" # Commentaires. Nombre décimal 0,75. Fractions 75. Division 75 : ,75 x 100 = 75. Droite numérique 0,75. Mesures. Multiplication

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1 UNE PROGRESSION 1 PARTIE NUMERIQUE L ojectif de cette progression est d introduire progressivement la connaissance des nouveaux nomres pour les élèves de cycle 3 qui maîtrisent parfois uniquement les nomres naturels. Les nomres décimaux ont été introduits à l école primaire grâce aux fractions décimales, il est intéressant de refaire cette liaison au déut de la sixième et de la réutiliser afin de faciliter la compréhension de ces nomres, de leur comparaison et des opérations les mettant en jeu. On insiste aussi sur la compréhension des fractions en tant que nomres. Cette compréhension passe par l utilisation fréquentes d écritures différentes pour un même nomre. Dans ce travail sur les nomres, on consolidera les techniques de calcul mental, même si la calculatrice pourra être utilisée de façon pertinente. La résolution de prolèmes est un ojectif principal du collège. Cet axe est en continuité avec les pratiques pédagogiques de l école élémentaire. Les prolèmes permettent ien évidemment de renforcer le sens des opérations, en proposant des situations variées où l élève devra choisir le type d opérations à effectuer. Au-delà de la résolution même, un travail sur la lecture d énoncés et de consignes semle indispensale pour aider l élève à appréhender les spécificités du texte mathématique et acquérir ainsi une certaine autonomie. Commentaires Chapitre 1 : Fractions décimales et nomres décimaux - Associer diverses désignations d un nomre décimal : écriture à virgule, fractions décimales. - Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l écriture d un entier ou d un décimal. - Placer un nomre sur une demi-droite graduée. - Multiplier un nomre par 10, 100, Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements d unités de mesure. - Connaissance des nomres décimaux non maîtrisée par tous les élèves à l entrée au collège - A l école primaire, écriture à virgule présentée comme une convention d écriture d une fraction décimale ou d une somme de fractions décimales - Ojectif : consolider et enrichir ces acquis, sans refaire tout le travail ayant été réalisé, et insister sur le passage d une écriture décimale à une écriture fractionnaire pour donner du sens aux termes dixième, centième en évitant d aller trop rapidement vers l utilisation de techniques non justifiées Multiplication 0,5 x 100 = 5 Lectures signifiantes 0 unité et dixièmes et 5 centièmes Ou 0 unité et 5 centièmes Mesures Division 5 : 100 Nomre décimal 0,5 0,5 m = 0 m + dm + 5 cm = 5 cm 0,5 L = 5 cl Fractions Droite numérique 0, ! " # $%&'()!*

2 Chapitre 2 : Comparaison des nomres décimaux Comparer deux nomres entiers ou décimaux, ranger une liste de nomres. - Encadrer un nomre, intercaler un nomre entre deux autres. - Lire l ascisse d un point ou en donner un encadrement - Les erreurs relatives à l ordre sur les décimaux proviennent le plus souvent d une interprétation erronée des écritures à virgule. Les règles utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nomres doivent donc être justifiées en s appuyant sur la signification des écritures décimales Le placement sur une demi-droite graduée est pour cela un on support d activités. # +,! # & #-+ Chapitre 3 : Addition, soustraction, multiplication de décimaux - Connaître la signification du vocaulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur. - Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée. - Etalir un ordre de grandeur d une somme, d une différence, d un produit. - Connaître les tales d addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent. - Savoir effectuer ces opérations sous les diverses formes de calcul : mental, posé, instrumenté.. - Addition, soustraction de nomres décimaux et multiplication d un nomre décimal par un entier : acquis du cycle 3. Consolider leur technique et leur sens au travers de la résolution de prolèmes. - Multiplication de deux décimaux : nouveauté de la classe de 6e, aussi ien du point de vue du sens que du point de vue de la technique de calcul posé. Notamment la multiplication, ici, «n agrandit» pas toujours - Initiation aux équations dans le cadre de la résolution de prolèmes se fait uniquement en revenant au sens des opérations (désignation de l inconnue par une lettre pas nécessaire ) - Insister sur l usage d ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat - Investir les différents types de calcul : Le calcul posé (les nomres doivent rester de taille raisonnale et aucune virtuosité technique n est recherchée) Le calcul mental : une priorité qui fait l ojet d activités régulières, à travers Le calcul mental automatisé : connaissance par coeur de résultats et de règles (des tales de multiplication ou certaines règles comme celles de la multiplication par 10 ; 100 ; 1000 notamment) Le calcul mental réfléchi : capacité d otenir par une démarche personnelle le résultat d un calcul, par exemple en le décomposant en calculs plus accessiles. ( ex : 6 x 15 = 2 x 15 x 3 = 6 x x 5 = 10 x 6 = 60 et 60 : 2 = 30 = ( 6 x 30 ) : 2) Le calcul instrumenté (usage de la calculatrice) nécessite la continuité de l apprentissage des cycles 2 et 3 où les programmes prévoient l utilisation de la calculatrice dans quatre directions : comme outil de calcul, comme instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités, pour explorer des phénomènes numériques, comme source de prolèmes et d exercices..! / &! #- 0#' / 1+ + #,! # & -

3 Chapitre 4 : Division euclidienne -Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l aide d une division euclidienne et interpréter les résultats otenus. - Calculer le quotient et le reste d une division d un entier par un entier dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté). - Nécessité d interpréter les deux résultats fournis (quotient et reste) dans le contexte du prolème posé : quotient par défaut ou par excès, reste ou complément du reste au diviseur - Calcul mental : ojectif prioritaire - Utilisation de l écriture de a=q+r (r<) pour contrôler le calcul (sans formule littérale) Connaître et utiliser le vocaulaire associé (dividende, diviseur, quotient, reste). - Connaître et utiliser les critères de divisiilité par 2, 4, 5, 3 et 9 - Calculer des durées, des horaires Chapitre 5 : Statistiques - Taleaux - Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté : - taleaux en deux ou plusieurs colonnes - taleaux à doule entrée. Chapitre 6 : Division décimale - Donner la valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d un décimal à l unité, au dixième, au centième près. - Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d un décimal par un entier, dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté). - Multiples de 2 et 5 vus à l école primaire. - Critère de divisiilité par 4 permettant d enrichir les techniques de calcul automatisé. - Des évaluations qui montrent généralement une onne aptitude à lire les informations fournies par un taleau. Travail donc davantage centré sur la construction par les élèves de telles organisations : choix des entrées appropriées, présentation des données. ( premier pas vers la capacité à recueillir des données et à les présenter sous forme de taleau). - Mener le travail sur la notion de valeur approchée décimale d un nomre dans des situations significatives. - A l école élémentaire, les décimaux ont pu intervenir dans des prolèmes de division au delà de la virgule (partage d une longueur par exemple), mais aucune compétence technique n a été mise en place - Division décimale qui permet d otenir soit la valeur décimale exacte (quand elle existe), soit une valeur décimale approchée du quotient.

4 Chapitre : Fractions - Interpréter a comme quotient de l entier a par l entier, c est-à-dire comme le nomre qui multiplié par donne a. - Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée dans des cas simples. - Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d un même nomre. - Multiplier un nomre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la division. - Multiplier un nomre par 0,1 ; 0,01 ; 0, Diviser par 10, 100, A l école élémentaire, l écriture fractionnaire introduite en référence au partage d une unité - En sixième, des activités qui s articulent autour de trois idées fondamentales : - le quotient a est un nomre ; - le produit de a par est égal à a ; - le nomre a peut être approché par un décimal. - Liens à étalir 22 > 22 3,142 3, : < 22 < 4 Environ 3 La partie entière de 22 est 3

5 Chapitre 8 : Pourcentage - Appliquer un taux de pourcentage Chapitre 9 : Proportionnalité - Traiter les prolèmes «de proportionnalité», en utilisant des raisonnements appropriés, en particulier : - passage par l image de l unité ; - utilisation d un rapport de linéarité, exprimé, si nécessaire, sous forme de quotient ; - utilisation du coefficient de proportionnalité, exprimé, si nécessaire, sous forme de quotient. - Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et celles qui n en relèvent pas le. Chapitre 10: Statistiques - Lire et compléter une graduation sur une demi-droite graduée, à l aide d entiers naturels, de décimaux ou de quotients (placement exact ou approché). - Notion présentée au cycle 3, mais aucune procédure experte étudiée - Mettre en évidence et justifier, par exemple, que prendre «1 pour cent d un nomre» revient à multiplier ce nomre par 1/100, en relation avec le travail sur la notion de quotient. - Mais, pour des cas simples, solutions plus rapides - Calcul mental également à utiliser fréquemment. -Proposer des prolèmes qui relèvent aussi ien de la proportionnalité que de la non proportionnalité et qui se situent dans le cadre des grandeurs (quantités, mesures). ( Pas de proportionnalité dans le cadre purement numérique - Pour chaque situation, moiliser l une ou l autre des trois compétences citées. Les raisonnements correspondants s appuient : - soit sur la propriété de linéarité relative à la multiplication (homogénéité) qui correspond, par exemple, au fait que «3 fois plus d ojets coûtent 3 fois plus cher», - soit sur la mise en évidence du coefficient de proportionnalité : par exemple, sur un plan, une distance sur le terrain est traduite par une distance «deux cents fois plus petite» ). - La propriété additive de la linéarité est également utilisée - Utiliser soit des rapports entiers ou décimaux simples (2,5 par exemple, qui peut être exprimé par «2 fois et demie»), soit des rapports exprimés sous forme de quotient : le prix de m de tissu est /3 fois le prix de 3 m de tissus - Ces différentes propriétés n ont pas à être formalisées - Travail indispensale à la compréhension des représentations graphiques utilisant des axes gradués présente les intérêts suivants : - permettre un travail sur la proportionnalité, à partir des relations entre les distances entre deux points et les différences entre les ascisses de ces points - permettre une meilleure compréhension de l ordre sur les différents types de nomres envisagés. - permet un travail sur les ordres de grandeur car lié au placement approché des nomres - Lire et interpréter des informations à partir d une représentation graphique (diagrammes en âtons diagrammes circulaires ou demicirculaires, graphiques cartésiens). Compétences visées : de la simple lecture d une information (qui revient, par exemple, sur un graphique, à la lecture des coordonnées) jusqu à la capacité à faire une interprétation gloale et qualitative de la représentation étudiée (évolution d une grandeur en fonction d une autre). - Utilisation intéressante de l ordinateur