2 x 1 t 2 t 1 soit enore en utilisant le signal en x 1 = 0 et en posant t = t 2 et x = x 2, x = t t 1 soit t 1 = t x/ e qui donne une relation aratéristique des ondes progressives : y(x,t) = y(0,t x/) = f (t x/)

2 2 Ondes (Préparation Olympiades de Physique 2006) Cette vitesse dépend aussi des artéristiques du milieu. Par exemple, pour les ondes sur une orde tendue, elle vaut T = µ ave T la tension de la orde et µ sa masse linéique. 3/ Diretion de propagation Le raisonnement préédent vaut pour une onde se propageant dans le sens des x roissants. Si l onde se propage dans l autre sens, vers les x déroissants, on obtient par un raisonnement identique (ou en hangeant la vitesse en ) y(x,t) = y(0,t + x/) = g(t + x/) On peut remarquer que si il y a réflexion d un ébranlement (par exemple au bout d un ressort) on peut observer suessivement en un même point une onde dans un sens puis dans l autre. Pour aratériser l amplitude de l onde réfléhie par rapport à elle de l onde inidente on peut définir un oeffiient de réflexion r par r = y r (x 0,t)/y i (x 0,t) où y i (x 0,t) et y r (x 0,t) sont les amplitudes respetives des ondes inidentes et réfléhies à l absisse x 0 où a lieu la réflexion. 4/ Cas d une exitation périodique, double périodiité Dans le as où l exitation du système est périodique en un point en x = 0 (par exemple), la fontion y(0,t) est alors périodique de période T 0 et de fréquene f 0 = 1/T 0. Cei est par exemple obtenu en faisant vibrer méaniquement une extrémité d un ressort ou elle d un orde. D après les relations déjà vues, on peut don érire pour tout x : y(0,t) = y(x,t + x/) ou enore en hangeant l origine des temps y(x,t) = y(0,t x/) = f (t x/) pour une onde se propageant dans le sens des x roissants. Cei montre qu en tout x, la fontion y présente la même périodiité temporelle qu en 0. Cette relation montre qu alors la périodiité temporelle impose une periodiité spatiale. En effet à tout instant t, deux points en x 1 et x 2 ont la même amplitude de déplaement y dès que (t x 1 /) = (t x 2 /) + pt 0 ave p entier On obtient la période spatiale par différene entre x 2 et x 1 dans le as p = 1, soit une période spatiale appelée longueur d onde λ = T 0 = f 0 Parmi les exitations périodiques, l exitation sinusoïdale joue un rôle partiulier. En effet d après l analyse de J. Fourier, on sait qu on peut érire toute fontion périodique de période T 0 (fréquene f 0 ) omme la somme de fontions sinusoïdales de fréquenes multiples n f 0 ave n entier positif, soit ave l exemple présent y(0,t) = y 0 + a n os(2πn f 0 t) + b n sin(2πn f 0 t) Cei explique le rôle important des ondes progressives sinusoïdales dans l étude générale des ondes progressives. Bien sûr, si l exitation périodique y(0,t) est diretement sinusoïdale, la somme i-dessus se réduit à un seul terme du type y(0,t) = aos(2π f 0 t) = aos ( 2π T 0 t) = aos(ωt)

3 Ondes (Préparation Olympiades de Physique 2006) 3 soit alors y(x,t) = aos ( ω(t x/) ) = aos(ωt kx) pour une onde se propageant dans le sens des x roissants, ave la pulsation ω telle que ω = 2π f 0 = 2π T 0 et k = ω = 2π λ. II Ondes stationnaires 1/ Obtention On peut observer sous ertaines onditions des ondes qui ne se propagent pas, on les appelle ondes stationnaires. Elles orrespondent par exemple à la superposition de deux ondes progressives périodiques sinsoïdales de même période, de même amplitude mais de sens de propagation opposés. Soit en x, à l instant t : y(x,t) = asin ( ω(t x/) ) + asin ( ω(t + x/) ) = 2asin(ωt)os( ω x) = 2asin(ωt)os(kx) ave k = ω = 2π. On retrouve les mêmes périodiités spatiales et temporelles que pour les ondes progressives mais sans le phénomène de propagation, les osillations sinusoïdales ayant lieu «sur plae λ». 2/ Exemple de la orde tendue On peut observer e phénomène sur une orde tendue fixée à ses deux extrémités en x = 0 et x = l. Du fait des réflexions sur les extrémités fixes de la orde, elle-i peut-être parourue par des ondes progressives dans les deux sens de propagation : vers les x roissants et vers les x déroissants, soit : y(x,t) = f (t x/) + g(t + x/) omme vu préedemment la orde étant fixe à ses deux extrémités, en x = 0 et x = l, on peut don érire à tout instant t soit en ombinant es deux relations y(0,t) = f (t) + g(t) = 0 et y(l,t) = f (t l/) + g(t + l/) = 0 f (t l/) = g(t + l/) = f (t + l/) e qui montre que la fontion f (et don g, son opposée) est périodique de période 2l/ (fréquene /2l). On peut don, omme vu plus haut, les déomposer en somme de fontions sinusoïdales de fréquenes multiples soit : e qui donne f (t x/) = a 0 + g(t + x/) = f (t + x/) = a 0 y(x,t) = f (t x/) + g(t + x/) = a n os ( 2πn 2l (t x/)) + a n os ( 2πn 2l (t + x/)) b n sin ( 2πn (t x/)) 2l [ ( 2a n os(nωt) 2b n sin(nωt))sin(nω x ] ) b n sin ( 2πn (t + x/)) 2l où ω = π l On montre ainsi que des ondes progressives quelonques sur une orde tendue à ses deux extrémités sont en fait la superposition de plusieurs ondes stationnaires de fréquene f 0 = et multiples. L onde stationnaire de 2l frequene f 0 est appelé le mode fondamental, les autres, de fréquene n f 0, sont appelés les harmoniques. On peut bien sûr observer es modes seuls, appelés modes propres, sur une orde tendue. Mais pour observer un seul de es modes, il faut que la relation entre la fréquene observée, la vitesse de l onde et la longueur de

4 4 Ondes (Préparation Olympiades de Physique 2006) la orde soit parfaitement respetée. Cela impose don une relation entre la longueur d onde λ du mode et la longueur du fil. Par exemple pour le mode n : f n = n 2l = λ n soit l = n λ n 2 On représente i-dessous les trois premiers modes propres d une orde fixée à ses extrémités On peut aussi observer es modes propres en exitant une des extrémités de la orde ave un petite amplitude. Comme pour tous les osillateurs, on peut observer es modes propres lors de phénomènes de résonane. Ce phénomène est par exemple observable pour une orde tendue dont une extrémité est fixe (en x = l) et l autre (x = 0) vibre sinusoïdalement au ours du temps selon une loi y(0,t) = asin(ωt). On observe alors un régime d ondes stationnaires résultant de la superposition de l onde se propageant vers les x roissants et de l onde qui se réfléhit sur l extrémité fixe de la orde et qui se propage don dans l autre sens. On observe alors sur la orde des fuseaux de vibration. En règle générale, hors résonane, l amplitude de vibration de la orde est de l ordre de elle de l exitation en x = 0, ii a. Cependant, à ω fixé, pour ertaines longueurs l de la orde, un phénomène de résonane apparait : ertains points partiuliers de la orde, régulièrement espaés, possèdent soit : -une amplitude d osillations nulle (nœuds de vibration) -une amplitude maximale très nettement supérieure à a (ventres de vibration) On onstate qu alors, le vibreur en x = 0 oïnide quasiment ave un nœud tout omme bien sûr l extrémité fixe en x = l, dans ette situation, la longueur de la orde oïnide à un nombre entier de demi-longueurs d onde λ : l = n λ 2 ave n le nomnbre de fuseaux observés Ces modes orrespondent don bien aux différents modes propres d osillations libres de la orde fixée à ses deux extrémités. III Effet Doppler Ce phénomène apparait dès qu une soure émettant des ondes se déplae par rapport à un réepteur. Dans e as, pour le réepteur, il apparait un déalage de fréquene par rapport à la fréquene d émission. On onsidère ii un réepteur fixe R et une soure S qui émet des ondes vers R mais ave une vitesse u par rapport à R. On notera, la vitesse de es ondes dans le milieu et = 1/T s la fréquene des ondes émises au niveau de la soure. On peut par exemple onsidérer que la soure S émet de très brèves impulsions espaées de la période T s. En hoisissant omme origine t = 0, l instant où S et R sont à la même position, x = 0, et où S émet une impulsion, lorsque la nième impulsion suivante est émise par S, ela a lieu à t = nt s et à l absisse nut s,

5 Ondes (Préparation Olympiades de Physique 2006) 5 u= u e x S R x ette impulsion se propage ensuite vers R à la vitesse, elle va mettre le temps τ = nut s telle sorte que la nième impulsion arrive en R à l instant t n = nt s + nut s = nt s 1 + de même la (n+1)ième impulsion, émise en S à t = (n + 1)T s arrivera en R à l instant pour arriver en R de t n+1 = (n + 1)T s + (n + 1)uT s La période des impulsions reçues par R est don soit pour la fréquene des impulsions reçues en R : T r = t n+1 t n = T s 1 + f r = 1 + u = (n + 1)T s 1 + Ce raisonnement est bien sûr valable si est R qui s éloigne de la soure S ave une vitesse u = +u e x. Il peut aussi être généralisé à toute onde progressive de période T s et de longueur d onde λ s émise en S. En utilisant la relation générale λ = / f, on obtiendrait ave des notations évidentes λ r = λ s 1 + On retiendra don que lorsque la soure s éloigne du réepteur ave la vitesse u, la fréquene perçue f r est plus faible que elle émise par S et obtenue par la loi f r = 1 + u Si la soure se rapprohe de l émetteur, à la vitesse u, le raisonnement est identique en hangeant u et u. On retiendra que lorsque la soure se rapprohe du réepteur ave la vitesse u, la fréquene perçue f r est plus grande que elle émise par S et obtenue par la loi f r = 1 u u Ainsi, de manière génerale, on peut érire f = f r = d éloignement de la soure. Soit enore où u est la valeur algébrique de la vitesse f = u ou enore λ λ s = u

6 6 Ondes (Préparation Olympiades de Physique 2006) Cei est par exemple e qui se passe ave une ambulane qui émet des ondes sonores vers un observateur fixe. Le son parait plus aigu quand l ambulane se rapprohe de nous, puis plus grave lorsqu elle s éloigne. Ce phénomène est aussi utilisé en astronomie pour mesurer des vitesses des étoiles ou galaxies émettant de la lumière (ou des ondes életromagnétiques) dans l univers. Une étoile émet de la lumière dans toutes les diretions. La différene de longueur d onde mesurée au niveau de la Terre entre la lumière émise dans le sens de l éloignement et elle émise dans le sens du rapprohement est telle que λ λ = 2u où u est la vitesse algébrique d éloignement de l étoile. C est ainsi qu on a mesuré un déalage vers le rouge ( λ > 0) du rayonnement des galaxies, onfirmant les théories d expansion de l univers.

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