Polynômes bis. Marc SAGE. 18 décembre Continuité des racines 3. 4 Une fonction polynomiale en ses variables est polynomiale 4

Transcription

1 Polynômes bs Marc SAGE 8 décembre 25 Table des matères Sur la nullté des polynômes à n ndétermnées 2 2 Une foncton localement polynomale est un polynôme 2 3 Contnuté des racnes 3 4 Une foncton polynomale en ses varables est polynomale 4 5 Théorème de Mason et grand théorème de Fermat pour les polynômes 5 6 Un peu de géométre 6 7 Inégalté de Hardy 6 8 Localsaton des racnes dans le dsque unté 7 9 Polynômes nterpolateurs de Newton 8 Un exercce d nterpolaton

2 Sur la nullté des polynômes à n ndétermnées Sot P 2 K [ ; :::; n ] un polynôme à n ndétermnées sur un corps K n n On suppose qu l exste n partes E n n nes de K telles que P s annule sur le produt E ::: E n Montrer que P est le polynôme nul Soluton proposée Rasonnons par récurrence Pour n, P est un polynôme à une ndétermnée qu s annule en une n nté de ponts sur un corps n n, donc est le polynôme nul Dans le cas général, on peut toujours écrre P ;:::; n ;:::; n :::n ;:::; n ;:::; n ; {z } :P ( ;:::; n ) :::n n An P ( ; :::; n ) n Tuons la dernère varable en évaluant en n a pour un a non nul dans E n (possble car E n est n n) Par hypothèse, le polynôme à n ndétermnées P P ( ; :::; n ) a s annule sur E ::: E n, donc est nul par récurrence, ce qu s écrt ;:::; n ;:::; n ; :::n n a, ou encore ;:::; n ;a pour tout ( ; :::; n ; ), d où ;:::; n pour tout ( ; :::; n ), e P Il ne su t pas que P s annule sur une parte n ne de K n, comme le montre le contre- Y 2 et la parte dagonale f(x; x) ; x 2 Kg Remarque exemple P 2 2 Une foncton localement polynomale est un polynôme B et S désgneront respectvement la boule ouverte unté et la sphère unté de R n Sot f : R n! R localement polynomale, e telle que 8a 2 R n ; 9r > ; 9P 2 R [ ; :::; n ] ; f P sur a + rb (remarquer que la dé nton ne dépend pas de la norme chose) Montrer que f est encore un polynôme Soluton proposée On rasonne comme dans la premère feulle, en s nprant du cas n f vaut un certan P sur une boule rb, d où l exstence de : sup fr > ; f P sur rbg S est n n, on a gagné Montrons snon que ce sup est en fat un max Fxons un a sur la sphère S f vaut un polynôme Q sur une " boule a + "B, donc P Q sur (a + "B) \ 2 B Cette ntersecton est un ouvert non vde, donc content une boule pour la norme (par équvalence des normes), e un produt de n partes n nes de R P Q est ans nul sur ce produt, donc nul partout par l exerce précédent Par conséquent, f P sur a + "B, en partculer en a, et ce pour tout a 2 S Montrons mantenant que l on peut pousser un peu plus lon Pour a 2 S, sot " a sup f" > ; f P sur a + "Bg (qu exste par ce qu précède) On peut supposer tous les " a ns, snon le problème est réglé On sat également que f P sur a + " a B par ce qu précède, et donc on amerat pousser plus lon en consdérant + nf a2s " a 2

3 On aura gagné s nf " a >, car alors f vaudra P sur B avec >, ce qu contredra la maxmalté de Supposons par l absurde que nf " a On a alors pour tout n 2 N un a n 2 S tel que " an < n Qutte à extrare (par compacté de la sphère S), on peut supposer (a n ) convergente, mettons a n! a avec " an < n À partr d un certan rang N, on aura a n a < "a 2, donc a n + "a 2 B a + " ab, d où f P sur a n + "a 2 B et " an "a 2 par maxmalté de " a n, absurde pusque " an! Remarque Un argument de Borel-Lebesgue-compactté permet de grandement clar er la dernère étape Le compact S étant recouvert par hypothèse par des ouverts a + " a B (pas beson de consdérer un sup), on peut en extrare un recouvrement n, et alors f vaut P sur la boule ( + mn " a ) B, ce qu contredt la maxmalté de 3 Contnuté des racnes Sot K le corps R ou C On dé nt une norme sur K [] par P n a n n maxn ja n j On dt qu une sute (P ) de polynômes converge vers un polynôme P (pour la norme ) s P P! ; on note alors P! P Sot (P ) une sute de polynômes de degré borné Montrer que P! P ss les coe cents de P convergent chacun vers ceux de P Que dre s la sute n est plus supposé bornée en degré? Sot (P ) une sute de polynômes untares de degré n xé convergeant vers un polynôme P Montrer que les racnes de P convergent vers celles de P, au sens où l on peut écrre ( P Q n () P Q n ( ) avec 8; ()! Soluton proposée On rasonne par équvalences, en notant d un majorant de deg P et deg P : d d a () n n! a n n d d () a () n n a n n! n n n n () max a () n n;:::;d a n! () 8n ; :::; d; a () n a n! Cela ne marche plus s les degrés ne sont pas bornés : consdérer par exemple P P n 2n n, qu converge smplement (e coe cent par coe cent) vers, mas qu dverge grossèrement pusque P 2! Pour la contnuté des racnes, on procède par récurrence Montrons déjà que pour une racne de P, l y a pour tout une racne de P telle que! À xé, on n a guère le chox : pusqu on veut j j!, on prend pour une racne de P mnmsant la dstance j j ; on remarque alors que Y Y jp ()j j j j j j j n, racne de P racne de P d où P ( On peut donc écrre P ( montrer que Q! Q sous les hypothèses j j np jp ()j! np jp ()j ) Q avec ) Q P! P!!, ce qu amorce la récurrence Il su t donc de On détalle les coe cents : n P ( ) Q ( ) q n q + q n q n n + (q n 2 q n ) n + ::: + (q q ) q 3

4 et de même n P ( ) Q ( ) q () q () n n + q () n 2 q () n n + ::: + q () q () q () On lt d abord que q () n! q n, pus q () n 2 q () n 2 q () n + q () n! (q n 2 q n ) + q n q n 2, et ans de sute pour tous les q, d où Q! Q comme souhaté Remarque Ce résultat dt en substance que les racnes de P n "tendent" vers celles de P lorsque P n tend vers P : c est ben de la contnuté Pour être plus précs, on peut mettre une dstance sur l ensemble K des compacts de K, appelée dstance de Hausdor (cf feulle sur les Banach pour en savor un peu plus) L ensemble f ; :::; n g des racnes d un poynôme de degré n étant n, c est un compact de K, et la dstance de Hausdor s exprme sur ces ensembles de racnes par (f ; :::; n g ; f ; :::; n g) nf max () 2S n ;:::;n (ne pas héster à prendre un paper et un crayon pour vsualser cette dé nton) L énoncé exprme alors la contnuté de l applcaton Kn []! K P 7! fracnes de P g 4 Une foncton polynomale en ses varables est polynomale Sot K un corps ndénombrable et f : K 2! K telle que f (x; ) et f (; y) soent polynomales pour tout x et y dans K Montrer que f est polynomale Que se passe-t-l s K est n? Dénombrable? Soluton proposée Soent x et y dans K On peut écrre f (x; y) comme un polynôme en y, mettons f (x; y) a (x) + a (x) y + ::: + a nx (x) y nx On va déjà essayer de rasonner à degré en y borné, e à n x borné On ntrodut pour cela les ensembles n fx 2 K ; 8 > n; a (x) g Par hypothèse, les n recouvrent tout le corps de base, donc l un deux est ndénombrable, dsons Ans, 8x 2 ; 8y 2 K; f (x; y) a (x) + a (x) y + ::: + a (x) y On a utlsé dans ce qu précède le caractère polynomal de f (x; ) On va utlser mantenant celu des f (; y ) P où y ; y ; :::; y seront des scalares xés deux à deux dstncts (possble car K est n n) L égalté c-dessus évaluée en les y donne y y y y B C y y a (x) a (x) a (x) C A P (x) P (x) P (x) C A 4

5 La matrce de gauche est nversble (on reconnat un Vandermonde), d où a (x) P (x) a (x) C B A P (x) C A où A est une matrce xée (on ne touche plus aux y ), ce qu montre que les a (x) sont des polynômes en x pour tout x dans Mas alors le polynôme f (; y) coïncde avec le polynôme a () + ya () + ::: + y a () sur qu est n n, d où l égalté pour tout x dans K, et ce pour tout y, CQFD S K est n, mettons K fa ; :::; a q g, on nterpole P Q j6 a a j et Q : f (a ; ) pour tout, pus on observe que f (x; y) P q P (x) Q (y) La concluson est nchangée S K est dénombrable, le résultat tombe en défaut Notons fa ; a ; a 2 ; :::g les éléments de K On va construre f progressvement sur les ensembles (fa n g K)[(K fa n g), l dée étant d obtenr un polynôme de degré n sur ces partes, et ce pour tout n S f état polynomal, mettons de degré d en la premère varable, alors f (; a d+ ) serat un polynôme de degré d, mas ce serat par constructon un polynôme de degré d +, d où absurdté vu que les deux dovent coïncder sur le corps n n K Pour construre f de la sorte, on commence par poser f (a ; ) f (; a ), pus supposant construts f (a ; ) et f (; a ) pour < n, on nterpole : sot P n de degré n tel que P (a ) f (a ; a n ) pour tout < n On peut toujours supposer P de degré exactement n, qutte à rajouter Q <n ( a ) On pose en n f (a n ; ) f (; a n ) P n a j 5 Théorème de Mason et grand théorème de Fermat pour les polynômes Nous savons tous que le nombre de racnes d un polynôme est borné par son degré, la récproque étant évdemment complètement fausse (consdérer les monômes n ) Le théorème de Mason propose des condtons agréables pour permettre à une récproque pas s rdcule que ça de s exprmer Sot A; B; C tros polynômes tels que A + B C S l on suppose A premer avec B, montrer que les degrés de A; B; C sont bornés par le nombre de racnes du produt ABC mons un En dédure le grand théorème de Fermat pour les polynômes : pour n 3, l n y a pas de polynômes A; B; C premers entre eux tels que A n + B n C n Soluton proposée Cassons nos polynômes dans une extenson adéquate : 8 < : A Q a ( ) B Q b ( ) C Q c ( ) Normalsons la condton A + B C en ntrodusant les fractons ratonnelles (F; G) A C ; B C, de sorte que F + G et donc F + G On pourra donc écrre A B F G G G F F P b P c Pa P c M G G M F F où M Q a ( ) Q b ( ) Q c ( ) est un dénomnateur commun Les degrés des termes de la fracton de drote sont < deg M, et la condton A ^ B permet de conclure 5

6 Supposons à présent l exstence de tros polynômes A; B; C tels que A n + B n C n avec A ^ B L ntêret de Mason est que le nombre de racnes est nvarant par élévaton à une pussance quelconque, tands que le degré lu ne l est pas du tout! En notant N le nombre de racnes de ABC, on dot donc avor ce qu mpose n 2 n deg A N n deg B N n deg C N 9 ; ) n deg (ABC) 3 (N ) 3 deg ABC 3, Les tros exercces qu suvent llustrent l mportance des représentatons ntégrales des coe cents d un polynôme par la formule de Cauchy : 2 a n P e n d e 2 Notons également la formule de Parseval : 2 jan j 2 P e 2 d 2 6 Un peu de géométre Sot A ; :::A n des ponts du plan complexes Montrer qu l y a un pont M sur le cercle unté tel que A M:::A n M Soluton proposée Soent les a xes des ponts A En ntrodusant le polynôme P Q ( ), on veut trouver un z sur le cercle unté tel que jp (z)j Or, on peut mnorer le sup de P sur le cercle unté par n mporte lequel de ses coe cents a grâce à la formule de Cauchy : 2 ja j P e n d e 2 sup P e 2 d 2 2 sup P e 2 P étant untare, on a le résultat en consdérant le coe cent domnant 7 Inégalté de Hardy Sot (u n ) une sute réelle de carré sommable, e telle que P n u2 n < Montrer que p;q u p u q p + q + n On pourra utlser une paramétrsaton polare pour l ntégrale d une foncton sur [ ; ] Soluton proposée A n de donner un sens à la somme P u pu q p;q p+q+, on commence par borner les ndces p et q, mettons Ensute, pour fare apparaître un polynôme, on remarque que P n p;q u pu q p+q+ n + 6 x n dx u 2 n

7 (dée à retenr!), d où n p;q u p u q p + q + n p;q u p u q x p+q dx n p;q (u p x p ) (u q x q ) dx! 2 n u p x p dx P 2 p où P désgne le polynôme à coe cents réels P n u On va essayer de passer en polares comme suggéré : f e e d f e d e f f On en dédut P 2 P 2 P 2 P e P (e )d P e P e d 2 n u 2 p par Parseval, p P 2 P e e d P e 2 d e P e d car P est à coe cents réels P e P e d P e 2 d 2 d où le résultat en fasant tendre n vers upu Remarquer que les mêmes calculs en remplaçant u n par ju n j donnent la sommablté de la famlle q p+q+, p;q ce qu permet de regrouper comme on le souhate et just e a posteror le passage à la lmte 8 Localsaton des racnes dans le dsque unté Sot P un polynôme complexe de degré n, mettons P P n a Q n ( ) On dé nt respectvement la mesure et la norme de P par ( m (P ) jan j Q n q max (; j j) Pn P ja j 2 Observer que s P est untare (e a n ), alors la mesure de P est le produt des modules de ses racnes hors du dsque unté (comptées avec leur multplcté) Montrer que pour tout complexe z, on a (on pourra utlser Parseval), en dédure que ( + z) P (z + ) P m (P ) P, pus que, s n est pas racne de P, alors le nombre de racnes de P de module nféreur à r 2 (où < r < ) est borné par ln r ln q Pn ja j 2 r 2 ja j Soluton proposée Suvons l ndcaton en évaluant les deux quanttés proposées par Parseval On a d une part (z + ) P 2 2 ze + P e 2 d 2 + ze 2 P e 2 d 2, 7

8 d autre part ( + z) P 2 7! 2 e + z P e + z 2 P e 2 d 2 e 2 d 2 e + z 2 P + ze 2 P e 2 d 2 e 2 d 2, Il su t donc de montrer l égalté P e 2 P e 2 S P P n a état à coe cents réels, ce serat quas mmédat, mas là l faut fare attenton En développant, on trouve P e 2 P e P (e ) n p;q a p a q e (p q) r r n p+qr a p a q! e r, qu est ben symétrque en, CQFD Le lecteur trouvant le recours à Parseval tombé du cel pourra développer les quanttés ( + z) P et (z + ) P à la man, retrer les quanttés égales par hypothèse de récurrence, pus vér er que ce qu reste est ben égal Les calculs, ben que fasables, sont vrament pénbles, mas l on est ben content d y penser lors d un écrt d Agrégaton et lorsque Parseval nous a abandonné Pour en dédure m (P ) P, l s agt de vor que l égalté c-dessus permet d envoyer les racnes de module > sur celle de module < On peut toujours prendre P untare par homogénété de l négalté m (P ) P Ans, en écrvant P Q n ( + ), on note que la norme de P est nchangée en remplaçant + par + (on vent de le montrer), e en remplaçant la racne par On fat alors cette tranformaton pour toutes les racnes de module <, ce qu a pour e et d augmenter la mesure de P (on rajoute des racnes de module > q ), laquelle vaut après ces mod catons le produt de tous les j j, e ja j, qu est clarement plus pett que ja j 2 + P n ja j 2 P, CFQD On suppose à présent que a 6 Notons N le nombre de racnes de P de module r 2 On veut q Pn q N? ln ln ja j 2 r 2 Pn v N? () ja j 2 r 2 () ja j? u ja r j r ja j r N t n ja j 2 r 2 Le derner terme de drote vaut la norme de P (r), donc l serat judceux de montrer que le derner terme de gauche est majoré par la mesure de P (r) Q n (r ) r n Q n r Or, en notant N le nombre de racnes de P de module r, cette mesure vaut m (P (r)) r Y n r Y rn r n N j j r N Q ja j? j j ja j jr j r N () Y j jr j j>r j j? r N+N Or, en séparant les racnes selon la poston de leur module de part et d autre de r et r 2, on a drectement Y j j Y Y j j j j r 2N r N N r N+N, CQFD j jr j j<r 2 r 2 j jr j j>r 9 Polynômes nterpolateurs de Newton Soent a ; :::; a n des réels deux à deux dstncts et b ; :::; b n des réels quelconques On cherche un polynôme de degré n valant b en a On connaît déjà une soluton par Lagrange : P P n b Q x a j j j6 a a j Une autre approche consste à construre P de proche en proche en ncorporant successvement les données P (a ) b ; on cherche pour cela P sous la forme P c + c ( a ) + c 2 ( a ) ( a ) + ::: + c n ( a n ) ::: ( a ) 8

9 où les c sont des constantes à détermner de proche en proche : c b, c b c b2 c c(a2 a) a a, c 2 (a 2 a )(a 2 a ) Un cas très fréquent est celu où les ponts a que l on cherche à nterpoler sont espacés de : a a + On peut alors explcter les constantes c On ntrodut pour cela les d érences successves b j dé nes par les formules de récurrence b j b j b j b j+, que l on peut représenter sous forme d un "trangle de b j Pascal" : b b b 2 b n b b b n 2 b 2 b n 2 n b A l ade du lemme calculatore P b b, montrer que dans le cas a a +, les constantes c du polynôme nterpolateur de Newton sont données par la formule c b! (dagonale gauche du trangle c-dessus) et que la soluton cherchée prend la forme P n a b Soluton proposée Montrons le lemme : b b + + b b + b + b b b b + + b 2 2 b 2 ::: b b Exprmons mantenant les constantes c en foncton des précédentes : b c +c (a a )+c 2 (a a ) (a a )+:::+c (a a ) ::: (a a ) c +c +c 2 ( ) +:::+c 2:::, d où la relaton de récurrence c! + c ( )! + ::: + c + c!! c ( )! b! Il reste à vér er que la soluton c b! proposée par l énoncé vér e la même relaton : c ( )! b ( )!!! lemme b b!, b avec la condton ntale c b c comme l faut Fnalement, le polynôme cherché prend la forme P n Y c ( a j ) j< n b! Y j< ( a j) n a a 9

10 Un exercce d nterpolaton 8 < F On rappelle que la sute de Fbonacc est dé ne par F : F n F n + F n 2 Sot P un polynôme de degré 998 tel que P () vale le -ème nombre de Fbonacc F () pour 998 Montrer que P (999) F 999 Soluton proposée Le polynôme nterpolateur de Newton (vor exercce précédent) va nous être très utle, vu que les d érences j b se calculent très asément : F F F 2 F 998 F 999 F F 996 F 998 F 994 F2 On en dédut P P 998 F De la même manère, s l on ntrodut le polynôme Q de degré 999 tel que Q () F pour 999, on obtendrat 999 Q F P +, 999 Q (999) P (999) +, P (999) F 999 Remarque Le lecteur pourra essayer de résoudre cet exercce à l ade des polynômes nterpolateurs de Lagrange mas pas trop longtemps